审计师成绩查询-酒厂实习报告

２０１３年２月　
安庆师范学院学报（自然科学版）　
Ｆｅｂ．２Ｏ１３　第１９卷第１期　
Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ａｎｑｉｎｇ　Ｔｅａｃｈｅｒｓ　Ｃｏｌｌｅｇｅ（Ｎ ａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　
ＶＯ１．１９　ＮＯ．１　
计算三重积分 的一种特殊方法　
费时龙，孙善辉　
（宿州学院数学与统计学院，安徽宿州２３４０００）　< br>摘要：计算三重积分的常用方法主要有直接化成累次积分和先做适当的换元后再化成累次积分。这里主要讨 论　
利用三重积分的应用背景，运用函数值相近的分割方法将三重积分的计算转化成微元表达式，从而将 三重积分的计算转　
化成定积分的计算，使得三重积分的计算得以简化，并举例加以说明。　
关 键词：三重积分；微元法；截面法　
中图分类号：０１７２　文献标识码：Ａ　文章编号：１００７—４ ２６０（２０１３）Ｏ１—０１０１—０３　
三重积分的计算是数学分析的难点，计算三　
证明 　由　，ｙ，ｚ）在　上可积及　（ｔ），　（ｔ）　
重积分的常用方法是将其化成累次积分，但由于　
在［ａ，ｂ］上可积知，对上述的正数占＞０，存在　
积分区域是空间立体的，图形往往难以画 出，根据　
６ｌ＞０，及　与［口，ｂ］的任意两个分割　‘　，　‘　，　
图形定限比较困难 。很多情形即使化成累次积分，　
却由于被积表达式的复杂性使得三重积分的计算　
使得当ＩＩ 　‘　Ｉｌ＜６　，ｌ　ｌ‘　ｌｌ＜６，时，有　
变得复杂。在三重积分的计算过程中，常常会遇到　
ｘ，ｙ，ｚ　一　
被积函数与积分区域的表达式相类似的情形，或　
Ｉ　，　
者是通过适当的变换变成相类似的情形，在明确　
Ｖ（　，　，　）∈　（１）　
函数可积的条 件下，结合三重积分的背景知识，通　
过函数值相近的特殊分割方法可直接将一类三重　
ｌＪ　 Ｊ　（ａ　￡）　（ｆ）ｄ　一∑ｔ４）　ｐ（ｔ　）　（ｔ　）△ｆ　Ｉｉ　＜　（２）　
积分转换成 定积分的计算，从而将三重积分计算　
让６＜６ｌ＇Ｔ　：ａ＝ｔ０＜ｔ１＜…＜ｔ　＝６，△　
得到简化。　
＝
［ｔ　ｔ］，ｉ＝１，２，…，ｎ，Ｔ”：　，ｉ＝１，２，…，ｎ。　定理　设函数　，Ｙ，　）在可求体积的空间　
有界区域　上三重积分存在，若存在［ａ，ｂ］上的 　
分别为满足条件（ａ），（ｂ），（Ｃ）的关于　与［ａ，ｂ］　
可积函数　（ｔ），　（ｔ ），使得对任意正数占＞０，６＞　
两个分割，并对每个　作分割　：　，　＝１，２，…，　
０，分别存在［ａ，ｂ］的分割及　的分割Ｔ　：ａ＝ｔ。＜　
ｋ　，使得ＩＪ　ＩＪ　＜　，合并所有 　的分割　，　＝１，　
ｔ１＜…＜ｔ　＝ｂ，Ａｉ＝［ｔ　】，ｔ　］，　＝１，２，…，ｎ，　２，…，ｎ，则得到　的分割Ｔ＝Ｔ。＋　＋…＋　，显　
Ｔ”：ｖｉ，ｉ＝１，２，…，ｎ。满足 下列条件：　
然ｌ　ｌｌｌ＜　。，由（１），（２）知　
（ａ）ｌｌ　ｌｌ＜６，　
（ｂ）Ｉ　，叼　，　）一　（￡　）ｌ＜占，Ｖ（　ｉ，叼　，　）∈ｖ／　
ｌ　Ｊ．　，ｚ）ｄＶ一 　△　【＜　（３）　
ｃ）１ｌ　Ａｔ坐Ｉ＜
ｉ　
　Ｉ
　，则　
ｆ　 ｒ　ｆ　ｒｂ　
Ｉ　ｌ，Ｊ　
ａ　
（￡）　（ｔ）ｄ　一∑　（ｔ　）ｔｂ（ｔ　）△ ￡　
ｆ
Ｉ
　
＜　（４）　
ＩＪ　，），，　）ｄ　＝ｆ　（ｔ）　（ ｔ）ｄｔ　
由条件（ａ），（ｂ），（Ｃ）知　
收稿日期：２０１２—０７—２８　
基 金项目：安徽省教育科学规划项目（ＪＧ１０３４０），宿州学院自然科学研究项目（２０１Ｉｙｙｂ０６）和宿 州学院教学研究项目　
（ｓｚｘｙｊｙｘｍ２０１２３７）资助。　
作者简介：费时龙，男，安 徽芜湖人，硕士，宿州学院数学与统计学院讲师，主要从事随机过程的研究。　

・
１０２・　安庆师范学院学报（自然科学版）　２０１３年　
ｌ∑　，叼　，　）△　一∑　（ｆ　） 　（ｆ　）△　｝≤　
Ｉ∑（厂（　，叼　，　）一　（　））△　Ｉ＋　
ｉ∑　（ｆ　）△　 一∑　（ｆ　）　（　。）△ｆ　１≤　
ｓＡＶ＋Ｍｅ（ｂ一口）　（５）　
这里　为Ｉ　（ｔ ）Ｉ的一个上界，由（３），（４），（５）　
及　的任意性知　
Ｊｊ　，Ｙ，ｚ）ｄＶ＝Ｊ　 ｏ　（　）　（ｆ）ｄ￡　
注　在定理条件满足的情形下，在（　，），，　）　
∈Ｖｉ，ｔ∈ △　上条件（ｂ），（ｃ）分别等价于　
（ｂ　）　，Ｙ，ｚ）＝　（ｔ）＋０（１）；　
（ｃ 　）Ａｖ：　（ｔ）Ａｔ　＋０（Ａｔ　）　
对于具体问题（ｂ　），（０　）一般比较容易验证。　< br>例１（北大ｏｏ）求，：ｆ　ｆ　＋Ｙ　＋　
）　ｄｘｄｙｄｚ，其中　是实心球　＋Ｙ　＋ｚ　 ≤Ｒ　。　
解法１　利用定理的条件，按函数值相近的　
分割方法直接转换成定积分，设　是［ ０，尺］上的　
一
个分割，Ｔ　：０＝ｔ０＜ｔ１＜…＜ｔ　＝Ｒ，△　＝　
［ｔ　． ，ｔ　］，ｉ＝１，２，…，　，设　是　上的一个分割，　
”：Ｖｉ＝　２　
１
≤　 ＋Ｙ　＋　≤ｔ　｝，ｉ＝１，２，…，　
ｎ，　（ｔ）＝ｔｈ，　（ｔ）：４７ｒｔ。，则定理的条件 满足，　
因此　
Ｒ
，＝一
ｒ
２￣４．ｒｒｒ２ｄｒ＝　
．．
解法２　利用球坐标变换将三重积分化成累　
次积分，作变换　
ｆｘ＝ｒｓｉｎ　ｃｏ ｓＯ，０≤ｒ≤＋∞　
：｛Ｙ＝ｒｓｉｎ￣ｏｓｉｎＯ，０≤　≤７ｒ　
【ｚ：ｒｓｉｎ　，
０≤０≤２７ｒ　
从而，＝¨Ｉ（　＋ｙ２＋Ｚ２）　ｄｘｄｙｄｚ＝　
ｒ　＝ 　
注　解法２利用广义球坐标变换将此三重　
积分转换成累次积分，然后再计算三个累次积分。 　
解法１直接将三重积分的计算转换成一个定积分　
的计算，与解法２相比有了很好的简化。运 用此方　
法的关键是将三重积分的被积表达式转换成定积　
分的被积表达式，然后利用定积分进 行计算。　
例２求，＝　．ｆ（　２＋吾＋　）　ｄｙｄｚ，其中　
是实心球　＋鲁＋　≤１。 　
解法１　利用定理的条件，按函数值相近的　
分割方法直接转换成定积分，设７１　是［０， １］上的　
一
个分割，Ｔ　：０＝ｔ０＜ｔ１＜…＜ｔ　＝１，Ａ　＝　
［ｔ　，ｔｉ ］，ｉ＝１，２，…，ｎ，设　”是　上的一个分割，　
，『．　＝　２
。
≤　＋告＋ 　≤　｝，ｉ＝１，２，…，　
ｎ，　（￡）＝ｔ　，｛ｆ，（￡）＝４７ｒａｂｃｔ。，则定理的条件 满　
足，因此　
，：ｍ：ｆ　，ｚ４ｚｒａ６ｃｒ　ｄ，：　７ｒⅡ６ｃ　
解法２　直 接将三重积分化成累次积分，由　
于Ｉ：＼　ｔ　２＋丢＋专　曲　＝＼　ｄｘ曲　
＋　
，　ｄ　ｄｙｄｚ＋　＿ｆ　Ｚ２　ｄ　ｄ，，　，其中／　ｄ　ｄｙｄ　
＝
Ｊ．：　篆　ｄ ｙ出，这里Ｒ　表示椭圆面：吾＋　≤　
ｌ一　，它的面积为７ｒｂｅ（１一　），于是　
／　 耋ｄ　ｄ　出＝，：。事ｄ　ｄ　出＝　
（　一　）ｄ　＝　ｃ　
Ｊ
厂
一　< br>一　
ａ
ａ
１Ｊ　
同理可得　
２　
＝　ｃ　
‘ 　
’　
Ⅳ　２　ｄ　出。　，ｌｆ．－ｎ６ｃ　
所以　
，＝　（　２
２２
＋　＋　
）如ｄｙ出＝　丌。６ｃ　
解法３　利用广义球坐标变换将三重积分化　
成累次积分，略。　
注　解法２与解法３的关键都是将三重积分　
转换成累次积分，然 后再计算三个累次积分，计算　
过程繁琐。解法１利用椭球体的体积公式及椭球　
面上函数值相 等的特殊分割方法直接将三重积分　
的被积表达式转换成定积分的被积表达式，从而　
将此三重 积分的计算得到简化。　
求，＝　，其中　是　
由　＋Ｙ＋　＝１与三个坐标面所围成的区域。 　
解法１　直接将三重积分化成累次积分，　
，＝　＝　

第１期　费时 龙，孙善辉：计算三重积分的一种特殊方法　‘１０３・　
出　一　一　一　
ｉ——　：　＝＝ 　
解　由对称性知，＝Ｊ．ｆｆｘｄ　ｄｙｄｚ＝　
＿Ｊ１．
ｌ
１一
出Ｊ．
。。
（　一÷　＝　
ｆｆ．ｘｄｙ￣＝　，　ｄｙ　，从而　
ｌ（１ｎ ￣
　
Ｉ＝　ｄｙｄｚ＝　１　
一
ｉ５）
ｘ＋ｙ＋ｚ）ｄｘｄｙｄｚ　
解法２　利用定理的条件，按函数值相近的　
注意到在面　＋Ｙ＋ｚ＝ｒ上的函数值相等，考　
分割方法，将该三重积分看成空间物体在点（　，Ｙ，　
虑从［ｒ，ｒ＋３ｒ］上的体积变化量 为　
）的密度为　，ｙ，ｚ）　的空间　
ＡＶ＝　１（ｒ＋ａｒ）　
１　
３< br>一　
ｒ
＝　
物体的质量。注意到在面　＋Ｙ＋ｚ＝ｒ上的函数值　
１　
Ｌｊｒ２△ｒ＋３ｒ（Ａｒ）　＋（Ａｒ）　）　
相等，考虑从［ｒ，ｒ＋Ａｒ］上的体积变化 量为　
△　：　１（ｒ＋△ｒ）　
一
＿ｒ１　３＝　
故质量微元ｄｍ＝（　＋ Ｙ＋ｚ）ｄｘｄｙｄｚ＝ｒｄＶ＝　
１　
了
ｒ
２ｄｒ＝了ｒ　ｄｒ
，
因此　
（３ｒ　△ｒ＋３ｒ（△　＋（△ｒ）　）　
，＝　１　
ｍ＝３ｆｏｌ 　２ｄｒ＝　１　
质量微元ｄｍ＝　｛　ｄ　＝　｛　丢ｒ２ｄｒ＝　
注　对于某些三重积分的 计算，可利用适当　
ｄｒ因此　
的变换及性质将三重积分的被积表达式转换成定　
积分 的被积表达式。　
，＝ｍ＝　ｄｒ＝　（・　一　５）　
参考文献：　
解法１首先需要 将三重积分转换成累次积　
［１］华东师大数学系．数学分析［Ｍ］．北京：高等教育出版社，　
分，然后再计算三个累次积分，计算过程繁琐。解　
２ｏ０１．　
法２直接将三重积分的计算 转换成一个定积分的　
［２］同济大学数学系．高等数学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，　
计 算，与解法１相比较有了很好的简化。　
２ｏ０１．　
［３］刘玉琏，付沛仁．数学分析讲义［ Ｍ］．北京：化学工艺出版　
例４求，＝Ｊ．ｆｆｘｄ￣ｄｙｄｚ，其中ｖ：￣ｃａ　＋ｙ＋　
社，２００３．　
［４］赵树源．微积分［Ｍ］．北京：中国人民大学出版社，１９８７．　
０ ：１与＝个　标面所围成的区域　
Ａ　Ｓｐｅｃｉａｌ　Ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　Ｍｅｔｈｏｄｓ　ｆ ｏｒ　Ｔｒｉｐｌｅ　Ｉｎｔｅｇｒａｌ　
ＦＥＩ　Ｓｈｉ—ｌｏｎｇ，ＳＵＮ　Ｓｈａｎ－ｈｕｉ　< br>（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ＆Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ，Ｓｕｚｈｏｕ　Ｕｎｉｖｅｒ ｓｉｔｙ，Ｓｕｚｈｏｕ，Ａｎｈｕｉ　２３４０００，Ｃｈｉｎａ）　
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｃ ｏｍｍｏｎ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄｓ　ｆｏｒ　ｔｉｒｐｌｅ　ｉｎｔｅｇｒａｌ　ａｇｅ　 ｔｈａｔ　ｄｉｒｅｃｔｌｙ　ｃｈａｎｇｅ　ｔｈｅ　ｔｉｒｐｌｅ　ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｉｎｔｏ　ｔｈｅ　 ｉｔｅｒａｔｅｄ　ｉｎｔｅ　
ｒｇａｌ　ａｎｄ　ｃｈａｎｇｅ　ｔｈｅ　ｔｒｉｐｌｅ　ｉｎｔｅｇ ｒａｌ　ｉｎｔｏ　ｔｈｅ　ｉｔｅｒａｔｅｄ　ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｗｉｔｈ　ｍａｋｉｎｇ　ｍａｋｅ　ｐｒ ｏｐｅｒ　ｃｈａｎｇｅ．Ｕｓｉｎｇ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｂａｃｋｇｒｏｕｎｄ　ｏｆ　ｔｉｒｐｌｅ 　
ｉｎｔｅｇｒａｌ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｓｅｇｍｅｎｔａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄｓ　ｏｆ　ｓｉｍｉ ｌａｒ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｖａｌｕｅ．ｔｈｅ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｉｒｐｌｅ　ｉｎｔｅｇ ｒａｌ　ｉｓ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍｅｄ　ｉｎｔｏ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｘ－　
ｐｒｅｓｓ ｉ０ｎ，ｔｈｅｎ　ｉｔ　ｉｓ　ｃｏｎｖｅｒｔｅｄ　ｉｎｔｏ　ｔｈｅ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｄ ｅｆｉｎｉｔｅ　ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｗｈｉｃｈ　ｍａｋｅｓ　ｔｈｅ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｉ ｒｐｌｅ　ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｓｉｍｐｌｅ．Ａｔ　ｌａｓｔ，　
ｓｏｍｅ　ｅｘａｍｐｌｅｓ　ａｒ ｅ　ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｄ．　
Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｔｉｒｐｌｅ　ｉｎｔｅｇｒａｌ，ｄｉｆｆｅ ｒｅｎｔｉｌａ　ｍｅｔｈｏｄ，ｓｅｃｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ