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第２６卷第４期
２００７年８月
重庆交通大学学报（自然科学版）
ＪＯ ＵＲＮＡＬＯＦ
ＣＨＯＮＧＱＩＮＧ
ＪＩＡ０７ＦＯＮＧ
ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ（ＮＡ ＴＵＲＡＬ
ＳＣＩＥＮＣＥ）
Ｖ０１．２６Ｎｏ．４
Ａｕｇ．，２００＂７
泰 勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用
严振祥，沈家骅
（上海海事大学基础部，上海２００１ ３５）
摘要：利用泰勒公式讨论了函数的凹凸性，并获得一个判别拐点的较为简单的方法．
关键 词：泰勒公式；函数；凹凸；拐点
中图分类号：０１７４文献标识码：Ａ文章编号：１００１—７１６Ｘ （２００７）０４一０１
６０一０２
Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ
ｏｆｔｈｅ
Ｔａ ｙｌｏｒ
Ｆｏｒｍｕｌａ
ｔｏ
Ｊｕｄｇｉｎｇ
ｔｈｅ
Ｃｏｎｃａｖｉ ｔｙ，
Ｃｏｎｖｅｘｉｔｙ
ａｎｄＦｌｅｃｎｏｄｅ
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Ｆｕｎｃ ｔｉｏｎ
ＹＡＮ
Ｚｈｅｎ—ｘｉａｎｇ，ＳＨＥＮ
Ｊｉａ—ｈｕａ
（Ｂａｓｉ ｃ
Ｓｃｉｅｎｃｅ
Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ，Ｓｈａｎｇｈａｉ
Ｍａｒｉｔｉｍｅ
Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｎｇｈａｉ
２００１３５，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔ糟ｃｔ：Ｔ ｈｅ
ｃｏｎｃａｖｉｔｙ
ａｘｌｄ
ｃｏｎｖｅｘｉｔｙ
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ｆｏｒｍｕｌ ａ；ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｃｏｎｃａｖｉｔｙ
ａｎｄ
ｃｏｎｖｅｘｉｔｙ：ｎｅｃｎｏｄｅ泰勒公式是高等数学的一个重要内容，在各个
领域有着广泛的应用．不少书中利用它来判断函数的单调性、极值．尝试利用它来研究函数的凹凸性及
拐点．
同理可得“墨。）＜［“噩一： ）＋八雹）］／２
以雹＋，）＜［以墨）＋，（霹＋：）］／２，代入式（２）
可得厂（Ｘ；） ＜叭墨一：）＋以Ｅ＋：）］／２，以此类
推，便可得，（骂）＜［，（墨一。）＋“墨＋。）］／２， …，
，（Ｘ；）＜［，（｜Ｙ２∑”）＋厂（ｘ：：：“）］／２＝［，（：Ｃｏ）＋
，（ｘ２ ”１）］／２
由凰、置”１的任意性，便证得“ｘ）在［ｎ，ｂ］上
是凹向的．［证毕】
现用引理来证明函数凹向的判定定理
定理１
引理：若，（ｘ）在［ｎ，ｂ］中任意一个足够小 的区
间一上为凹向的，则，（＊）在［ｎ，ｂ］上也是凹向的．
证明：取［ｎ，ｂ］中任意二点 墨＜Ｘ：”１，并将
［％，五”１］以分点疋＜五＜…＜霹一１（墨＜墨＋．＜
…＜粥：：＜墨 “平均分成２”‘个小区间．只要ｎ充
分大，便可使得每个小区间足够小．
设“ｘ）在每一个小 区间上都是凹的．
显然嗣＝（蜀＋翟“）／２．取Ｘ．’＝（霹一，＋
设“ｘ）在［ａ，ｂ］上 连续，在（ｎ，ｂ）上
具有一阶和二阶导数．若在（。，ｂ）内，”（Ｘ）＞０，则
以ｘ）在［ ａ，ｂ］上的图形是凹的．
证明：设ｃ＜ｄ为［。，ｂ］内任意两点，且［ｃ，ｄ］足
够小．Ｘ 。＜置为［ｃ，ｄ］中的任意两点，记凰＝（ｘ。＋
ｘ：）／２．由定理条件得泰勒公式
“Ｘ） ＝，（‰）＋ｆ’（．Ｙ０）（Ｘ一‰）＋，”（凡）（Ｘ
—ｘ。）２／２
１＋０［（ｘ一矗） ２］，
墨）／２，马’＝（驾＋Ｅ＋．）／２，则［ｘ。’，墨’］的长度与
各小区间相同．， （ｘ）在［ｘ。７，置’］也是凹向的，
所以，（墨）＜［“ｘ，’）＋，（工：’）］／２
［ “程）＋，（霹＋，）］／２，代人式（】）
得，（噩）＜［２ｆ（Ｘ；）＋，（髓一．）＋，（墨＋． ）］／４
即，（霹）（Ｌ“ｘ；．）＋，（墨＋．）］／２
（２）
（１）
而， （Ｘ。’）＜［，（‘Ｙ；一。）＋，（噩）］／２，，（置’）＜
由此以ｘ．）＋“ｘ：）＝＇，（％ ）＋ｆ’（％）（Ｘｔ一
墨）＋，’（：Ｃｏ）（置一．Ｙ０）＋，”（Ｘ。）（Ｘ。一凰）２／２１＋
收稿日期：２００６—０４—１４；修订日期：２００６＿０６・１２
作者简介：严振 祥（１９４８一），男，上海市人，副教授，从事数学教学和数字应用研究．ｅ—ｍａｉｌ：ｊｈｓｈｅｎ＠ｄｂ ｃ．ｓｈｍｔｕ
ｅｄｕ．
万方数据　

第４期
严振祥等：泰勒公 式在函数凹凸性及拐点判断中的应用
０［（ｘ
爿。）２］
因为余项为（ｘ—Ｘ。）２的 高阶无穷小，［ｘ．，凡］
又为足够小，
所以泰勒公式中ｆ”（％）（Ｘ一墨）２／２１＋０［ （Ｘ一
％）２］的符号与ｆ”（乜）相同．
又因Ｘｏ＝（工．＋Ｘ：）／２
所以，’（ 鼠）（ｘ。一凰）＋，’（％）（ｘ２一凰）＝０，
可得：
，（Ｘ，）＋，（Ｘｚ）一２ｆ（凰 ）＝ｆ”（ｘｏ）［（置一墨）２＋
（工。一蜀）２］／２１＋ｏ［（ｘ。一鼠）２］＋ｏ［（置一ｘｏ ）２］
＞０，即“Ｘ，）＋“蜀）一矾岛）＞０，得，（％）＜
［“Ｘ。）＋，（Ｘ２）］／２
由ｘ，、是的任意性，可得，（ｘ）在足够小的区间
［ｃ，ｄ］上是凹向的．再由ｃ、ｄ的任意 性，可得，（Ⅳ）在
［。，６］内任意一个足够小的区间内部都是凹向的．
由引理便证得“ｘ） 在区间［ｏ，６］上是凹向的．
［证毕］
对于函数凸性的判定定理完全可以用类似凹性
的方法得到相应的引理和证明，此略．
同时，我们利用泰勒公式对函数极值的判定，可
以相似地 推出函数拐点的判定，比用凰点两边区间
的二阶导数符号来判定，显得简单易行，且有更广泛
的 结论．
定理２若“ｘ）在某个Ｕ（凰，６）内１１，阶可导，
且满足，’（蜀）＝ｆ”（凰）一 一／””（凰）＝０，且
，”（ｘｏ）≠０，（ｎ＞２）
若１）ｎ为奇数，则（％以凰））为拐 点；
２）ｎ为偶数，则（％以％）不是拐点．
证明：写出ｆ”（盖）在凰处的泰勒公式，
ｆ”（ｘ）＝ｆ”（蜀）＋ｆ…（％）（Ｘ一％）＋…＋
／“（Ｘｏ）（Ｘ一‰）”２／（ｎ一２）！ ＋０［（ｘ—Ｘｏ）”２］
因为ｆ’（凰）＝ｆ”（鼠）一・习””（％）＝０，
万　方数据< br>ｆ”（Ｘ）＝／”（凰）（Ｘ一鼠）”２／（ｎ一２）！＋０［（ＩＹ
一墨）”２］，同样余项是 （ｘ一％）”２的高阶无穷小，
所以，”（ｘ）的符号在岛的６心领域内与
，”（墨）（ｘ一％ ）”２／（ｎ一２）！相同．当ｎ为奇数时，
显然在Ｘ。的二边，”（凰）（ｘ一鼠）”２／（ｎ一２） ！符
号相异，即－厂”（丑）的符号相异，
所以（Ｘｏ∥Ｘｏ））为拐点．
当ｎ为偶数 时，则，”（ｘ）的符号相同，所以（凰，
，（凰））不是拐点．［证毕］
例１：判定（ｏ，４ ）是否是，（ｘ）＝ｅ３＋ｅ。＋２ｃｏｓＸ
的拐点？
解．，’（Ｘ）＝ｅ。一ｅ～一２ｓｉｎ Ｘ，ｆ７（０）＝０
，”（Ｘ）＝Ｐ。一ｅ一３—２ｃｏｓＸ，ｆ”（０）＝ｏ
，’”（ｘ）＝ ｅ３一ｅ一１＋２ｓｉｎＸ，，’”（０）＝ｏ
／４’（ｘ）＝ｅ。一ｅ～一２ｃｏｓＸ，，４’（０） ＝４≠０
因为ｎ＝４
所以（０，４）不是“ｘ）的拐点．
例２：判定（０，０）是否是 厂（Ｘ）＝ｅ。一ｅ一一２ｓｉｍＹ
的拐点？
解．，’（Ｘ）＝ｅ。＋ｅ、。一２ｅｏｓＸ，ｆ ’（０）＝０
，”（Ｘ）＝ｅ１一ｅ“＋２ｓｉｎＸ，ｆ”（Ｏ）＝０
，Ⅲ（Ｘ）＝ｅ３＋ｅ“ ＋２ｃｏｓＸ，ｆⅢ（Ｏ）＝４≠０
因为ｎ＝３
所以（０，０）是，（ｘ）的拐点．
从 上述２例看到，要判别Ｘ＝０左、右二边，”（ｘ）
的符号不易，但用本定理则非常容易．
参考 文献：
［１］同济大学应用数学系．高等数学［Ｍ］北京：高等教育
出版社，２００２．
［２］复旦大学数学系数学分析［Ｍ］．上海：上海科技出版
社，１９６２．

泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用
作者：
作者单位：
刊名：
英文刊名 ：
年，卷(期)：
被引用次数：
严振祥， 沈家骅， YAN Zhen- xiang， SHEN Jia-hua
上海海事大学,基础部,上海,200135
重庆交 通大学学报（自然科学版）
JOURNAL OF CHONGQING JIAOTONG UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE)
2007,26(4)
1次

参考文献(2条)

1.同济大学应用数学系

高等数学 2002
2.复旦大学数学系

数学分析 1962

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泰勒公式在n阶行列式计算中的应用[期刊论文]-内江 师范学院学报2008,23(z1)
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王倩.WANG Qian
< br>带有皮亚诺(Peano)型余项的泰勒公式的推广与应用[期刊论文]-沈阳建筑大学学报(自然科学< br>版)2005,21(6)
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朱永生.刘莉.ZHU Li
< br>基于泰勒公式应用的几个问题[期刊论文]-长春师范学院学报（自然科学
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胡格吉乐吐

对泰勒公式的理解及泰勒公式的应用[期刊 论文]-内蒙古科技与经济2009(24)
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齐成辉

泰勒公 式的应用[期刊论文]-陕西师范大学学报(自然科学版)2003,31(z1)
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郭鑫.林卓

浅议泰勒公式应用[期刊论文]-黑龙江科技信息2008(2)
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陈丽.王海霞.CHEN Haixia

泰勒公式的应用[期刊论文]-廊坊师范 学院学报（自然科学版）2009,9(2)
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冯平.石永廷.Feng Yongtin

泰勒公式在求解高等数学问题中的应用[期刊论文]-新疆职业大学学报2003,11(4)

引证文献(1条)
1.胡国专

泰勒公式在微分学中的应用[期刊论文]
-
赤峰学院学报：自然科学版 2012(15)


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