第一章
引
言
（３）地球物理学 时间序列（气温、日照时数、降雨量、臭氧含量、风速、云结
构、地震事件、植被覆盖、水土保持）；< br>（４）天体物理学时间序列（ｘ射线和太阳黑子）；
（５）应用技术时间序列（因特网流量、交通 流、反应堆的中子密度）；
（６）社会学时间序列（金融经济、语言特征、伊拉克战争引起的灾难）；< br>（７）物理学（器件表面粗糙程度与光谱分析）．
ＤＦＡ模型只能消除多项式趋势，对其它趋势无 能为力．因此，国内外科研
工作者针对不同的情形对ＤＦＡ模型进行了多种修正研究．２００４年Ｃａｒ ｂｏｎｅ［９］
针对随机时间序列中存在局部相关性特征，提出了基于消除滑动平均技术（简称
ＤＭＡ）的ＤＦＡ模型，目的在于，应用此模型可以有效消除随机过程的局部相关
趋势．
２００ ５年Ａｌｖａｒｅｚ—Ｒａｍｉｒｅｚ［１０】将滑动平均技术与ＤＦＡ模型相结合，得
到基于中心滑动 平均技术（简称ＣＭＡ）的ＤＦＡ模型，经过实证分析表明，结合
ＣＭＡ技术处理后的ＤＦＡ模型能够有 效消除非平稳长相关信号中的噪音，而不
影响研究对象的整体标度特征．同年，
Ｋｉｙｏｎｏ［ １１】针对健康人体心跳动力系统的
特有形式，得到修正ＤＦＡ模型（简称ＭＤＦＡ），此模型可以消除 人体心跳动力
系统标度状态的交叉点．
Ｓｔａｕｄａｃｈｅｒ［１２】于２００５年创立了连续 ＤＦＡ模型（简称
ＣＤＦＡ），把研究对象扩展至连续时间序列．Ｃｈｉａｎｃａ［”Ｊ将傅里叶变换引 入ＤＦＡ
模型，形成傅里叶ＤＦＡ模型（简称ＦＤＦＡ），此模型可以降低低频噪音对时间序
列 的影响．
Ｊ／ｍｏｓｉ［１４】首次将ＤＦＡ模型与经验模式分解技术相结合，对Ａｒｏｓａ
和 ＭａｕｎａＬｏａ两处的臭氧时间序列进行实证分析，对分解出的高频信号逐一进行
研究．
Ｎａ ｇａｒａｊａｎ［１５】致力于基于奇异值分解技术（简称ＳＶＤ）的ＤＦＡ模型的
开发，得到一系列的 研究成果．可以看出，ＤＦＡ模型是一类应用范围广且功能
强大的算法，并在消除时间序列趋势和局部相 关性方面获得较大的成功．由于自
然记录中存在大量的指数趋势，鉴于此，我们首次将Ｌａｐｌａｃｅ变 换及其滑动滤波
技术引入消除趋势波动分析模型，找到了消除指数趋势对单分形和重分形分析影
响的算法．
自然记录的本质是非线性的时间序列，它是国内外科学研究中的热点，非线
性系统的 突出特点是构成系统内部的各种组成部分之间存在相互作用，即交互信
息．对于非平稳信号间重分形交叉 相关性研究，是非线性科学的一个极具挑战性
的课题．该问题有着重大的科学价值．例如，Ｃａｍｐｉｌ ｌｏ［１６】将各个探测器的天线得
到的噪音信号阵列的交叉相关程度用于地震与火山爆发的预警．Ｓ凸ｍ“ｅ２ｓｓＤ佗【１
７】
计算了出当前噪音的交叉相关性并与之标准比较来决定是否 需要改变信号符号．

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Ｍｅｓｉｎａ［１８】对城市交 通各道路交通流的交叉相关性进行的研究可用于指导大城市
交通拥堵之疏解．Ｃｏｎｌｏｎ［１９１针对 不同资产和证券投资组合提出的交叉相关矩阵
可用于进行风险评估．然而，两组时间序列交叉相关性问题 的研究刚刚起步，相关
研究结果不是很多．２００８年Ｐｏｄｏｂｎｉｋ［２０Ｊ在文献“Ｄｅｔｒｅｎ ｄｅｄ
ｃｒｏｓｓ—ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ
ａｎａｌｙｓｉｓ：ａ
ｎｅｗ
ｍ ｅｔｈｏｄ
ｆｏｒ
ａｎａｌｙｚｉｎｇ
ｔｗｏ
ｎｏｎｓｔａｔｉｏｎａｒｙ< br>ｔｉｍｅ
ｓｅｒｉｅｓ”中首次
提出消除交叉相关分析模型（以下简称ＤＣＣＡ），研究 了两组时间序列间的交叉相
关特征，在Ｐｏｄｏｂｎｉｋ的ＤＣＣＡ模型中，除去的是２阶局部趋势，获 取了交叉指
数Ａ的具体数值．同年，Ｚｈｏｕ［２１】将ＤＣＣＡ模型中的局部趋势发展为口阶波动函数，并由此得出一般的交叉指数．遗憾的是，重分形的ＤＣＣＡ理论不应该仅限
于一般交叉指数的 研究．另外，各种趋势对重分形ＤＣＣＡ理论的影响还未有研
究成果出现．针对第一种情况，我们更加深 入地探讨了重分形ＤＣＣＡ模型，借助
Ｌｅｇｅｎｄｒｅ变换获取重分形交叉标度指数和重分形交叉谱， 同时证明了上述变量间
的函数关系．针对第二种情况，我们探讨幂函数、指数函数和对数函数三种趋势< br>对两组时间序列交叉相关性的影响．
非线性系统的一种极为重要的运动状态就是混沌，它是研究自 然界非线性过
程中内在随机性所具有的特殊规律性．经过２０多年的发展，以Ｔａｋｎｓ嵌入技术
为基础，以关联维数、Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数等参数为基本描述手段的非线性动力系统
学分析方法在时 间序列分析方面取得了很多成果．但是，也存在着许多问题，最主
要的是传统非线性时间序列的关联维数 和Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数等的计算精度问题．因
此，在本论文中我们提出了基于距离权重的混沌预测方法 ．在最大Ｌｙａｐｕｎｏｖ指
数预测理论的基础上，改善了ＬｉｎＳａｙ相邻点选取技术，得到了较理想 的预测结
果．
混沌与分形的关系十分密切，混沌运动的轨道或奇异吸引子都是分形．分形
学是描述混沌现象的恰当语言，分形维数已成为研究混沌现象的一个定量参数．
所以说分形学中必定有 混沌的内容．因此在介绍分形之前，需要先简单介绍混沌
的基础知识，以便了解分形在混沌中的一些应用 ［２２－２６】．
混沌是一种确定性系统中出现的（或决定论规律产生的）类似随机的过程．它
首先是由Ｌｏｒｅｎｚ（洛伦兹）【２７Ｊ在流体热对流的简化模型计算中观察到的．他说明
了，由于非 线性的Ｌｏｒｅｎｚ方程在长时间迭代过程中的分岔导致了结果的不确定
性，所以长时间天气预报必然失 败．这就是说，一个决定论系统可以引起无规则
涨落，随机性不必由外界引入而可由系统内在的简单确定 规律产生．
混沌在字典中定义为“完全的无序、彻底的混乱”，而在科学中混沌定义为，
３

第一章
引
言
“由确定规则生成的、对初始条件具有敏感依赖性的恢 复性非周期运动”．那么，
数学上如何定义混沌呢？
１９７５年李天沿和约克（Ｙｏｒｋｅ）［ ２８】首次在数学文献中使用“混沌”这一名词，
用它来表示某些非线性函数的一维迭代（或映射）的类 似随机输出【２９】．在１９８６
年伦敦第一次国际会议上与会者提出，数学上的混沌指确定系统中出现 的随机状
态．不过上述定义显得有些笼统，Ｄｅｖａｎｅｙ［３０】于１９８９年给了一个较严格的定义 ：
（１）度量空间Ｘ上的自映射．厂：ｘ—Ｘ，满足：该映射的周期点构成ｘ的
一个稠密集．< br>（２）映射对初始条件有敏感的依赖性．
（３）若映射是传递的，则称映射在Ｘ上是混沌的．混沌运动具有确定性运动所没有的几何和统计特征，可归纳如下【３１】：
（１）随机性，这是混沌 现象的重要特征之一．体系处于混沌状态，是由于体系
内部动力学随机地产生出不规则行为，产生混沌的 系统一般具有整体稳定而局部
非稳定，局部不稳定正是内在随机性的特点，也是对初始条件敏感性的原因 ．
（２）分维性，我们说混沌具有分维性质是指系统运动轨迹在相空间（ｐｈａｓｅ
ｓｐａｃｅ ）几何形态上可以用分形的维数来描述．系统的混沌运动在相空间中无穷地
缠绕，折叠和扭结，构成了具 有无穷层次的自相似结构，这种结构称为奇异吸引
子．
（３）标度性（标度律），混沌现象是一 种无周期的有序态，只有我们的数值计算
精度和实验仪器分辨率足够高时，才可以从中发现小尺度混沌的 有序运动，所以
说具有标度律性质．
（４）普适性，系统趋向混沌状态（即向混沌过度）时所表 现出来的特征具有普
适意义，其特征不因具体系统的不同和系统运动方程的差异而变化．这类系统与Ｆｅｉｇｅｎｂａｕｍ常数６有关．换言之，通向混沌的简单道路是Ｆｅｉｇｅｎｂａｕｍ序列１［Ａｎ）．
在序列值的某个范围，系统的行为是周期性的，周期为Ｔ，超出这个范围时周期变
成２Ｔ，再超 出下一个阈值时，系统周期变为４Ｔ…也就是说，系统在发展时会逐
级分岔，每一周期为前一周期的两倍 ，形成一个倍周期通道。当周期无限制增加
时就要出现非周期行为，这时，系统从简单的周期行为走向复 杂的非周期行为，
走向了混沌．
自２０世纪７０年代以来，在物理学、数学、力学、化学以及生 命科学、社会
学等领域关于混沌的研究十分广泛，尤其以物理学方面最为突出．几乎在所有的
物 理学领域均发生了混沌现象．
４

北京交通大学博士学位论文
进入２０世 纪８０年代后，发现动物的许多器官都是非线性动态系统，并在心
血管系统的动态研究中取得进展，混沌 分析改变了我们对心脏健康的传统观念．
健康的心脏无规律地跳动，似乎总是包含着明显的偶然行为的干 扰，心跳的高度
规则性足以说明心脏的疾病．织物结构具有混沌特征，因为分维数与纤维表面的
光滑、光亮程度直接相关；而纤维的力学强度、纤维的形状、尺寸及织构之间的
相互作用，或磨损、抛光 等均可降级分维数．国外涂料工业已把注意力集中到颜
料粒子尺寸或改变分形结构来改变颜料的光学品质 如不透光性和反射性，这些对
燃料工业及织物的光学性能、美感都有一定的启发性．比如用于织物漂白的 蓝色
颗粒具有吸附紫外线的晶体结构，它们吸收的紫外线辐射能量比可见光（荧光）方
式释放的 能量更多，这是有些白色衣服比某些黑色衣服穿起来可能更热的原因．
地球系统中的许多作用和现象都具 有自组织、分形和混沌特征，说明地球演化至
今已经被永久地锁定在混沌状态．因此，应用混沌理论来研 究和探索地球系统的
奥秘也就自然而然的了．自然界各种图样花纹的选择与生长，或者生物形态的发生过程都在变化无常中展现出内在规律和明显的混沌结构，应用分形方法生长出
来的雪花、霜花、蕨 类植物及等同天然状态极其相似，形成迷人的分形景色为纺
织品的图案设计开拓了十分广阔的道路１３２ Ｊ．
总之，经过近年来的迅猛发展，混沌对改变传统学科划分各研究方法起到了
推波助澜的积极 所用，突破了确定论的束缚，形成了一些新的观念、新的思路和
新的方法，这些对科学技术的发展和应用 的促进作用将是不可估量的．
分形（“Ｆｒａｃｔａｌ”）这个词是Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ创造的［３３ －３４］，来源于拉丁文“Ｆｒａｃｔｕｓ’’，
其英文意思是“Ｂｒｏｋｅｎ’’．１９７５年，ｏｂｉｅｃｔｓ
Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ在巴黎出版了法文著作“Ｌｅｓ
ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ”，１９７７年在美国出版了其英文版
ｆｒａｃｔａｌｓ：ｆｏｒｍｅ，ｂａｓａｒｄ
ａｎｄ< br>ｅｔ
“Ｆｒａｃｔａｌｓ：ｆｏｒｍ，ｃｈａｎｃｅｄｉｍｅｎｓｉｏｎ”，它们都可以译为“分 形，机遇和维数
”．同年他又出版了“Ｔｈｅｆｒａｃｔａｌ
ｇｅｏｍｅｔｒｙ
ｏｆｎ ａｔｕｒｅ”，但这三本书对社会的影响
并不大．直到１９８２年，随着“Ｔｈｅ
ｆｒａｃｔａ ｌ
ｇｅｏｍｅｔｒｙ
ｏｆ
ｎａｔｕｒｅ”第二版的问世，
在美国乃至欧洲迅速 形成了“分形热”．
迄今为止，分形还没有一个严格的定义．
１９８２年Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ 将分形定义为
Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ维数大于拓扑维数的集合（集合的拓扑维数总是整数，当它是全不连< br>通时维数为Ｏ；而当它的任意小邻域都具有维数０的边界，它的维数为１，并以此类
推）．此定义 强调维数，而其中的Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ维数一般不是整数．这个定义有时是
不合理的，因为它把一些明 显应当是分形的集排除了．１９８６年Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ［３５Ｊ给
出了一个更广泛、更通俗的定义 ：
“分形是局部和整体有某种方式相似的形’’（“Ａ
５

第一章
引言
ｆｒａｃｔａｌ
ｉｓ
ａ
ｓｈａｐｅ
ｍａｄｅ
ｏｙｐａｒｔｓ
ｓｉｍｉｌａｒ
ｔｏ
ｔｈｅｗｈｏｌｅ
ｉｎ
ｓｏｍｅ
ｗａｙ’’）．该定义
强调图形中局部和整体之间（包括小的局部和大的局部之间）的自相似性 ．除了几
何图形，还可以研究相空间中的轨迹等图形的自相似性．
称集Ｆ是分形，即认为它具有 下面的典型的性质；
（１）Ｆ具有精细的结构，即有任意小比例的细节．
（２）Ｆ是如此地不规 则以至于它的整体和局部都不能用传统的几何语言来描
述．
（３）Ｆ通常有某种自相似的形式， 可能是近似的或是统计的．
（４）一般Ｆ的“分形维数”通常都大于它的拓扑维数．
（５）在大 多数令人感兴趣的情形下，
过程产生．
一个质量分布ｐ可能分布在一个区域上，使得质量的集中 程度变化很大．如
果经常发生以下的情形：质量的集中程度具有一个给定的密度，比如说，对于很小Ｆ以非常简单的方法定义，或许以递归
的ｒ成立ｐ（耳（ｚ））≈ｒａ（这里的耳（。）为Ｘ的ｒ覆 盖），并且不同的集对应于不同
的Ｑ，这就显示了类似于分形的特征．一个具有这类性质的质量分布或测 度肛称
为重分形测度［３６１．随着重分形理论研究的深入，它已被成功应用到物理学、生物
学 、经济学、地质学、气象学等领域【３７】【３８｜．其原理均是一种基于配分函数的重分
形形式体系．
幂谱是研究分形的重要工具．对于时间序列ｚ（￡），ｚ＝１，２…．，Ⅳ，幂谱是指它
的Ｆｏ ｕｒｉｅｒ变换的模的平方，即
１
Ｎ
Ｅ（，）＝寺Ｉｌ∑ｚ（ｔ）ｅ＿玎１１２
如果幂谱或幂谱的一部分遵循幂律形式，
时间的倒数，
（１．１）
Ｅ（ｆ）ｏ（．厂 ～，其中‘厂是频率，等于
６是幂谱指数，那么我们把满足幂律的频率区间及相应的时间区间
称 为“无标度区间”，即分形关系成立的尺度区间．在无标度区间内，研究对象具
有无标度性，即自相似性 ．
配分函数的定义源于统计矩的数学思想．给定时间序列ｚ（ｔ），ｔ＝１，２，…，Ⅳ，
首先 把时间序列分割成若干不相交的等值小区间，设＜为小区间长度与总区间长
度比值的最大值．记整个区间 流量总和为＾彳．
第ｉ个小区间概率密度分布函数为Ａ（＜）＝丛Ｍ业．
６

北京交通大学博士学位论文
定义统计矩函数（也称为配分函数）
Ｘｑ（＜）兰∑ｂ（＜）ｒ
（１．２）
这里ｑ描述了统计矩的阶，理论上是一个从一ｏ。到＋ｏ。的数值．
若统计 矩服从幂律关系
‰（＜）＝Ｅ慨（＜）】ｇ。（‘丁（口）
（１．３）
则这个幂律关系 通常反映在双对数关系上．在满足幂律关系的尺度区间，我
们可以通过双对数关系图来确定配分函数７－ （ｇ）．
丁（ｇ）＝觊掣
（１．４）
通过分析－，－（ｑ）与ｑ的关系，如果两者之间 存在着非线性关系，则说明研究对
象具有重分形性；如果－ｒ（ｑ）是ｇ的线性函数，则说明研究对象是 单分形的．
研究时间序列重分形的最好方法就是考察它的奇异谱（也称重分形谱），奇异
谱是利 用一种特殊指数来描述研究对象子集的分形特性．定义如下：
设概率密度分布函数Ｐｉ（＜）满足幂律关 系鼽（＜）。（，（扪，其中Ｑ（ｉ）称为霍尔德
指数，它依赖于第ｉ个小区间．如果对于所有的厶，Ｑ （ｉ）取值相同，则说明研究对
象为单分形的；反之，为重分形时间序列．并把具有相同ＯＬ值的小区间 的数目记
为虬（‘），且有如下幂律关系成立．
帆（＜）ｏ（ｑ－ｆ（ａ）
（１．５）
一个复杂的分形体，它的内部可以分为一系列不同Ｑ值所表示的子集．这样，．厂（ａ）
就给出 了这一系列子集的分形特征，称函数，（Ｑ）为“重分形谱”或“奇异谱’’．当
丁（口）与，（＆）可 微时，有勒让德（Ｌｅｇｅｎｄｒｅ）变换【３引．
嘶）＝掣川ａ）＝ｑ，ｏＬ（ｇ）叫口）
（ １．６）
它建立了独立变量ｇ和７．及独立变量Ｑ和，之间的联系，通常容易求出随ｑ变
化的丁 ，因此，可根据公式（１．６）来求得ｃｅ（ｑ）和．厂（ａ（ｇ）），使得，（Ｑ）相对ＯＬ的图通
过 参数口来刻画．如果所研究的对象是单分形的，则函数，（ａ）为一定值；如果是
重分形，则函数．厂（ Ｑ）一般为单峰图像．使，（Ｑ）≥０的区间记为［Ｑｍｉｎ，０ｆ一】，其
中，Ｏｔｍ饥＝幽ｄｑＩ口。＋。。，Ｑ～＝乌笋Ｉ。．一。。，，（乜ｍｔｎ）＝，（＆～）＝０．
７
■

第一章引
言
我们可以用三个参数来描述时间序列的重分形程度，他们分别为厶 眦＝，（Ｑｏ），
０１０∈［Ｑ仇溉Ｑｍ∞】；区间【Ｑｍ溉ＯＥｍａｘ】的宽度Ｗ＝＆眦一ａ碱ｎ，第 三个参数为Ｂ，
用最小二次拟合可求得．具体方法如下：在函数。厂（Ｑ）取得最大值处Ｑ的取值Ｑｏ< br>附近，用最ｄ、－－＂次拟合法，拟合的二次函数设为．厂（Ｑ）＝Ａ（Ｑ—Ｑｏ）２＋Ｂ（Ｑ—Ｃｔ０） ＋Ｃ
其中，参数Ｂ表示谱曲线的对称性，当Ｂ＝０时，谱曲线是对称的；当Ｂ＞０
时，谱曲线峰 值偏右；当Ｂ＜０时，谱曲线峰值偏左．通过以上三个参数对时间
序列的描述，说明当．厂（ａ）的最大 值越大，区间［Ｏｌｍ溉Ｑ～］的宽度ｗ越宽及谱
曲线Ｉ厂（Ｑ）对称性越好时，时间序列的重分形性越 强１１】．
§１．２本文的主要工作
考虑到时间序列研究在非线性科学研究中的必要性和重要性 ，我们的研究工
作主要分为如下五部分展开：
第一部分是指数趋势对Ｌａｐｌａｃｅ—ＤＦＡ模 型影响的研究．针对自然记录中存
在大量的指数趋势现象，提出了将Ｌａｐｌａｃｅ变换及其滑动平均技 术引入ＤＦＡ模
型．并且，对于单分形与重分形时间序列，上述技术在消除指数趋势时效果显著，
不仅消除了波动函数的交叉点，还保持了原始时间序列的标度特征．此时，相应
的复合模型成为消除自 然记录指数趋势的最优化充要条件．
第二部分是时间序列的ＤＣＣＡ模型研究．为了研究时间序列交叉相 关性产
生的机理，时间序列自相关性对交叉相关性的影响，以及趋势对交叉相关性的影
响，我们 构造了一类具有重分形交叉相关的时间序列模型．进一步地，就不同滤
波技术与ＤＣＣＡ方法相结合的技 术进行讨论，并运用于不同相关程度的信号，
探讨两组信号经过滤波前后的交叉相关特征．研究结果表明 ，对数平移滤波方法
是性能良好的信号处理技术．上述滤波技术同样可以应用于自然界记录中的去噪处理领域．同时，本文提出多重分形交叉标度指数和多重分形交叉谱的概念，利
用Ｌｅｇｅｎｄｒｅ 变换证明了它们之间的数量关系，进而完善了重分形交叉相关判定
理论．特别地，我们就不同函数趋势对 双组ＡＲＦＩＭＡ模型交叉性的影响进行了
探讨，本文利用重分形消除交叉趋势理论刻画其交叉相关特征 ．
第三部分是利用ＤＦＡ与ＤＣＣ么技术探测交通时间序列的相关特征研究．
首先，通过自相关 函数与ＤＦＡ的对比结果发现，ＤＦＡ降噪效果更为显著．其
次，为了研究非平稳时间序列的交叉相关的 生成机理，本文定义了正波动时间序
列和负波动时间序列．应用ＤＦＡ和ＤＣＣＡ理论研究其自相关与交 叉相关特征．
８

北京交通大学博士学位论文
从而，为交通时间序列的建 模预测以及管理提供了理论和模型支撑．
第四部分是时间序列非线性预测及其应用研究．我们提出了基于 距离权重的
混沌预测模型，在最大Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数预测理论的基础上，改善了ＬｉｎＳａｙ相邻点
选取技术，得到了较理想的预测结果，经过实证分析表明，预测精度周期不超过
１５天．这些算 法同样为时间序列的非线性预测及其应用方面提供了算法的理论框
架．
第五部分是基于ＣＳＶＤ —ＤＦＡ模型的指数趋势最小化研究．针对自然记
录，尤其是具有混沌特征的时间序列中存在着指数趋势 现象，将混沌奇异值分解
算法引入ＤＦＡ模型．在单分形与重分形的条件下，上述滤波技术在处理指数趋
势时效果显著，不仅消除了波动函数的交叉点，还保持了原始时间序列的标度特
征．从而，ＣＳ ＶＤ—ＤＦＡ模型为消除混沌时间序列的指数趋势提供理论模型与
算法支撑．
９

第一章
引
言
１０

第二章
消除指数趋势对Ｌａ ｐｌａｃｅ—ＤＦＡ模型影响研究
指数趋势存在于众多的自然记录中，如结核病的发病率、物价指数、生 产资
料价格指数等．同时，自然记录中的众多噪音也是以指数趋势存在．在探讨研究
对象的主要 趋势时就需要对这些指数趋势进行有效的“过滤”．
消除趋势波动分析方法（ＤＦＡ）是Ｐｅｎｇ［６】 【３９】等在研究核糖核酸行为机制过
程中提出来的一种分析幂律函数的模型，现已成功地应用于生命科 学、地质学、气
象学和水文学等领域，被证明是检测非平稳时间序列长相关特征最重要、最可靠
的工具之一．２００２年，Ｋａｎｔｅｌｈａｒｄｔ［１】等在一维分形ＤＦＡ的基础上将其推广，
并与 基于标准配分函数的重分形公式体系联系起来，提出了ＭＦ—ＤＦＡ模型．
该模型可以对平稳和非平稳的 时间序列及涨落标度性进行度量，为重分形谱的估
计提供了有力的工具．然而，ＭＦ—ＤＦＡ模型只能消 除多项式趋势，不能消除
其它趋势．因此，我们需要找出其它方法．本章我们将在这方面做一些尝试．针
对自然记录中存在大量的指数趋势现象，提出了将Ｌａｐｌａｃｅ变换及其滑动平均技
术引入Ｄ ＦＡ模型．并且，对于单分形与重分形时间序列，上述技术在消除指数
趋势时效果显著，不仅消除了波动 函数的交叉点，还保持了原始时间序列的标度
特征．此时，相应的复合模型成为消除自然记录指数趋势的 最优化充要条件．
§２．１模型与算法
§２．１．１ＭＦ—ＤＦＡ模型
设时间序列ｚ七 ，七＝１，２…是紧支集，ＭＦ—ＤＦＡ的步骤如下【１】：
第一步，求序列对于均值的累积离差ｙ（ｚ ）：
ｔ
ｖ（ｉ）＝∑ＩＸｋ－－＜ｚ＞】，ｉ＝１，２，…，Ｎ
七＝１
（２． １）
其中＜ｚ＞是序列。耙的平均值．
第二步，分割序列ｖ（ｉ）成等长小区间．将序列ｖ（ｉ ）分成Ⅳｓ＝ｉｎｔ（－警）个互
不重叠的小区间，每个小区间均含有ｓ个数据．由于Ⅳ未必整除ｓ，则 Ｙ（ｉ）将有
一段剩余，为了使序列ｖ（ｉ）的全部数据进入计算，再从序列ｖ（ｉ）的尾部重复这一分割过程，于是得到２Ⅳｓ个等长小区间．
第三步，用最／５－次拟合法求均方误差Ｆ２（ｓ，ｕ ）．
１１

第二章
消除指数趋势对Ｌａｐｌａｃｅ－ＤＦＡ模型影响研究
设可口（ｉ）是第Ｖ个小区间的拟合多项式，当Ｖ＝ｌ，２，…，Ⅳｓ时，有
１Ｓ
Ｆ２ （ｓ，ｕ）三妄Ｅ｛ｙ［（ｕ—１）ｓ＋ｉ】一纨（ｔ））２
ｏ
（２．２）
ｆ＝１当Ｖ＝Ⅳｓ＋１，Ⅳｓ＋２，…，２Ⅳｓ时，有
１Ｓ
Ｆ２（ｓ，臼）三妄Ｅ｛Ｙ［Ｎ一（ｕ 一Ⅳｓ）ｓ＋ｉ］一蜘（ｉ））２
口｛＝１
（２．３）
这里拟合多项式纨（ｉ）可以是 一次的，二次的，三次的，…一般记为ＭＦ—ＤＦＡｍ，
ｍ是拟合多项式的阶数．
第四步，对于 ２Ⅳｓ个区间，求Ｆ２（ｓ，＂）的平均值，得口阶波动函数Ｂ（ｓ），
一
删三‘瓦至瞅ｓ卅弦
当ｑ＝０时，波动函数可以由下式确定，
一
２Ｎ，
，１
（２．４）< br>Ｆｏ（ｓ）三ｅ印＿［砜１脚Ｅ
１ｎ瞰ｓ，ｕ）】）
２肌
（２・５）
当 ｑ＝２时，ＭＦ—ＤＦＡ就退化成ＤＦＡ．当口＜ｏ时，‘（ｓ）的大小主要取决
于小波动偏差Ｆ２（ｓ ，Ｖ）的大小．而当ｑ＞０时，Ｂ（ｓ）的大小主要取决于大波动偏
差Ｆ２（ｓ，Ｖ）的大小．这样，不 同的口就描述了不同程度的波动对日（ｓ）的影响．
第五步，分析Ｂ（ｓ）与ｓ的双对数函数，确定波动 函数的标度性．Ｒ（ｓ）是ｑ
与８的函数，且对于较大的ｓ，Ｂ（ｓ）以幂律形式增加，即
日（ ｓ）～ｓｈ（口）（２．６）
这里ｈ（ｑ）称为广义赫斯特（Ｈｕｒｓｔ）指数，当序列是平稳时间序列 时，ｈ（２）称
为Ｈｕｒｓｔ指数．通常，波动函数Ｒ（ｓ）是ｓ的增函数，做出ｌｎＲ（ｓ）对ｌｎｓ 的函数
关系图，求出ｌｎ‘（ｓ）相对于ｌｎｓ的变化斜率，其斜率即为所得的标度指数＾（ｇ）．为了使Ｒ（ｓ）有较高的稳定程度，通常ｓ的取值不超过譬．当序列（ｚ七），为一单
分形时，偏差 Ｆ２（ｓ，ｕ）在所有区间的标度行为是一致的，从而ｈ（ｑ）独立于ｇ为一
常数．特别的，当序列（ｚ 七），不相关或短程相关时，
为ｇ的函数时，序列（观），为多重分形．
然而，
九（ｇ ）＝｛；当九（ｇ）依赖于ｇ
ＭＦ—ＤＦＡ方法仅能确定正的广义Ｈｕｒｓｔ指数ｈ（ｑ）的信号性质．
１２

北京交通大学博士学位论文
当ｈ（ｑ）趋于０时，信号表现出强的 逆相关，此时，ＭＦ—ＤＦＡ方法不能准确地确
定信号的性质，这就需要修正ＭＦ—ＤＦＡ过程．最简单 的方法就是在ＭＦ－ＤＦＡ
方法之前，在第一步中两次求累积离差，方法如下：
夕（ｉ）三∑［ ｙ（忌）一＜ｙ＞】
以下步骤同ＭＦ—ＤＦＡ方法，我们得到广义的波动函数Ｂ（ｓ），
（２． ７）
只（ｓ）一ｓｈ（ｇ’
（２．８）
对于大的标度，有元（ｇ）＝九（ｇ）＋１．假 设序列ｚ＿Ｉｃ为长度为Ｎ的稳定时间序列，
那么在用ＭＦ—ＤＦＡ方法分析此稳定时间序列时，就可以 省略第三步的消除趋
势过程，也就是所谓的传统的波动分析法（简记为ＦＡ）．用ＦＡ方法进行分析，< br>此法的第一步，第二步同ＭＦ—ＤＦＡ方法，在第三步中方程（２．２）改为
睇Ａ（ｓ，ｕ）三［ Ｙ（ｖｓ）一ｙ（（ｕ一１）ｓ）］２
将（２．９）式代入（２．４），（２．６）式可得
（２ ．９）
．［瓦简№）一ｍ一１）ｓ）限”删
．［雨１Ｆ
２Ｎ，Ｚ
ｌｙ（ｕｓ） 一ｙ（（ｕ一１）ｓ）ｌ。）ｊ。ｓｈ（口’
（２．１０）（２－１０）
我们考虑简单的情况， 这里假设Ｎ是ｓ的整数倍，即Ⅳｓ＝譬这样可得
∑ＩＹ（ｖｓ）一ｙ（（ｕ一１）ｓ）ｌ口一ｓ咖（ｇ） 一１
由方程（２．１）可得，
ｔ，Ｓ
（２．１１）
Ｙ（ｖｓ）一ｙ（（口一１ ）ｓ）Ｉ＝∑ｚ七＝Ｐｓ
Ｖ）
ｋ＝（ｖ－１）ｓ
（２．１２）
标度指数７－（ ｇ）是由配分函数乙（ｓ）来定义：
Ⅳ
ｄ
磊（ｓ）＝∑ＩＰｓ（＂）Ｉ口一ｓ丁（口’
ｖ＝ｌ
（２．１３）
由方程（２．１１），（２．１２），（２．１３）得到
ｒ（ｑ）＝ｑｈ（ｑ）一１
１３
（２．１４）

第二章
消除指数 趋势对Ｌａｐｌａｃｅ－ＤＦＡ模型影响研究
这样，我们就得到了ＭＦ—ＤＦＡ方法中定义的广义Ｈｕｒ ｓｔ指数ｈ（ｑ）与传统方
法中的标度指数７－（口）的关系．勒让德（Ｌｅｇｅｎｄｒｅ）变换【１】 ＝
口＝ＴＩ（口）；，（Ｑ）＝ｇ＆一７．（ｇ）（２．１５）
根据勒让德（Ｌｅｇｅｎｄｒｅ ）变换式和（２．１４）式，得到重分形谱，（Ｑ）和广义Ｈｕｒｓｔ指
数ｈ（ｑ）的关系式：
Ｑ＝ｈ（ｑ）＋ｑｈ７（ｇ）；，（Ｑ）＝口陋一＾（口）］＋１（２．１６）
如果研究的时间序列是单 分形的，则函数．厂（Ｑ）是一定值；如果时间序列是重分
形，则函数，（ａ）一般为单峰钟形图像．使 ．厂（ａ）≥０的区间记为［Ｑｍ溉＆仃眦】，其
中，
Ｑｍｉｎ＝垒二ｄ皿ｑ
ｌＰ＋∞ ，
Ｏｔｍａｘ＝塑ｄ皿ｑ
Ｉｐ一∞，且－厂（Ｑ眈ｎ）＝，（Ｑｍ∞）＝０，我
们可以 用三个参数来描述时间序列的重分形程度，他们分别为厶眦＝．厂（＆ｏ），
Ｏｌｔ）∈［ＯＬｍｉｎ， Ｏｌｍａｘ】；区间［ＯＬｍｉｎ，乜ｍ∞】的宽度Ｗ＝Ｑ眦一ａ，ｎ溉第三个参数为Ｂ，
用最ｄｘ－－ 次拟合可求得．具体方法如下：在函数，（０ｆ）取得最大值处Ｑ的取值∞
附近，用最／Ｊ、－－次拟合 法，拟合的二次函数设为，（Ｑ）＝Ａ（＆一５０）２＋Ｂ（ａ－ａｏ）＋ｃ
其中，参数Ｂ表示谱曲线的 对称性，当Ｂ＝０时，谱曲线是对称的；当Ｂ＞０
时，谱曲线峰值偏右；当Ｂ＜０时，谱曲线峰值偏左． 通过以上三个参数对时间
序列的描述，说明当，（Ｑ）的最大值越大，区间Ｉａ戚。，Ｑ。。】的宽度ｗ 越宽及谱
曲线，（理）对称性越好时，时间序列的重分形性越强【１｜．
§２．１．２Ｌａｐｌ ａｃｅ算法
法国数学家Ｐｉｅｒｒｅ—Ｓｉｍｏｎ
Ｌａｐｌａｃｅ（１７４９—１８２７）引入 的积分变换可以巧妙地
将一般常系数微分方程映射成代数方程，奠定了很多领域，如电路分析、自动控< br>制原理等的数学模型基础．本文将介绍Ｌａｐｌａｃｅ变换及其逆变换的定义与性质．
一个时域函 数ｆ（ｔ）的Ｌａｐｌａｃｅ变换可以定义为
ｚ帅）】＿上∞）ｅ－３ｔｄｔ＝Ｆ（５）
式中，
（２・１７）
Ｚ［．厂（￡）】为Ｌａｐｌａｃｅ变换的简单记号．
下面将不加证明地 列出一些Ｌａｐｌａｃｅ变换的性质．
（１）线性性质．若ａ与ｂ均为标量，则Ｚ［ｏ，（ｚ）４－ｂｇ （ｔ）】＝ｏＺ【，（ｚ）】４－６Ｚ［夕（￡）】．
（２）时域平移性质．Ｚ［，（艺一口）】＝ｅ－ ａｓＦ（ｓ）．
】４

北京交通大学博士学位论文
（３）ｓ一域平移性质 ．ｚｌｅ咄‘ｆ（ｔ）Ｊ＝Ｆ（ｓ４－ａ）．
（４）微分性质．
求出．
ｚ［辔］＝ｓＦ （ｓ）一ｆ（ｏ＋），一般地，ｎ阶微分方程可以由下式
ｚ［杀弛）】＿Ｓ吲ｓ）＿￥ｎ－Ｉ加＋）－ｓ 棚掣一．ｏ
ｏ＿可ｄｎ－ａｆ丁（Ｏ＋）（２．１８）
若假设函数，（￡）及其各阶导数的初值 均为０，则式（２．１８）可以简化成
ｚ【掣】＝ｓ吲ｓ）
此性质事实上是微分方程映射成代数 方程的关键式子．
（２．１９）
（５）积分性质．若假设零初始条件，
ｚ［后．厂（７ ．）ｄ７－】＝掣，一般地，函数ｆ（ｔ）
（２．２。）
的ｎ重积分的Ｌａｐｌａｃｅ变换可以 由下式求出．
引Ｚｔ／０２竹Ｍ＝掣
（６）初值性质．
｛ｉ．ｍｏ邢）２熙ｓＦ（ｓ）
（７）终值性质．如果Ｆ（ｓ）没有ｓ≥０的极点，则
（２・２１）
恕∞）２
１ｉ—ｍｏ
ｓＦ（ｓ）
（８）卷积性质．Ｚ［．厂（艺）木夕（ｔ）】＝Ｚ［．厂（ｔ）】Ｚ１ ９（￡）】，卷积算子车的定义为
（２・２２）
，（ｔ）车夕（ｚ）＝／０２，（丁）夕（ｔ一 丁）ｄ丁＝／ｏ。，（亡一丁）夕（丁）ｄ丁
（９）其它性质．
‘（２．２３）
州∽Ｊ ＿（－１）凡掣卅等】＝■．／。。耶№ｎ
Ｌａｐｌａｃｅ逆变换
（２．２４）
如果已 知函数的Ｌａｐｌａｃｅ变换Ｆ（ｓ），则可以通过下面的逆变换公式求出其
（２．２５）
ｍ） ＝ｚ一１［Ｆ（ｓ）］。丽１一ｆａａ＋，ｊ∞。。Ｆ（５）ｅ８２ｄｓ
其中，ｇｒ大于Ｆ（ｓ）奇点的 实部．

第二章消除指数趋势对Ｌａｐｌａｃｅ—ＤＦＡ模型影响研究
最近几年来 ，国际上众多学者基于多种滤波技术发展了ＭＦ—ＤＦＡ模型来
消除时间序列的噪音［９－１５１．但是 ，对消除时间序列指数趋势的研究却很少．在本
节中我们提出基于Ｌａｐｌａｃｅ变换的ＭＦ—ＤＦＡ模 型，此模型不但能够有效消除
时间序列中的指数趋势，而且可以保持时间序列的标度特征．
第一 步，给定满足幂律分布的时间序列ｕ（ｋ）和指数趋势ｔ（ｋ）＝ＡｅＢ寿，ｋ＝
０，１，…，Ⅳ一１． 因此，复合时间序列由下式给出：
ｘ（ｋ）＝札（尼）＋ｔ（ｋ）
第二步，对时间序列ｚ（七） 进行Ｌａｐｌａｃｅ变换
＾ｒ一１
（２．２６）
ｚ［ｚ（七）】三ｘ（ｚ）＝Ｅ
ｚ（七）ｚ一七
ｋ＝Ｏ
（２．２７）
其中，ｚ∈Ｃ一｛ｏ）．
第三步，令< br>ｘ４（ｚ）＝Ａｚｋ（七一１）］＋（１一入）Ｚ陋（七＋１）】
这里的实参数：
入：０ ＜入＜１．
（２．２８）
第四步，确定滤波数据的逆Ｌａｐｌａｃｅ变换：
ｚ＋（尼） ２南舡ＲＸ＋（ｚ）・少。ｄｚ
这里Ｊ＝√＝Ｔ，并且Ｒ（＞ｏ）为较大的实数．
影响程度降到 最低．下面通过单分形和重分形时间序列来验证此模型算法．
（２．２９）
我们就把此滤波技术 与ＭＦ—ＤＦＡ模型相结合，使指数趋势对时间序列的
§２．２基于Ｌａｐｌａｃｅ．ＤＦＡ模型的指数 趋势最小化效应
§２．２．１
具有指数趋势的单分形时间序列
将上述滤波技术应用于具 有指数趋势的单分形时间序列，即满足幂律长相关
的时间序列．在此，我们采用修正的傅里叶技术…生成 长度为６６８０的单分形时
间序列ｕ（尼），它的标度指数为ｏ．８００．指数趋势为ｔ（ｋ）＝ＡｅＢ 嵛（Ａ＝Ｂ＝１），因
而，复合时间序列为ｚ（尼）＝乱（七）＋￡（尼），ｋ＝０，１，…，Ⅳ一１． 利用滤波模型对复合
时间序列进行研究，得到时间序列ｚ＋（尼）．分析结果如下：
１６

北京交通大学博士学位论文
图２—１具有指数趋势单分形时间序列的波动函数
在图２一ｌ（ａ）中是ＭＦ—ＤＦＡ应用于人造单分形数据的情形，其中拟合
多项式阶数分别为ｍ＝２， ４，６，８．从双对数图中得到与预期标度指数一样的值
ａ＝Ｏ．８００．对具有指数趋势的单分形时间 序列进行研究时发现，其波动函数出现
了交叉点［如图２—１（６）】．交叉点的重要作用在于：提示我 们，复合时间序列并不
像原始单分形时间序列那样满足统一的幂律关系．不管采用多高阶的拟合多项式< br>１７

第二章
消除指数趋势对Ｌａｐｌａｃｅ－ＤＦＡ模型影响研究
（ｍ＝２，４，６，８），还是低阶的拟合多项式，由于指数趋势导致的交叉点总是除之不
去．因指数 趋势造成的波动函数发生扭曲，呈现非线性波动状态．在此条件下，
在整个标度区间内我们将无法得到统 一的标度指数．然而，经Ｌａｐｌａｃｅ模型技术
处理后，复合时间序列的波动函数在整个标度区间内又 满足幂律分布．而且，检
测到标度指数Ｑ＝ｏ．８０２（如图２—１（ｃ）），与单分形时间序列的标度 指数十分接近
（如图２—１（ｎ））．因此，上述滤波模型在处理具有指数趋势的单分形时间序列时，< br>会把指数趋势效应降到最低，由ＭＦ—ＤＦＡ模型得到的标度指数与单分形时间
序列相差无异．研 究结果表明，基于Ｌａｐｌａｃｅ算法的ＭＦ—ＤＦＡ模型可以有效
除去单分形时间序列的指数趋势．< br>§２．２．２具有指数趋势的重分形时间序列
ｚ七＝ａｎ（卜１）（１一ｏ）竹ｍ。ｚ哪（ｋ－１ ），
二项式序列是一种特殊的重分形时间序列。
这里０＜ａ＜１，ｋ＝１，２…．，Ⅳ，Ｎ＝２ ｎｍ一，礼（七）是把十进制的ｋ表示成二进
制后１的个数．如ｎ（１３）＝３，即十进制的１３表示成 二进制为１１０１，有３个１．
Ｋａｎｔｅｌｈａｒｄｔ【１Ｊ不仅证明了此序列为重分形序列，而且还 推导出它的配分函数和
标度指数的具体形式．
图２—２是重分形、附有指数趋势的重分形和滤波 后的时间序列波动函数趋
势图．由图可见，推广的乘积阶次模型不仅对口＞０的阶数进行表征，还适用于
口＜０的阶数，表明该模型可以对重分形时间序列的特征进行精确描述．同时，图
２—２（ａ） 表明，当ｑ＝一２５：７：２５时，重分形时间序列的波动函数整体呈现幂律
分布状态，这和文献“Ｍｕ ｌｔｉｆｒａｃｔａｌ
ｔｉｍｅ
ｄｅｔｒｅｎｄｅｄｆｌｕｃｔｕａｔｉｏｎ
ａｎａｌ ｙｓｉｓ
ｏｆ
ｎｏｎｓｔａｔｉｏｎａｒｙ
ｓｅｒｉｅｓ”的结果保持一致，在此就不 再赘述．
为了确定基于Ｌａｐｌａｃｅ变换的ＭＦ—ＤＦＡ模型对重分形时间序列的影响
效应， 我们以二项式重分形时间序列为例，对其附加指数趋势ｔ（七）＝ＡｅＢ青，七＝
０，１，…，Ⅳ一ｌ， 这里的Ａ＝Ｂ＝１．图２—２（ｂ）为指数趋势重分形时间序列的波
动函数趋势图．由图可见，具有指数 趋势重分形时间序列的波动函数出现一个很
大的交叉点，而这个交叉点把波动函数撕裂为两种不同的幂律 分布，显然，这不
是我们想要看到的结果．
图２—２（ｃ）是由滤波模型处理具有指数趋势重分 形时间序列的波动函数状态
图．我们发现，经滤波算法处理后不仅除去了波动函数的交叉点，而且保持了 时
间序列的本质特征．研究结果表明，基于Ｌａｐｌａｃｅ算法的ＭＦ—ＤＦＡ模型可以
有效除 去重分形时间序列的指数趋势．
１８

北京交通大学博士学位论文
Ｚ８
ｒ
王
２
ｖ叮
量
∞
旦
ｕ－
Ｃ
图２－２具有指数趋势重分形时间序列的波动函数
类似地，我们同样能够证明，基于Ｌａｐｌａ ｃｅ算法的ＭＦ—ＤＦＡ模型在研究
以交通流时间序列为代表的自然记录时效果显著［４１１
１ ９

第二章
消除指数趋势对Ｌａｐｌａｃｅ－ＤＦＡ模型影响研究
§２． ３主要结果
通过基于Ｌａｐｌａｃｅ变换的ＭＦ—ＤＦＡ模型对单分形和重分形时间序列进行
研 究，研究结果表明，此模型能够有效消除指数趋势而不影响时间序列的标度特
征．然而，一般的滤波技术 还不是能把任何干扰趋势降到最小化的推广工具．不
论是理论还是经验数据都需要进行深入地研究．２０

第三章时间序列ＤＣＣＡ模型研究
Ｄａｎｇｅｔｉ［４２】在其博士毕 业论文中讨论了以高斯噪音为代表的五类噪音，同时
设计了基于图像噪点的线性滤波（包括线性平均滤波 和最／Ｊ、－－次平均自适应滤波）
和离散小波变换滤波模型，并结合二维图像进行了实证分析．
Ｃｈｅｎ［８】首次给出
了基于一维时间序列的线性、非线性多项式、指数函数、对数函数的滤波算法 ，
可以看出，这几类滤波技术是非常简便且效果极佳的滤波算法．迄今为止，这些
滤波技术仅仅 以图像以及一维时间序列为研究对象，而对两组时间序列的交叉相
关性的影响一直未有研究．因此，我们 采用线性、非线性多项式、指数函数、对数
函数的滤波算法来研究它们对两组时间序列交叉相关特征的影 响问题．
传统的时间序列分析模型主要有自回归模型（ＡＲ），滑动平均模型（ＭＡ），自
回归 滑动平均模型（ＡＲＭＡ），自回归求和滑动平均模型（ＡＲＩＭＡ）以及乘积季节
ＡＲＩＭＡ模型（Ｓ ＡＲＩＭＡ）模型等，这些模型主要是短记忆模型．近年来，人们
对失业率、ＧＤＰ、汇率等多种数据的 研究发现，远距离观测值间的相互依赖性
尽管很小，但是仍不能被忽视，即其具有“长记忆性”．分整自 回归移动平均模
型（ＡＲＦＩＭＡ），又称分形差分自回归模型）是一种长记忆模型，它是由Ｇｒａｎｇ ｅｒ
和Ｊｏｙｅｕｘ（１９８０）［４３】以及Ｈｏｓｋｉｎｇ（１９８１）［４４】在ＡＲＩＭＡ模型 的基础上构建的，
广泛用于时间序列研究．Ｐｏｄｏｂｎｉｋ［４５烨６Ｊ等在一维ＡＲＦＩＭＡ模型基 础上建立了
二维ＡＲＦＩＭＡ模型，此模型一经发现就迅速应用于两组时间序列交叉相关性的
研 究．其中，Ｐｏｄｏｂｎｉｋ［４６】就正弦函数对双组ＡＲＩＭＡ模型的影响进行了深入研
究．受此启 发，我们研究幂函数、指数函数和对数函数对双组ＡＲＩＭＡ模型的影
响，探讨非平稳时间序列交叉相关 性产生的机理问题．
§３．１
§３．１．１
ＡＲＦＩＭＡ与ＭＦ—ＤＣＣＡ模型
Ｒ／Ｓ模型
Ｒａｎｇｅ
Ｒ／Ｓ分析（Ｒｅ—ｓｃａｌｅｄ
Ａｎａｌｙｓｉｓ）最早来 自于水文学【４
７１，又称为重标
极差分析法．Ｈｕｒｓｔ率先运用该方法对尼罗河潮汐数据进 行了研究，发现水文时
间序列中的长期记忆性，随后该方法被广泛运用到流体学、气象学等自然科研领< br>域．它与传统的方法（如自相关分析，谱分析等）相比，
Ｒ／Ｓ分析是侦测长相关
性方面 的一个更为有力的工具．它主要通过Ｈｕｒｓｔ指数的计算来侦测时间序列中
的长相关陛．
２１

第三章时间序列ＤＣＣＡ模型研究
Ｈｕｒｓｔ指数反映了时间序列均值的累计离 差随时间变化的范围，并且Ｈｕｒｓｔ
建立了以下关系：
（芸）丁：ｃ丁日
其中，为常数，日为Ｈｕｒｓｔ指数．
（３．１）
Ｒ为时间序列的极差，Ｓ为标准差（即重标极差 ），丁为时间间隔，Ｃ
设已知时间序列为｛已）墨。，７－为时间间隔，则７－个时间序列数据的均值为
（联）丁＝圭∑已
由此，可求得累计偏差
（３．２）
ｘ（ｉ，７－）＝∑‰一 （Ｅ∈）丁】＝∑已一ｉ（Ｅ∈）丁，（１≤ｉ≤７－）
极差
（３．３）
冗（７Ｉ）＝ ｍａｘＸ（ｉ，７．）一ｍｉｎＸ（ｉ，丁），（１≤ｉ≤７．）
标准差
（３．４）
ｓ （７．）＝｛＝１∑陈一（Ｅ∈），】２）｛
（３．５）
根据（３．１），一旦通过（３．２） 一（３．５）估计出来Ｒ／Ｓ，则Ｈｕｒｓｔ指数可通过最小
二乘法回归计算出
ｌｎ躲－ｌｎ（ 卅Ｈｌｎ（Ｎ）
其中０≤Ｈ≤１．
（３．６）
如果时间序列具有分数Ｂｒｏｗｎ运动特 性，给定一个从一ｔ到０的过去增量
（匈一ｚ—ｔ），与未来增量（忍一Ｚｏ）的相关系数为
∞ ，＝警掣，
２２
因为
Ｅ［（Ｚｏ—Ｚ—ｔ）＋（ｚｔ一徇）】２＝Ｅ［旎一Ｚ－ｔ】２ ，
代入上式整理有
㈣：—（２ｔ）矿２Ｈ－－２ｔ２Ｈ：２２肭一１．
根据上式有如下 结论：

北京交通大学博士学位论文
（１）当日＝百１时，ｃ（ｔ）＝０，这标志 着时间序列是随机的，事件是随机和不相
关的，即过去与将来不存在相关性，时间序列为完全独立过程．
（２）当｛＜Ｈ≤ｌ时，则暗指正相关，该时间序列具有持久性或为外力强制
主导序列，即如果 过去有一个增加，那么在平均意义上，未来也有个增加．序列
具有长记忆性．
（３）当０≤Ｈ＜ 虿１时，则暗指负相关，该时间序列具有抗持久性，表现出一
定的期望恢复行为，即过去的减少趋势使未 来可能出现增加趋势．
§３．１．２一维ＡＲＦＩＭＡ模型
一维ＡＲＦ，＾彳Ａ（，ｒ口ｃ抚Ｄ ｎ０２２掣ｎ乱艺Ｄ—ｒｅ夕ｒｅｓｓ讥７ｅ
模型定义如下㈨：
ｏ。
ｉｎｔｅｇｒａｔ ｅｄ
ｍｏｖｉｎｇ－ａｖｅｒａｇｅ）
Ｘｔ＝∑ＯＬｎ（ｄ）ｚｔ一竹＋８ｔ
ｒｔ一－ －－１
（３．７）
这里，一０．５＜ｄ＜０．５，ｄ＝Ｈ一０．５（Ｈ为时间序列Ｘｔ的Ｈｕｒ ｓｔ指数，在本
篇论文中我们利用Ｒ／Ｓ模型得到）．包是满足高斯分布的变量：（岛）＝０，（Ｅ；） ＝１．
ａｎ（ｄ）是满足‰（ｄ）＝ｄＦ（ｎ—ｄ）／（ｒ（１一ｄ）ｒ（扎＋１））的常数．ｒ为Ｇａ ｍｍａ函数，
ｎ为时间标度．
§３．１．３双组ＡＲＦＩＭＡ模型
欲探测两组各自满足 幂律自相关变量兢和Ｙ。的交叉相关特征，我们计划采
用双组ＡＲＦＩＭＡ模型来重构两组时间序列，具 体过程如下【４６】：
Ｘｔ＝［ＷＸｔ＋（１一ｗ）Ｍ】＋毛
Ｙｔ＝［（１一彤）Ｘｔ＋彬Ｋ】 ＋磊
ｏ。
（３．８ａ）
（３．８ｂ）
（３．８ｃ）
五＝∑ａｎ（ｄ１ ）Ｘｔ—ｎ
ｎ＝ｌ
ｏｏ
＋Ｋ＝∑ａｎ（ｄ２）Ｙｔ—ｎ
ｎ＝１
（３． ８ｄ）
此处，ｇ。和磊为满足高斯分布的变量：
（旬）＝（磊）＝０，（《２）＝（磊２）＝１ ，
‰（ｄ１）和ｏｒｅ（ｄ２）同时满足ｒ函数的关系式‰（ｄ）＝ｄｒ（ｎ—ｄ）／（ｒ（１一ｄ）ｒ （ｎ＋１）），
ｄ１和ｄ２为标度参数（０≤ｄｌ，２≤０．５，ｄｌ＝Ｈ１—０．５，ｄ２＝Ｈ２—０ ．５，Ｈ１和吼分别
为变量五和Ｍ的Ｈｕｒｓｔ指数），ｗ是力偶参数（０．５＜Ｗ＜１）．