3～三重积分交换积分次序的一种方法1
经典冷笑话谜语-球队口号
高教研究 ｌ ９ ９ ２年第２期（总弟２ ３期）
３１～ 三重积分交换积分次序
的一种方法？
＝
ｆ
ｒ．●Ｊ
Ｄ
０￣－１２、ｚ
ｄ
（基础诹部）
嚼ＩＪ ｙ
三重积分交换积分次序，通常采用的方法，是根据所给
三次积分 积分限画出积分区域
ｖ的空间图形，然后根据Ｖ的形状按要求积分次序写出新的三次积分”
、。
本丈根据三重积分与二重积分的关系，得出一种将交换三重积分次序转化为交换二重积
分次序（一次或多次）的方法，从而将在空间区域内实施的问题转化成了在平面区域内耍
Ｖ
Ｚ
施，实现了化难为易。
Ｚ
设已给出在直角坐标系下的三重积分
：
Ｉ ｒｆ Ｘ￣ｙｊ Ｚ，ａｘａ，ａ ｚ：Ｉ ｘ ：；：；ａ ： ； ： ； ｔｘ，ｙ，ｚ ａ
ｚ
（１）
Ｖ
根据三露积分与二重积分的关系，（１）可化为＠
（２）
ｎ ：
ｊ：ａ
。
ｘｆ
Ｄ（
Ｉ
）
ｃ
ｘ，ｙ，ｚ） ｒ ｚ （。）
Ｄ 是空间区域Ｖ在 ｏｙ面上的投影区域，Ｄ
（ｘ）为用平面ｘ＝ｘ《ａ≤ｘ≤ｂ）截ｖ所得的
截断面在ｙＯ ｚ平面上的投影。需要注意的是，在
Ｄ（ｘ）中， 应视作常数。
为叙述简便，我们称（１，表达的三蕈积分的积分次序为～ｙ—ｚ次净，
其他形式的积
分次序表示方法类推。
由（２） 盱 亩的二重霸 ｆｄｌｉｄｙ可往平面Ｉ
Ｘ￣Ｄｘ ｒ上离 ｘ— １次序的交
ｌｌ１ｌ｜ Ｄ －
换（不妨称此类型１—２趺痔交
换），从而可将（１）中三重积分由 一ｙ—ｚ次序变换为
—ｘ一＝。同理，由（３）中位于后面的二
重积分ｆＩｆｄ ，ｄ 对ｊ～ ：次序的交换（不 妨称此
Ｄ（ｘ）
类型为２—３次序曲
交换），可将（１）中三重积分由ｘ—ｙ～ｚ扶序变换为ｘ—ｚ—ｙ。对上
・３９・
述两种交换得到的新的７Ａ序的任何一个三重积分，又可用上述原理，实现新的Ｉ一２或
２—
３次序的交换，直到达到目的为止。只需注意：在２—３次序的交换中，位于次序Ｉ的
变量应视作常量
。
饲
同理，如果给出在球面坐标系下的三重积分
＝
ｊＪＪＦ ｃ。，
，ｐ ｄ。ｄ ｐ＝ｊ； ｅ Ｊ： ：：；矗 Ｊ：： ：：：：｝
分将 积
ｃｅ，
１ ｄ ０ Ｊ
．Ｐ
：
Ｘ
●●＿－ｌ
。
ｐ ｃ
Ｘ ０
ｍ 有 ｛ ｌａ。 Ｊ： ；：：：；Ｆ ｃ ｅ， ， ａ
，ｌＩｌ，
０
ｃ ｚ
Ｆ
（
和 ＝ｊ： 。
１ <
br>．
ｖ
Ｄ（ｅ）
Ｊ Ｊ Ｆ
（。， ． ）一 ＠
Ｚ
（３），
）
０
Ｄ０ 是球面坐标系下空间区域Ｖ，在（０， ）
平面上的投影．Ｄ（ｅ）是用０＝０（０
Ｚ
《６《０。）
截空间域Ｖ 所得截断
面在（ ，Ｐ）平面上的投影。Ｄ（０）中的ｅ仍应视作常数。
同直角坐标系一样，可在平面区域Ｄ６
和Ｄ（０）上实现二重，积分的积分次序交换（实现
１一交换或２—３交换），从而实现球面坐标系
下三重积分的积分次序交换。而且可在交换
后的三重积分中继续施行新的Ｉ一２交换或２—３交换。
对柱面坐标系下的三重积分，基于同样的超理、可以借助二着积分的乎｛务次序交换，实
现自
己的次序交换
的积分次序改变为ｚ— —ｘ形式。
（
４
舅法一； Ｊ
）
①将二重积分ｆ
交换积分次序（将此程序简记为ｘ—ｙ交换，以下仿此） <
br>０
訇２
・
４０’
由图－可得Ｊ１。一ｘＪ ｃ
＝ｊ：ａｘ Ｊ 一。
＝
．
Ｊ：ｄ，Ｊ ｄｘ』 ｙ ｄｚ
②对上式进
行 —ｚ交换
由图２可知（注意；Ｙ视为常数），实现交换后
＝
Ｊ：一 ｃ』 ｚ
Ｊ ｒ ｘ＋Ｉ：ｉ￣ｄｚ』 ｒａ ，
．
③对上式进行，一ｚ交换（图３）得
＝
ａ
运个缙罘与 用遗鬲忭 所ｌ僭绍果 同。
一法二
①将（４）
进行ｙ—ｚ交换（图４》得
ｔ＝
ｆＪ：ａｘ ｚ』
＠对上式进荐ｘ—ｚ交换（图５
）得
＝
Ｊ１。ａｚ Ｉ ａｘｊ｛ ａ
阎４ ． ・霸
ｊ Ｉ鲴 ６
～
③对上式进行ｘ—ｙ交换（图６）得ｔ
：
Ｊｒ【
Ｏ
＿ ［ｆ
Ｊ
ｄ
ｚ
ｙ
ｘ
・４１ ｔ
结果与解法一相同。
倒２ 将积分
＝
Ｊ ｃ Ｊ 。Ｊ： 。“ Ｆ ｃ ，。 ａ
的积分次序分别改变５ｔｏ０－－ｐ— ｐ一 一日形式。
解ｌ
对（５）进行 —０交换（图７）得：
＝
』 。Ｊ争 Ｊ：。。。 ｌＦ
＾Ｂ < br>ｒ
工
，＝ｉ
垩
・
Ｉ彝了
。
．苷 ＩＰ
。
２
“
一
．．
一
Ｄ
三
’
一
对上袁进行呻—＿ｐ交换（图８）得；
一一’
１‘
ｖ 。
：
融ｄｊ …旨
此结果与①用通常作法所得结果相同。
对（５）进行０～ｐ交换（图９）得；
＝
ＪＩ 一 ｊ 。 Ｉ Ｆ ｔ。
・４ ２・
上式进行１Ｉ’～ｐ交换（圈１０）得
： ｐ
古 ａｅ <
br>本文所述交换三｛莺积分次序的方法，还有一个好处兽可鞭据在积分过程中的需要而采取
步依次
交换次序的方法，灵活而筒捷。请看④中下例ｔ逐
伪３ 试证
Ｊ：｛Ｊ。（Ｊ：ｆ（ｔ）ｄ
ｔ）ｄｕ）ｄ ＝寻Ｊ （ｘ—ｔ）。ｆ（ｔ）ｌｔ
证。先交换ｆ：｛ｆ：ｆ（ｔ）ｄｔ） （图ｌ１
）得
Ｖ
ｆ：ｃ ｆ ａｕ＝ 州ｕ＝Ｉ。ｆ（ｔ ｔ
因此ｆ。（ ｌ：ｆ（ｔ）
ｄｆ】【１ｕ｝１ｖ＝ ｃ）（ ）ｄｆ
再交换上式右端二重积分次序（图ｌ２）得
● <
br>Ｉ ｃ Ｉ Ｉ ｄｔ
＝
寻 、．ｆ】＝ｆ（【）ｒＩｔ 。 。
参考文献
①张镜清等著 徽积分解题分析（下）
②方盘勤著 多元函数徽积分
③许康等著
高等数学学习指导
④陆君良等蝙 高等数学证明３００捌分析
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