新西兰留学签证-中班下学期个人总结

第５期
华东师范大学学报（自然科学版）
Ｎｏ．５
１１Ｑ！童２旦丝！ ！！型：！！塑！篁！垫！些！堡型坚！！：：：：！堡ｆ墼墅竺型ｉ！堡：：！！
丝些：！丝：
文章编号：１０００．５６４１（２００７）０５＿００１２－０８
椭圆曲线Ｌ（１）的３一ａｄｉｃ 赋值达到下界的判别
孙乃枯
（天津科技大学数学系，天津３００４５７）
摘要：设Ⅳ为 三次分圆域，Ｆ。－：掣２＝ｚ３—２４３３Ｄ１为定义在Ⅳ上的椭圆曲线，其
中Ｄ为Ⅳ中无平方因子的 代数整数，＾∈ｚ，邱德荣用一个非常复杂的函数给出了
当＾＝２，４时Ｅ。ｘ的ＨｅｃｋｅＤ函数在点 １处的值（除以椭圆周期）恰被３鸶一整除的充要条
件．本文用加权图的语言给出了这个充要条件一个简 单的组合论的刻画
关键词：椭圆曲线；复乘；Ｈｅｃｋｅ厶函数；加权图；生成树
中图分类号： ０１７７
５
文献标识码：Ａ
ｃｒｉｔｅｒｉｏｎｆｂｒ
Ｅｕｉｐｔｉｃ
ｃｕｒｖｅｓ
ｗｉｔｈ
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Ｌ（１）
（Ｄ印州ｍｅｍ
ｏ，＾如觇ｅｍｄｔｌ铒ｎⅡ哪讥ｕｎ。 ｔＩｅ坩却Ｄ，ｓｃｌｅｎ∞肌ｄ‰ｈｏ忉弘
ｎｎ珊ｌｎ
３００４５７，吼ｍ∞
Ａｂ８ ｔｒａｃｔ：
ｃｔⅡ、吧ｄｅ６ｎｅｄ
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６ｅｌｄ，ＥＤ＾：掣２＝一一２４３３Ｄ１ｂｅ蚰ｅｌｌｉｐｔｉｃ
Ｋ，ｗｈ ｅｒｅ
Ｄ∈Ⅳ讧ａ
ｓｑｕａｒｅ＿在ｅｅａｌｇｅｂｒａｉｃｉｎｔｅｇｅｒ
ａｎｄ＾ ∈ｚ．Ｑｉｕ
ｆ【ｌｎｃｔｉｏｎ聃ｔｈｅ
ｃｒｉｔｅｒｉｏｎｆｏｒｔｈｅｖａｌｕｅｏｆｔ ｈｅＨｅｃｋｅ
ｓ＝１ｄｉｖｉｄｅｄ
ｔｏ
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ｃｕｎ，罄；ｃＤ脚ｐ】既ｍｕ】ｔ；ｐｌｊｃａｔｊ ｏｎ；Ｈｅｃｋｅ厶ｆｕｎｃｔｊｏｎｉｗｅｊｇｈｔｅｄ
印ａＩｌｎｉｎｇ
０
引言< br>众所周知，椭圆曲线的Ｌ函数在椭圆曲线的算术理论中具有重要意义，著名的ＢｓＤ猜
想就是关于 定义在有理数域上的椭圆曲线的Ｌ函数在点８＝１处的性质与该椭圆曲线的若
干算术不变量之间的关系的 猜测．种种迹象表明ＢＳＤ猜想是正确的，但是它还远远没有被证
明．关于此猜想的第一个突破是Ｊ，Ｃ ｏａｔｅｓ和Ａ．Ｗｉｌｅｓ【１】在１９７７年证明了：如果定义在有理数
域上的椭圆曲线的工．函数 在点ｓ＝１处取值不等于ｏ，则该曲线的有理点群必为有限群．这
符合ＢｓＤ猜想的第一个断言，１９９ １年Ｋ．Ｒｕｂｉｎ【２】证明了：如果定义在有理数域上的椭圆曲
收稿日期：２００６．ｕ
作 者简介：孙乃拮（１９７２），女，硕士
万方数据　

线Ｅ的Ｌ．函数在点ｓ＝ｌ 处取值不等于０，则ＢＳＤ猜想的第二个断言对于该曲线基本上成
立．即如果素数ｐ不按除复乘域的单位 根群的阶，则ＢｓＤ猜想的第：个断言中的等式
！！竺！＝！鱼二！！：：墨（曼：！！：堂坐！型里！ 兰！兰！里！！！￡生
Ｑ
（孝噩。。（Ｑ））２
甄蓑含ｐ静穷纂穰等，箕孛建表示魏颡 麴线静实弱麓羲者嚣嵇魏蜜璃襄（取决予Ｅｆ瓣怒
不是连通），ｍ僻／Ｑ）表示Ｅ／Ｑ的ｓｈａｆａｒｅ ｖｍＴａｔｅ群，联Ｅ／Ｑ）袭示岳役）／最一（Ｑ）的调熬
子（在工四，１）≠Ｏ时此调整子等于１） ，ｃｐ一谗Ｅ（嘞／岛（Ｑ，））（砀（Ｑｐ）表示约化非奇异点的集
合）为伽ｎａｇａｗａ数．关于Ｂ ｓＤ猜想的研究避有许多其它的工作．
赵春来【３，４ｌ研究了同余数椭圆曲线（这种曲线以高斯整数环 ｚ［ｖ［司为复乘环），给出了
这种曲线的五。鳓数在点５＝ｌ处的值（除以椭圆周期后）的２－８ｄｉ ｃ赋馕的达到下界的充簧条
件．该充要条｛牛爨～个非霞复杂的归纳定义躲如．藿函数ｓ。＝ｌ绘掇，然 后把ｓ。＝ｌ与慕个
嚣为毒圈等霜莛袋，褥到该充要条舞蕊～令篱荸豹缝合劐画。在魏蒸籀主涯明了Ｂｓ Ｄ猜惩谯
上述的善矗ｄｉｃ赋德豹这弱下界对完全成立．
本文考察椭嘲曲线ＥＤ・：矿＝舻一２ ４３３Ｄ＾，其中Ｄ∈０硝，Ｄ
Ｅ
１（ｍｏｄ６）．此曲
线以三次分圆域Ⅳ的代数整数 环ＤⅣ为笈乘环，Ｎ．Ｍ．ｓｔ印ｈｎｅｓ【５】诫明了在Ａ＝２且Ｄ为大
于２的非立方的有理整数的时 候，３女Ｄ女工∽Ｄｚ／Ｑ，１）～是有理整数，并且当９
Ｉ
Ｄ的时候有因
子３，其中 ｕ是该椭圆曲线的实周期．邱德策［６＿８ｌ证明了当Ｄ无平方因子荠且Ｄ的素因子皆
模６余ｌ对，Ｌ《 币Ｄｚ．１）如被啦－ｌ整除，其中＃为Ｄ豹素因子令数，势殷在＾＝２，４弱辩镞绘
窭７三（虿。－， １）如达到誊８或ｃ赋蓬数下嚣瓣宠簧条箨鸯
魄（秽（Ｄ））＝孚
其中跗’（Ｄ）是～个非常复 杂的归纳定义的函数，如是３－ａｄｉｃ赋值．
本文的目的是简化邱德荣的上述充要条件．我们将引入一 种加权图，该图可以看作是文
献咚，４ｌ的推广；并定义关于该图的一个Ｆ≯饿的函数，这是对于以ＯⅣ 为复黍环的椭圆曲线所
必嚣鲍。本文缮到戆结果将毒可能证鹱美予这静夔缓鳃ＢｓＤ猹憨瓣筵二夸薮言豹 等式舞璃
害３豹方幂相等ｆ巍然这项工作静嚣一个瓣赡之憝在手３－ｓ出ｍ群的计算）。
本文第 ｌ节将介绍必要的符号和定义，第２节将证明主要结粜，
ｌ记号、约懋和定义
在给出本文的主要 结果之前，先给出一些记号、约定和定义．用ｆ表示本原三次单位
根土专≠笪．设Ⅳ蒜Ｑ（ｒ），ｏ耳为 Ⅳ的代数整数环，即ｏＫ＝ｚｆｒｌ。令Ｄ＝霄ｌ…‰∈０Ⅳ，
其中丌｛＝ｌ（黜ｄ
６）是璐中 嚣两不嚣戆豢数，％是｛壬意正整数．莰奶ｘ表示糖圆鳇线
铲＝妒一擎擎茹１，遮壁天一２，４，母Ｄｘ 表永翰孙，蟊熬Ｇｒ秘％巍＊∽ｔｅｆ。耀￡《摹Ｄｘ，ｓ）来表舔
关于妒Ｄ－的对稻的Ｈｅｃｋｅ三一 函数，用。束袭示ｗ％诧ｒｓｎａ∞矿函数魏实周期，其中护如）满遐
微分方程∥（：）２＝４ｐ（ｚ） ３—１，也就是说ｗｉｉｅｒｓｔｒ∞８Ｐ函数对应的周期格为￡。＝ｕ０Ｍ，其
中ｃ‘，＝３．０５９ ９０８…是绝对常数．
设ｓ＝｛ｍ…．，％），Ⅳ＝｛１，．．，ｎ｝．我们用带日来表示黛☆日的元素 个数．称
图Ｇ（ＫＦ）Ⅳ为顶点集合，Ｅ为边的集合）是加权图，如果每一个边ｅ∈Ｅ均对应于一个整数．这个数氇稚为ｅ鳃较。
万方数据　

即Ｄ＾）＝沁ｑ）Ｉ（罢）：≠１ ，幻－１１２，…，州≠Ｊ），
嘲㈨＝卜黔
Ｅ（Ｇ。ｘ）＝似圳倒”≠Ⅷ＿ｌ，２，州≠Ｊ）．
图ＧＤ－是带权的无向图（即边（仉，ｑ）的权与顶点的顺序无关）．
∽・，
（１２）
定义边ｍ，１）的权为【；］‘”，于是图ＧＤ－成为一个加权图．根据三次互反律，我们知道
下面将要用到［纠‘１’和［封‘”．设Ⅱ＝ｌ＋６∞＋打），ｎ，６∈ｚ，则
（；）：＝ｒ学＝ｒ毕纠 ２ｐ”１，
所以
ｆ二１‘１１＝（２ｎ一６）Ａ（ｍ。ｄ
３）．
类似地有（１．３）
引Ｍ＝（删６）＾（ｍｏｄ
３）．
（１４）
对任意的整数ａ， 卢∈ｏＫ以及ｏＫ的素元素亿其中％卢不被口整除，由［一］‘１’的定义容
引“＝［∥＋伊’．
这是以后要经常用到的性质．用ｊ幻ｘ表示以ｙ（ＧＤｘ）为顶点的（简单无向）完全图．
设ｇ表示加 权图ＧＤ－的一个生成树，定义
（１ｓ，
邪）＝Ⅱ吲”
ｌ”●，”，Ｊｔ廿ＬｏＪ。
为生成树ｇ的权，加权图Ｇ。。的生成树的权的和记为
ｆ（Ｇｏ－）＝∑口（９）
９ＣＫＤ＾
万方数据　

笙！塑
下面的函数：
型盈苎：塑圈些 垡！（１２竺兰型！壁堕垄型！墨塑型型
！！
这里目（９）和ｆ（ＧＤａ）也是Ｆ３一值函数． 对于Ｄ＝７ｒ１，…，％，Ａ＝２，４，邱德荣【６】归纳地定义了
６驴）ｃ。，２｛兰二：：。。一。 ，。＋。一。（兀。。ｌ右，（矾一（鲁）：］『ｊｉ：２。，，，。＞。，
其中ＤＴ＝兀＊Ｔ仉，西Ｔ ＝品；并证明了如下的结果：
定理１．１
设妒Ｄ－表示椭圆曲线Ｅ肼／耳的Ｇｒ６８ｅｎｃｈ” ａｃｔｅｒ，％。表示其共轭，则
”３（工（巧。－，１）／Ⅳ）≥；一１，
并且等式成立当且 仅当＂３（攒’（Ｄ））＝！！芸．
对于同样的Ｄ和Ａ，归纳地定义Ｆ３．矗函数ｓｐ’（Ｄ）如下：< br>ｓ妒’ｃ。，＝｛皇：：，＿，，。一。＋。，ＥⅡ，［鲁］ｃ”ｇ埘。。，，，：二ｉ’
ｔ＝ｋ 善鬻
嘲”’≠ｏ一（鲁）？’舢
在ｑ５１（ｍｏｄ
６）且ｑｆＤｒ时，容易验证
地（ｑ一（鲁）？’）＝；骨（鲁）≯扎
于是，研究搿’（Ｄ）的３－甜ｉｃ赋值的下界问题，就转化 为研究Ｆ３值函数『一１（１’的取值问题．
（＿１广州。蛸协’刮娶斟’…刮娶削＂盯’
的项 的和，其中Ｔ＝Ｔ（ｏ））Ｔ（１）３…］Ｔ（ｍ）］｛巩）．
２定理及证明
引理２－１
元素，那么ｕ３（砖、’（Ｄ））＝兰芸当且仅当西吣（Ｄ）≠ｏ．
证明
设Ｄ＝丌＇．．：． ％，其中以ｉ１（ｍｏｄ
６）Ｏ＝１…．，ｎ）是ＤⅣ中互不相同的素
先对于Ａ＝２（孟ｏｄ< br>６）的情形作证明．令
万方数据　

１６
华东师范大学学报（自然 科学版）２００７年
Ａ＝｛Ｔ￡Ⅳｌ州《２）（Ｄ圳＝半且％沁一（鲁）：）＝；，慨ｆ珥），
伊（Ｄ）＝薹（．１）”ｔ＋１Ⅱ（仉一（鲁）：）鼎ＤＴ）．
Ｔ∈＾
ｑｔＤｒ
’“。
。
（－１）”ｌ－‘县∽・篡饕嚣叫，仁。，
Ⅱ‘ｌ所
Ｆ，ｌ，ＰＬ
。
…ｎ㈣一（竿）：）（ｉｅ一１），
…‘。
一“每导
‘。
等；１（ ｍｏｄｌ一ｒ），鲁ｉ１＋ｒ；２ｉ一１（ｍｏｄｌ—ｒ）．
７；：！！；ｊ：；ｉ：：！学；。ｋ一２ ｂｋ；２（２。ｋ一６ｋ）（１】。。ｄ１一ｒ），
订广：：。；：Ｆ＝——＝ｊｉ＿三ｏｋ一２６ｋ兰 ２【２０ｋ一６ｋ）【ｍｏｄｌ—７），
（２．３）（２・３）
ｉ－ｉ‘ｉ！ｉ；；｝蓦；（一 －）“＋ｌ～。（一－）”一ｌ一‘（。ｎｔ—ａ一）
（鲁）：＝ｒ骨［鲁］（２）乩（鲁）：＝ｒ２错 ［鲁】ｆ２）＝吐
２（２ｎ“）；吲２’（ｍｏｄ
３），
万方数据　
（２．４ ）

所以
∑（－ｌｒ…。嘣㈤刊娶黜’…刊霉削砷盯’蝌㈣
进而有
吲印（Ｄ））＝孚骨￥（Ｄ）≠ｏ
这就完成了引理２．１在＾；２（ｍｏｄ６）时的证明．
Ａ ；４（ｍｏｄ６）时的证明完全类似，只要注意用
赫＝掣笋；。一ａ剧‰瑙洲ｍｏａ・叫
３）， 以保证能够应用公式（１．５）．引
代替（２，３）式，相应地（２．４）式变为４（２。一砷；［剽‘ ４’（ｍ。ｄ
理２．１证毕．
下面的引理给出ｓ＿妒’（Ｄ）的表达式．
引理２．２< br>设Ｄ＝Ⅱ１．．．＂。，其中仉＝ｌ（ｍｏｄ６）（ｉ＝ｌ，．．，ｎ）是０Ⅳ中互不相同的素元
素，＾＝２或４（Ⅲｏｄ
６），砼，ＧＤ－如前面所定义，９ｃ砼是图ＧＤｘ生成树，那么有
跗 ）（Ｄ）＝（圣［丢ｒ）（．∑，Ⅱ
［詈ｒ）．
☆＝ｌ
”
（。劫
９ｃ ⅣＤ（Ｆ。，口，）∈Ｆ（ｇ）
’。
证明
只对于Ａ§２（ｍｏｄ
６）证明这个 引理（＾１４（ｍｏｄ６）的情形完全类似）．对于ｎ用
归纳法．当ｎ＝１时，（２．５）式显然成立． 假定（２．５）式在１，…，ｎ一１的时候成立．于是由方括号
函数的性质（见（１．５）式）以及归纳 假设有
鼎。卜，囊。ｃ叫”¨ｌ，ＥⅡ，［鲁］（２）（妾嘲偿’）（。，磊泓～恐。刚［考】（２））
手≠Ｔ妄Ⅳ
ＪＥⅣ一Ｔ…Ｊ。
、ｋ＝ｌ¨‘‘。
７、９ｆｃＫＤ￡（口。，＊ ，ｊ∈Ｅ（９Ｔ）ｕ‘，。
７
２鲫。Ｈ＋驴矿“１。黯，霄’。，毫㈨。‰盱’）
。娄 ［丢］（２）（点。ｃ叫”¨ｌ。，蠹一，．乏㈡（亘［杀］（２）。。。忍。圳［剽但’）），ｃｚ㈣
ｌ－１
‘
婷Ｔ呈Ⅳ
９Ｔ‘耳Ｄ手‘‘１＝：二∥‘“＝１…ｆ。ｒ
（％Ｆ‘） ＥＥ（９ｒ）…‘。
～
其中（｛ｌ，…，｛。一ｔ）取遍Ｔ”一。中的所有元素，｛ｒ１…．， ｒ。一。）＝Ⅳ一Ｔ．式（２．６）中的每个乘积项
亘带’㈣盟爿㈤
对应于硒的一个生成树９， ｇ可以通过添加顶点集合Ｖ＝｛砟．Ｉｈ＝１，…，ｎ一计到生成
树ｇＴ的顶点集合ｙ（９，）以及边的 集合￡＝｛（丌ｔ。，７ｒｈ）Ｉ＾＝１，…，ｎ一０添加到９ｔ的边的集
合Ｅ（ｇＴ）得到．
万方数据　

！！
竺查堑垄查兰兰塑（鱼签型兰壑２
１塑！兰
容 易看出，对于取定生成树９，Ｖ中的每个点都是生成树９的一次顶点．ＫＤ孚不同的生
成树，或者相同的 生成树不同的序列（ｎ，…，“一ｔ），其扩展而得的Ｋ暑的生成树是不同的．但
是，对于不同的集合？ 可能得到相同的Ｋ０的生成树．设
缸刊“＋ｌ。船，时’。，
＝（一１）一”１∑∑
９ ＴｃⅣ蚌（“小州）∈ｐ一‘
㈤
卧
ｒ
￡翟哩
‰一‰
ｎ删㈣扣
＂
喏Ⅱ脚
ｍ
弘＋磊。ｃ叫”Ｈ１。珏，［鲁】（２）。，邑扣。，恐。刚嘲怛 ’＋萎。如，
那么有
踏）（Ｄ）＝量霎ｃｔ，ｒ［老］（２）＝宴已［丢】（２）．
‘
（。．７）
咖≠ＴＳ＿Ⅳ＃ｌ
ｔ＝ｌ
’
取定图ＧＤ。的生成树９，用 §表示生成树ｇ去掉所有的一次顶点以及与其所关联的边后得
到的子树，ｙ（９）表示其顶点集合．我们断苦：岛，Ｔ出现在ａ中错｛∈Ｔ并且ｙ（§）妄｛ｍｌ｛∈Ｔ）．如果ｔ≠Ｔ，那
么ｃ涸［刳 忙’不出现在（２．７）中，从而凸，ｒ不出现在ａ中．如果Ｖ（§）垡｛几｝∈Ｔ），那么必然
存在某 个乃∈ｙ（§）．但是ｑ隹Ｔ．由前面的说明，可以知道叶∈ｙ（§），则叶的次数至少是２－
但是如果 磊．ｒ出现在矗，那么由丌』《Ｔ，可以知道吩的次数为１，得矛盾．于是只有已，Ｔ不
出现在＆．反过 来，假设ｌ∈Ｔ并且ｙ（§）￡｛几ｈ∈Ｔ｝．记９ｒ＝Ｋ腓ｎ９，那么９Ｔ是满足
§ｃｇＴ的ⅣＤ王的 生成树．这个ｇＴ可以通过添加顶点ｙｐ）一ｙ（９ｒ）和边Ｅ（９）一Ｅ（ｇＴ）之
后，扩展成９．换 句话说，就是通过恰当的选择一组（ｔ１，…，｛ｎ．ｔ）∈Ｔ”‘之后得到的（２．６）式
中的项，对 应的Ｋ％的生成树ｇ，于是已，Ｔ出现在巳．这就证明了我们的断言．
不难看出，满足ｚ∈Ｔ并且ｙ（§ ）￡｛ｍｂ∈ｒ｝的真子集Ｔ的个数为
ｃ：：一弗（晒）Ｕ｛ｍ＋嚷一书（ｙ（挪㈨））＋…＋《：；鼢 器ｇ揣～＝２”州州卸Ｌ儿讣Ｌ１，
根据前面的说明，这２ｎ一带（Ｖ（§）ｕ（ｉ））一１个Ｔ可以得 到相同的生成树，于是对应于这个生成树
的凸中的项为
（（一１）一削‘却∽”＋１《州ｙ（§ ＭｔＪ）＋（一１）”社‘岬ⅢⅢ－１“嚷州ｙ（前帅｝）＋¨・
…删２《瓣粼。１）ｈ盟捌‘２’：（一１）（（１—１）畔（晒㈣）－１）Ⅱ吲”＝Ⅱ吲”，
从而
妊∑Ⅱ吲２’
口 ｃＫ己（ｉ”丌ｊ）∈Ｅ（ｏ）
。
万方数据　

苎！塑
十是，由 （２．６）式司知
塑翌苎！塑堕些垡！ｆ
１
２塑兰丝！！堕笪垄型！墨竺型型
！！
即ｃ功５砉ｃ４豪］（２）。娄。邑。。埋即，［考】（２）晤］（２）
＝（氍］（２）） （轰帆，黥，耵’）・
这就完成了引理２．２的证明．
根据引理２．１，２．２以及定理１＿ｌ ，容易得出本文的主要结果：
定理２・１
设Ｄ＝”１…‰，其中仉！ｌ（ｍｏｄ６）０＝１，… ，ｎ）是亨不相同的素元素，
那么”ａ（工（阳）／ｕ）≥；一１，并且地（￡（阳）／ｕ）＝；一１当 且仅当∑叫”≠ｏ并且
～
ｆ（ＧＤ、）≠Ｏ．
证明
根据定理１．１知，％（工 （每Ｄｘ，１）～）≥罢一ｌ，并且
ｕ３（工（如。，１）／ｕ）＝；一１幸昔珊（甜’（Ｄ））＝２芸 ．
由引理２．１，２．２可以知道
均（嚣’（Ｄ））＝兰芸车＝争跗’（Ｄ）≠ｏ
一（ 喜［轳）（。邑ｈ盟捌ｎ’）≠。
甘壹倒”≠ｏ并且粥训≠ｏ
这就证明了定理２．】．
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万方数据　

椭圆曲线L(1)的3-adic赋值达到下界的判别
作者：
作者单位：
刊名：
英文刊名：
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孙乃喆， SUN Nai-zhe
天津科技大学,数学 系,天津,300457
华东师范大学学报（自然科学版）
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Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves 1994
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The Arithmetic Of Elliptic Curves 1986
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The 'Main Conjecture' of Iwasawa theory for imaginary quadratic fields 1991
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On the conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer 1977


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