无锡市第一中学-zara是什么牌子

2009
年
3
月
第
37
卷第
3期
机床与液压
MACHINETOOL&HYDRAULICS
Mar
1
2009
Vol
1
37No
1
3
基于
MA TLAB
参数曲线的最优逼近
丁克会
,
席平原
,
刘树春(
淮海工学院
,
江苏连云港
222005
)
摘要
:
讨论了单圆弧和双圆弧逼近曲线的优缺点
,
并综合应用两者的优点
,用混合单双圆弧以允差逼近参数曲线
,
使
得曲线在各分段点处逼近圆弧的光滑连接 。讨论了参数方程分段点的性质
,
提出第三类尖点。对曲线的分段点采用组合判
断的方 法
,
避免了高阶导数计算
,
保证了分段点判断的可靠性。在曲率极值点处采用 圆弧延长法
,
减少了圆弧逼近的段
数。对称图形采用对称算法
,
提高 了程序的执行速度。基于
MATLAB
优化的方法编程求解节点
,
为数控编程 加工复杂的曲
线提供了参考。
关键词
:
双圆弧
;
单圆弧;
最优逼近
;
尖点
中图分类号
:TH122;TP311
　　文献标识码
:A
　　文章编号
:1001-3881
(
200 9
)
3-162-3
TheParameterCurveOptimalAppro ximatingBasedonMATLAB
DINGKehui,XIPingyuan,LIUS huchun
(
HuaihaiInstituteofTechnology,Lianyu ngangJiangsu222005,China
)
Abstract:Theadvan taggthemeritsoftwo
kindsoffitting,theparameterc urvewasapproximatedinmixingsinglearcandbiarcinperm issiontolerancetomakethecurveapprox
2
ureofs egmentalpointsofparameterequationwasdiscussedandth ethirdtype
hodofcompositejudgingwasappliedatseg mentalpointsofthecurvetoavoidthecalculationofthelengtheningmethodinextremevaluepointsofcurva
2
ricalalgorithmforsymmetricalgraphwasusedsotha tthepro
2
esweresolvedbyprogramminginMATLABs oftwaretoprovidereferenceforprocessingcomplexcurve
innumericalcontrol.
Keywords:Biarc;Singlear c;Optimalapproximating;Cusp
　　非圆曲线的数控加工
,
一般有直线和圆弧两种逼
近方法。圆弧逼近曲线可分单圆弧和双圆弧逼近
,
单
圆弧逼近的优点是逼近圆弧段少
,
但不能处理有拐点
的情况。双圆弧逼近的优点是可 以处理有拐点的情
况
,
但圆弧段数明显比单圆弧逼近时多。如果综合考
虑两者 的优点
,
即对有拐点和极值点的参数曲线用单
圆弧和双圆弧共同拟合
,
发挥两者的优点
,
则既可以
保证整个逼近曲线的光滑连接又可保证逼近圆弧段数最少。因为参数方程可表示直角坐标和极坐标方程
,
且样条及
NURBS
曲线也是用参数方程表示
,
故作者
对参数曲线的逼近进行了讨论。
1
　最优逼近思想
具备逼近圆弧光滑连接且逼近圆弧段数最少两个
条件时才能保证最优逼近。目前 在逼近计算时只能计
算单调曲线逼近
,
因此
,
首先要保证每个曲线分 段的
逼近圆弧段数最少
,
即用单圆弧拟合。为确保曲线分
段点逼近圆弧光滑连 接
,
在曲线分段点两端要用双圆
弧拟合
,
因为单圆弧不能处理曲率极 值点和拐点问题。
如果分段点两侧的圆弧能合并
,
则可减少圆弧段
数。拐点两 侧的圆弧
,
由于弯曲方向不同
,
所以不可
合并
,
而 在曲率极值点两侧的圆弧有合并的可能。采
用圆弧延长技术
,
可对分段点两侧的圆弧合 并。因为
单调曲线段最后是一个双圆弧
,
若该点是曲率极值
点
,则先用圆弧延长法
,
将该双圆弧作为本段的起始
逼近圆弧
,
验算 其误差是否超过
δ
允
,
当不超过
δ
允
时
,
则上一圆弧得以延长
,
当超过
δ
允
时
,
要 重新计
算起点的逼近圆弧。当曲线在曲率极值点两侧对称
时
,
不需要验证。只 有在保证了段内和段间的圆弧最
少
,
才能保证全局最优。
2
　曲线的 分段计算、分段点类型判断及对称图形
的快速处理
通过对方程的绝对曲率函数及负绝对曲率函数 分
段搜索极小值
,
可得三种类型点的全部分段点。段间
的圆弧能否延长、相邻 段是何种对称都与分段点的类
型有关
,
参数方程曲线的分段点有曲率极值点、拐点和尖点。拐点处为中心对称
,
曲率极值点和尖点处为
收稿日期
:2008 -01-21
基金项目
:
淮海工学院自然科学基金项目
(
Z2006 023
)
作者简介
:
丁克会
(
1967
—
)
,
男
,
江苏姜堰人
,
大学本科
,
讲师< br>,
从事
CAD
、机械设计等课程的教学与研究。电话
:
,(
O
)
。
E-mail:dingkh666@sohu
1com
。
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第
3
期丁克会等
:
基于
MATL AB
参数曲线的最优逼近
・
1
　　　
63
・
轴对称 。在逼近计算前
,
要先按曲率单调计算曲率
极值点、拐点和尖点
,
每 个分段点两侧的图形如果完
全对称
,
可用对称算法。
文献
[5]将尖点分为两种
,
其第二类尖点为面
对背尖点
,
在尖点附近的曲 线位于尖点处切线的同
侧。在对含第二类尖点的曲线处理对称图形时
,
有些
曲 线在尖点处计算出现错误。原因是文献
[5]
中的
第二类尖点又可分两种。因此
,
尖点共分三种
:
(
1
)
23
背对背尖点
(
第一类
)
,
如
x
=
t
,y
=
t;
(
2
)
同向
245
尖点
(
第 二类
)
,
如
x
=
t
,y
=
t-
t;
(
3
)
面对面尖
34
点
(第三类
)
,
如
x
=
t
,y
=
t
。
不同类型的尖点其对称轴不同
:
第一类尖点
,
其
对称轴为尖点处的切线
;
第二类尖点无对称性
;
第三
类尖点
,
其对称轴为尖点处的法线。这在程序中必需
考虑。
每段曲线的分段点要判断其类型
,
参数方程可用
相对曲率
k
j
=
x
′y
″
-
x
″
y
′在分段点的左右值的符号性
质 判断
,
参见文献
[3],
但它并非充分条件。因此
,
要判断 一个分段点的类型还需要其它条件。不同类型
的分段点的判断
,
可根据分段点处的组合 性质来判
断。
多项式参数方程在分段点
t
0
附近
,k
j
的函数图
像有三种形式
:
(
1
)
平行于参数< br>t
轴的水平线
,
(
2
)
抛物线形
,k
j
(
t
)
=0
;k
j
(
t
)< br>=
a
(
0<|
a
|<
∞
)
;
(
3
)
三次曲线形
,k
j
(
t
)
=0
。
k
j
(
t
)
不会出现无穷大的情
况。函数
k
j
在分段点附近左右函数值之积用
kk
t
表示
,
有
kk
t
>0
和
kk
t
<0
两种情况。各种分段点的
k
j
函数和图像见表
1
。00
00
0
00
　　在分段点附近
,
切线与曲线的位置 关系有同侧和
异侧两种形式。用
yy
t
表示分段点两侧的曲线与切线
的关系
:yy
t
>0
,
在同侧
;yy
t
< 0
,
在异侧。
曲线在分段点处的曲率半径有
ρ
=0
、
0<
ρ
<
∞
,
ρ
=
∞三种情况。根据
k k
t
、
yy
t
、
ρ
三者的值可判断分
段点 的类型
,
见表
2
。
0
00
00
算
,
则计算时间长
,
且计算出的点不对称。用对称处
理的方法
,
只要优化计算一段
,
其余的分段拟合按轴
对称和中心对称处理即可。图形的对称段数 愈多
,
相
对计算速度愈快。
3
　算法和程序流程
3
1
1
　算法描述
取一段曲率单调的曲线
,
进行以下的步骤
:
(
1
)
作起点的切圆若是第一段曲线
,
使用一维
搜 索的方法
,
计算起点的切圆
(
双圆弧
)
,
保证最大
误差为
δ
允
,
否则判断是否可对称处理
,
如不能则 用
圆弧延长法判断计算起点的切圆。
(
2
)
以交点为起点
,
用三点单圆弧拟合曲线
(
计算三点圆弧的初值参数
,
参见文献
[1]
)
。
(
3
)
优化三点圆弧
在计算得到上一 圆弧的数据和本段圆弧的初值
后
,
用优化的方法
,
使本圆弧与上一圆 弧相切
,
同时
保证两拱的误差为
δ
重复第
(
2)
、
(
3
)
步
,
直到
允
。< br>本曲线段的末尾。
表
2
　分段点类型
分段点类型
1
1 曲率极值点
2
1面对面尖点
3
1背对背尖点
4
1拐点
5
1同向尖点
kk
t
0
0
yy
t
00
ρ
ρ
>0
ρ
=0



00kk
t
>0
kk
t
>0
0
yy
t>0
yy
t
>0
0
kk
t
>0
0yy
t
<0
0
kk
t
<0
0
yyt
<0
0
kk
t
<0
0
yy
t
>0
0
　　由表
2
可见
,
计算出分段点处的
kk
t
、
yy
t
、
ρ
值
(
判断
3
、
4
、
5
三种分段点
,
无需
ρ
值条件
)
,
在程序
中可以很容易判断分段点的类型
,
无需 计算高阶导
数。
对于一些对称函数
,
如椭圆、正弦、余弦等曲
线,
其图形分段对称
,
如每段都用优化的方法来计
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・164
・
(
4
)
段末圆弧的处理
机床与液压第
37
卷
在曲线段的末端作一切圆弧同时与上一圆弧和曲
线的末端相切
,
这样一个曲线段拟合完备。按曲线段
末端长度不同可分三种情况拟合
:
①当所剩微段 长度适中时
,
可直接用一切圆弧
拟合。
②当所剩微段长度较长时
,< br>对最后一段曲线用
“平分”法分成两段
,
参见文献
[1],
再 用一个三点
圆弧和一个双圆弧拟合。
③当所剩微段长度太短时
,
将前一段圆弧 区间
和最后微段合并
,
用“平分”法拟合。
3
1
2
　圆弧参数优化算法
在上一圆弧的参数
和本圆弧的初值求到后
,
就可以用优化 的方法精
确求解圆弧的参数。下
面介绍三点圆弧的优化
方法。见图
1:
以
x
s
(
上一圆与曲线的交点
)
为起点
,x1
、
x
3
、
x
5
为圆
弧与曲线的交点
,x
2
、
x
4
为允差点
,
(
x< br>6
,x
7
)
为
三点圆弧优化算法模型
圆弧的圆心。上 一圆弧
图
1
　
的参数已知
:
圆心为
(
x< br>c
、
y
c
)
,
半径为
r
O
,
圆心距
为
d
O
。将要求解的三点圆参数列为向量
x
0
=
[x
1
　
x
2
1
12
等式
(
1
)
、
(
2
)
表示圆
2
的
3
个交点处的半径
相等
,
等式
(
3
)
、
(
4
)
表示点
x
2
、
x
4
为最大误差位
(
7
)
置
,
等式
(5
)
、
(
6
)
表示最大误差为
δ
允< br>,
等式
表示两圆内切。
在曲线段末端
,
如出现
31
1
节中②、③情况
,
要
进行末端拟合
,
对末 端“平分”计算后
,
第一段用
等误差的三点圆弧拟合
,
在计算到三点 圆弧的参数初
值后
,
进行优化求解时
,
目标函数使得圆弧与曲线在< br>中间交点两侧的误差相等。
3
1
3
　程序流程分析
按曲线曲率 单调的情况分段曲线
,
顺序取分段曲
线并判断其曲率单调变化的情况
,
设置标志。对每段
曲线计算判断分段点的类型
,
快速处理对称的分段
,最后处理段间的圆弧衔接问题及数据的输出。主程序
步骤如下
:
(
1)
按曲率单调计算分段曲线
,
取一分段。
(
2
)
判断分段点类型
,
若与上段对称则对称处
理本段
;
否则
,
正常计算本段。
(
3
)
终点保存为起点。
(
4)
循环取分段
,
有
,
则跳到
(
2
)< br>;
无
,
则结
束循环。
分段正常计算程序流程见
31
1
节。
4
　实例
程序适用于连续的平面参数曲线
,< br>经过多种曲线
检验是可靠的
,
表
3
列出了椭圆
x=5cos
t
,
y
=3sin
t
,
δ
允
=0
1
01
(
误差对称分布
)
,
用三点 圆弧法表示的圆
弧数据。曲线按曲率单调计算共分
4
段
,
每段由4
个
圆弧拟合
,
由于
4
个分段连续对称
,除去起点外
,
有
3
处圆弧得以合并
,
最后共输出
13
段圆弧。
表
3
　椭圆拟合圆弧数据表
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1112
13
　
x
3
　
x
4
　
x
5
　
x
6
　
x
7
],
首先要求解 其初值。初值
给定不当就会消耗很长的时间来搜索精确解
,
若初值
偏差较大则 可能求不到精确解。先用等弦长和等弧长
一维搜索法。曲线的起点
x
s
已知< br>,
设点
x
5
为三点圆
弧与曲线的第二交点
,
先积分该曲线段
,
计算其弦
长
,
用等弦长和等弧长的圆弧代替此曲线 段
,
此圆弧
与曲线在中间必有交点
,
计算交点两侧的误差并与
δ
允
比较
,
根据比值调整点
x
5
,
再计 算误差之比
,
调
整点
x
5
,
直到点
x5
的误差满足一定要求。将计算所
得的
7
个初始参数列为初值向量
x
0
=
[x
1
x
2
　
x
3　
x
4
　
x
5
　
x
6
　x
7
],
优化计算圆
2
时
,
目标函
T
T
起点坐标
(
x,y
)
50
中间点坐标
(
x,y
)
终点坐标
(
x,y
)
4
1
91650
1
55864
1
65311
1
0978
4
1
65311
1
09784
1
11051
1< br>70783
1
44692
1
1762
3
1
4 4692
1
17622
1
48262
1
60421
1
71292
1
8194
1
1
71292
1
819403-1
1
71292
1
8194
-1
1
71292
1
8194-2
1
48262
1
6042-3
1
44692
1
1762
-3
1
44692
1
1762-4
1
11051
1
7078-4
1
65311
1
0978
-4
1
65311
1
097 8-5
10
-8
数使得
f
=-
x
5
→min
,
约束函数中的不等式约束为
x
s
<
x
1
<
x
2
<
x
3
<
x
4
<
x
5
<
x
e
,x
e
为曲线的终点。等式约束如下
:
r
1
-
r
3
=0
　　 　　　　　　　　　　　　　
(
1
)
r
1
-
r5
=0
d
2
=0
d
4
=0
r
1
-
d
2
+
δ
允
=0
r
1
-
d
4
-
δ
允
=0
r
1
-r
=0
O
-
d
O
112
-4
1
6531-1
1
0978
-4
1
6531-1
1
0978-4
1
1105-1
1
7078-3
1
4469- 2
1
1762
-3
1
4469-2
1
1762-2
1
4826-2
1
6042-1
1
7129-2
1
8194
-1
1
7129-2
1
81940-31
1
7129-2
1
8194
1
1
7129-2
1< br>81942
1
4826-2
1
60423
1
4469 -2
1
1762
3
1
4469-2
1
17624< br>1
1105-1
1
70784
1
6531-1
10978
4
1
6531-1
1
09784
1
9 165-0
1
558650
(
2
)
(
3
)
(
4
)
(
5
)
(
6
)
(
7
)
′
′
　　图形在曲率极值点左右相邻段不对称时
,多数情
22
况可用圆弧延长法。如
y
=
(
x
- 5
x
+6
)

(
x
+1
)
,
(
下转第
196
页
)
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・
196
・< br>机床与液压第
37
卷
如液压缸可采用双挡和多段密封
,
同时要 提高液压缸
和活塞杆加工质量和镀铬质量。而进、出油管
,
直接
采用锥形螺纹 连接
,
使用组合密封垫等措施都可以防
止泄漏
,
最大限度地减少能量 损失。
(
3
)
从设计入手全面提高机床液压系统的节能
从节能的观点 出发
,
普遍使用、较为简单的定量
泵恒压节流调速系统不属于节能系统。现代机床液压
系统在设计时
,
应该首先把提高系统效率和降低能耗
作为考虑的重要指标,
应尽量采用如压力补偿控制、
负载感应控制、功率协调等许多高效节能的液压系
统。这些系统的共同特点是具有不同程度的自适应性
质。这种机床液压系统的设计常常需要利用自动调节
理论进行必要的动态设计。
图
2
是定量泵
+
比例阀
压力匹配系统
,
利用溢流节
流调速原理
,
在保持系统流
速稳 定的同时
,
油泵的供油
压力随负载变化而变化
,
使
系统能量 消耗降低
,
发热量
减少。其节能效率可提高
30%
。同理
,
采用变量泵
+
图
2
　定量泵与比例阀
比例节流阀
,
变量泵
+
比例
压力匹配系统
换向阀及多联泵
(
定量 泵
)
+
比例节流溢流阀
,
其效率也可提高
28%
～
45%
。
(
4
)
机床液压系统采用高水基液压油来进行节< br>能
现在工业生产迅速发展
,
对传统的能源开采越
多
,
剩下的资源区域越少
,
而获取能源的代价也越来
越昂贵。因此
,
世界 上面临着刻不容缓的任务———开
辟取之不尽的新能源。机床液压系统中所使用的液压
油
,
它是液压系统中的重要能源
,
它不仅是传递能量
的工作介质
,< br>而且还起着润滑运动部件和保护金属不
被腐蚀的作用。然而它的质量的好坏及其性能会直接
影响机床液压系统的工作。因此
,
在目前国际石油资
源紧张
,
能源 越来越少的大背景下
,
应该大力推广使
用安全可靠、价格便宜、污染环境少的高水基液 压
油。高水基液压油是水的比例为
95%,
油的比例为
5%
的抗燃液 压油。为此还需设计出相应匹配的液压
元件
,
从而达到机床液压系统采用高水基液压油 来进
行节能
,
进而加速机床液压系统节能速度。
3
　结束语
研究机床液压系统节能
,
将会促使整个机床液压
技术的理论水平和设计水平的提高,
从而促进机床液
压元件性能的改进和新产品的开发。而且使用和维护
这些新系统
,
也要求有较高的技术水平。因此
,
研究
和解决机床液压系统的节能 问题
,
其重大意义还在于
可以从理论、设计、使用、维护等各方面全面地促进
机床液压技术的发展。
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上接第
164
页
)
δ
x
∈[
-10
,
15
],
在
4
个曲率极值点
x
=
允
=0
1
01
,
-2
1
6 612
、
-0
1
4078
、
1
1
6302
、
5
1
0412
处
,
圆弧
都得以延长。< br>5
　结论
结合单圆弧和双圆弧逼近曲线的优点
,
用混合
单、双 圆弧以允差逼近参数曲线
,
讨论了参数方程分
段点的性质
,
提出第三 类尖点
,
对曲线的分段点采用
组合判断的方法
,
避免了高阶导数计算
,
保证了分段
点判断的可靠性。由于考虑了段内和段间的圆弧最少
问题
,
使得曲线有拐点和极值点时
,
所有逼近圆弧的
光滑连接
,
保证了全局的最优逼近。采用了对称算
法
,
提高了程序的执行速度。基于
M atlab
优化的方
法编程求解节点。适用于所有的平面初等函数及参数
方程曲线。对 一些极坐标方程和隐函数
,
可转换成参
数形式。减少了数控程序段数
,
提高了编程和加工效
率。
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FRENIC5000G1 1SP11S
使用说明书
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