初中化学实验基本操作-对联

1
1.2　排列与组合
1．2.1　排列
第1课时　排列与排列数公式
1．理解排列的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列．(重点)
2．会用排列数公式进行 求值和证明．(难点)
[基础·初探]
教材整理1　排列的概念
阅读教材P
1 4
～P
16
第二个思考下面第一自然段，完成下列问题．
1．一般地，从n个 不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成
一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的 一个排列．
2．两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序
也相同．
　判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个排列的元素相同，则这两个排列是相同 的排列．(　　)
(2)从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法
属于排列问题．(　　)
(3)有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案属于< br>排列问题．(　　)
(4)从3,5,7,9中任取两个数进行指数运算，可以得到多少个幂属于 排列问
2

1
题．(　　)
(5)从1,2,3,4中任取两个 数作为点的坐标，可以得到多少个点属于排列问
题．(　　)
【解析】　(1)×　因为相同的 两个排列不仅元素相同，而且元素的排列顺
序相同．
(2)√　因为三名学生参赛的科目不同为 不同的选法，每种选法与“顺序”
有关，属于排列问题．
(3)×　因为分组之后，各组与顺序 无关，故不属于排列问题．
(4)√　因为任取的两个数进行指数运算，底数不同、指数不同结果不同．结果与顺序有关，故属于排列问题．
(5)√　因为纵、横坐标不同，表示不同的点，故属于排 列问题．
【答案】　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√
教材整理2　排列数 与排列数公式
阅读教材P
16
第二个思考下面第二自然段～P
18
例 2，完成下列问题.
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的
排列数定义及 表示个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符
n
表示号A
m
全 排列的概念
阶乘的概念
n个不同元素全部取出的一个排列
把n·(n－1)·…·2· 1记作n！，读作：n的阶乘
n
＝n(n－1)…(n－m＋1)A
m
排列数 公式
n
！
n
＝

n
－
m

！
(n，m∈N
*
，m≤n)阶乘式A
m
特殊情况
n＝1,0！＝1A
n
＝n！，A
0
4
＝________，A< br>3
＝________.1．A
2
4
＝4×3＝12；【解析】　A< br>2
2

1
A
3
＝3×2×1＝6.
【答 案】　12　6
A34
2.
5
！
＝________.
A3 4
1
【答案】　
5
3．由1,2,3这三个数字组成的三位数分别是____ ____.
97270007】
【解析】　用树形图表示为
【导学号：
4< br>×
3
×
21
【解析】　
5
！
＝
5< br>×
4
×
3
×
2
×
1
＝
5< br>.
由“树形图”可知组成的三位数为123,132,213,231,312,321，共6个 ．
【答案】　123,132,213,231,312,321
[质疑·手记]
预习 完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：　

解惑：　

疑问2：　

解惑：　

疑问3：　

解惑：

2

1
[小组合作型]
排列的概念
　判断下列问题是否 为排列问题．
(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回
的 票价相同)；
(2)选2个小组分别去植树和种菜；
(3)选2个小组去种菜；
(4) 选10人组成一个学习小组；
(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；
(6)某班 40名学生在假期相互通信．
【精彩点拨】　判断是否为排列问题关键是选出的元素在被安排时，是否< br>与顺序有关．若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题．
【自主解答】　(1)中票价 只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，
不存在顺序问题，所以不是排列问题．
(2) 植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．
(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序
问题，属于排列问 题．
(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问
题．所以在上 述各题中(2)(5)(6)属于排列问题．
1．解决本题的关键有两点：一是“取出元素不重复”，二 是“与顺序有关”
2

1
．
2．判断一个具体问题是否为排列问 题，就看取出元素后排列是有序的还是
无序的，而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里 的“位置”应
视具体问题的性质和条件来决定)，看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，
无变化就不是排列问题．
[再练一题]
1．判断下列问题是否是排列问题．
(1)从1 到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，
可得多少个不同的点的坐标？
(2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方
法？
(3)某商场 有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，
不同的出入方式共有多少种？
【 解】　(1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一个数作横坐标，哪一个数
作纵坐标的顺序有关，所以这 是一个排列问题．
(2)因为从10名同学中抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺
序，所以这不是排列问题．
(3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题．
综 上，(1)、(3)是排列问题，(2)不是排列问题.
排列的列举问题
　写出下列问题的所有 排列．
(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位
数 ？
(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列．
【精彩点拨】　(1)直 接列举数字．
2

1
(2)先画树形图，再结合树形图写出．
【 自主解答】　(1)所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43 ，共有
12个不同的两位数．
(2)由题意作树形图，如图．
故所有的排列为：
abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，c ab，cad，
cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb ，共有24个．
在排列个数不多的情况下，树形图是一种比较有效的表示方式.在操作中先
将元 素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，在每一
类中再按余下的元素在前面元素 不变的情况下确定第二个元素，再按此元素分
类，依次进行，直到完成一个排列，这样能不重不漏，然后 按树形图写出排列.
[再练一题]
2．(1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该 有________种机
票．
(2)A，B，C，D四名同学排成一排照相，要求自左向右，A 不排第一，B
不排第四，共有________种不同的排列方法？
【解析】　(1)列出每一 个起点和终点情况，如图所示．
故符合题意的机票种类有：
2

1
北京→广州，北京→南京，北京→天津，广州→南京、广州→天津、广州
→北京，南京→天津，南京→ 北京，南京→广州，天津→北京，天津→广州，
天津→南京，共12种．
(2)因为A不排第一 ，排第一位的情况有3类(可从B，C，D中任选一人排)，
而此时兼顾分析B的排法，列树形图如图．
所以符合题意的所有排列是：
BADC，BACD，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA ，CABD，CBAD，CBDA，
CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA共14种．< br>【答案】　(1)12　(2)14
[探究共研型]
排列数公式的推导及应用
探 究1　两个同学从写有数字1,2,3,4的卡片中选取卡片进行组数字游戏．
从这4个数字中选出2个 或3个分别能构成多少个无重复数字的两位数或
三位数？
4
＝4×3＝12个无重复数 字【提示】　从这4个数字中选出2个能构成A
2
4
＝4×3×2＝24个无重复数字 的三位数．的两位数；若选出3个能构成A
3
4
＝4×3＝12，A
34＝4×3×2＝24，你能否得出A探究2　由探究1知A
2
n
的意义和A
22n
的值？
n
的意义：假定有排好顺序的2个空位，从n个元素【提示】　A2
a
1
，a
2
，…，a
n
中任取2个元素去填 空，一个空位填一个元素，每一种填法就
得到一个排列；反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得 到，因此，所
2

1
n
.由分步乘法计数原理知完成上述填空共 有有不同的填法的种数就是排列数A
2
n
＝n(n－1)．n(n－1)种填法，所以 A
2
n
的值吗？有什么特征？若m＝n呢？探究3　你能写出A
m
n
＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N
*
，m≤n)．
【 提示】　A
m
(1)公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是n－m＋1，共有m个因数；
(2)全排列：当n＝m时，即n个不同元素全部取出的一 个排列．
全排列数：A
n
＝n(n－1)(n－2)·…2·1＝n！(叫做n的阶乘 )．
另外，我们规定0！＝1.
n
！
An
n
＝n(n－1) (n－2)…(n－m＋1)＝

n
－
m

！
＝< br>An
－
m
.所以A
m
A59
＋
A49
6
－
A105
；　(1)计算：
A10
m1
－A
mn
＝mA
m
－
n1
.(2)证明：A
n
＋
【精彩点拨】　第(1)题可直接运用排列数公式，也可采用阶乘式；第(2)题
n
！
n
＝

n
－
m

！
进行变形推导．首先 分析各项的关系，利用A
m
A59
＋
A49
9
！
4
！
A59
＋
A4910
！
6
－
A105< br>＝
4
！
法二：
A10
9
！
5
！10
！
5
×
9
！＋
9
！
6
×
9
！
3
5
！
＝
5
×
10
！－
10
！
＝
4
×
10
！
＝
20
.
n
！
5A49
＋
A495
＋
13
6
－
A105
＝
50A49
－
10A49
＝50
－
10
＝
20
.【自主解答】　(1)法一：
A1 0
＋
－

n
＋
1

！
m1
－A
mn
＝

n
＋
1
－
m
< br>！
－

n
－
m

！
(2)∵An
＋
n
！
＝

n
－
m

！
·
n
＋
1
－
m
(
n
＋
1
－
1
)
2

1
n
！
m
n
！
＝

n
－
m

！< br>·
n
＋
1
－
m
＝m·

n＋
1
－
m

！
n1
， ＝mA
m
－
m1
－A
mn
＝mA
m
－
n1
.　 ∴A
n
＋
排列数的计算方法
1．排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正
整数的积可以写成某 个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因
式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公 式的逆用．
2．应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，
然后计 算，这样往往会减少运算量．
[再练一题]
x
＝4A
x
－
9 1
中的x. 【导学号：97270008】3．求3A
8
3
×
8< br>！
4
×
9
！
x
＝4A
x
－
91
可化为

8
－
x

！
＝
< br>10
－
x

！
，【解】　原方程3A
8
3< br>×
8
！
4
×
9
×
8
！
即< br>
8
－
x

！
＝

10
－
x

9
－
x

8
－
x

！
，化简，
得x
2
－19x＋78＝0，解得x
1＝6，x
2
＝13.
由题意知Error!解得x≤8.
所以原方程的解 为x＝6.
[构建·体系]
2

1

1．从1,2,3 ,4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算
它们的结果，在这些问题中，有几种运算 可以看作排列问题(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
【解析】　因 为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，
结果与两数字位置无关，故不是排列问题． 而减法、除法与两数字的位置有关，
故是排列问题．
【答案】　B
2．4×5×6×… ×(n－1)×n等于(　　)
n
A．A
4n4
C．n！－4! B．A
n
－
n3
D．A
n
－
【解析】　4×5×6 ×…×(n－1)×n中共有n－4＋1＝n－3个因式，最大
数为n，最小数为4，
n3.故4×5×6×…×(n－1)×n＝A
n
－
【答案】　D
3．5本不 同的课外读物分给5位同学，每人一本，则不同的分配方法有
________种．
【解析】　 利用排列的概念可知不同的分配方法有A
5
＝120种．
2

1
【答案】　120
4．A
6
－6A
5
＋5A
4＝________. 【导学号：97270009】
【解析】　原式＝A
6
－ A
6
＋A
5
＝A
5
＝5×4×3×2×1＝120.
【答案】　120
5．将玫瑰花、月季花、莲花各一束分别送给甲、乙、丙三人，每人一束，
共有多少种不同的分法？请将它们列出来．
【解】　按分步乘法计数原理的步骤：
第一步，分给 甲，有3种分法；
第二步，分给乙，有2种分法；
第三步，分给丙，有1种分法．
故共 有3×2×1＝6种不同的分法．
列出这6种分法，如下：
甲
玫瑰花
玫瑰花< br>月季花
月季花
莲花
莲花
乙
月季花
莲花
玫瑰花
莲花
玫瑰花
月季花
丙
莲花
月季花
莲花
玫瑰 花
月季花
玫瑰花
我还有这些不足：
(1)　

(2)　

我的课下提升方案：
(1)　

2

1
(2)　

学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1． 下列问题属于排列问题的是(　　)
①从10个人中选2人分别去种树和扫地；
②从10个人中 选2人去扫地；
③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；
④从数字5,6,7,8中任 取两个不同的数作log
a
b中的底数与真数．
A．①④　　　B．①②　　　C．④ 　　　D．①③④
【解析】　根据排列的概念知①④是排列问题．
【答案】　A
2．从 2,3,5,7四个数中任选两个分别相除，则得到的结果有(　　)
A．6个 B．10个 C．12个 D．16个
4
＝4×3＝12.【解析】　符合题意的商有A
2
【答案】　C
3．某段铁路所有车站共发行132种普通车票，那么这段铁路共有的车站数
是 (　　) 【导学号：97270010】
A．8 B．12 C．16 D．24
n< br>＝132，n(n－1)＝132，【解析】　设车站数为n，则A
2
∴n＝12.【答案】　B
n
相等的是(　　)4．(2016·日照高二检测)下列各式中与排列数A
m
n
！
A.

n
－
m
＋
1

！
B．n(n－1)(n－2)…(n－m)
2

1
nAn
－
m1
C.
n
－
m
＋
1
n
A
mn
－
1
－
1
D．A
1n
！
n
＝

n
－
m

！，【解析】　A
m

n
－
1

！
n< br>！
n
A
mn
－
1
＝n×

n
－
m

！
＝

n
－
m

！
，
－
1
而A
1
n
A
mn
－< br>1
＝A
mn
.
－
1
∴A
1
【答案】 　D
21
－n<7的解集为(　　)5．不等式A
n
－
A．{n|－ 1C．{3,4}
B．{1,2,3,4}
D．{4}
2 1
－n<7，得(n－1)(n－2)－n<7，即－1n< br>－
n∈N
*
且n－1≥2，所以n＝3,4.故选C.
【答案】　C< br>二、填空题
4
，m∈N
*
}，则集合P中共有______个元素．6 ．集合P＝{x|x＝A
m
4
＝4，A
24
＝12，A
【解 析】　因为m∈N
*
，且m≤4，所以P中的元素为A
1
4
＝A4
＝24，即集合P中有3个元素．
3
【答案】　3
7．从甲、乙、丙三 人中选两人站成一排的所有站法为________．(填序号)
①甲乙，乙甲，甲丙，丙甲；
②甲乙丙，乙丙甲；
③甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙；
④甲乙，甲丙，乙丙．
【解析】　这是一个排列问题，与顺序有关，任意两人对应的是两种站法，
故③正确．
【答案】 　③
2

1
n
＝15×14×13×12×11×10，那么8 ．如果A
m
n＝________，m＝________.
6
，故n＝15 ，m＝6.【解析】　15×14×13×12×11×10＝A
15
【答案】　15　6三、解答题
9．下列问题中哪些是排列问题？
(1)5名学生中抽2名学生开会；
(2)5名学生中选2名做正、副组长；
(3)从2,3,5,7,11中任取两个数相乘；
( 4)从2,3,5,7,11中任取两个数相除；
(5)6位同学互通一次电话；
(6)6位同 学互通一封信；
(7)以圆上的10个点为端点作弦；
(8)以圆上的10个点中的某点为起点 ，作过另一点的射线．
【解】　(2)(4)(6)(8)都与顺序有关，属于排列；其他问题则不是排 列．
k
＋kA
k
－
n1
＝A
n
＋
k1
.10．证明：A
n
n
！
n
！
【解】　左边＝

n
－
k

！
＋k

n
－
k
＋
1

！
n
！
[

n
－
k
＋
1

＋
k]
＝
n
－
k
＋
1

！

n
＋1

n
！

n
＋
1

！＝

n
－
k
＋
1

！
＝
n
－
k
＋
1

！
，
n
＋
1

！
k1
＝

n
－< br>k
＋
1

！
，右边＝A
n
＋
k＋kA
k
－
n1
＝A
n
＋
k1
.所以 A
n
[能力提升]
1．若S＝A
1
＋A
2
＋A3
＋A
4
＋…＋A
100
，则S的个位数字是(　　)
A．8
2
B．5 C．3 D．0

1
【解析】　因为 当n≥5时，A
n
的个位数是0，故S的个位数取决于前四
个排列数，又A
1
＋A
2
＋A
3
＋A
4
＝33.
【答案】　 C
2．若a∈N
*
，且a<20，则(27－a)(28－a)…(34－a)等于( 　　)
8a
A．A
27
－
27
－
a
C．A
34
－
7a
D．A
34
－
8a
B．A
34
8a
＝(27－a)(28－a)…(34－a)．【解析】　A
34
－
【答案】　D
3．有4名司机，4名售票员要分配到4辆汽车上，使每辆汽车上 有一名司
机和一名售票员，则可能的分配方法有________种. 【导学号：97270011】
【解析】　司机、售票员各有A
4
种安排方法，由分步乘法计数原理知共
有A
4
A
4
种不同的安排方法．
【答案】　576
4．沪宁铁路 线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁
路部门应为沪宁线上的这六个大站准备(这 六个大站间)多少种不同的火车票？
【解】　对于两个大站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车 票不
同，因为每张车票对应于一个起点站和一个终点站．因此，每张火车票对应于
从6个不同元 素(大站)中取出2个元素(起点站和终点站)的一种排列．所以问题
6
＝6×5＝30.故一 共需归结为从6个不同元素中取出2个不同元素的排列数A
2
要为这六大站准备30种不同的火 车票．
2