夏宝龙简历-高中政治教案

第２８卷第７期　
２００９年７月　
大学物理　
Ｖｏ１．２８　Ｎｏ． ７　
Ｃ０ＬＬＥＧＥ　ＰＨＹＳＩＣＳ　
Ｊｕｌｙ　２００９　
大学物理中几个常见超 越方程解的渐近表示　
任保文，付小宁　
（西安电子科技大学物理系，陕西西安７１００７１） 　
摘要：简要介绍了布尔曼一拉格朗日级数，并推出了几个常见超越方程的解的渐近表示　
关键 词：布尔曼一拉格朗Ｅｔ级数；超越方程；解的渐近表示　
中图分类号：０　４１１　文献标识码：Ａ　 文章编号：１０００—０７１２（２００９）０７．００３４—０２　
超越方程的求解方法较多，过去常 用作图法；随　
着计算机的发展，数值解法用的越来越多；但也有其　
局限性，例如处理弹簧振 子时，讨论弹簧质量的影　
响，要求解方程ｘｔａｎ　＝ｂ；数值解法不能满足需要．　
常见的 分析方法为迭代法或待定系数法，下面给出　
由留数定理及在假设条件Ｆ被积函数有ｎ＋１阶极点　得　
蜷｛　
简化为　
），　
），　
ｚ　＋．．・　
２， …　
，２，…　
用布尔曼一拉格朗日级数展开求其解的渐近表示的　
方法．并给出大学 物理中几个常见超越方程解的渐　
近表示．　
ｄ　＝　
Ｗ＝　ａ
ｎ
｛ 　
ｚ　＝ａＩｚ＋ａ２ｚ　＋．．　
应用于幂级数的反演问题有　
１　布尔曼一拉格朗 日级数简介…　
布尔曼一拉格朗日级数是解析函数ｆ（ｚ）按另一　
解析函数Ｗ（ｚ）的幂的展 开式，即　
＝）＝ｄｏ＋ｄｌ彬（　）　２　（　）＋…　（孑）＋…　
ｚ：　ｄ　Ｗ　＝ｄｌ ｗ＋ｄ２Ｗ　＋．．・ｄ　Ｗ　＋．．・　
设　ｚ），Ｗ（　）在区域Ｄ内单叶解析，Ｗ（ｚ）在点　< br>｛　）＝　
ａ有一阶零点，在Ｄ内选取周线Ｃ且包含固定点ａ　
与点岫留数定理　加丽１ 　点　
｛【南　，２，…　
２　普通物理学中几个超越方程根的渐近表示　
ｚ选成如此 接近。，使得在ｃ上的点　有ｌ　１≤ｑ　
＜ｌ，则　可展开为一致收敛级数，即　
例１超越方 程　＝ｔａｎ　常出现在光学、振动力　
学等教课书中，其解法常为作图法；求解过程直观简　
单，但其统一性差．试由布尔曼一拉格朗１３级数，求其　
解的渐近表示．　
（　２　：！　２ 一．　２　：！　２　
叫　１
一　
１　一　
解将方程ｘ＝ｔａｎ　变形为：　 ＝ｔａｎ　ｘ＝－ｃｏｔ［　一　
【　＋　。（　）　…］　
逐项积分得　
删，　，… 　
（ｎ＋　）盯】，令　＝　一（ｎ＋　１）竹，ｎ＝　，２，３…，则有　
Ｉ　１）百…一Ｊ 百　一　；亦有　＝亦　　
【肘　Ｊ订　
＝　
简化为　
ｄ　＝　２ｎ￣ｒｉ　 ｎ＝０，１，２，．－－　
Ｃ０８　ｚ＋ｚｓｌｎ　ｚ　ｃｏｔ　ｚ十ｚ　
二　一：÷．即求ｚ （　）的渐近展开式，由布　
尔曼一拉格朗１３级数的系数公式可得　
收稿日期：２００８—１ １—０２；修回日期：２００９—０３—０９　
作者简介：任保文（１９６Ｏ一）男，陕西蒲城人，西安 电子科技大学物理系副教授　

第７期　任保文，等：大学物理中几个常见超越方程解的渐 近表示　３５　
｛［　】　）＝　
＇２＇…　
ｄ
ｗ　＝ｒ＋ｄｌ　ｅ＋ｄ２ｅ 　＋…ｄ　ｅ　＋・・　
＝ｒ＋∑　
￣
由布尔曼一拉格　
朗日级数的系数公式 可得　
为了求导，借助函数的级数展开式．有［ｚｃｏｔ　＋　
量　１　
故得　
＋
１　
２
ｅ
ｓｉｎ　，　，２，…　
ｚ　］　的级数展开式如下： 　
ｚｅｏｔ　ｍ　］＝ｌ＋　Ｚ　２　石１。　＋＿．‘　
２　１　．　
’　‘‘１　
２　１　４　
。ｔ　１　２＋　１９　４
＋　＋．．・　
耋｛　ｓｉｎ　）ｅ 　…ｅｓｉ…　
ｓ￣ｌｎ　２ｒ＋÷ｅ　［２ｓｉｎ　ＴＣＯＳ　７Ｉ—ｓｉｎ　７］＋．．・　
［ｚｅｏｔ　ｚ＋ｚｚ　ｔ＋　＋　＋　・　
通常取有限项来处理问题就可满足精度要求，　
不一定要求出准确又统一的表达式！　
故得ｄ　＝一ｌ；ｄ，：一号；ｄ　＝一　１３；且由奇偶性得　 ＝Ｑ即　
号处截断，使误差较小，这很有讲究，需要认真研究　
咖　＋．一ｄｎ　
１　 ２　ｌ　
求超越方程解的渐近表示，通常在误差变正负　
…：　
才行．由数值计算可知 ，上面给出方程　＝ｔａｎ　的根　
的渐近表示，通常只需要取几项，就比常见教课书上　
（ｎ 　）盯３［（ｎ　）订］　
ｌ３
—　一　
用作图法求出的结果要好得多．　
随 着数学软件的发展，求此类问题的数值解变　
得比较容易了；或者，若熟悉数值逼近的人也很容易　用压缩映射法按几次计算器就可求出此类问题的数　
值解．但若要用分析法来求解就不那么容易了！ 用　
…．　
［（ｎ　）丌】　
考虑到渐近表示的误差，则超越方程　：ｔａｎ　根的　
渐沂嘉示酌　
一　１『一
上面的思想方法可求解类似问题，例如黑体辐射中　
南一　南
ａ　
　
ｆ：ｒ　．　
的超越方程（　一５）ｅｋｎ　＋５＝０等　。 ．读者不妨　
一
试！　
且前几个根的数值解为　
＝
参考文献：　［１］　拉夫连季耶夫Ｍ　Ａ，沙巴特Ｂ　Ｂ．复变函数方法［Ｍ］．　
施祥林，等译．北京：高等 教育出版社，２００６：３３９．　
［２］　Ａｎｄｒｅｗｓ　Ｇ　Ｇ，等．特殊函数［Ｍ］．北京：清 华大学出版　
社，２００４．　
１．４３０　４２ｗ，２．４５９　０３ｗ，３．４７０　８９ １ｒ，４．４７７　４１竹，　
５．４８１　５４百．６．４８４　３９耵．　
例２　著名的开 普勒方程为　．．ｅ　ｉ　：　
试求偏近点角０与时间的显式表达式，即求　＝　（￡）．　
［ ３］黄兆梁．弹簧质量对振动的影响．大学物理，１９９８，１７　
（３）：１２—１６．　
解 将方程Ｏ－ｅｓｉｎ　０：７－变形为：ｅ：　，即求　
Ｓ１ＥＩ口　
［４］　任保文．大学物 理学辅导讲案——概念解析与一题多　
解［Ｍ］．西安：西北工业大学出版社，２００８：７７，２６３ ．　
（ｅ）的渐近展开式：　
Ｔｈｅ　ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ　ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎｓ　ｏｆ 　ｓｅｖｅｒａｌ　ｃｏｍｍｏｎ　
ｔｒａｎｓｃｅｎｄｅｎｔａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｉｎ　ｃｏ ｌｌｅｇｅ　ｐｈｙｓｉｃｓ　
ＲＥＮ　Ｂａｏ—ｗｅｎ．ＦＵ　Ｘｉａｏ—ｎｉｎｇ　
（Ｄｅ ｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｐｈｙｓｉｃｓ，Ｘｉｄｉａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉａｎ，Ｓｈａａｎｘｉ 　７１００７１）　
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　Ｂｕｌｍａｎ—Ｌａｇｒａｎｇｅ　ｓｅｒｉｅｓ　ｉ ｓ　ｂｒｉｅｆｌｙ　ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ　ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ｓ　ｏｆ　ｓｅｖｅｒａｌ　ｃｏｍｍｏｎ　
ｔｒａｎｓｃｅｎｄｅｎｔａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ａ ｒｅ　ｄｅｒｉｖｅｄ．　
Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｂｕｌｍａｎ—Ｌａｇｒａｎｇｅ　ｓｅｒｉｅｓ；ｔ ｒａｎｓｃｅｎｄｅｎｔａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ；ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ　ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎｓ　ｏｆ　ｓ ｏｌｕｔｉｏｎ