我爱我家的作文-入党动机怎么说

教学　
参谋　新颖试题　２０１４年１１月　
在圆的视角下简解一类三角形面积 最值问题　
⑩江苏省泰兴市第三高级中学　吕　宁　
在解三角形问题中，如果已知“两角和其中 一个角　
所对的边，求其他两边和一角”或“已知两条边和一条边　
所对的角，求另一边的对角 （从而进一步求出其他的边　
和角）”，可利用正弦定理求解．如果已知“三条边，求三　
个角 ”或“两条边和这两边的夹角，求第三边和其他两个　
角”，可利用余弦定理求解．但在近几年部分省市 的高考　
试题或模拟试题中经常出现“给出一边及其对角或另外　
两边之间的比例关系，求三角 形面积的最大值”问题，本　
文就此类问题的求解，给出一种简洁的解决办法，供同　
学们参考 ．　
例题ＡＡＢＣ的内角　，Ｂ，Ｃ的对边分别为ａ，ｂ，Ｃ，已　
知曰＝詈，若６＝２，则△ Ａ曰ｃ面积的最大值为　
解法１：由６＿２，６　－２　ｃ。ｓＢ，得４　ｚ＿２ｎｃｃ。ｓ詈，　Ⅱ　十ｃ　一　＝４，而ａ２＋ｃ２￣２ａｅ，所以２ａｅ一∞≤４，Ⅱｃ≤４（当且仅　
时，等号 成立）’所　８ｃ＝Ｊ
２－ａｃｓｉ　≤÷×４×孚　
：
＼／了，即ＡＡＢＣ面积的最 大值为、／了．　
解法２：因为ｂ边与角Ｂ为　
／　＼＿、、＼　曰　
定值，故可将Ａ ＡＢＣ内接于　
’
圆内，如图１，顶点Ｂ在圆周上　
’
，
１　
运动，故当ＡＡＢＣ为等腰三　
角形时，高最大，即面积最大．　
又　＝　，所以ＡＡＢＣ为 等边　
图１　
三角形，　＝、／了，所以ＡＡＢＣ面积的最大值为、／了．　
评注：解 法１引用均值不等式解题．是求解此类问题　
的常规方法：解法２本着小题小做的原则．巧妙地回避了　
均值不等式的烦琐计算，将问题置于圆中，使问题直观　
求解．　
变式１：如图２，在 ＡＡＢＣ中，　・　：　一　ｌ：６，　
为ＢＣ边的中点，则中线ＡＭ的长为——，ＡＡＢＣ面积　的最大值为——一　
解析：由题意知砌＝　
（　＋　），已知　－　＝　
Ｚ　ｌ　ｌ：６，所以（力＋　）ｚ：　
ｆ　一　）ｚ＋　．　：３６＋２４：　Ｂ　
Ｃ　６０，所以ｌ　２、／　，所　图２　
以砌＝丢ｌ捆　ｌ＿　，所以Ａ在以　为圆心，　为　
半径的圆上（除去直线日ｃ与圆的交点）．因为ｌ　一　Ｉ－６，　
所以Ｉ商ｌ＿６，所以△ＡＢｃ面 积的最大值为　×６×、／　＝　
３、／　．　
变式２：满足条件ＡＢ＝２，Ａｃ＝、／　Ｂｃ 的ＡＡＢＣ面积　
的最大值是——一　
本题将引例中定角的条件改为两边长之比为定值　
的条件下求三角形面积最值．可从如下两个视角求解．　
解法１：如图３，设ＢＣ＝ｘ，　
Ｃ 　
￣ｌＪＡＣ＝、／　，根据面积公式　
／　
得ｓ＝　４　・ＢＣ－ｓｉ　＝丢。　・ 　
、／　．　
根据余弦定理得ｃｏｓＢ￣　
Ｄ　Ｙ　Ｂ　
图３　
ＡＢ ｚ＋ＢＣＺ－ＡＣｚ
２ＡＢ
＝　
笙　＝＿４－－￣２
，
代入上式得：
・
曰Ｃ　’　
　
ｓ　＿Ｉ　）　＝—１２８－—（￣－１婴２）２．由三角形 三边　
关系得｛、／２　＋　＞２，解得２、／　一２　＜２Ｘ／２＋２，故当　：　
ｌ　＋２ ＞ｘ／２　．　
２＼／了时，ＡＡＢＣ面积的最大值为２、／　．　
解法２：建立如图４所示的 坐标系，设Ｃ（　，　），　
Ａ（一１，０），Ｂ（１，０），由Ａｃ＝、／　ｃ，得、／　＝、／　< br>・
、／　二１　，化简得（　一３）ｚ＋　＝８（　≠０），即ｃ点的轨迹　

２０１４年ｌ１月　
是以（３，０）为圆心，以２、／丁　
为半径的圆，所以ＡＡＢＣ的　
、　
点，点Ｃ、Ｄ在平面ｐ内，Ｈ＿ＤＡ　Ｉｃｌ，ＣＢ上ａ，ＡＤ＝４，ＡＢ＝６，　
ｃ　
。　
ＢＣ＝８，在平面　上有一个动点　
高最大为圆的半径，故　
ＡＡ ＢＣ面积的最大值为　
／　
、　
ＪＰ，使得ＬＡＰＤ＝ＬＢＰＣ。则　
ＡＰＡ Ｂ面积的最大值是　
（　）．　
２Ｖ　．　
一
ｌ　０　
评注：解法１ ．一个５分的　
小题寻得一个无理函数求解，　
烦琐程度可见一衄解法２从图　
图４　
形中挖掘隐含条件，将问题代数化处理，则可轻松求解．　
有些问题的部分条件隐含于数形结合 的特征里．如　
果从形数结合角度，画出图形，以形启数，以教解形，挖　
掘隐含条件，则可轻 易找到解题途径．　
变式３：如图５，已知等腰　
ＡＡＢＣ的腰４Ｃ上的中线ＢＤ长为　
、／了，则该三角形的面积的最大　
值是——　
本题将变式１中两边之比为　
定值的 条件隐藏在等腰三角形　
中，即Ａ曰＝２４Ｄ，因此可按如下方　
法求解．　图５　Ｃ　
解法１：设ＡＤ＝ＣＤ＝ｍ，则ＡＢ＝２ｍ，在ＡＡＢＣ中，　
ｃ。ｓ　ＡＤＢ＝—３＋ｍ２
－
４ｍ２
—
．　
２、／　ｍ　
在△曰ＤＣ中，ｃ。ｓ　ＣＤＢ：　３ ＋ｍ２
－
ＢＣ２
—
．　
２、／　ｍ　
南ＣＯＳＬＡＤＢ＋ｃ ｏｓＬＣＤＢ＝Ｏ，可得ＢＣ－－＇６—２ｍ　，所以　
ｃｏｓ，４：　５ｍ２－３　
４
ｓｉ　：—Ｎ／－９ｍ４＋
３０ｍ２－９
—
ｍ　４／／／．２　
，
故
一　
ｓ：　
一　
，
２　２　
易知当ｍ２＝詈　
时 ，三角形面积的最大值为２．　
解法２：以ＢＤ的中点０为　
ｙ　
Ａ
原点，Ｂ Ｄ所在的直线为　轴建　
立如罔６所示的平面直角坐　
／　
、　
标系，ｉＳ． ｔＡ（ｘ，ｙ），则　Ｂ＝２ＡＤ，　
＼　Ｉ
．
即《卅　２）　＝　
＼ｃ　< br>图６　
４　
孚　，整理得（　一　６）　＝÷，脯　
ｌｙｌ＜￣　，Ｉ￣ｉＩ） ．２Ｓ＝ＢＤ－　＝　ｙ≤２，ｌｙｌ＝　时，等　
、／３　、／３　
号成立．　
变式 ４：如图７，已知平面Ｏｌｎ　＝ｚ，Ａ、Ｂ是１上的两个　
＇
Ａ．—９Ｘ／
３－　< br>Ｂ．３６　
—
图７　
Ｃ．１２　Ｄ．２４　
解法ｌ：由题意可知平面０ ｃ上平面ｐ，Ａ、Ｂ是平面Ｏｌ与　
平面ｐ的交线上的两个定点，ＤＡ　ｃ卢，ＣＢＣｆｌ，且ＤＡ＿Ｌ 　，　
ＣＢ　Ｊ－０［，所以ＡＰＡＤ与ＡＰＢＣ￣直角三角形．又厶４ＰＤ＝　
ＬＢＰＣ，所 以ＡＰＡＤｖ，ＡＰＢＣ又ＡＤ－－４，ＢＣ＝８，所以　ＰＢ＝　
２ＰＡ．作ＰＭ上　，垂足为　，则 ＰＭ上　令ＡＭ＝ｔ∈Ｒ，在两　
个ＲｔＡＰＡＭ－￣ＲｔＡＰＢＭ中，　公共边及ＰＢ＝ＺＰＡ，所以 　
＝
４ＰＡ　一（６　）　，解得ＰＡ　＝１２　．所以ＰＭ＝　
、／　，即四棱锥的 高为、／　，底面为直危梯　
形，ｓ＝÷ｘ（４＋８）ｘ６＝３６，所以四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ的体积　： 　
１　
一
ｘ３６ｘ￣＝１２Ｘ／—１６－（ｔ—＋２）２≤１２ｘ、／　＝４８，即四 　
３　
棱锥　曰ｅ啉积的最大值为４８．故选ｃ．　
解法２＿Ｒｔ　ＡＰＡＤ￣Ｐ’ｔ ａｎ　ＬＡＰＤ＝　＝音；在　
Ｒ
ｔＡＰＢＣ中，
＾　
ｔａｎＬＢＰＣ＝—— ＝一
ＢＣ　８　
．　
ＰＢ　ＰＢ　
因为ＬＡＰＤ＝－ＬＢＰＣ，所以ＰＢ＝２ ＰＡ．　
以ＡＢ的中点０为坐标原　
‘　
点，建立如图８所示的坐标　
系，设 Ｐ（　，ｙ），Ａ（一３，０），　
＼　
Ｂ（３，０），由　＝２ＰＡ，得　
＿５＾　 ／／　Ｏ　ｊ　
２、／　研＝、／　研，　
化简得（ｘ＋５）　＋　：ｌ６（＊≠０），即Ｐ点 的轨迹是以（一５，（Ｉ）为　
圆心，以４为半径的圆，所以ＡＡＢＣ的高最大为圆的半　
径， 故ＡＡＢＣ面积的最大值为ｌ２　
评注：对问题进行变式训练。不仅可以克服思维定　
势，培养 创造性的思维能力，而且有利于掌握某一类问　
题的解法，锻炼举一反三的能力，从而提高学习效率，本 　
题将三角形面积最值问题隐藏在立体几何中，解题中注　
意挖掘题目中的隐含，将定值条件突 显出来．　
构造圆解决高考题的关键在于：按照题设条件及所　
求题目的结构特征，去构造相应 的圆．这种构造方法由　
于构造巧妙，思路明晰，直观性强，所以往往可以找到结　
论和条件之 间的逻辑通道，使问题简捷明快地得到解　
决，且这几年高考平面几何的痕迹渐重，对圆的考查比　例越来越大，故值得重视ｌ躅