三角形的心
巡山小妖精
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2020年07月29日 21:40
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三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心。正三角形的重心、内心、外心、垂心四心合一称为中心，也即中心对称点。
一、三角形的重心
三角形三条中线的交点称为三角形的重心。
重心坐标：设三角形的三个顶点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则三角形重心坐标为G((x1＋x2＋x3)／3，(y1＋y2＋y3)／3)。
三角形重心主要性质有：
性质1重心到顶点的距离是重心到对边中点的距离的两倍。
性质2重心到三个顶点的连线将三角形的面积分成三等份。
性质3设G为三角形ABC的重心，过G的直线交AB于P，交AC于Q，则AB／AP＋AC／AQ＝3。反之亦然。
二、三角形的内心
三角形三个内角的角平分线的交点，也就是三角形的内切圆的圆心简称为三角形的内心。
内心坐标：设三角形的三个顶点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，其对边长分别为a，b，c，则内心坐标I((ax1＋bx2＋cx3)／(a＋b＋c)，(ay1＋by2＋cy3)／(a＋b＋c))。
三角形内心主要性质有：
性质1内心到三边距离相等。
性质2设I为三角形ABC的内心，则∠BIC＝90°＋∠A／2，类似地还有两式。
性质3设I为三角形ABC的内心，AI与其外接圆的交点为D，则有ID＝DB＝DC。
性质4设I为三角形ABC的内心，AI的延长线交BC于K，交外接圆于D，BC＝a，AC＝b，AB＝c，则AI／KI＝AD／DI＝DI／DK＝(b＋c)／a。
性质5过三角形内心的直线，把其周长L和面积S分为对应的两部分：L1与L2，S1与S2，则有L1／L2＝S1／S2。
三、三角形的外心
三角形三边垂直平分线的交点，也就是三角形的外接圆的圆心简称三角形的外心。
三角形外心有如下性质：
性质1三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点；三角形的外心到三顶点的距离相等，反之亦然。
性质2设O为三角形ABC的外心，则∠BOC＝2∠A，或∠BOC＝360°－2∠A（还有两式）。
性质3设三角形的三条边长分别为a、b、c，外接圆的半径为R，面积为S，则R＝abc／4S。
性质4锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和。
四、三角形的垂心
三角形三边上的高的交点称为三角形的垂心。锐角三角形垂心在三角形内部，直角三角形垂心在三角形直角顶点，钝角三角形垂心在三角形外部。
三角形垂心有下列有趣的性质：
性质1垂心关于三边的对称点，均在三角形ABC的外接圆上。
性质2三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以
得到6个四点圆，有三组（每组四个）相似的直角三角形。
性质3垂心与三个顶点这四个点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心（并称这样的四点为一垂心组）。
性质4垂心与三个顶点这四个点中任意三点组成的三角形的外接圆是等圆。
性质5三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。
性质6锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。
性质7锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形（顶点在原三角形的边上）中，以垂足三角形的周长最短。
五、三角形的旁心
三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点叫做三角形的旁心。旁心是三角形旁切圆（与三角形的一边相切，又与另两边的延长线相切的圆叫做三角形的旁切圆）的圆心，任何三角形都存在三个旁切圆、三个旁心。
性质1到三边的距离相等。
附1任意三角形的五心还具有以下重要性质：
1、欧拉线：即经过三角形的垂心、重心和外心三心的直线，且重心在外心和垂心的三等分点上。但欧拉线未揭示出三角形内心、旁心的性质。
2、九点圆：即经过三角形三边中点、三角形三个高足和垂心到三顶点联线中点的圆。九点圆与三角形的三个旁切圆相切，圆心也在欧拉线上，且圆心到三角形垂心、外心距离相等。九点圆又称“费尔巴哈圆”、“欧拉圆”。
3、九点线：九点线是指从三角形的一个顶点，引两个底角的内、外角平分线垂线得到的四个垂足、该顶点两邻边中点、经过该顶点的角平分线中点、高线中点、中线中点，此九点共线。九点线经过三角形的一条中位线，因而平行于三角形的一边。任意三角形有三条九点线。
4、十二点圆：第二个九点圆是指三角形的三个顶点、三角形三个旁心构成的三角形（以下简称“旁心三角形”）的三边中点、三角形内心与三个旁心连线中点，此九点共圆。其中三角形三个顶点与其旁心三角形的三个高足重合，故这个圆称为“十二点圆”。这个圆具有类似九点圆的全部性质，且与三角形的外接圆重合，圆心在三角形的外心上，这个圆半径与九点圆半径之比为2:1。
5、九心线：三角形的内心、外心，由三角形的三边中点构成的三角形（以下简称“中点三角形”）垂心，旁心三角形的垂心、重心、外心，旁心三角形的中点三角形的垂心、重心、外心，此九心共线。九心线与欧拉线相交于三角形的外心。
6、其它一些性质：
(1)三角形的内心与其旁心三角形的
垂心重合。
(2)中点三角形的欧拉线与原三角形的欧拉线重合，且两重心重合，中点三角形的垂心与原三角形的外心重合，两条欧拉线上的垂心、重心、外心排列方向相反。
(3)三角形的九点圆半径与其三个垂足构成的三角形（以下简称“垂足三角形”）的九点圆半径之比为2:1。
(4)三角形内接于它的旁心三角形。
(5)三角形的一个顶点与对应的一个旁心的连线平分三角形的一个内角，且垂直与旁心三角形的一边，从而有三角形的内心与其旁心三角形的垂心重合。
(6)三角形的内心和任一顶点的连线延长与三角形的外接圆相交，这个交点与外心的连线是这一顶点所对的边的中垂线。
(7)三角形的内心和任一顶点的连线，平分外心、该顶点和垂心依次连结所成的角。
(8)锐角三角形ABC中，外心O，重心G，垂心H到三边的距离和分别记为d外，d重，d垂，则1×d垂＋2×d外＝3×d重。
(9)三角形的内心与外心的距离等于内心到垂心的距离的充要条件：有一个角为60°。
(10)三角形的内心、外心、垂心与两顶点共圆的充要条件是另一顶点的内角为60°。
另外等腰三角形的九心线与欧拉线重合，并且是等腰三角形的对称轴。
附2相关问题：
1、点M在三角形ABC的AB边上，过点M画一条平分三角形面积的直线。
若M是AB中点，直线CM平分三角形ABC面积。
若M不是AB中点，取AB中点D，过D作CM的平行线，交AC或BC于E，则直线EM平分三角形ABC面积。
2、设P是三角形ABC内的一点，过P点的任意直线都将三角形ABC分为面积相等的两部分，这样的点P是不存在的。
关于三角形的五心的有趣性质还有很多很多，希望大家多多找找，悠哉乐哉！！！（何明德于2008年02月12日）