第八章 多元函数微积分
玛丽莲梦兔
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2020年07月28日 21:36
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第八章 多元函数微积分
试题三
一、填空题(2?10=20分)
1. 母线平行于Y轴，且通过曲线的柱面方程是 。
[解析]：方程不含y时，表示母线平行于Y轴的柱面。消去y2得到3x2+2z2=16，为所求的柱面方程 ?
2. 设(x,y)?(0,0)时，f(x,y)=(x2-y2)-sin, 则 f(x+y,x-y)= 。
[解析]：f(x+y,x-y)= ((x+y)2-(x-y)2)-sin = 4xy-sin ?
3. 设f(x,y)= ，则 fx?(0,0)= 。
[解析]： f?x(x0,y0)= lim(x(0, fx?(0,0)= lim(x(0= lim(x(0=0 ?
4. 设z=f[x,g(x,y)], y=?(x)，f, g, ? 均为可微函数，则= 。
[解析]：根据复合函数求导数规则，= f ?1 +f ?2 (g?x+g?y???) ?
5. 已知 xlny+ylnz+zlnx = 1，则 ?? = 。
[解析]：根据隐函数求导数规则，?? = (- )?(- )?(- ) = -1 ?
6. 设z=f (arctan)，f为可微函数，且f ?(x)=x2, 则 |(1,1) = 。
[解析]：据复合函数求导数规则，= f ?(arctan)??
f ?(arctan)=f ?()= , |(1,1) = ?? = - ?
7. 交换积分次序 ?01dy?(y(2-y2f(x,y)dx = 。
[解析]：D:
D1: D2:
I = ?01dx?0x2f(x,y)dy + ?1(2dx?0(2-x2f(x,y)dy ?
8. 设z=z(x,y)= f(2x-y)，且已知 z(x,1)=x2-2x+3，则 |(x,2)= 。
[解析]： z(x,1)= f(2x-1)=x2-2x+3, f(2x-1)=2x2-4x+6, 令u=2x-1, x=(u+1)/2,
f(u)=2(u+1)2/4-2(u+1)+6=(u+1)2/2-2(u+1)+6, f ?(u)=u+1-2=u-1, f ?(2x-2)=2x-3
所以 = f ?(2x-y)?2， |(x,2)= f ?(2x-2)=x - 3/2 ?
9. 设 u=()z ，则du |(1,1,1) = 。
[解析]：=()z-1 , |(1,1,1) =1 =()z-1 () , |(1,1,1) = -1,
du |(1,1,1) =dx - dy ?
10. 设 ? (x-az,y-bz) =0，则 a + b = 。
[解析]：= - = - , = - = - 所以a + b =1 ?
二、选择题(2?10=20分)
1设函数f(x,y)在点(x0,y0)处偏导数存在，则f(x,y)在点(x0,y0)处 ( )
A、有极限 B、连续 C、可微 D、以上都不成立
[解析]：偏导数存在是一个较弱的条件，不能推出有极限、连续、及可微，故选D ?
2. 设 ?(x)= ?0x2ye-t2dt，则 = ( )
A、e-x4y2 B、e-x4y2 2xy C、e-x4y2 (-2t) D、e-x4y2 (-2x2y)
[解析]：利用积分上限函数求导规则，得到B正确 ?
3. 已知f(x,y)在(a,b)处偏导数存在，则 limh(0= ( )
A、0 B、fx?(2a,b) C、fx?(a,b) D、2fx?(a,b)
[解析]： limh(0=limh(0+limh(0=2fx?(a,b)
选D ?
4. 设f (x, )= xsin ，则 = ( )
A、sin+x cos ? B、xsin C、sin D、xcos
[解析]：替换自变量名称 f (u,v)= xsin = usin f(x,y)= xsin ,
则 = sin 故选C ?
5. 累次积分?0(/2d??0sin(f(rcos?,rsin?)rdr 可写成 ( )
A、?01dx?0(x-x2f(x,y)dy B、?01dx?01f(x,y)dy C、?01dy?(y(1-y2f(x,y)dx D、?01dy?0(y-y2f(x,y)dx
[
解析]： 画出积分区域为D: x2+y2-y=0
与Y轴右半部分，?01dy?0(y-y2f(x,y)dx
故选D ?
6. 函数 z=在点(0,0) 处 ( )
A、不连续 B、连续且偏导数存在 C、取极小值 D、无极值
[解析]：函数 z=在点(0,0) 处连续，显然z在(0,0)处取极小值。故选C ?
7. 设 z=ln(xy+)，则 = ( )
A、0 B、1 C、 D、
[解析]：利用复合函数求导 = (y+) = , = 0 故选A ?
8. 设 x+z =yf (x2-z2)，则 z + y = ( )
A、x B、y C、z D、yf (x2-z2)
[解析]：利用隐函数求导 = - = , = - = ,
z + y = = = x 故选A ?
9. 设D是 |x|+|y|?1所围成区域, D1是由直线x+y=1和X轴,Y轴所围成的区域，则
D(( = ( )
A、4D1(( B、0 C、2D1((z D、2
[解析]：利用积分区域的对称性及
被积函数的奇偶性 D((=0
于是 D((=
D((+D((
=2+0=2 故选D ?
10. 若函数f(x,y)在点(x0,y0)处取极大值，则 ( )
A、fx?(x0,y0)=0, fy?(x0,y0)=0 B、若(x0,y0)是D内唯一极值点，则必为最大值点
C、[fxy?(x0,y0)]2- fxx?(x0,y0)?fyy?(x0,y0)<0,且fxx?(x0,y0)<0 D、以上结论都不正确
[解析]： A不真，(x0,y0)只是一个驻点； B不真，要求在D内连续；
C不真，要求(x0,y0)是驻点； 故选D ?
三、计算题(6?6=36分)
1. 设z=(1-2xy+y2)-1/2，证明： [(1-x2)]+ [y2] = 0.
[证明]：计算 =yz3, =(x-y)z3, =3y2z5, = -z3+3(x-y)2z5,
[(1-x2)]= -2xyz3+3(1-x2)y2z5 , [y2]=2y(x-y)z3- y2z3+3y2(x-y)2z5 ,
[(1-x2)]+ [y2] = 3y2z5[1-x2-(1-2xy+y2)+(x-y)2] = 3y2z5?0 = 0 ?
2 .设?=f(u,v), u=tx, v=ty，求 。
[解析]：= fu?x+ fv?y , =[xf?uu+yf?uv]x+[xf?vu+yf?vv]y = x2f?uu+2xyf?uv+y2f?vv ?
3. 设y=f(x,t)，而t是由方程F(x,y,t)=0确定的x, y函数，试证： =
[解析]：=+[+?], 变形 (1-?)=+? , 解出 ，
再由隐函数求导计算与 ，代入即得到所证明的等式。 ?
4. 设x2+y2+z2=a2 (x>0, y>0, z>0)，求 xy+yz+zx的极值。
[解析]：用拉格朗日乘数法，目标函数 f(x,y,z)= xy+yz+zx
约束条件: x2+y2+z2=a2
令拉格朗日函数 F(x,y,z,?)= xy+yz+zx+?( x2+y2+z2-a2)
则 F?x=y+z+2?x=0, F?y=x+z+2?y=0, F?z=y+x+2?z=0, x2+y2+z2=a2
前三式相加得到 2(x+y+z)+2?(x+y+z)=0, 所以?= -1, 代入得 x=y=z,
则 x=y=z=a/，根据实际意义它是极大值点，也是最大值点，最大值为 f=a2 ?
5. 求 ?01dx?x21dy
[解析]：改变积分次序得到 I = ?01dy?0(ydx = ?01 []0(ydy = ?01 dy
= ?01 dy3 = |01 = (-1) ?
6. 计算 ?0a?-x-a+(a2-x2dxdy
读书之法，在循序而渐进，熟读而精思。——朱熹
[解析]：化为极坐标计算，积分区域如图
原积分 I = ?-(/40d??0-2asin(rdr
= ?-(/40 arcsin|0-
2asin(d?
= ?-(/40 -?d?= -|-(/40= ?
四、(8分) 某企业现有以种商品1万件，打算同时在两个地区销售，这两个地区需求函数分别为Q1=10000 - 500p1和Q2=5500 - 250p2，销售成本分别为C1=1000+5Q1和C2=500+5.5Q2，应如何确定售价才能使企业获得最大利润。
[解析]：总利润 L=Q1P1-C1+Q2P2 -C2=Q1(P1-5)+Q2(P2-5.5) - 1500
约束条件： Q1+Q2=10000 即 2p1+p2=22
令 F(p1,p2,?)= Q1(P1-5)+Q2(P2-5.5) - 1500+?(2p1+p222)
F?p1= -500(p1-5)+Q1+2?=0 (利用复合函数求导)
F?p1= -250(p2-5.5)+Q2+?=0
2p1+p2=22
前二式消去?，得到 p2-p1=1.25 , 解得 p1=2075/300=6.92, p2=8.16, 为最大值点，
最大值 L(6.92, 8.16)= 20087.6 能使企业获得最大利润为 20087.6 单位。 ?
五、证明题(2?8=16分)
1. 设z=z(x,y)是由ax+by+cz=?(x2+y2+z2)定义的函数，其中?(u)是一个可微函数，a,b,c为常数，证明z=z(x,y)是方程 (cy-bz) +(az-cx) =bx-ay 的解。
[证明]：= - , = - , 代入左式= =bx-ay=右式 ?
2. 设在区间 [a,b]上f(x)连续且恒大于0，试利用二重积分证明定积分之积:
?abf(x)dx ??ab? (b-a)2 。
[证明]：将I化为二重积分 I=?abf(x)dx ??abdy=D((，D为矩形区域，
根据x,y的对称性有 I=D(( ，于是2I = D(( =
= D(( ? D((=2D((?2(b-a)2 即 I ? (b-a)2 ?
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读书之法，在循序而渐进，熟读而精思。——朱熹