律师求职-神龙教口号

第
25
卷第
1
期
2005
年
3月
　　　　
数学理论与应用
MATHEMATICALTHEORYANDAPP LICATIONS
　　　　　　
　　
Vol.25No.1
　　
M ar.2005
随机变量独立性的简易判别法
Ξ
汪建均
(
湖南建材高 等专科学校基础课部
,
衡阳
,421008
)
摘　要　给出二维随机 变量独立性的一个简易判别法
,
证明其存在的合理性
,
并将其推广至
n
维随机变量及
其函数独立性的判别
.
关键词　随机变量　独立性　简易判别 法
Simplejudgmentalmethodonindependence
ofran domvariable
WangJianjun
(
HunanBuildingma terialscollege
,
HengYang
,421008
)
Abstract
　
Givingasimplemethodofjudginginde pendenceoftwo
-
dimensionalvariables
,
thispaperproves
thereasonablenessofitsexistenc e
,
andextendaboveconclusiontojudgetheindepe ndenceon
n
-
dimensional
variablesandi tsfunction
.
Keywords
　
randomvariable
　
independence
　
simplejudgmentalmeth od
　　随机变量独立性是概率论中最重要的概念之一
,
文献中一般给出以下判别方法
.
1
　分布函数判别法
定理
1
　设二维连续型随机变量(
X
,
Y
)
的联合分布函数为
F
(
x
,
y
)
,
而边缘分布函数为
F
X
(
x
)
,
F
Y
(
y
)
,
而
X
与
Y
相互独立的充要条件是
:
对一切
x
和y
,
有
　　　　　　　
F
(
x
,
y< br>)
=
F
x
(
x
)
F
Y
(< br>y
)
.
2
　概率密度函数判别法
定理
2
　设 二维连续型随机变量
(
X
,
Y
)
联合概率密度函数
f
(
x
,
y
)
,
而关于
X
与Y
的边缘
概率密度分别为
f
X
(
x
)
,
f
Y
(
y
)
,
则
X
与
Y
相互独立的充要条件是
:
对任意的
x
和
y
,有
Ξ
罗俊波教授推荐
　收稿日期
:2004
年
6
月
13
日

72
数学理论与应用　　　　　　　　　　　　　 　　　　第
25
卷　
　　　　　　　
f
(
x
,y
)
=
f
X
(
x
)
f
Y(
y
)
上述两种方法必须求出边缘分布函数或边缘分布密度
,
相 比之下定理
2
要比定理
1
简单
一些
,
但有时定理< br>2
中的
f
X
(
x
)
,
f
Y
(
y
)
往往不易求出
.
另一方面
,
在实际 工作中有时我们只须
判断随机变量及其函数是否独立
,
无须求出边缘密度函数
,
对随机变量独立性简易判断方法的
研究变得非常有实际意义
.
文献
[1]
曾给出一个简易判别方法
,
笔者在此给出详细的证明并予
以推广
.
3
　简易判别法
定理
3
　设
(
X
,< br>Y
)
为二维连续型随机变量
,
其联合密度函数为
f
(
x
,
y
)
,
a
Φ
x
Φ
b
,
c
Φ
y
Φ
d
,
则随机变量
X< br>与
Y
相互独立的充要条件为
:
(
1
)
存在非 负连续函数
h
(
x
)
,
g
(
y
)
,
使
f
(
x
,
y
)
=
h
(
x
)
g
(
y
)
,
(
2
)
a
和
b
,
c
和
d
是分别与y
,
x
无关的常数
.
证明　充分性　由
(
1< br>)
可知
f
(
x
,
y
)
=
h
(
x
)
g
(
y
)
g
(
y
)
d
y
∫∫∫∫
f
(
y
)
=h
(
x
)
d
x
∫
f
(
x,
y
)
d
x
=
∫
h
(
x)
g
(
y
)
d
x
=
g
(y
)
∫
h
(
x
)
d
x
=g
(
y
)
∫
从以上两式可以看出
:
g
(
y
)
d
y
,
h
(
x
)
d
x
都是两常数
,
不妨设
∫∫
　　　　　　　
g< br>(
y
)
d
y
=
N
,
h
(< br>x
)
d
x
=
M
∫∫
∵
1=
f
(
x
,
y
)
d
x
d
y
=
h
(
x
)
g
(
y
)
d
x
d
y
=
h
(
x
)
d
xg
(
y
)
d
y
=
MN
∫
∫
∫∫
∫∫
∴
f
(
x
)
f
(
y< br>)
=
h
(
x
)
g
(
y
)< br>h
(
x
)
d
xg
(
y
)
d
y
=
h
(
x
)
g
(
y
)
=
f
(
x
,
y
)
∫∫
f
X
∞∞∞
(
x
)
=
-
∞
f
(x
,
y
)
d
y
=
-
∞
h(
x
)
g
(
y
)
d
y
=h
(
x
)
-
∞
g
(
y
)d
y
=
h
(
x
)
d
c
∞∞∞
b
a
Y
-
∞
-
∞
-
∞
b
c
b
a
d
c
b
a
b
a
d
c
b
a
d
c
b
a
d
c
b
a
d
c
XY
所以由定理
2
可知
:
“随机变量
X
和
Y
相互独立
.
必要性　若随机变量
X
和
Y
相互独立
,
由定理
2
有
　　　　　 　　
f
(
x
,
y
)
=
f
X
(
x
)
f
Y
(
y
)
　　
aΦ
x
Φ
b
,
c
Φ
y
Φ
d,
不妨取
f
X
(
x
)
=
h
(
x
)
,
f
Y
(
u
)
=
g
(
y
)
,
于是定理
3
中条件
(
1
)
成立
.
下面运用反证法证明
(
2
)
若< br>a
和
b
,
c
和
d
中至少有一个与
x
或
y
有关的函数
,
不妨设
a
=
a
(
x
)
.
由于
f
(
x
)
是
f
(
x
,
y
)
关于
x
的边缘密度
,
所以有
　　　　　　　
f
X
(
x
)
d
x
=1,
a
b
∫
b
而
　　　　　　　∫
f
a
(
x
)
X
(
x
)d
x
=
A
(
x
)
是一个与
x
有关的函数
,
这与上述的推导矛盾
.
所以
a
与
x< br>无关
,
同理可以说明
a
,
b
,
c
,
d
与

　第
1
期　　　　　　　　　　　随机变量独立 性的简易判别法
73
x
,
y
都无关
.
从以上的证明 过程可得到以下几个推论
:
推论
1
　在上述定理
3
的条件中
,
a
,
b
,
c
,
d
中的一个或几 个可以取
-
∞或∞
,
定理中的结
论仍然成立
.
推论
2
　上述证明过程中可以看出
f
X
(
x
)
与
h
(
x
)
,
f
Y
(
y
)
与
g
(
y
)
分别对应成正比例
.
推论< br>3
　上述的定理
2
不仅适用于两个连续型随机变量独立性的判别
,也适用于连续型
随机变量函数之间独立性的判断
.
其函数独立性的判别中
,
从而可以得到以下的定理
.
定理
4
　设
(
X1
,
X
2
,
…
,
X
n
)是连续型随机变量
,
其联合密度函数为
f
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
.
其中
a
i
Φ
x
i
Φ
b
i
,i
=1,2,
…
n
,
则随机变量
X
1
,
X
2
,
…
,
X
n
相互独立的充要条件为
:
(
1
)
存在连续函数
h
i
(
x
)(
1
Φ
i
Φ
n
)
,
使
n
　　　　　　　
f
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
=
0
h
i
(
x
)
i
=1
(
2
)
a
i,
b
i
(
1
Φ
i
Φ
n
)均为与
x
1
,
x
2
,
…
x
n
无关的常数
说明　
(
1
)
定理
4
的证明方 法完全与定理
3
的相同
.
(
2
)
上述的定理
4
也适用于
n
维随机变量函数独立性的简易判别
.
参考文献
[1]
　毛纲源1经济数学
(
概率论与数理统计初步
)
解题方法技 巧归纳
[
M
]
1武汉
:
华中理工大学出版社
,1999,
(
1
)
:297
1
[2]
　魏宗舒 1概率论与数理统计教程
[
M
]
1北京
:
高等教育出版社< br>,1983
1