夏枯草功效与作用-十小咒

一元三次方程的解法
邵美悦
2018年3月23日
修改:2018年4 月25日
众所周知,一元二次方程的求根公式是中学代数课程必修知识,通常在初中阶段的数学教
材中会进行介绍.一元三次方程和一元四次方程同样有求根公式,
1
而且其推导过程也是初等
的.由于一元三次和四次方程的求解比起一元二次方程要困难得多,并且求根公式的具体形式
也 不是很实用,所以尽管在一些初等数学的书籍中有相关介绍,但大多数中学生对这些解法并
不了解.本文 将简要介绍一下一元三次方程的求解方法.
1配方法
一元二次方程
ax
2+bx+c=0,(a=0)
的解法一般会在在初中教材中进行介绍,通用的解法是配方法(配平方 法),即利用
(
b
)
2
b
2
−4ac
=a x+
2a4a
解出
√
bb
2
−4ac
x=−
±
.
2a2a
当然,在初中教材中会要求a,b,c都是实数,并且判别式b
2
−4ac必须非负.在高中教材引进
√
复数之后,上述求根公式对复系数一元二次 方程依然有效,开平方运算
b
2
−4ac也不再受到
判别式符号的限制,只需 要按照复数开方来理解.
2
1
值得注意的是,在代数学中可以证明,如果只用系数的有 限次加,减,乘,除,以及开k次方运算(其中k是正整数),复系数一元
五次(或更高次)方程没有求 根公式.换句话说,不可能存在仅由系数的有限次加,减,乘,除,以及开k次方运算构成的公式,使得
每一个复系数一元五次方程都可以按该公式求解.这一结论通常称为
Abel–Ruffini定理.不 少业余数学爱好者在没有修习过大学近
世代数课程的情况下致力于推导高次方程的初等求根公式,这样的 努力难免徒劳无功.
√
2
这里约定开方运算
k
·只需要算出任意一个 k次方根即可.
1

一元二次方程的这一配方解法可以进行更细致地拆解.首先, 我们可以将二次项系数归一
化,只需要考虑
x
2
+
˜
bx+ c˜=0,
其中
˜
b=ba,c˜=ca.然后引进新的变量y=x+
˜b2可以消去一次项得到二项方程
˜
b
2
y=
−c˜.
4
2
最后开平方解出
√
˜
b
2
−4˜c
y =±,
2
再代入x=y−
˜
b2即可算出x.一元二次方程实在太过简单,所 以即使不像这样进行细致地拆
解仍然可以很轻易地解出,这里拆解的目的只是为了简化记号,从而更容易 看清楚每个步骤所
起的作用.
对于一元三次方程而言,为了避免不必要的麻烦,同样只需要考虑 首项系数为1的方程
x
3
+bx
2
+cx+d=0.
类似于 一元二次方程的配平方,这里很自然地首先尝试配立方的办法,引进变量y=x+b3便
可以消去二次项 得到形如
y
3
+py+q=0(1)
的三项方程,
3
其中p 和q的具体表达式留给读者自行推导.这样一来只要能够求解(1)就可以
解出一般的一元三次方程.不 过与一元二次方程不同的是,当p=0时(1)并不能直接开立方
来求解,所以接下来我们需要进一步研 究三项方程(1)的一般解法.
2三倍角公式
在中学教材的三角函数部分,三倍角公式远不如二 倍角公式及半角公式重要,
4
不过三倍角
公式和(1)的求解紧密相关.
考虑 三倍角余弦公式
cos3θ=4cos
3
θ−3cosθ,
也就是说cos3 θ是cosθ的三次多项式.
5
3
4
5
(2)
公式(2)的 右端只含有cosθ而不含sinθ.如果令T
3
(x)=4x
3
−3x,那 么cos3θ=T
3
(cosθ),
另一种理解方式是,通过平移变换,我们总可以将 一元三次方程的三根之和变为零.
通常来讲我们并不鼓励中学生去记忆三倍角公式,只要在需要使用的时 候能够临时推导就足够了.
一般地,定义多项式序列T
0
(x)=1,T
1< br>(x)=x,
T
n+2
(x)=2xT
n+1
(x)−Tn
(x),(n∈N).
2

注意到在T
3
(x) 中的二次项系数为零,如果将T
3
(x)与(1)的形式进行对比不难发现,
当p=− 34且−14≤q≤14时,
3
y
3
−
y+q=0
4
可以用代换q=−(cos3θ)4,y=cosθ来求解,得到
()
12kπ
y= cos
arccos(−4q)+
,
33
其中k∈{0,1,2}.
顺着这一思路,对于实数p<0,如果设y=rcosθ代入(1)就可以得到
r
3
c os
3
θ+rpcosθ+q=0,
当r
3
rp=−43时就可以凑 成T
3
(cosθ)的形式.于是我们取r=2
4cos
3
θ−3c osθ−
4q
=0.
r
3
√
−p3,就可以归结为
只要−4qr
3
是绝对值不大于1的实数(等价于(p3)
3
+(q2)2
≤0)仍然可以按上述三角解
法来解.
6
3Vieta代换和Card ano公式
上一节中介绍的一元三次方程的三角解法由Vieta提出,可以在p,q是实数并且(p3 )
3
+
(q2)
2
≤0的前提下求解(1)的三个实根.当然,在中 学知识范围内这个解法对于p和q的取
值范围有一定的要求,难以应用于一般的复系数一元三次方程.< br>7
另外,该方法需要引进三角函
数和反三角函数,比起一元二次方程只需要用到四则运算 和开方就能求解来讲要复杂一些.不
过对这一三角解法进行适当推广很容易得到求解(1)的代数方法.
如果z=cosθ+isinθ,那么
1
(
1
)
cosθ=
z+,
2z
利用归纳法及和差化积公式容易验证cosnθ=T
n
( cosθ),这里的T
n
(x)称为n次Chebyshev多项式,也叫做第一类Cheby -
shev多项式.
6
如果引进双曲函数
sinhθ=
1
(
θ
−θ
)
e
−e
,
2
3
cosh θ=
1
(
θ
−θ
)
e
+e,
2
3
并利用双曲函数的三倍角公式
sinh3θ=4sinh
θ+3sinhθ,cosh 3θ=4coshθ−3coshθ,
则可解决三角解法中未曾顾及的p,q是实数但(p3)
3
+(q2)
2
>0的情况求出方程(1)的实根.
7
在大学的复分 析课程中,余弦函数的定义域和值域都将会扩大到整个复平面,届时Vieta的三角解法就可以作为一元三次方 程的
通用解法,尽管这不能算是纯粹的代数解法.
3

由此即可将左端的 三角函数cosθ用右端关于z的有理函数来代替,并且右端只需要z=0即
有意义,而无需再受到原先 |z|=1的约束,这样就可以把由三角函数的值域过小造成的约束放
宽.对于代换
y=rco sθ=
如果再引进w=rz2,便可以得到
rr
2
p
==−,
2z4w3w
这里的最后一步用到了上一节中的选择r
2
=−4p3.
有了 上面的分析,我们就可以“过河拆桥”,在一开始求解(1)时就直接进行换元
y=w−
p,
3w
(w∈C{0}).(3)
rzr
+,
22z
这 一变量代换称为Vieta代换.注意到对于任何复数y,总存在两个复数w(有可能相同)使
得y与w 满足关系式(
3),所以Vieta代换总是可行的,并且不会遗漏(1)的解.将(3)代
入 (1)得到
p
3
w
−
+q=0,
27w
3
3
通分得到关于w
3
的二次方程
p
3
w+qw
−< br>=0,
27
63
于是w是
√
()
qq
2(
p
)
3
3
w=
−
++
(4)
223
√√
的6个值(考虑重数)之一,这里的
3
·和·都表示复数开方的 任何一个结果.只要得到了w,
再代入(3)便求出了y.
记w
0
为(4)中 的任何一个结果,那么(1)的三个复根为
p
,
3w
0
p
y
2
=ζw
0
−
,
3ζw
0
p
y< br>3
=ζ
2
w
0
−
2
,
3ζw
0
y
1
=w
0
−
其中
√
(5)
√
−1+
3i
ζ=.
2
这一结果,即公式(4)和(5),称为Ca rdano公式.需要指出的是,尽管w
0
可以有6种取
法(即w
0
可以替换成ζw
0
,ζ
2
w
0
,−p(3w
0),−ζp(3w
0
),−ζ
2
p(3w
0
)中的任何 一个),但不论
4

哪一种取法,由(5)得到的三个解y
1
, y
2
,y
3
总是相同的,至多仅有次序上的区别.另外,整个
推导过 程中并不要求p,q是实数,所有的运算都是复数运算,因此Cardano公式对于p,q是
复数的情 况成立.
4历史意义
在16世纪早期,意大利数学家delFerro和Tartaglia先 后独立找到了一元三次方程的求
解方法,这是欧洲文艺复兴时期在数学方面首次取得了超过古希腊数学成 就的新成果,是数学
史上重要的里程碑.Cardano从Tartaglia处学习到了一元三次方程 的解法,并于1545年将其
发表在著作ArsMagna中,故一元三次方程的求根公式现在通常称为 Cardano公式.
8
在Cardano所处的年代,负数的地位尚未得到正式认可,只有正 数才可以进行运算(方程
中系数小于零的项都需要移到等号的另一侧使系数变为正数).而Cardan o提出如果承认负数,
并且允许对负数开平方,将会扩展方程可解的范围.
9
尽管复数 被数学界所理解并广泛接受还经
历了相当长的一段时间,但是复数的出现对于代数学和分析学都有着极为 深远的影响.
在Cardano之后,法国数学家Vieta和Lagrange又相继提出了一元三次 方程的其它解
法.
10
其中Lagrange的方法引进了置换的概念,统一了四次以 内的一元多项式方程的解法,并
断言一元五次方程不会有根式解.19世纪初,Lagrange的思想 为挪威数学家Abel和法国数学
家Galois所发展,开创了近世代数(也叫抽象代数)这一新的数 学分支,不仅完全解决了一元
代数方程根式解的问题,也改变了整个数学科学的面貌.
5练习题
1.在复数域上解方程x
3
−24x−32=0.
2.在复数域上解方程x< br>3
+5x
2
−8x−28=0.
3.在复数域上解方程x
3< br>−3ix
2
−(1−12i)x−25i=0.
√√
√√
√√
33
4.求
3969+324−3969−324的值,其中
·和
3
·表示通常实数的算术根.
8
Tartaglia在Cardano承诺保守秘密的情 况下将一元三次方程的解法透漏给Cardano,然而后来Carnado得知del
Ferro于T artaglia之前已经解出一元三次方程,并找到了delFerro的手稿,便觉得没有必要再遵守与Ta rtaglia之间的约定,
遂将一元三次方程的解法发表在其著作中(仍归功于delFerro和T artaglia),一同发表的还有Cardano的学生Ferrari发现的一
元四次方程的通用 解法(称为Ferrari解法).
9
可以证明,当p,q是实数且(p3)
3
+(q2)
2
<0时,方程(1)有三个实根.但是对于这种情况Cardano公式不可避 免地需
本文的推导并未按照历史上的次序,而是反过来从Vieta的三角解法引入Vieta代换来得 到Cardano公式,以期读者可以更自
要引进复数才能得到这三个实根.
10
然地 理解其中的变量代换.读者也可以跳过三角解法直接从(3)开始推导Cardano公式.
5