中国古代数学的辉煌与衰落
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2020年07月29日 02:19
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约1100年后才获得。祖冲之父子的另一重要贡献,是在研究牟合方盖和球的体积时提出了“幂势既同则积不容异”的重要原理,这一原理西方人Cavalieri在约1100年后才提出来,这一原理在创立现代数学的微积分理论、尤其是在引入积分运算和理解积分概念中起着非常重要的作用。1.3《数书九章》时期宋元时,我国数学达到了第3个辉煌时期。这一时期的主要数学家及其主要数学著作有:秦九韶和他的《数书九章》(1247),李冶和他的《测圆海镜》(1248),杨辉和他的《详解九章算术》(1261),朱世杰和他的《四元玉鉴》(1303)。秦九韶在高次代数方程的解法上创造性地提出了“正负开方术”,比提出同样方法的西方人Ruffini和Horner早500多年。由杨辉引用的贾宪的“开方作法本源图”,西方人称之为“Pascal三角形”,显然,中国人比西方人至少早600年已熟悉了它。杨辉的“垛积术”,朱世杰的“垛
积招差术”,实质上研究并解决了高阶等差级数的求和问题,而西方人是在300多年以后才逐渐由Grego ry和N ew ton研究和解决的。由此可以看出,在宋元时,我国数学家距离微积分的创立要比西方人近得多。但是,我国数学家终于错过了这一绝好的历史机遇。在从朱世杰的《四元玉鉴》出版以后直到明清时的数百年间,我国几乎没有一本有创造性的数学著作问世。而此时期的西方则是另一番景象,尤其是经历了文艺复兴以后,西方的数学伴随着整个科学技术的发展而蓬蓬勃勃地发展起来,把我国远远地甩在后面。2中国数学衰落的原因说近数百年中国数学衰落,其实并不确切。实际上,中国古代数学尽管有辉煌,但辉煌中已潜藏着落后的因素,只是在近数百年,由于西方的数学发展神速,才使我国数学落后得更厉害,落后得更明显而已。笔者认为,中国数学衰落的原因有三:2.1独尊儒术,蔑视逻辑,轻视数学知识古希腊的数学在世界数学史上的地位是无与伦比的。A ristotle(前384～前322)创立了逻辑学,讨论了数学中的定义、公理、公设等,建立了演绎证明的推理方法,为建立各种数学体系,乃至各种科学体系奠定了基础。Euclid(约前330～前275)的不朽著作《几何原本》,从公理和公设出发,用演绎法建立了完整的几何学体系,是数学体系和科学体系的完美典型。A rchimedes(前287～前212)继承和发展了《几何原本》的演绎方法,书写了大量的几何学著作,这些著作被称为古希腊数学的顶峰,其中巧妙地结合力学论证方法和数学论证方法,获得了一系列正确的数学定理和数值结果,其思想之深刻和推理的严格性、技巧性,甚至超过约2000年后的N ew ton和L eibn iz。其实,我国春秋战国时的墨子(约前480～前420)已先于A risto tle建立起形式逻
辑体系的雏形,还先于Euclid逻辑地定义了数学中的一些概念,又先于A rchmiedes从同一个侧面刻画了实数的连续性。墨子既善于观察自然世界,又善于进行逻辑思考,这使墨子的许多认识比同时代的所有人都深刻得多。但是,自从汉武帝“罢黜百家,独尊儒术”以后,墨子的学说便遭到沉重打击,未能继续发展,终于未能建立起完善的逻辑体系,使中国数学乃至中国科学始终缺少这一奠基性工作,严重地制约了中国数学的发展,制约了中国科学的发展。基于儒学思想所形成的哲学概念和道德概念,乃至对自然的解释,常常没有明确界定,论述中只有结论,没有严格推理,只有应用,没有系统理论。这种蔑视逻辑的思维方式,使后来的统治者和别有用心者能够随意地各取所需,也给伪科学的产生和传播留下了空间。后来出现的科举制度,也逐渐演变成只考儒学经典,使整个社会,尤其是上层社会轻视数学。《隋书》在论及《缀术》一书时说:“学官莫能究其深奥,是故废而不理。”祖冲之父子的《缀术》就是这样失传的。秦九韶在《数书九章》序中谈到数学不被重视时痛心地说:“后世学者自高,鄙之不讲,此学殆绝。”我国古代大量数学著作的散失,是世界数学史上不可估量的损失。独尊儒术严重禁锢了人们的思想,使人们不敢越雷池一步。中国数学史上许多重要发现,不是产生在集权思想控制的太平盛世,而恰恰产生在能容忍百家争鸣的战乱年月,这绝不是偶然的。2.2崇尚玄学,迷信数术,歪曲数学思想魏晋时期,儒学虽然受到冲击,但并未动摇儒学的统治地位,相反,老庄学说与儒家学说相反相成,形成了玄学,这实质上是儒学在新的历史条件下的变种。玄学原本所思考的是人生,是天地,是人生和天地的关系,这种哲学的思考本来是无可非议的,但是,由于缺乏逻辑约束,没有明确的概念界定,没有严格的推理法则,从而使这种思考具有很大的随意性,最终沦为随心所欲的空谈和诡辩。所谓数术,是指用数字推断人事吉凶,解说自然现象,测定国运兴衰的神秘方法。数术根本不是数学。但在中国数学史上,数术却常常混杂在数学之中,使数学的概念和方法均遭受到歪曲。《九章算术》本来是不谈数术的,但在刘徽的序中却是这样解释数学起源的:“昔在包牺氏始画八卦,以通神明之德,以类万物之情,作九九之术,以合六爻之变,暨于黄帝神而化之,引而伸之。”秦九韶在《数书九章》中也说:“其用本太虚生一,而周流无穷。大则可以通神明,顺性命;小则可以经世务,类万物。”“爰自河图洛书,发秘奥,八卦九畴,错综精微,极而至于大衍皇极之用,而人事之变无不该,鬼神之事莫能隐矣。圣人神之,言而遗其粗,常人昧之,由而
莫之觉,要其归,则数与道非二本也。”晚至1723年成书的《数理精蕴》仍是这样说:“粤稽上古,第1期王乃信等:中国古代数学的辉煌与衰落111?1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing rights ://
河出图,洛出书,八卦是生,九畴是叙,数学于是乎肇焉。”此前,微积分已经在英国和德国同时诞生了。数术的神秘主义还渗透到被称为国学的各个领域。例如许慎在《说文解字》(121)中就是用数术解释数字的:“一,惟初太始,道立于一,造分天地,化成万物。”“二,地之数也。”“三,天地人之道也。”“四,阴数也。”“五,五行也。”“六,易之数也。”“七,阳之正也。”“九,阳之变也。”张衡(78～139)是我国东汉时的著名科学家,在我国科学史上有很高的地位,但他也崇尚数术。张衡已经发现“周三径一”是不准确的,并在实际应用中进行了修正,但他由于相信“周三径一”是来源于“参天两地”的,却始终“述而弗改”,遗憾地与真理擦肩而过。张衡在他的《灵宪》中还轻率地断言恒星共有11 520颗,实际上,在当时的条件下,人们根本无法看到那么多的恒星,张衡显然是用周易中所谓的“万物之数”附会的。由于神秘主义的泛滥,许多数学家都自觉或不自觉地用数术对数学概念和数学方法作牵强附会的解释。勾股定理本是我国古代数学的辉煌成就,但《数理精蕴》却是这样解释勾股定理的:“易曰:参天两地而倚数。天数一,参之则为三;地数二,两之则为四;三二合之则为五。此又勾三股四弦五之正义也。”疏率本是祖冲之在数学上的重大贡献之一,但李光地的《启蒙附论》(1715)却是这样解释疏率的:“凡方圆可为比例,惟径七者,方周二十八,圆周二十二,即两积相比例之率也,合二十八与二十二,共五十,是大衍之数,含方圆同径两周数。”当玄学和数术充塞数学时,数学的思想被歪曲了,数学的本质被歪曲了,数学的来源被歪曲了,中国的数学怎么能不衰落呢?2.3固步自封,墨守成规,拒绝数学符号中国古代的数学是用汉字表述的,历来不重视汉字以外的数学符号,给逻辑思维带来很大困难,使我国长期不能形成演绎推理的传统,严重影响了我国数学的发展。从现存的史料看,我国1200年以前的所有数学著作均没有用数学符号书写的算式,即使在1200年以后,我国的部分数学著作虽然开始使用一些符号,但仍然基本上是用汉字描述的,所以,我国古代的数学著作一般人是很难读懂的。著名的Heron公式A=s(s-a)(s-b)(s-c)在《数书九章》中也有准确的描述:“术曰:以少广求之。以小斜幂,并大斜幂,减中斜幂,余半之,自乘于上。以小斜幂乘大斜幂,减上,余四约之,为实。一为从隅,开平方,得积。”
这里的描述在我国古代的数学著作中算是非常清晰的,但是,如果没有相当的数学功底,仍是很难读懂的。被西方人称为Horner法(1819)的高次代数方程求解方法,其实在《数书九章》中早已有其雏形,但却是以这样艰涩的文字叙述的:“以少广求之,翻法入之。置半广自乘,为半幂。与小斜幂相减相乘,为小率。以半幂与大斜幂相减相乘,为大率。以二率相减,余自乘,为实。并二率,倍之,为从上廉,以一为益隅,开翻法三乘方,得积。”“术曰:商常为正,实常为负;从常为正,益常为负。”由于难以读懂,秦九韶的这一卓越思想长期被埋没。我国古代数学用文字叙述的传统,增加了学习和应用数学的难度,严重地阻碍了我国数学的普及和发展,也埋没了许多数学家的新思想和新创造。在运用数学符号上,我国古代的学者更多的是夜郎自大,固步自封,不愿意采用除汉字以外的数学符号。即使在近代,我国先进的学者已痛下决心向西方学习,并且开始翻译介绍西方数学,但仍顽固坚持用汉字翻译算式。例如在具有代表性的李善兰编译的《代微积拾级》(1850)中,26个英文字母被翻译成十天干,十二地支,外加天地人物四元;希腊字母则用二十八宿中的名称翻译;以一个简单的积分公式∫dxa+x=ln(a+x)+c为例,其中积分号翻译成“禾”,dx翻译成“彳天”,a+x翻译成“甲⊥天”,对数翻译成“对”,而且积分式杂于竖排的文字之间,很难阅读。对于数学而言,恰当地运用数学符号是至关重要的,这一点在数学史上一再得到印证。好的数学符号能够反映数学本身的和谐及对称美,能够简化概念间的联系,从而便于揭示概念的本质,促进概念的发展,方便概念的应用。相反,拒绝运用或不恰当地运用数学符号,必然严重阻碍数学的发展。3中国数学史上的先知先觉们在数千年的中国数学史中,人们必须记住那些先知先觉者,他们或者是中国数学辉煌的创造者,或者是在中国数学衰落时的抗争者和呐喊者。如前所述,墨子不仅最早建立起形式逻辑体系的雏形,还逻辑地定义了数学中的一些概念,例如:“平,同高也”,“直,参也”,“圆,一中同长也”,这些和后来Euclid给出的定义是一致的。墨子还指出:“或112西北农林科技大学学报(自然科学版)第29卷?1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing rights ://
不容尺,有穷;莫不容尺,无穷也”。这和后来A rch mi edes提出的公理是同义的。庄子(约前369～前286)曾经引用过惠施等人的许多辩辞,其中有“至大无外谓之大一,至小无内谓之小一。”“一尺之棰,日取其半,万世不竭。”显然,他们是人类历史上最先思考无穷和极限的一批人。在数学史上应该有他们的地位。曾经提出
割圆术的刘徽非常重视揭示数学的规律,他说:“事类相推各有所归。故枝条虽分而同本杆者,知其发一端而已。”刘徽对张衡在数学上坚持神秘主义进行了严厉批评:“衡说之自然,欲协其阴阳奇偶之说而不顾疏密矣。虽有文辞,斯乱道破义,病也。”在数学研究中,他坚持真理,知之为知之,不知为不知,例如他坦然承认自己不会求牟合方盖的体积,从不文过饰非,为后人树立了学者风范。祖冲之的贡献已如前所述。他曾以审视的眼光研究、检验、校正了历代数学典籍。他在辩论历法时说:“臣少钝愚,尚专攻数术。搜练古今,博采沈奥。唐篇夏典莫不揆量,周正汉朔咸加该验。罄筹策之思,纠疏密之辩。”“臣昔以暇日撰正众谬,理据炳然易可详密。此臣以俯信偏识不虚推古人者也。”这种实事求是、不迷信古人、敢于向一切权威挑战的精神是难能可贵的。《梦溪笔谈》的作者沈括(1031～1095)在数学上也有很多贡献。他曾说:“大凡物有定形,形有真数。”是说事物的形与数是密切相关的。西方人建立解析几何正是基于这种数形结合的思想。他还提出造微之术、拆会之术、隙积术等,发展和推进了刘徽的割圆思想。他还说:“以言其变,则秒刻之间,消长未尝同;以言其齐,则止用一衰,循环如贯,不能议其隙。此圜法之微,古之言算者,有所未知也。”这说明他已开始思考并处理变与不变的矛盾及其辨证关系,而这正是现代数学所要面对的问题。秦九韶(约1202～1261)和与他同时代的数学家一起,创立了许多新的数学方法,使当时中国的数学在世界上遥遥领先,在中国数学史上和世界数学史上书写了光辉的一页。李冶(1192～1279)穷毕生心力研究数学,撰写了数百卷著作,但却被讥笑为“九九贱技”,“玩物丧志”。李冶在《测圆海镜》序中说:“苟能推自然之理,以明自然之数,则虽远而乾端坤倪,幽而神情鬼状,未有不合者也。”“览吾之编,察吾苦心,其悯我者当百数,其笑我者当千数。乃若吾之所得则自得焉耳,宁复为人悯笑计哉?”他在病重时伤心地叮嘱儿子:“吾平生著述,死后可尽燔去。独《测圆海镜》一书,虽九九小数,吾尝精思致力焉,后世必有知者,庶可布广垂永乎?”至今,李冶的著作大多已经失传,仅有《测圆海镜》和《益古演段》存世。这是非常令人痛心的。徐光启(1562～1633)是第一个翻译西方数学著作的中国人。他和意大利传教士利玛窦合译了《几何原本》。他曾以兴奋之情和殷切之意,向国人推荐《几何原本》:“此书有四不必:不必疑,不必揣,不必试,不必改。有四不可得:欲脱之不可得,欲驳之不可得,欲减之不可得,欲前后更置之不可得。有三至三能:似至晦,实至明,故能以其明明他物之
至晦;似至繁,实至简,故能以其简简他物之至繁;似至难,实至易,故能以其易易他物之至难。”“此书为益,能令学理者祛其浮气,练其精心,学事者资其定法,发其巧思,故举世无一人不当学。”徐光启也是最早思考中国数学为什么衰落的学者。他在《几何原本》序中说:“汉以来多任意揣摩,如盲人射的虚发无效,或依拟形似如持萤烛,象得首失尾至于今,而此道尽废有不得不废者矣。”又在《同文算指》序中说:“算数之学特废于近世数百年间尔。废之缘有二,其一为名理之儒,土苴天下之实事;其一为妖妄之术,谬言数有神理,能知来藏往,靡所不效。卒于神者无一效,而实者无一存。”这是非常深刻的见解。遗憾的是,徐光启的热情推荐和深刻见解并未使国人警醒。当以N ew ton和Leibniz为代表的西方学者醉心于创立微积分学并把它成功地应用于天文学、航海学、机械学之时,国人仍然在把数学讥笑为九九贱技,仍然醉心于从河图洛书中挖掘数学本原,从勾股方圆图中寻找大衍之数,这就注定了中国的数学必然走向衰落。[参考文献][1]潘吉星.李约瑟的生平及其贡献[J].自然科学史研究,1995,14(3):197-204[2]钱宝琮.中国数学史[M].北京:科学出版社,1981:28-56,83-90,157-167,234-240.[3]何丙郁,何冠彪.中国科技史概论[M].香港:中华书局,1988:71-95.第1期王乃信等:中国古代数学的辉煌与衰落113?1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing rights ://
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rds:h isto ry of ancien t Ch inese m athem atics;N ine Chap ters on the M athem atical A rt;Zhuishu,A rithm etic in N ine Section s114西北农林科技大学学报(自然科学版)第29卷?1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing rights ://