无穷大和无穷小-一点数学上的知识
别妄想泡我
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2020年07月28日 22:13
最佳经验
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佛多音字组词-遒劲的拼音
这个概念无疑常常困扰没有受过现代数学训练的阅读者们，这是很自然的事情，因为它可以从直觉上意识得到，却又难于精确地把握：无穷小是什么？是不是可以精确定义的数学概念？它是一个数？还是一段长度？能不能对无穷小做计算？诸如此类等等。由于这个概念几乎天然的和各种哲学式的思辨联系在一起，使得甚至哲学家们也对它颇为关注，——当然，还有数之不尽的民科们。
关于无穷小的讨论者，最著名的大概莫过于莱布尼茨，他花了大把的精力试图精确阐述无穷小的概念并且以此作为整个微积分学的基石。在莱布尼茨看来，无穷小是一个比任何数都小但是不等于零的量，对它可以做四则运算，尤为关键的是可以做除法：两个相关的无穷小量的比值就是一个函数的导数。以此为基本语言他开始建立微积分学的基本理论，——他基本上成功了。直至今天，数学家采用的关于微分的记号仍然来自莱布尼茨，而数学学科内部关于微积分学的专门称呼——“分析学”——也来自于莱布尼茨自己对他的理论的叫法：无穷小分析。尽管牛顿和莱布尼茨在微积分的发明权上争得不可开交，可是几个世纪过去，至少在这两件事情上莱布尼茨大获全胜。
可是，也许你想不到的一件吊诡的事情是：尽管莱布尼茨在微积分学的建立过程里做出如此重要的贡献，他的思想的基石——无穷小量——却是一个在今天的数学语言里被完全抛弃了的概念。人们发现这个词汇除了带来混乱之外并没有什么特别的用处，于是作为一种语言，它被丢弃了。
事实上，即使在莱布尼茨的同时期人看来，无穷小也是一个有点让人不舒服的词：比任何大于零的数都小，却不是零。我们当然可以把它仅仅作为一种人为的逻辑概念来使用，可是这样一个怪东西的存在，既使得数学的基本对象——实数的结构变得混乱，也在很多场合带来了麻烦的难于回答的问题（尽管它也确实带来了不少方便）。在分析学蓬勃发展的十八世纪，一代又一代数学大师为此争论不休，大家混乱而各行其是地使用这个词，却没人能说清楚它的精确含义。终于，从十九世纪初期开始，以柯西（Cauchy）和魏尔斯特拉斯（Weierstrass）为代表的一大批数学家开始为分析学的严密化做出了大量的工作，他们试图在完全不采用“无穷小量”这个概念的前提下重新建立整个分析学，——他们也成功了。
于是这个词就被抛弃了。时至今日，这个词尽管在很多数学书里仍然会出现，但是这时它仅仅作为一个纯粹修辞上的词汇而不是严格的数学概念，——人们通常用它来指代“极限为零的变量”（感谢十
九世纪那一大批数学家，极限这个词已经是有了严密清晰的定义而不再仅仅是某种哲学性的描述），也有的时候它被用来作为对微积分运算中的某些符号的称呼，但是无论何时，人们在使用它的时候都明确的知道自己想说什么，更关键的是，人们知道自己并不需要它，而只是偶尔像借助一个比喻一样借助它罢了。
那么，回到这个词最本源的意义：到底有没有这样一个量，比一切给定的正实数都小却又不是零？或者这个问题还有一系列等价的提法：在直线上存不存在两个“相邻”的点？存不存在“长度”的最小构成单位？等等等等。
在今天我们已经能够确定无疑的回答这些问题了：不，不存在。
事实上，这个问题的彻底解答甚至比柯西和魏尔斯特拉斯的时代还要晚：它本质上是关于实数的结构的理解的问题。即使柯西本人——尽管他奠定了现代极限理论的基础——也并不真正了解“实数是什么”这样一个简单的问题。关于严密的实数理论的最终建立，一般认为是皮亚诺（peano），康托（Cantor）和戴德金（Dedekind）这几位十九世纪下半叶的数学家的成就。所谓的“戴德金分划”仍然是今天的教科书里对“实数”这一概念所介绍的标准模型。在这套模型里，人们能够在逻辑上完全自洽的前提下回答有关实数结构的一切问题，而正如前面指出过的那样，它完全摈弃了“无穷小”的存在。
（是不是数学家说无穷小量不存在，这个词就没意义了呢？）
这又回到了前面我们屡次面对的那个关于数学断言的权威性的问题。如果承认无穷小是一个有关数的概念，那么，数学家的工作已经告诉我们，在实数理论中没有无穷小的位置。事实上，康托本人就曾经证明过承认无穷小是同承认实数中基本的阿基米德原理相矛盾的。（阿基米德原理是一个关于实数性质的基本原理，如果阿基米德原理是错的，整个数学大概都无法得以建立。）但是，如果把问题拉到数学的疆域以外，如果认为人们有权利不按照数学家的方式讨论数本身的性质，那么我们面对的就已经是全然另一层次的问题，——也就不可能在这里得到详尽的讨论了。
----------出自《长度是怎样炼成的》作者：木遥
无穷大。
上一节我们谈了一些数字，其中有不少是毫不含糊的大数。但是这些巨大的数
字，例如西萨、班所要求的麦子粒数，虽然大得难以令人置信，但毕竟还是有限的
，也就是说，只要有足够的时间，人们总能把它们从头到尾写出来。
然而，确实存在着一些无穷大的数，它们比我们所能写出的无论多长的数都还
要大。例如，“所有整数的个数”和“一条线上所
有几何点的个数”显然都是无穷
大的。关于这类数字，除了说它们是无穷大之外，我们还能说什么呢？难产我们能
够比较一下上面那两个无穷大的数，看看哪个“更大些”吗？
“所有整数的个数和一条线上所有几何点的个数，究竟哪个更大些？”－－这
个问题有意义吗？乍一看，提这个问题可真是头脑发昏，但是，著名数学家康托尔
（Georg Cantor）首先思考了这个问题。因此，他确实可被称为“无穷大数算术”
的奠基人。
当我们要比较几个无穷大的数的大小时，就会面临这样的一个问题：这些数既
不能读出来，也无法写出来，该怎样比较呢？这下子，我们自己可有点像一个想要
弄清自己的财物中，究竟是玻璃珠子多，还是铜币多的原始部族人了。你大概还记
得，那些人只能数到三。难道他会因为数不清大数而放弃比较珠子和铜币数目的打
算？根本不会如此。如果他足够聪明，他一定会通过把珠子和铜币逐个相比的办法
来得出答案。他可以把一粒珠子和一枚铜币放在一起，另一粒珠子和另一枚铜币放
在一起，并且一直这样做下去。如果珠子用光了，而还剩下些铜币，他就知道，铜
币多于珠子；如果铜币先用光了，珠子却还有多余，他就明白，珠子多于铜币；如
果两者同时用光，他就晓得，珠子和铜币数目相等。
康托尔所提出的比较两个无穷大数的方法正好与此相同：我们可以给两组无穷
大数列中的各个数一一配对。如果最后这两组都一个不剩，这两组无穷大就是相等
的；如果有一组还有些没有配出去，这一组就比另一组大些，或者说强些。
这显然是合理的、并且实际上也是唯一可行的比较两个无穷大数的方法。但是
，当你把这个方法讨诸实用时，你还得准备再吃一惊。举例来说，所有偶数和所有
奇数这两个无穷大数列，你当然会直觉地感到它们的数目相等。应用上述法则也完
全符合，因为这两组数间可建立如下的一一对应的关系。
1t3t5t7t9……
2t4t6t8t10……
在这个表中，每一个偶数都与一个奇数相对应。看，这确实再简单，再自然不
过了！
但是，且慢。你再想一想：所有整数（奇偶数都在内）的数目和单单偶数的数
目，哪个大呢？当然，你会说前者大一些，因为所有的整数不但包含了所有的偶数
，还要加上所有的奇数啊。但这不过是你的印象而已。只有应用上述比较两个无穷
大数的法则，才能得出正确的结果。如果你应用了这个法则，你就会吃惊地发现，
你的印象是错误的。事实上，下面就是所有整数和偶数的一一对应表：
1t2t3t4t5……
2t4t6t8t10…
…
按照上述比较无穷大数的规则，我们得承认，偶数的数目正好和所有整数的数
目一样大。当然，这个结论看来是十分荒谬的，因为偶数只是所有整数的一部分。
但是不要忘了，我们是在与无穷大数打交道，因而就必须做好遇到异常的性质的思
想准备。
在无穷大的世界里，部分可能等于全部！关于这一点，著名德国数学家希尔伯
特（David Hilbert）有一则故事说明的再好不过了。据说在他的一篇讨论无穷大的
演讲中，他曾用下面的话来叙述无穷大的似非而是的性质：
我们设想有一家旅店，内设有限个房间，而所有的房间都已客满。这时来了位
新客，想订个房间。“对不起，”旅店主说，“所有的房间都住满了。”现在再设
想另一家旅店，内设无限个房间，所有的房间也都客满了这时也有一位新客来临，
想订个房间。
“不成问题！”旅店主说。接着，他就把一号房间里的旅客移至二号房间，二
号房间的旅客移到三号房间，三号房间的旅客移到四号房间，等等，这一来，新客
就住进了已被腾空的一号房间。
我们再设想一座有无限个房间的旅店，各个房间也都住满了。这时，又来了无
穷多位要求订房间的客人。
“好的，先生们，请等一会儿。”旅店主说。
他把一号房间的旅客移到二号房间，把二号房间的旅客移到四号房间，三号房
间的旅客移到六号房间，等等，等等。
现在，所有的单号房间都腾出来了。新来的无穷多位客人可以住进去了。
由于希尔伯特讲这段故事时正值世界大战期间，所以，即使在华盛顿，这段话
也不容易被人们所理解。但这个例子却确实举到了点子上，它使我们明白了：无穷
大数的性质与我们在普通算术中所遇到的一般数字大不一样。
按照比较两个无穷大数的康托尔法则，我们还能证明，所有的普通分数（如3/5等
）的数目和所有的整数相同。把所有的分数按照下述规则排列起来：先写下分子与
分母之和为2的分数，这样的分数只有一个，即1/1；然后写下两者之和为3的分数，即1/2
和2/1；再往下是两者之和为4的，即1/3，2/2，3/1。这样做下去，我们可以得到一个无穷的分数
数列，它包括了所有的分数(甚至有重复---雪见best注)。现在，在这个数列旁边写上整数数列，就得到
了无穷分数与无穷整数的一一对应。可见，它们的数目又是相等的！
你可能会说：“是啊，这一切都很妙，不过，这是不是就意味着，所有的无穷
大数都是相等的呢？如果是这样，那还有什么可比的呢？”
不，事情并不是这样。人们可以很容易地找出比所有整
数和所有分数所构成的
无穷大数还要大的无穷大数来。
如果研究一下前面出现过的那个比较一条线段上的点数和整数的个数的多少的
问题，我们就会发现，这两个数目是不一样大的。线段上的点数要比整数的个数多
得多。为了证明这一点，我们先来建立一段线段（比如说1寸长）和整数数列的一一
对应关系。
这条线段上的每一点都可用这一点到这条线的一端的距离来表示，而这个距离
可以写成无穷小数的形式，如
0.735......
或者
0.38250375632......
现在我们所要做的，就是比较一下所有整数的数目和所有可能存在的无穷小数
的数目。那么，上面写出的无穷小数和，，这类分数有什么不同呢？
大家一定还记得在算术课上学过的这样一条规则：每一个普通分数都可以分成
无穷循环小数。如。我们已经证明过，所有分数的数目和所有整数的数目相等，所
以，所有循环小数的数目必定与所有整数的数目相等。但是，一条线段上的点可不
能完全由循环小数表示出来，绝大多数的点是由不循环的小数表示的。因此就很容
易证明，在这种情况下，一一对应的关系是无法建立的。
假定有人声称他已经建立了这种对应关系，并且，对应关系具有如下形式：
N
1t0.38601256854……
2t0.52315566584……
3t0.25896499872……
4t0.99586499859……
.t……
.t……
.t……
当然，由于不可能把无穷多个整数和无穷多个小数一个不漏地写光，因此，上
述声称只不过意味着此人发现了某种普遍规律（类似于我们用来排列分数的规律）
，在这种规律的指导下，他制定了上表，而且任何一个小数或迟或早都会在这张表
上出现。
不过，我们很容易证明，任何一个这类的声称都是站不住脚的，因为我们一定
还能写出没有包括在这张无穷表格之中的无穷多个小数。怎么写呢？再简单不过了
。让这个小数的第一小数位（十分位）不同于表中第一号小数的第一小数位，第二
小数位（百分位）不同于表中第二号小数的第二小数位，等等。这个数可能就是这
个样子（还可能是别的样子）：
这个数无论如何在上表中是找不到的。如果此表的作者对你说，你的这个数在
他那个表上排在第一百三十七号（或其他任何一号），你就可以立即回答说：“不
，我这个数不是你的那个数，因为这个数的第一百三十七小数位和你那个数的第一
百三十七小数位不同。”
这么一来，线上的点和整数之间的一一对应关系就建立不起来了。也就是说，
线上的点数所构成的无穷大数大于（或强于）所有整数或分数所构
成的无穷大数。
刚才所讨论的线段是“1寸长”。不过很容易证明，按照“无穷大数算术”的规
则，不管多长的线段都是一样。事实上，1寸长的线段也好，1尺长的线段也好，1里
长的线段也好，上面的点数都是相同的。只要看看图6即可明了，
AB和AC为不同长度的两条线段，现在要比较它们的点数。过AB的每一个点做BC的平行线，都会与AC相
交，这样就形成了一组点。如D与D，E与E，F与F等。对AB上的任意一点，AC上都有
一个点和它相应，反之亦然。这样，就建立了一一对应的关系。可见，按照我们的
规则，这两个无穷大数是相等的。
通过这种对无穷大数的分析，还能得到一个更加令人惊异的结论：平面上所有
的点数和线段上所有的点数相等。为了证明这一点，我们来考虑一条长1寸的线段A
B上的点数和边长1寸的正方形CDEF上的点数。
假定线段上某点的位置是0.7512036......。我们可以把这个数按奇分位和偶分
位分开，组成两个不同的小数：
0.7108......
和
0.5236......
以这两个数分别量度正方形的水平方向和垂直方向，得出一个点，这个点就叫
做原来线段上那个点的“对偶点”。反过来，对于正方形内的任意一点，比如说由
0.4835，0.9907这两个数描述的点，我们把这两个数掺到一起，就得到了线段上的
相应的“对偶点”0.49893057。
很清楚，这种做法可以建立那两组点的一一对应关系。线段上的每一个点在平
面上都有一个对应的点，平面上的每一个点在线段上也有一个对应点，没有剩下来
的点。因此，按照康托尔的标准，正方形内所有点数所构成的无穷大数与线段上点
数的无穷大数相等。
用同样的方法，我们也容易证明，立方体内所有的点数和正方形或线段上的所
有点数相等，只要把代表线段上一个点的无穷小数分作三部分，并用这三个新小数
在立方体内找“对偶点”就行了。和两条不同长度线段的情况一样，正方形和立方
体内点数的多少与它们的大小无关。
尽管几何点的个数要比整数和分数的数目大，但数学家们还知道比它更大的数
。事实上，人们已经发现，各种曲线，包括任何一种奇形怪状的样式在内，它们的
样式的数目比所有几何点的数目还要大。因此，应该把它看作是第三级无穷数列。
按照“无穷算术”的奠基者康托尔的意见，无穷大数是用希伯来字母（读作阿
莱夫）表示的，在字母的右下角，再用一个小号数字表示这个无穷大数的级别。这
样一来，数目字（包括无穷大数）的数列就成为
我们说“一条线段上有个点”或曲线的样子有种“，就和我
们平常说“世界有
七大洲”或“一付扑克牌有五十四张”一样。
在结束关于无穷大数的讨论时，我们要指出，无穷大数的级只要有几个，就足
够把人们所能想象出的任何无穷大数都包括进去了。大家知道，表示所有整数的数
目，表示所有几何点的数目，表示所有曲线的数目，但到目前为止，还没有人想得
出一种能用来表示的无穷大数来。看来，头三级无穷大数就足以包括我们所能想到
的一切无穷大数了。因此，我们现在的处境，正好跟我们前面的原始部族人相反：
他有许多个儿子，可却数不过三；我们什么都数得清，却又没有那么多东西让我们
来数！
----------------出自《从一到无穷大》 作者：(美)伽莫夫