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Ｙ
１２１９４３４
分类号ＴＮ４９２
密级
重庆邮电大学硕士学 位论文
论文题目
版图寄生参数提取技术的研究
英文题目Ｒｅｓｅａｒｃｈ
ｏｎ
Ｐａｒａｓｉｔｉｃ
Ｐａｒａｍｅｔｅｒ
Ｅｘｔｒａｃｔｉｏｎ
ｏｎ
Ｌａｙｏｕｔ
硕士研究生
王艺篮
学科专业
论文提交日期
遁篮点篮息系 统
２ＱＱＺ！§
论文答辩日期
２ＱＱ２：５
论文评阅人』自
．－趔咩 —拯盟—ｉ妇哟
２００７年４月
２０
姥
翻越缒
聋蠡＆孽
答辩 委员会主鹿邀恁匿蜇蛰
日

重庆邮电大学工程硕士论文
摘要
摘要
半导体工艺水平的飞速发展使当今的集成电路进入了超深亚微米
（ＶＤＳＭ）阶段。集成电路特 征尺寸从ｕｍ级到ｎｍ级的急剧缩小、工作频
率从ＭＨｚ到ＧＨｚ的不断提高已使寄生参数成为影响ＶＬ ＳＩ电路性能的主
要因素之一，同时也使对寄生参数提取技术的研究变得越来越重要。寄生
参数 提取技术的发展十分迅速，尤其是电感电阻提取的发展，它已经成为
近年来的一个研究热点。
本 文重点围绕这一热点，首先说明了电感提取技术的相关背景，接着
介绍了现有电感电阻提取的边界元模型 ，评估比较了各模型的优势和缺
点。同时，在此基础上提出了一种新的寄生电感电阻提取模型，并从基本
理论、数值实现以及工程简化等角度，对新模型进行了详细地阐述。另外
还从算法复杂度和性能 分析等方面，对新旧模型进行对比，指出新模型的
相对优势：该模型可以考虑三维涡流效应的提取随频率 变化，它具有边界
元未知变量少，并不对导体的几何形状加以限制，适用于复杂三维互连结
构的 电感电阻提取的特点。
最后，从寄生效应对版图验证的影响出发，把模型应用于电路的时序、
功 耗和信号完整性等方面，利用寄生参数推导出电路时延和功耗的相关估
算公式。通过在此基础上的数值计 算和仿真结果，得出判断电路版图正确
性的准则，并与Ｓｙｎｏｓｐｓｙ公司的一些相关工具所得数据进 行对比，证明了
文中提出的寄生参数提取方法的正确性。
关键词；参数提取，寄生电容，寄生电 感电阻，版图验证

重庆邮电大学工程硕士论文
摘要
Ａｂｓｔｒａｃｔ< br>Ｗｉｔｈ
ｔｈｅ
ｆ．ａｓｔａｄｖａｎｃｉｎｇ
ｏｆ
ｓｅｍｉｃｏｎｄ ｕｃｔｏｒ
ｄｅｓｉｇｎ
ａｎｄ
ｍａｎｕｆａｃｔｕｒｅ
ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ ｓ，ＵＬＳＩ
ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ
ｉｓ
ｍａｄｅ
ｂｙｖｅｒｙｄｅｅｐｓｅｍｉ・ｍｉｃｒｏｍｅｔｅｒ（ＶＤＳＭ）
ｐｒｏｃｅｓｓ．Ａｎｄ
ｗｉｔｈ
ｔｈｅｆｅａｔｕｒｅｓｉｚｅ
ｓｃａｌｉｎｇ
ｄｏｗｎ
ｆｒｏｍ
ｆｒｅｑｕ ｅｎｃｙｉｎｃｒｅａｓｉｎｇ
ｆｒｏｍ
ｕｎｌ
ｔｏ
ｎｍ
ａｎｄｔｈ ｅ
ｗｏｒｋ
ＭＨｚ
ｔｏ
ＧＨｚ，ｔｈｅ
ｐａｒａｓｉｔｉｃ
ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ
ｈａｖｅ
ｂｅｃｏｍｅ
ｏｆ
ｄｏｍｉｎａｎｔ
ｉｎｆｌｕｅｎｃｅｄｔｈｅ
ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ
ｏｆＶＬＳＩ
ｈａｓ
ｂ ｅｃｏｍｅ
ｃｉｒｃｕｉｔｓ．Ｔｈｅｅｘｔｒａｃｔｉｏｎ
ｐａｒａｓｉｔｉｃ
ｐａ ｒａｍｅｔｅｒ
ａｌｓｏ
ｍｏｒｅ
ａｎｄ
ｍｏｒｅ
ｉｍｐｏｒｔａｎ ｔ．Ｐａｒａｍｅｔｅｒ
ｅｘｔｒａｃｔｉｏｎ
ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ
ｉｓ
ｄｅ ｖｅｌｏｐｅｄｖｅｒｙｆａｓｔ，ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙ
ｔｈｅｅｘｔｒａｃｔｉｏｎｏｆ
ｐ ａｒａｓｉｔｉｃ
ｉｎｄｕｃｔａｎｃｅａｎｄ
ｐａｒａｓｉｔｉｃ
ｒｅｓｉｓｔａｎ ｃｅ，ａｎｄ
ｉｓｔｈｅ
ｆｏＣＵＳ
ｏｆｒｅｓｅａｒｃｈ
ｒｅｃｅｎｔｌｙ ．
Ｔｈｉｓｄｉｓｓｅｒｔａｔｉｏｎｔａｋｅｓｔｈｅ
ａｂｏｖｅｆｏｌＣＵＳ
ｉｎ ｔｏ
ａｃｃｏｕｎｔ，ａｎｄ
ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓ
ｏｕｔ
ｔｈｅ
ａ ｄｖａｎｔａｇｅｓ
ａｎｄｔｈｅ
ａ
ｓｏｍｅｔｈｉｎｇ
ａｂｏｕｔｔｈｅ< br>ｂａｃｋｇｒｏｕｎｄ，ａｎｄ
ｔｈｅｎ
ｐｏｉｎｔｓ
ｄｉｓａｄｖａｎｔａｇ ｅｓ
ｏｆｔｈｅｓｅ
ｍｏｄｅｌｓ．Ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ，ｉｔ
ｐｕｔｓ
ｆｏｒｗａｒｄ
ｎｅｗ
ｂｏｕｎｄａｒｙ
ｉｎｔｅｇｒａｌｅｑｕａｔｉｏｎ
ｍｏｄｅｌ
ｆｏｒ
ｅｘｔｒａｃｔｉｎｇｐａｒａｓｉｔｉｃ
ｉｎｄｕｃｔａｎｃｅａ ｎｄ
ｒｅｓｉｓｔａｎｃｅ，ａｎｄ
ｅｘｐｌａｉｎｓ
ｔｈｉｓ
ｍｏｄｅｌ< br>ｉｎｄｅｔａｉｌ
ｆｏｒｍ
ｂａｓｉｃ
ｔｈｅｏｒｙ，ｔｈｅ
ｉｍｐｌ ｅｍｅｎｔ
ｏｆ
ｎｕｍｅｒｉｃａｌ
ｖａｌｕｅａｎｄ
ＳＯ
ｏｎ．Ｉ ｔ
ａｌｓｏ
ｃｏｍｐａｒｅｓ
ｔｈｅｓｅ
ｍｏｄｌｅｓｆｒｏｍｓｏｍｅａｓｐｅｃｔｓ．Ｔｈｅ
ｎｅｗ
ｃｕｒｒｅｎｔ
ｍｏｄｅｌ
ｈａｓｔｈｅ ｔｒａｉｔｓｔｈａｔｉｔｉｓ
ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ－ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ
ｗｉｔｈｔｈｅ３－ Ｄ
ｅｄｄｙ
ｅｆｆｅｃｔｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ．Ｉｔａｌｓｏｈａｓｆｅｗ
ｂｏｕｎ ｄａｒｙ
ｅｌｅｍｅｎｔｓ，ａｎｄ
ｉｔｉｓ
ａｐｐｌｉｃａｂｌｅ
ｔｏｇｅｎｅｒａｌ
ｃｏｍｐｌｅｘ
３－Ｄ
ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ
ｗｉｔｈｏ ｕｔ
ｍａｋｉｎｇ
ａｎｙ
ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ
ａｂｏｕｔｔｈｅ
ｇ ｅｏｍｅｔｒｙ
ｏｆ
ｉｎｔｅｒｃｏｎｎｅｃｔｓ．
Ｆｉｎａｌｌｙ，ａｃｃｏｒｄｉ ｎｇ
ｔｏ
ｔｈｅｅｆｆｅｃｔ
ａｃｔｉｎｇ
ｏｎ
ｌａｙｏｕｔ
ｖｅｒｉｆｉｃａｔｉｏｎ，ｔｈｉｓ
ｍｏｄｅｌ
ｉｓ
ａｐｐｌｉｃａｂｌｅｄｉｎ
ｔｉｍｉｎｇ，ｐｏｗｅｒ，ａｎｄ
ＳｉｇｎａｌＩｎｔｅｇｒａｔｅｄ．Ｉｔ
ｉｎｄｕｃｅｓ
ｔｈｅ
ｆｏｒｍｕｌａ
ｆｏｒ
ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ
ｔｈｅ
ｔｉｍｉｎｇ
ａｎｄ
ｐｏｗｅｒ
ｓｉｍｐｌｙ
ｗｉｔｈ
ｐａｒａｓｉｔｉｃ
ｐａｒａｍｅｔｅｒ，ａｎｄ
ｆｒｏｍ
ｔｈｅ
ｎｕｍｅ ｒｉｃａｌ
ｒｅｓｕｌｔｓａｎｄ
ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｓ，ｔｈｅ
ｇｕｉｄｅ
ｌｉｎｅ
ｆｏｒ
ｃｉｒｃｕｉｔ
ｊｕｄｇｉｎｇ
ｔｈｅ
ｖａｌｉｄ ｉｔｙ
ｏｆ
ｌａｙｏｕｔ．Ｍｏｒｅｏｖｅｒ，ｃｏｍｐａｒｉｎｇ
ｗｉｔｈｔｈｅｓ ｅｄａｔａ
ｆｏｒｍ
Ｓｙｎｏｐｓｙｓ
ｔｏｏｌｓ，ｔｈｅ
ｖａｌｉｄｉｔｙ
ｏｆ
ｔｈｉｓｍｅｔｈｏｄ
ｉＳ
ｐｒｏｖｅｄ．・
Ｋｅｙ
ｗ ｏｒｄｓ：ＰａｒａｍｅｔｅｒＥｘｔｒａｃｔｉｏｎ，Ｐａｒａｓｉｔｉｃ
ｃａｐａｃｉｔａｎｃｅ， Ｐａｒａｓｉｔｉｃ
ｉｎｄｕｃｔａｎｃｅ
ａｎｄ
ｐａｒａｓｉｔｉｃ
ｒｅｓ ｉｓｔａｎｃｅ，Ｌａｙｏｕｔ
Ｖｅｒｉｆｉｃａｔｉｏｎ
．ｎ．

独创 性声明
本人声明所里交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及
取得的研究成果。据我 所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论
文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得重鏖
邮电盔堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作
的同志对 本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢
意。
学位论文作者签名：互呓砍
签字日期：≥卯７年ｂ月／／日
学位论文版权使用授权书
本学位论文作者完全了 解重鏖邮电态堂
有关保留、使用学位论
文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的 复印件和磁盘，
允许论文被查阅和借阅。本人授权
重庭坦电太堂
可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等
复制手段保存、汇编学位论 文。
（保密的学位论文在解密后适用本授权书）
学位论文作者签名：
三孝磁
导 师签名：
签字日期：≥∞７年６月１１日
签字日期：

重庆邮电大学工程 硕士论文
第一章绪论
第一章绪论
１．１研究背景
微电子技术是目前蓬勃发展的 高新技术之一。在过去几十年中，以半
导体为代表的电子科学技术的发展把世界带进了信息时代，彻底改 变了人
类的生活方式和思维模式。晶体管发明（ＢｅｌｌＬａｂ，１９４７）以来，微电子
技术 在近６０年的时间里得到了惊人的发展。自从１９５８年第一块ＩＣ诞生
以来，集成电路已经有４８年的 历史，它一直按照摩尔定律高速发展，即
单个芯片上所集成的晶体管数目每１８个月就翻一番。在２０世 纪８０年代
后期和９０年代初期，ＩＣ特征尺寸缩小到１ｕｍ以下。到了９０年代末，最
小特征 尺寸又缩小到了０．１８ｕｒｎ。而到了２１世纪的今天，９０ｎｍ和６５ｎｍ的
商用产品已经开始走向 市场。与此同时，ＩＣ芯片的规模在依次经历了小规
模（ＳＳＩ）、中规模（ＭＳＩ）、大规模（ＬＳＩ ）和超大规模（ＶＬＳＩ）阶段后，
发展到了至今的甚大规模（ＵＬＳＩ）阶段。ＶＬＳＩ作为现代Ｉｃ 技术的核心和
基础，其发展速度远远超越了其他信息技术发展的速度。美国半导体工业
协会（Ｓ ｅｍｉｃｏｎｄｕｃｔｏｒＩｎｄｕｓｔｒｙＡｓｓｏｃｉａｔｉｏｎ，ＳＩＡ）曾经于２００６年底发布了国际半导体技术发展蓝图报告（Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ
表１．１
年份
２００ ６
Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ
Ｒｏａｄｍａｐ
Ｆｏｒ
Ｓｅｍｉｃｏｎｄｕｃｔｏｒ ｓ）【ｌｊ，其中部分数据如表１．１所示：
２００６年ＳＩＡ发布的关键数据预测报告
２００ ９
５０
２０１２
３５
２０１５
２５
２０１８
１８< br>２０２０
１５
特征尺寸
（ｒｉｍ）
７０
ＤＲＡＭ容量
●
８Ｇ１６Ｇ３２Ｇ６４Ｇ１２８Ｇ２５６Ｇ
（ｂｉｔ）
容量密度
（Ｇｂｉｔ ｓ／ｃｍ２）
２．０５４．８３８．２１６．５３９．５４５．７
互连线层数
电源电压 （Ｖ）
ｌｌ
１．１
６．７８３
１２
１．Ｏ
１２．３６９１２１３
０．８
３３．４０３
１４
０．７
５３．２０７
１６
０．５
８０．０５６
０．９
２０．０６５
片上时钟频率
（ＧＨｚ）

重庆邮电大学工程硕士论文第一章绪论
根据预测，到２００９年，芯 片的特征尺寸将减小到５０ｒｉｍ，动态存储器
芯片容量可达１６Ｇｂｉｔ，时钟频率达１２．４ＧＨｚ ；而到２０１８年，工艺特征尺寸
缩小到１８ｎｍ，存储器芯片容量可达１２８Ｇｂｉｔ，时钟频率高达 ５３ＧＨｚ。
芯片的集成密度和处理速度随着时间呈指数趋势增加，同时其设计成
本却呈指数趋 势下降。随着微电子技术的飞速发展，集成电路的设计技术
和制造工艺的更新周期越来越短，电路版图的 寄生参数提取和验证也必须
随工艺的进步而不断更新。要研制开发如此复杂的集成电路，传统的完全依靠手工的芯片设计模式已不能适应设计要求，必须借助于电子设计自动
化（Ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ
ＤｅｓｉｇｎＡｕｔｏｍａｔｉｏｎ。ＥＤＡ）技术和计算机辅助设计（Ｃｏｍｐｕｔｅｒ
Ａｉ ｄｅｄ
Ｄｅｓｉｇｎ，ＣＡＤ）技术及其相关工具才能快速地设计出合格的高性能芯
片。目前， 集成电路设计的各个环节都离不开ＥＤＡ技术，它的普遍应用
对提高电路性能、缩短设计周期和降低设计 成本至关重要。
实际上，ＳＩＡ的预测数据经常进行修正，并且每隔一段时间就会进行
全面的更 新，这表明先进工艺的实际进展往往略高于预测。例如，到２００６
年，６５ｎｍ的工艺技术已经逐渐走 向成熟。Ｉｎｔｅｌ公司早在２００２年就开始研
发利用９０ｎｍ工艺、使用３００ｍｍ２的硅片、进行 ７层金属铜布线，并已经
推出利用９０ｎｍ工艺制造的成熟商业ＣＰＵ，其实验室更是已经在３００ｍ／ ｎ２
的硅片上制造出包含１２００亿晶体管的芯片组，其中每个芯片包含３．３亿
晶体管（单芯 片容量为５２Ｍ／Ｃｈｉｐ）【射。ＳＩＡ预测２００９年特征尺寸进入
５０ｎｍ时代，而那一年Ｉｎｔ ｅｌ公司的目标将是３２ｎｍ。
１．２寄生参数的提取
１．２．１提取寄生参数的必要性
从表１．１可以看出，芯片的特征尺寸在逐年缩小。特征尺寸的持续减
小使器件延迟在电路延迟中所占 主导地位逐渐被互连线延迟取代，互连线
延迟已经开始超过了门延迟，成为总延迟的主要部分ｐ】。从而 使互连线寄
生效应成为制约电路性能的一个关键因素，它不仅影响电路时延，还对功
耗、信号失 真、串扰、可靠性等产生影响ｆ４Ｊ，它的严重存在已成为电路设
计中各个阶段都必须关注的问题。因此 ，寄生参数提取工作在ＩＣ设计流
程中所处的地位也随之不断提高。寄生参数提取是超大规模集成电路计 算
机辅助设计流程中的一个重要环节。寄生参数分析对保证时延、信号完整

重庆 邮电大学工程硕士论文
第一章绪论
性、功耗等电路性能具有关键的意义。
寄生参数提取 的主要任务是在芯片的逻辑设计和版图设计之后，提取
版图互连线之间的寄生电容、电感以及电阻，以便 形成一个尽可能接近真
实情形的电路系统，并对其性能进行验证。设计流程中的每一步设计都需
要验证，如果不能通过就必须马上进行修正或重新设计，因此寄生参数提
取会应用于设计的各个环节。尤 其在物理设计的各个步骤，包括总体布局、
详细布局、总体布线和详细布线等各个环节，都需进行寄生效 应分析。由
此可见，寄生参数提取计算越来越多地影响到设计的各个细节。研究寄生
参数提取的 有效模型与算法，已经成为一项相当必要的任务。
在集成电路的设计中，版图验证是一项重要的不可缺少 的环节。它是
用来在实际生成晶片之前估计和验证所设计的集成电路的正确功能。版图
验证不仅 包括检查实际电路与所希望的电路功能是否符合，还必须考虑实
际电路中的寄生效应，而且随着电路复杂 度的提高和晶体管尺寸的不断缩
小，这种寄生效应显得越来越重要。在整个版图验证系统中，参数提取主
要完成各种类型电容的提取和电感电阻的提取，它是验证系统的一个重要
部分。版图验证包含的 种类繁多，其中有时序验证，设计验证，以及ＤＲＣ
和ＬＶＳ验证等。
版图验证是集成电路设计 的瓶颈之一。为缩短集成电路的设计周期，
确保设计的一次成功，需要高效且便于使用的验证方法。版图 验证对于缩
短芯片设计周期，从而降低设计成本具有重要意义。
１．２．２寄生参数的分类在深亚微米系统芯片设计中，由于门级时延随特征尺寸而减小，互连
线延迟已经开始超过门级延迟而 占据芯片总体延时的大部分，成为影响芯
片性能的决定性因素。在０．１３ｕｍ工艺条件下，由于芯片规 模和密度的激
增带来的金属互连线层数的增加以及层内连线间距的缩小，层内相邻平行
互连线及 层间互连线的耦合电容带来的串扰噪声及信号完整性问题，以及
电源线寄生电阻导致的直流电压降问题都 给设计和验证带来巨大挑战。寄
生参数主要包括寄生电容、寄生电阻和寄生电感三个方面。下面对这三种
寄生参数分别进行介绍：

重庆邮电大学工程硕士论文
第一章绪论
１．２．２．１寄生电容参数
ＭｅｔａＩ
Ｄｉｄｅｃｔｒｉｃ
Ｔ
Ｍｅｔａｌ
图１．１
互连线平行平板电容器模型
考虑如图１．１所示的平板电容模型，其中金属互 连线和衬底之间为高
度丁的介质，互连线宽为形，则当Ｗ》Ｔ时，互连线与衬底的寄生电容可
以 用平板电容模型描述：
，
ｃ，＝詈耽
‘
（１．１）
』
其中矿 和三分别为互连线的宽度和长度，易为介质介电常数。
随着集成电路制造工艺的发展和器件特征尺寸的减 小，芯片集成度的
提高导致互连线布线密度急剧膨胀，从而使互连线线宽形和线高日越来越
接近 ，从而使得相邻平行导体间以及互连线侧面与衬底之间呈现越来越明
显的寄生电容效应，如图１．２所示 。计算边缘电容的公式为：
ｆ
ｃ＝Ｆ上｛
三｝
４Ｈ
Ｉ
１（１．２）
【

重庆邮电大学工程硕士论文
第一章绪论
Ｈ< br>Ｔ
ｌｖｌｅｔａｌ
ｌ
图１．２
Ｄｉｅｌｅｃｔｒｉｃ
Ｍｅｔ啦
边缘电容模型
经验表明，在不考虑耦合电容的时候，金属互连线寄生电容可近似表
示为 平行平板电容和边缘电容二者之和。在此之前通常仅考虑了单个导线
的寄生电容，但在深亚微米工艺下， 同层相邻互连线以及层间互连线之间
的电容耦合也不容忽视。考虑以上各种寄生电容效应的互连线寄生电 容模
型如图１．３所示：
．，
图１．３
超深亚微米下互连线电容耦合示意图< br>一般地把电路中的电容分为导线与衬底问的电容（ｇ）和导线之间的
耦合电容（ｃｆ）两大类。用 公式表示就是Ｃ＝Ｃ＋２ｑ，式中ｃ为总电容。ｑ
又可分为面电容（ｅ）与边缘电容（ｑ）两部分，即Ｃ 譬＝ｃｏ＋ｏｆ，如图
１．４所示。

重庆邮电大学工程硕士论文
第一章 绪论
Ｔ
图１．４电容模型
随着集成电路规模的不断扩大，工艺水平的不断提高，在深亚 微米集
成电路中，寄生电容的精确计算就显得十分重要了。因为寄生电容的大小
直接影响着芯片 的开关速度及特性功能，是一个比较关键的因素，尤其在
多层布线的情况下，层间耦合电容引起的交调失 真也越来越明显，因此需
要仔细处理各种类型的连线电容【５。Ｊ。
１．２．２．２寄生电阻参 数
在超深亚微米集成电路设计中，如要得到准确的时延信息，必须考虑
寄生电阻；同时，由于寄 生电阻的存在使得沿电源线产生直流电压降，即
ＩＲ．ｄｒｏｐ，从而会对电路性能产生不良影响乃至导 致电路无法工作。
导线寄生电阻由导线长度工，截面积４及导体电阻率Ｐ决定：
Ｒ：』生：Ｊ型 ＝－
ＡＷＨ
（１．３）
对于给定的工艺，线高日一般为常量，则上式可写为：
Ｒ＝蜀寺
其中，Ｒ＝告。
（１４）
在参数提取中，电阻提取的主要任务就是根据给定版 图的有关数据，
求出版图中的固有电阻和寄生电阻的阻值。比较而言，电阻值的计算比电
容的计 算要困难一点，这是因为电阻的大小完全依赖于实际掩模图上电阻
区域的形状、通孔的形状和位置。迄今 为止，已经发表的电阻提取方法，
主要可分为３大类：
①解析公式求解法
若电阻区域不 是一个标准的矩形区域，则需要对公式（１．３）（１．４）进
行修正，从而近似地计算出电阻的大小。 在用公式法提取电阻时，主要的

重庆邮电大学工程硕士论文第～章绪论
工作量是 求公式中的长度上和宽度∥。具体常采用下面几种方法：
１）用Ｌｅｅｓ算法、线探索法等中心线搜索法 求出两通孔之间的曼哈顿路
径，从而求出￡和矽的值，这种方法又常称为中心线方法；
２）求出 两通孔之间得最短路径，该路径是非曼哈顿路径，从而分别求
出三和矿的值；
３）分治法【７】 是将一个形状复杂的电阻区域划分成一个个小的形状简单
的区域，通过查表等方法分别得到每个区域的电 阻值，然后将结果累加起
来即可。
总的来说，用公式法提取电阻简单易行，只适合形状规则的区 域的电
阻值的提取，如矩形和梯形等，但对复杂的形状而言，精度不高。
②数值计算方法
通过求解拉普拉斯方程，可以求得电阻区域的电势分布，从而算得任
意两点之间的等效电阻。这种方法 尤其适合求解形状复杂区域的电阻值和
寄生电阻值，具体有：保角变换法、许瓦兹变换法、有限差分法【 ８】、有限
元法和边界元法。其中有限元法和边界元法用得比较多。比较而言，有限
元法的精度 高，适合于不规则边界和多介质区域，但是它的数据准备复杂，
所需内存多，计算时间长。而边界元法数 据准备简单，需要内存少，计算
时间短，但在处理多介质区域和复杂边界区域时，显得不如有限元法方便 ，
但这时可以采用边界元法与有限元法结合的方法，即在多介质区和边界复
杂区采用有限元法， 而在其它区域用边界元法。
在有限元法中，整个求解区域被划分为一个个单元，每个单元范围内
的电势用一个线性函数来近似，然后将单元得出的节点方程合成整个区域
上的系统方程，从而得出整个求 解区域内的电势分布。
在用边界元求解电阻时，整个求解区域的边界被划分成一个个单元，
每个 单元都用相应的节点方程来表示该单元变量的值，将每个边界元素的
节点方程组合起来就构成了整个区域 的边界元方程，因而边界元法实际上
是将整个区域的二维问题转化为边界的一维问题来处理，从而大大地 减小
了求解的工作量。
③并行提取方法
并行提取就是利用分治的思想，把一个大电路划 分成一个个小部分，
每一个部分对应一个处理器，它们同时完成电路不同部分的电阻提取任
务， 然后将结果再组合起来构成整个电路的提取结果。其中的主要任务就
是设计有效的算法分别适合于划分和 合并这两个步骤，这是今后的发展趋
势。

重庆邮电大学工程硕士论文
第 一章绪论
１．２，２．３寄生电感参数
除了寄生电容和电阻之外，在涤亚微米互连线建模过程中 还需考虑自
感和互感的影响。在电源线中，除了由寄生电阻引起的直流电压降之外，
由寄生电感 引起的电压降已经成为不可不考虑的部分，这些现象的产生的
主要原因是现在高速电路设计中电流的大幅 增加；同时，在多位总线结构
中也出现了明显的互感耦合效应，并对电路功能产生间歇性的破坏。
集成电路发展初期，电路的速度主要取决于晶体管器件的切换速度，
信号在器件间的传递路径则往往被 忽略。超深亚微米工艺下，芯片的高频、
高集成度趋势使集成电路互连线截面缩小、长度增加，互连自身 特征在系
统设计中的影响越来越重要。在未来ＳＯＣ阶段，互连线上延迟可占据芯片
内信号延迟 的８０％以上，铜等低电阻率金属的应用越来越广泛。芯片时钟
频率逐渐突破数千兆赫兹，晶体管上升时 间和下降时间将更短，传输线效
应将日益明显，信号振荡、串扰将更严重。显然，为保持ＶＬＳＩ的信号 完
整性，削弱噪声，电磁祸合作用已不容忽略。研究快速有效的片上互连线
电感提取技术已成为 一项十分紧迫的任务。
电感提取的难度远大于电容提取，所采用的方法也与电容提取大相径
庭。 从模型的角度来看，三维电感提取的方法主要有２类：即解析模型法【９】
和数值模型法【Ｉ…。
解析模型法以理论分析、实验测量或数值模拟的结果为基础，通过插
值或曲线拟合等方法得到解析模型 公式。然后将此公式应用于实际版图的
寄生电感提取。其优点是计算速度快，适合全芯片级提取；缺点是 精度较
低，适应性较差，难以准确处理复杂的三维结构。
数值模型法通过求解经典的麦克斯韦电 磁场方程组计算寄生电感。因
此，基于这种方法的提取程序通常也称为场求解器（ＦｉｅｌｄＳｏｌｖｅ ｒ）。与解
析模型法相比，数值模型法计算精度高，能适应复杂的三维结构，但计算
速度较慢， 一般难以胜任计算量很大的全芯片级提取任务。
综上所述，深亚微米工艺条件下，电路的准确建模需要同 时考虑互连
线寄生ＲＬＣ参数，考虑以上三种参数的电源及数据线模型大致如下图１．５。

重庆邮电大学工程硕士论文
第一章绪论
图１．５电源及信号线的寄生ＲＬＣ参数模型
１．２．３研究方法的现状
ＩＣ设计中，参数提取方法大致可以分为解析法和数值法两类，解析 方
法源于集总模型和近似公式，通过简化不同导体问的相互作用来形成集总
参数简化模型。这种 方法提取过程壹接、简单，适用于低频情况。但是在
高频情况下该方法将失去准确性。数值法是指场分析 方法，即以Ｍａｘｗｅｌｌ
方程为基础，从微观的场效应角度来研究导体内部情况和导体间的相互关系，因此可以得到较为精确的分析。这类方法已经被广泛应用于由磁场和
微波电路传输线分析，但高 速Ｉｃ中的应用却是刚刚开始。
从数学的角度来看，数值分析法又可以分为微分方程法、积分方程法和综合分析法。下面简单综述这三种方法以及它们在寄生参数提取方面的
应用情况。
１．２ ．３．１微分方程法
这类方法主要包括有限元法【¨１（ＦＥＭ）、有限差分法【１２】＜ＦＤＭ）和时
域有限差分法【ｌ列（ＦＤＴＤ）等，其原理为将围绕研究对象的空间划分成若
干局部网格，利 用各网格对应的局部方程求解问题。由于空间被离散化，
使得这类方法对结构适应性强，已经广泛应用于 分析各种复杂三维结构。
许多商业软件都采用这类方法。
由于微分法在处理开域时，必须引入截 断边界。同时为了满足精度，
截断边界必须距离分析对象足够远，因此当互连结构复杂时，将导致网格< br>数目巨大，计算效率较低。

重庆邮电大学工程硕士论文
第一章绪论
１．２．３．２积分方程法
这类方法主要包括矩量法【１４】（ＭｏＭ），边界元法【”Ｊ（ＢＥＭ） 等。矩量
法是指在给定电位分布函数、格林函数情况下，求解电位分布函数和电荷
分布函数所满 足的积分方程。求解的两个步骤是格林函数的确定和积分方
程的求解。边晃元法是边界积分法和有限元法 的结合。由于采用边界积分
方程，求解问题的维数可以大大降低，计算得到简化。两者的局限性在于都要涉及格林函数的求解。
１．２．３．３综合分析法
包括部分元等效电路法（ＰＥＥＣ） 、测度不变性方程【ｌ
６】（ＭＥＩ）等。部
分元等效电路法将三维空间的电磁结构等效为由许 多部分电阻、部分电
在微波Ｉｃ电磁建模中，经常用到一种半解析半数值方法，如直线法
（Ｍｏ Ｌ）、谱域法（ＳＤＡ）、维数缩减技术【１７１（ＤＲＴ）等。它们的基本思路是通
本文主要是针对版 图寄生参数的提取，包括对寄生电容和寄生电感电
１。简要地介绍寄生电容参数提取方法的发展，从多导 体互连线系统中
容、部分电感等集总元件所组成的网络，利用已有的电路模拟软件来分析。
其中 ，部分电感则是针对计算复杂回路的电感而提出的概念；部分电阻在
忽略集肤效应后时，可直接由欧姆定 律得到。这种方法存在的主要问题是
形成的等效网络规模太大，计算效率较低。测度不变性方程是一种新 的分
析思路，它将电磁数值计算中的内域法（如有限元法、有限差分法、时域
有限差分法和矩量 法等）与外域法（如边界元法）相结合。该方法在一定
程度上解决了由于截断边界加入后计算精度和效率 的兼顾问题。其局限性
在于脱离不了格林函数的使用，并且还是一种谱域求解算法。
过一些特殊 处理将研究问题降为一维问题处理，因此计算非常简单。但是
由于它们库处理的结构非常有限，因此不能 满足高速ＩＣ要求。
１．３本文主要做的工作
阻参数的提取方法的研究。
电容提取问题 和静电场计算基本理论出发，综述寄生电容参数提取的现有
研究方法推导出多级寄生电容解析模型。

重庆邮电大学工程硕士论文第一章绪论
２．着眼于学术界电感电阻提取的现状，仔细 考察了该领域内现有的边
界元提取模型，分析了各个模型的优点及其不足之处。并以综合两种模型
的优势为基础，提出一个新的寄生电感电阻的边界积分方程模型。新模型
仍然采用与前模型类似的假设 条件。同时，新模型还沿用了最少变量数间
接边界元模型中，使用虚拟变量来描述导体内部和自由空间中 的电场强度
及磁感应强度的方法，区别在于不引入虚拟矢量磁位，从而不对导体的几
何形状加以 限制，可适用于复杂三维互连结构的电感电阻提取。从算法复
杂度和性能分析等方面，对新旧模型进行对 比。
３。最后，主要针对新模型在电路的时序、功耗、信号完整性等方面的
应用，推导出电路时 延和功耗的相关估算公式。通过在此基础上的数值计
算和仿真结果，得出判断电路版图正确性的准则，并 与Ｓｙｎｏｓｐｓｙ公司的一
些相关工具所得数据进行对比，证明了寄生参数提取方法的正确性。
１．４论文结构
本文是对研究工作的总结，全文分为五章，各章的内容安排如下：
第一章为概 论，首先介绍了课题的研究背景，以及寄生参数提取的研
究方法和现状，分析了当前寄生参数提取和验证 方面所面临的一些问题，
并对本文所作的工作及论文结构进行了说明。
第二章从寄生电容提取的 发展出发，了解了电磁场的部分基本理论和
电容的提取问题，简单综述了现有研究方法，以及多级导体系 统寄生电容
第三章对寄生电感电阻提取的发展进行了分析，在Ｍａｘｗｅｌｌ理论的基
第四章从 寄生效应对版图验证的影响出发，推导出寄生参数与电路时
第五章是结束语，对本文所做的工作进行了总 结，并对未来工作提出
解析模型。
础上，引出了电感电阻提取的困难之处。介绍了已有的电感电 阻提取的边
界元模型，分析各个模型的优势及其不足之处，并由提取的基本假设条件
入手，从基 本理论、数值实现以及工程简化等角度，详细介绍新的边界元
模型。最后，对模型进行整体上评估，对比 新旧模型在算法复杂度和性能
等方面的区别。
延和功耗之间的估算公式，并把模型应用于分析芯 片的时延、功耗和信号
完整性等方面的问题，同时给出仿真图表以及数值计算结果。
展望。

重庆邮电大学工程硕士论文第二章寄生电容参数提取
第二章寄生电容参数提取
２．１寄生电容参数提取的发展
从７０年代起，人们开始研究寄生电容参数的提取，提出了各种不同< br>种类的方法。按计算维数进行分类，可以分为二维【１８ｌ、准三维［１９ｌ和三维［２０１
三类 。在集成电路发展的初期和中期，由于特征尺寸较大、时钟频率较低，
互连延迟的影响并不大，二维或者 准三维的提取方法已经足以满足电路分
析的要求。随着深亚微米工艺的发展，特征尺寸持续下降使互连延 迟在总
延迟中所占比例不断增加，这就要求我们必须提高寄生电容提取精度以准
确分析并有效减 小互连延迟。
不同的提取方法有各自的特点，在实际电路设计中，根据不同的应用
要求可以选择 相应的算法及软件与之适应。近年来，随着工艺的发展，互
连线截面的高宽比越来越大；而且，为了有效 提高集成密度及减少互连电
阻电容，开始使用金属铜代替铝进行布线，并嵌入低介电常数材料进行隔离：另外，填充气隙（Ａｉｒ
Ｇａｐ）［２１】、保形介质（Ｃｏｎｆｏｒｍａｌ
Ｏｘｉｄ ｅ）１２２］和
浅壕衬底（Ｓｈａｌｌｏｗ
Ｔｒｅｎｃｈ
Ｉｓｏｌａｔｉｏｎ，ＳＴＩ ）【２３】等大量新工艺得以采用，这
些都使得三维结构日趋复杂，解析模型难以适应新的要求。而通过 三维数
值模拟来提取互连电容计算精度高，并能适应日趋复杂的工艺结构，因此
成为当前研究的 重点。
在多数电容提取的方法中，均需要将一块导体（主导体）设置ｌＶ偏
压，而其他导体（环 境导体）设置０Ｖ偏压，通过求解带混合边值条件的
拉普拉斯方程得到主导体与其他导体间的耦合电容。 它采用某种数值方法
离散拉普拉斯方程以形成线性方程组，通过求解线性方程组得到电势和电
场 强度，从而进一步计算得到电容值。此类方法一次计算只能得到电容矩
阵中的一列，也称为“局部”方法 。与局部法相对应的“全局”提取方法能
直接计算出整个电容矩阵，一直以来却较少受到关注。为了进行 高精度的
时延和串扰分析，需要快速准确地计算互连线间的耦合寄生电容，这意味
着提取所有导 体间全耦合电容矩阵变得越发重要【２４１，全局提取方法开始为
人们所重视。

重庆邮电大学工程硕士论文第二章寄生电容参数提取
２．２常用方法
从计算原理和方法分类，电 容的提取可以分为解析模型法与数值模拟
法两类。解析模型法以理论分析、实验测量或数值模拟的结果为 基础，通
过插值及曲线拟合等方法得到解析模型公式。它计算速度快，但精度较低，
难以准确处 理复杂三维结构。数值模拟方法通过求解场方程计算互连电
容。其优点是精度高，能适应十分复杂的三维 结构，但计算速度较低。数
值模拟方法从二十世纪九十年代以来得到迅速发展，并出现了许多加速计算的有效方法。
三维电容提取的数值方法主要包括有限差分法（Ｆｉｎｉｔｅ
Ｄｉｆｆｅｆ ｅｎｃｅ
Ｍｅｔｈｏｄ，ＦＤＭ）、有限元法（Ｆｉｎｉｔｅ
Ｅｌｅｍｅｎｔ
Ｍｅｔｈ ｏｄ，ＦＥＭ）、测量方程不
变性方法（Ｍｅａｓｕｒｅｄ
Ｅｑｕａｔｉｏｎ
ｏｆＩｎｖａｒｉａｎｅｅ，ＭＥＩ）、边界元法（Ｂｏｕｎｄａｒｙ
ＥｌｅｍｅｎｔＭｅｔｈｏｄ，Ｂ ＥＭ）、半解析方法（结合解析公式和传统数值方法）和
随机漫步法（基于统计学原理）等【２卯。边界 元法（ＢＥＭ）是在经典积分方
程法和有限元法基础上发展起来的一种偏微分方程数值解法【２
６１。其基本思
路是：将描述待解域中场的偏微分方程用加权余量法转换为在边界上的积
分方程 ；然后离散化边界以数值方法求解积分方程，由此即可求出场问题
的近似解。由于仅对边界离散化，边界 元法降低了问题的维数，使变量数
大减少，降低了几何处理复杂性，从而增强了处理复杂边界的能力。不 过
边界元素法也有不足之处，由于它形成的线性方程组系数矩阵具有不对
称、单介质稠密的性质 ，随着集成密度增加，版图规模不断扩大，给方程
求解带来越来越大的困难，特别是对三维问题。因此， 围绕如何改进边界
元法的计算效率问题，多种加速算法被相继提出，与边界元法结合用于三
维电 容提取中。其中较为重要的加速算法包括：多极加速方法【２”、层次式
加速方法［２
８１、基 于奇异值分解的快速算法【２９１以及虚拟多介质算法【３０】等。
２．３基本理论
下面扼要介 绍在静电场中多导体互连线系统的电容提取问题和静电
场计算基本理论，并简单综述电容提取问题的现有 研究方法。

重庆邮电大学工程硕士论文
第二章寄生电容参数提取
２．３ ．１寄生电容提取问题
静电场中多个导体之间的耦合关系可用电容矩阵来描述。对Ⅳ个导体
而吉 ，第ｉ个导体上的电荷可表示为：
Ｑ
＝
，Ｌ
ｑ
＋
Ｇ
场
一
ⅣＰ厶舞
Ⅳ∑Ｍ
巳办
（
２
ｌ
）
Ｑ，为线ｆ上的电荷，办为线Ｊ电势。当ｉ＝ｊ时，ｑ，表示线ｆ对地电容；ｔ≠＿，时，
Ｃ，表示两 线间的耦合电容。显然，（２．１）式可写成矩阵形式
Ｑ＝Ｃ・ｏ
（２．２）
Ｑ＝【Ｑ １，Ｑ２，．．．，ＱⅣ］，中＝［破，≯：，．．．，如】，Ｃ则为系统的电容矩阵。
引入电感应系数 尾，（２．１）式可改写为
Ｑ＝∑岛办
Ｊ－Ｉ
Ｏ＝ｌ，２，．．．，Ⅳ）
（２ ．３）
其中岛＝Ｑ／矿，，（令硅＝唬＝…＝力．。＝力＋。＝…＝办＝ｏ），并有岛＝岛。
电 感应系数与电容间的关系为
Ⅳ
ｃｆｌ＝∑岛，ｃｏ＝一∥Ｆ
ｊ＝ｌ
（２．４）
以下图２．１中简单三连线为例，其电感应系数与电容间关系为：
ｃｌ
ｚ＝届１＋届２ ＋屈３，ｃ２２＝压。＋屈：＋玩，ｃ３３＝层ｌ＋岛＋届。，ｃ１２＝－ｋ：，Ｃ１，＝一属３
Ｃ１３
’
图２．１三连线电容
因此，寄生电容的提取问题最终归纳为：如何设法尽可能简化上 述各
个矩阵方程，求解出相关的系数，以便可以利用软件模拟出版图中寄生电
容之间的关系。< /p>

重庆邮电大学工程硕士论文第二章寄生电容参数提取
２．３．２矩阵方程的求解< br>方程的求解可以归结为在一定的边界条件下求解泊松方程或者拉普
拉斯方程。当所研究的空间存在 电荷分布时，静电场满足泊松方程：
Ｖ２毋：一旦
岛
（２．５）
其中≯为场点 电位，户为空间电荷密度，岛为自由空间的介电常数。当空
间内无电荷分布时，则静电场满足拉普拉斯方 程：
Ｖ２西＝Ｏ
（２．６）
由于导体表面ｓ为等势面，因此静电场计算中应该满足边界 条件
丸。。＝Ｖ，Ｐ表示表面上任意点，矿为一常数电压值。当空间存在多种介质
时，介质分界 面上还应该满足：
绣＝矿，
‘２－７’
ｓ．盟：舀盟
‘锄
’沏
２．４多级寄生电容模型
多级矩形互连系统（ｍｕｌｔｉｌｅｖｅｌ
ｍｅｔａｌ，ＭＬＭ）， 如图２．２所示，寄生电
容参数主要有三种形式：线对地电容ｑ、线对线祸合电容Ｃ与交叉电容
ｅ。（ｃｒｏｓｓｏｖｅｒ
ｃａｐａｃｉｔａｎｃｅ）。
图２．２多级矩形导体系统中主要电容 元素
以图中三级金属系统中第２层金属为例，其耦合电容包括与金属层１、
３间的交叉耦合电容 Ｇ。、ｃ２３，以及层内互连线间的耦合电容ｃ２：（线对线、
线对地），因此对金属层２中的互连线而 言，其总电容为Ｃ２＝ｃ２，＋ｃ２：＋ｃ２，ａ
假设该系统存在双层地平面，计算这三部分电容可以引 入如下解析公式：

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第二章寄生电容参数提取
１．线对地电驿
孚卫“嘶卜ｓ
Ｆ
ｓｅ一－ＴＨ
Ｉ
∞螂ｅ盖］
Ｊ
．（高，（矿
２．线对线电容
旦：Ｔ／１－１．８９７ｅ存‰斋“３０２Ｐ面－菘ｉ Ｈ＿ｏ．１２９２Ｐ西－丽Ｔ
１
Ｆ
Ｓｌ
Ｊ
“Ｉ
“７２（１－ ０．６５４８ｅ７２
＼
丽Ｉ厕
赢］盎
／
３．交叉电容
＋ｏ叫 。１－０．３２６ｅ盎－ｏ．螂ｅ鑫Ｍ翥ｄ／－／
０．９５９ｅＺ齑ｇ］２ｗ，（盎］此’㈦，０，Ｊ＼ｏｌ十ｕ・ｕ１
／
＋ｏ
＋ｏ．
１－０３２６ｅ
“”坞
ｌ
Ｉ了ｊ冬焉Ｉ
扎ｔａｆｌ－０．３２６ｅ丘。１３３ｓ・一ｏ．卿ｅ志舾”（甜”
扎
＋１．
ｆ１－０．３２６ｅ玉。ｍｓｚｌ４
１
３２６ｅ一０９５９ｅ淼Ｉ舾 ”（矿２
一
一，“一ｌ（．Ｓ．是）“’Ｊ三÷Ｉ
４。有效范围
０．３≤Ｗ／ ＨＳｌ０．０．３≤ｒ／日≤１０，０．３≤Ｓ／Ｈ≤１０
．１６．
（２．８）
（２． ９）
（２．１）

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第三章寄生电感电阻参数提 取
第三章寄生电感电阻参数提取
３．１寄生电感电阻参数提取的发展
过去十几年，人们 对寄生电容的提取给予相对充分的重视，相关算法
研究与软件开发十分活跃。而对寄生电阻的影响，多以 简单方块电阻模型
予以考虑，并忽略了寄生电感的影响。但是，ＶＬＳＩ电路的设计已进入深
亚 微米工艺阶段，芯片的工作频率更高，其内部互连线可能更长，所采用
的导体的电阻率也更低。这些因素 致使目前高频复杂互连结构中导体间相
互电磁影响已十分显著。寄生电感与寄生电阻密切相关，并对芯片 性能产
生如下显著影响：
①对信号的传输产生延迟以及振铃、反射、震荡等现象；在互连线中< br>产生各种信号毛刺；加重信号之间的串扰（ＣｒｏｓｓＴａｌｋ）以及电源网络的噪
声。这些都将 影响信号完整性及可靠性［３１１；
②衬底不能被视为理想接地底板时，互连线与衬底之间的电感会对信
号产生严重干扰【３２１。相距较远的导体之间也有可能通过衬底产生不可忽略
的相互影响：< br>③时钟网络在数字电路中占有重要地位。时钟信号频率增加到
１－２ＧＨｚ以后，传输线效应将逐 渐对时钟网络产生影响。片上电感将极大
地影响时钟信号的延迟及功耗【３３Ｊ：
④电感还可能 对电路性能产生积极有益的影响。例如，延长信号的上
升时间，减少用于驱动长互连线而插入的缓冲器等 的数目，降低ＣＭＯＳ
ｆ－ｊ
的功耗等【Ｈ】。
近几年以来，为确实了解电感对电路性 能的影响程度，许多专家和学
者进行了有针对性的实验和理论分析。结果表明，传统的忽略寄生电感的< br>设计方法将会带来不能忽略的误差，已经无法适应现阶段的设计要求。
在性能驱动的综合与布图中 ，Ｅｌｍｏｒｅ延迟模型常被用于估计互连线延
迟。但对存在电感的互连线，Ｅｌｍｏｒｅ延迟模型的结 果明显偏离了ＳＰＩＣＥ
计算的延迟，原因是该模型与电感无关，并忽略了信号上升沿。Ｋａｈｎｇ提< br>出了一种考虑电感及输入信号上升沿的解析延迟模型［３５１，计算结果与
ＳＰＩＣＥ结果的差别 在１５％以内。他还观察到新模型与Ｅｌｍｏｒｅ延迟模型
相比，明显改善了树状互连线延迟的计算精度 。Ｊｅｆｆ严格推导了高频下考

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第三章寄生电感电阻 参数挹取
虑耦合电阻、电感和电容的传输线瞬态响应表达式【３“。计算结果显示，在
３ＧＨｚ 和１０ＧＨｚ频率下，ＲＬＣ模型计算所得串扰电压峰值比常规ＲＣ模
型高６０％。Ｙｅｈｅａ计算了Ｃ ＭＯＳ门驱动的ＲＬＣ传输线延迟【３”。结果表明，
在当前线宽条件下，互连线若不考虑电感，会带来 ３５％的误差。他指出，
按照ＲＣ传输线处理时，传输延迟与线的长度呈平方关系，而当电感影响
增加时，计算表明，传输延迟与线长将接近线性关系。而且ＲＣ和ＲＬＣ模
型之间的差别随线宽的减小 而增大。
综上所述，在超大规模集成电路的特征尺寸己减小到０．１３ｕｍ以下，
并采用６～７ 层金属布线工艺，电磁波波长可与全局互连线长相比拟的当
今，寄生电感继电容与电阻之后，成为正确估 算电路的电磁寄生效应不可
或缺的参数，并将根本上改变高性能集成电路的设计方法。研究寄生电感电阻提取的有效模型与算法，已经成为一项相当必要的任务。
３．２常用方法
从考虑问题的 维数角度着眼，寄生电感电阻提取可分为二维、准三维
及三维提取三类。二维提取问题考虑的对象是平行 直导体，且每个导体的
长度远远大于其截面尺寸，因此通常也称为传输线问题。此时，垂直于轴
线各平行平面的电磁场分布可视为相同，计算时仅考虑某个垂直于轴线的
平面就可以了。对于～个实际的 电路版图而言，忽略某些三维结构信息并
假设所有导体在信号传播方向上是平行且无限长，便可以使用二 维模型进
行参数提取。由于对实际版图中的三维信息进行了某些忽略以及近似处
理，二维通常具 有较大的模型误差。但是由于其速度快，因而适用于初步
的全芯片级线网寄生参数提取。
准三维 提取首先记录下所有的三维版图信息，然后，将整个三维结构
分解为一系列的二维结构，并用二维提取模 型计算这些二维结构的寄生参
数。最后，把这些计算结果组装起来，以形成最终的寄生参数。这种提取< br>方法改善了二维提取的精度，同时又兼顾了计算速度，适合于需要保证
一定计算准确性的全芯片级 快速提取。
三维提取则尽量完整地记录版图的所有几何信息而不做二维近似，并
试图对电路的诸 多电磁效应进行全面考虑，因此通常具有很高的计算精
度。但是，由于它对版图的几何特性几乎不做任何 简化，计算速度相对较
慢，因而一般不适用于全芯片级提取，而只能应用于需要获得准确寄生参
数的场合，如关键线网和关键路径的详细提取。

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第三 章寄生电感电阻参数提取
从所采用模型的角度来看，三维电感电阻提取的方法主要有两类，即
解 析模型法和数值模型法。
３．２．１解析模型法
解析模型法以理论分析、实验测量或数值模拟的 结果为基础，通过插
值或曲线拟合等方法得到解析模型公式。然后将此公式应用于实际版图的
寄 生电感电阻提取。其优点是计算速度快，适合全芯片级提取。缺点是精
度较低，适应性较差，难以准确处 理复杂的三维结构。
针对三维电感的计算和提取，学术界已经提出多个解析模型公式【３８】。
通过对文献中提出的自电感和互电感计算公式的详细试验和分析表明，不
同的解析公式往往具有不同的时 空复杂度和准确度，且大多数公式的适用
范围有限，必须根据实际情况慎重加以选用。另外，对于导体宽 度很大或
长度很短的情形，解析公式的计算结果可能很不准确，进一步限制了它们
在几何形体方 面的适应性。
３．２．２数值模型法
数值模型法通过求解场方程计算寄生电感电阻。与解析模型 法相比，
数值模型法计算精度高，能适应复杂的三维结构，但计算速度较低，一般
难以胜任计算 量很大的全芯片级提取任务。
三维寄生电感电阻提取的数值模型法大致可分为两类，即体积元模型
法和边界元模型方法。下亟分别加以介绍。
３．２．２．１体积元模型法
这类方法的基本思路 ，是根据一般情况下导体内部电流处处不为零的
特点，将三维导体甚至衬底离散成为电流细丝，进而获得 电磁场方程的离
散形式。然后，通过求解线性方程组而获得最终的电感电阻参数。自ＩＢＭ
公司 Ｗａｔｓｏｎ研究中心的Ｒｕｅｈｌｉ等人于１９７２年将部分电感的概念引入互
连寄生参数提取领域， 并于１９７４年提出著名的ＰＥＥＣ（Ｐａｒｔｉａｌ
Ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ
Ｅｌｅｍｅｎｔ< br>Ｃｉｒｃｕｉｔ）模型【３
９】以来，以该模型及其变种为基础的体积元模型
法受到广泛 关注，获得较为充分的发展。其主要优点是易于实现，且能应
用于导体和介质的电磁参数不均匀的场合。 同时，其缺点也显雨易见：对

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第三章寄生电感电阻参 数提取
导体及衬底区域的体离散不仅将直接导致较大数目的未知量，从而显著地
降低数值计算的 速度，而且也限制了将这类模型应用于复杂的三维互连结
构【４
０１。
３．２．２．２ 边界元模型法
为克服体积元模型法的缺点，近年来，边界元模型法的研究日益受到
关注。这类方 法充分利用互连线甚至衬底中电磁参数分区域均匀的特性
Ｈ“，将三维体积分转化为二维面积分，非常适 合于描述和处理具有此类特
性的问题，而无需借助于复杂的数学变换。与体积元模型法相比，边界元模型法具有如下优点：
①边界元模型法只需离散导体表面，大大增强了这类方法处理具有复
杂几何形状的三维互连结构的能力；
②在考虑衬底的电磁耦合效应而对其进行处理时，体积元模型法需要
离散整个衬底。而边界元模型法则有力地避免了这一点：将衬底视为电磁
参数均匀的非理想导体 时，只需离散衬底表面；将衬底视为电磁参数分层
均匀的非理想导体时，只需离散衬底表面以及层与层之 间的交界面。无论
何种情形，都将有效地减少未知量数目，加快计算速度；
③在高频情况下，为 准确描述电流的集肤效应，体积元模型法必须在
导体表面附近进行非常精细的划分。这将直接导致高频下 计算规模的急剧
增大。此外，尺寸差别太大的单元将导致计算结果不稳定；
④采用模型降阶（Ｍ ｏｄｅｌ
Ｏｒｄｅｒ
Ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ）方法，可以大大降低计算
规模。体积元模型 法在高频段要求精细划分，即意味着在整个频率范围内
都要求精细划分，降低了模型降阶方法的效果［４ ２１；而边界元模型法在整个
频率范围内都可采用一种划分，因而更适合采用模型降阶方法。
３ ．３基本理论
３．３．１
Ｍａｘｗｅ
Ｉ
Ｉ方程组
完整的Ｍａｘｗｅｌ ｔ方程组由以下几个方程组成
ｊ
８ｔ
＿＇
ｖ×方：一譬，Ｖｘ孝：了＋ｏ＿。 ２。＿ｏ，ｖ．艿：ｐ，Ｖ．苔：０
ａｔ
ｊ。
（３．１）

重庆 邮电大学工程硕士论文第三章寄生电感电阻参数提取
边界条件为
苏（茸一萄＝０，款（茸一确＝ 方，方・（茸一习＝乃，言・（茸一习＝０（ｓ．２）
本构关系为
（３．３）
方；Ⅳ万 ，艿：占Ｚ，了：盯营
其中，言为电场强度，膏为磁场强度，弓为电位移，言为磁感应强度，盯为
电导率，ｐ为电荷密度，Ｐ，为面电荷密度，∥为磁导率，Ｆ为介电常数，‘，
为电流密度，，；为面 电流密度，孬为表面单位法外法向。
寄生电感电阻的提取问题可以归结为求解电磁场涡流问题，即求解无
穷自由空间中无相互接触的若干导体电磁耦合。基本假设包括：①场源随
时间按正弦规律变化； ②位移电流密度可以忽略：③集肤效应和邻近效应
不能忽略；④材料特性参数不随时间变化：⑤不存在导 体之间交界面；③
磁导率不同的交界面只是导体与自由空间的交界面。在满足上述假设情况
下， 涡流问题的Ｍａｘｗｅｌｌ方程组可以表示为：
Ｖｘ寥一，矗，ｖ。劳：亨，ｖ．艿；Ｐ，ｖ．苔：０< br>边界条件为
（３．４）
数（茸一萄＝０，敖（茸一目＝Ｚ，未．（茸一茸）＝Ｐｌ，；・ （茸一习＝０（ｓ．５）
本构关系为
杏：“方，方：ｓＺ，７：盯富
３．３．２部分电 感
（３．６）
Ｇｒｏｖｅｒ［４３］给出一些计算细直导体、线圈等简单几何结构电感的闭合公
式。Ｒｏｓａ［４４１提出部分电感的概念，通过将环电感按段分割，先计算各段部
分电感，再 综合出总的自感和互感，从而避免寻找未知回路的难题。
Ｒｕｅｈｌｉ［４５１则将部分电感概念引进现 代集成电路，提出用ＰＥＥＣ（Ｐａｒｔｉａｌ
Ｅｌｅｍｅｎｔ
Ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ
Ｃｉｒｃｕｉｔｓ）模型来处理三维互连。
一般，对给定的具有无穷小断口的Ⅳ维准闭合环系统【４６１，寄生电感矩
阵三中任意元素定义为：
Ｌ，ｓ＝蚶Ｉｒ
ｋ革；时Ｉｆ０
为
．
（３．’）
其中死表示由环＿，中电流，，在环ｉ中引起的磁通。由电流，，形 成的矢量磁位

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第三章寄生电感电阻参数提取
万＝瓦／ｊ
４／石ｔ
７＂ｚ＇－－弦％Ｊ
ａ，
（３．８）
根据平均磁 通量力和矢量磁位考的关系
力２音彳Ｆ＋ｄ施
可得
㈦，，
ｋ＝去ａａ旦４｛ｊ ｊ特，，｝ｔ挚慨
十分不便。
可表示成
（３．１０）
其中ｏ＝ｋ一‘Ｉ，疗、 ｄ矿为沿导体方向的矢量元，ｑ、ｑ分别为环ｉ、／的
横截面。由于互感计算依赖于事先未知的电流回路 ，环电感提取技术应用
Ｒｏｓａ［４４１提出部分电感概念，将环电感按导体段分割，并假设各段在无< br>穷远处回流，避免了寻找未知回流的难题。按照部分电感定义，环电感厶
厶＝∑％ｋ
其中 ％为部分电感符号，ｋ则定义为
（３．１１）
ｋ＝去铷鞭警帆
㈦㈣
部分电感的 虚拟环路定义为导体与无穷远处形成的闭合回路。虚拟环路概
念使得部分电感计算可以脱离实际电流回路 的限制，便于处理环路之间的
相互作用。同时，所得部分电感矩阵的大规模、稠密性质也使电路分析十< br>分困难。
３．３．３提取电感的难点
电感的提取要远比电容提取困难。这首先是由于电感 的定义是基于回
路的。换言之，计算一个特定结构的电感时，需要知道电流在线网内是如
何流动 的。大多回路电流都流过电源网络，还有一些流过衬底。对于实际
的芯片来说，它的拓扑结构包括了很复 杂的电源网络和信号线，其电流分
布依赖于很多因素，比如门单元、耦合电容、耦合电阻、耦合电感、衬 底
的位置以及工作频率。对复杂的情况，回路电流不仅仅沿着简单的直流回

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第三章寄生电感电阻参数提取
路流动，而且还以位移电流的形式流过藕合 电容。如果忽略位移电流，那
么计算出来的回路电感值将会偏大。因此，在一个芯片设计完成前要想知< br>道该芯片的回路情况是非常困难的。
其次，电容是导体间电场密度的函数，电力线简单地终止于邻 近导体，
这就从物理上限制了电容提取的复杂度。因此，在进行电容提取时可以只
考虑邻近导体 间的相互作用，而忽略较远导体间的作用，以减小问题的规
模。这种近似处理方法只会影响电容计算的精 确度，而不会造成模型的不
稳定性。然而，上述方法并不适用于电感提取。这是由于导体内电流产生的磁力线并非终止于邻近导体，而是向外扩散，环绕尽可能多的导体以提
供一个充分大的电流回路。 在进行电感提取时，如果只考虑邻近导体的作
用，人为地限制问题规模，将有可能使得电感值产生无法预 知的明显偏差，
从而导致互连模型的不稳定性１４７】【４ｓ１。因此，电感矩阵是稠密的，也就是说，任何两导体之间的作用都必须考虑，矩阵的所有非对角元都不为零。
目前，电感电阻提取的边界 元模型法的研究在国内外已取得一定进
展，并有几个模型及计算程序被提出［４９－５３ｌ。
３ ．４边界元模型简介
边界元模型法的共同思路是，首先通过某种特殊手段（如运用格林公
式进行 变换，使用虚拟场源等）将由电磁场控制方程（通常为偏微分方程，
如Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ方程）所描述 的三维问题，等价地转化为由封闭曲面（即边
界）上的积分方程所描述的二维问题，以达到降维的目的。 其次，在边界
上运用适当的边界条件，并列出相应的边界积分方程。最后，离散化这些
积分方程 以形成线性方程组，并运用直接法（如ＬＵ分解法）或迭代法进
行求解。其中，如何实现三维偏微分方程 到二维积分方程的转化，是模型
得以建立的关键所在。
由于边界元模型法自身的优势，将该方法 应用到三维电感电阻提取的
研究近年来已日益受到重视。但此项研究国内外均远未成熟。到目前为止，< br>主要的模型有美国麻省理工学院的Ｊ．Ｆ．Ｗａｎｇ等人于１９９９年提出的模型
［４９－５１］ ，清华大学计算机学院方蜀州、王泽毅等人于２００２年提出的模型【５
２１，
以及美国麻省理 工学院的Ｂ．Ｓｏｎｇ等人于２００３年提出的模型【５驯等。下面
对这三个模型进行介绍，主要着眼于 它们如何实现降维，以及模型的优势
及缺点。
．２３—

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第三章寄生电感电阻参数提取
３．４．１直接边界元模型的计算原理
该模型 是由Ｊ．Ｆ．Ｗａｎｇ等人所提出的直接边界元模型。假设电磁场为时
谐场（Ｔｉｍｅ
Ｈａｒｍ ｏｎｉｃ），根据电磁场在磁准静态（ＭＱＳ）或电准静态（ＥＱＳ）
情况下，可以忽略位移电流，则由 Ｍａｘｗｅｌｌ方程组，得到导体ｋ内部磁场
强度孝及电场强度童满足如下方程：
ｖ×才：盯言
ｖ×方：一，掣霄
，
（３．１３）
（３．１４）
其中，，为虚数单位 ，∞为角频率，∥为该导体的磁导率，∥为电导率。
对式（３．１３）两端去散度，考虑到电导率口在同 一导体区域内为常数，可
得下式：
Ｖ・Ｅ＝０
（３．１５）
对式（３．１４） 两端去旋度，利用矢量恒等式Ｖ×（Ｖ×营）＝Ｖ（Ｖ・言）一Ｖ２方，
并考虑到式（３．１３）及（３ ．１５），可知导体ｋ内部电场强度矿满足如下的标
量Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ方程：
ｖ２言一，础 盯言：０
‘
（３．１６）
对式飞３．１６）运用格林定理可得如下的边界积分方程：< br>嚷晰）掣钙一文掣富㈤呶＝反舭３．１７）。
（３．…
‘３’１８’
（３．１９ ）
其中墨为导体≈的表面，
Ｇｌ（翻）２葫，√二＿，叩
＝一Ｖ≯一
Ｉ．Ｇｊ （ｆ，７７）弛
÷Ｅ＝一Ｖ≯一ｊｏ）＋ｕｆＧｏ（ｆ，７７）砘
Ｇｌ（翻）：善黑，ｌｑ＝厅 丽
成
ｆ为最上的点，Ｒ（善，叩）为手与７７之间的距离。式（３．１６）也可等效地写
ｖ２富：，∞“７
下关系
（３．２０）
其中岁为电流密度矢量。它与电场强度矢量言 ，电位标量≯之间有如
（３．２１）
善为ｖ中的点。对式（３．１９）同样运用格林定理，并利 用式（３．２０）消去电

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第三章寄生电感电阻参数提 取
流密度矢量了，可得另一边界积分方程
Ｌ
Ｇｏ（孝州雩挈呜一Ｌ箜差巫反叩）呶＋Ｖ ≯（ｆ）＝。
其中岛为所有导体表面的并集。
分布于导体表面，可再得一边界积分方程
（３．２２）
另外由于电位标量满足泊松方程，以及由式（３．１５）可知自由电荷只
矿（ｆ） ＝Ｌ
Ｇｏ（乒叮）掣嚷
其它方程可从边界条件推导。
（３－２３）
其中岛表示 导体表面自由电荷的密度，占为介电常数，孝位于＆。上。
方程（３．１７），（３．２２），（３．２ ３）即为此模型的三个主要边界积分方程。
３．４．２易于采用多层介质格林函数的模型的计算原理该模型是Ｂ．Ｓｏｎｇ等人所提出的易于采用多层介质格林函数的模型。
在自由空间中，时谐形式的 Ｍａｘｗｅｌｌ方程组为：
—｝—’
Ｖ×Ｅ＝－ｊｗＦＨ
（３．２４）
（３． ２５）
（３．２６）
ｖ×才：卉，嬲言
ｖ．亨：√印
其中亨、方、７、Ｐ、∥ 和占分别为电场强度，磁场强度，电流密度，电荷
密度，自由空间中的磁导率和介电常数；．，为虚数单 位，国为角频率。导
体ｋ中的电流密度了的成分方程为；
了（善）＝ｑ反善），孝∈形
得
（３．２７）
其中ｑ为导体最的电导率，Ｋ为导体七的体积。由式（３．２５）和（３．２５ ）可
Ｖ×ｖｘ言一∞２掣毒：一御ｆ岁
而从式（３．２５），（３．２５）和（３．２７）可推 出
（３．２８）
Ｖ×Ｖ×育一（∞２掣一／叩ｑ）荐＝０
对于以铜或铝为材质的良导体 ，式（３．２９）可简化为
（３．２９）
Ｖ×ｖｘ芹＋脚ｑ育：０
下的芽和言的边界积 分方程形式：
（３．３０）
利用格林第二矢量恒等式对式（３．２８）和（３．３０）进行变换 ，可得如

重庆邮电大学工程硕士论文第三章寄生电感电阻参数提取
丁（孝）方（ 孝）＝坷×唾ＧＩ（ｆ，叩）［÷×胡（叩）鹤
彤文Ｇｌ（酬眵司（，７）呶
一（＿，傩＋ｑ） 《Ｇｌ（酬［言×司（叩）呶
ｒ（ｆ）反孝）＝坷×唾Ｇｏ（善，，７）［÷×司（，７）呜
（ ３．３１）
ｗ‘吨擘叩）呸暨减
一－，掣￡Ｇｏ（善，玎）文玎）以
一．，掣嚷Ｇｏ（ 孝，叩）［苏司（，７）向
㈤。：，
“。“
当善∈ｔ时，，（善）＝１；当ｆ∈ｔ时， ，（掌）＝１／２；其它情况下，，（孝）＝０。
嘲）＝舄＿厮
吡神＝舄膏国瓜
其中Ｓ 为导体ｋ的表面，Ｒ（孝，ｒ／）为ｆ与ｒ１２，间的距离。
分布累加起来，并将ｆ点移到导体的边界上 ，可得：
（３．３３）
（３．３４）
对任一导体，都有形如式（３．３２）的一个方程 。将这些方程左右两端
圭反ｆ）＝－Ｖｘ￡Ｇ０（ｆ，刁）［÷×司（叩）呜
机￡Ｇ０（酬［言 一司（叩）岛
一砌七￡Ｇ０（酬［，Ｘ翻（叩）晦
一／％Ｌ
Ｇｏ（ｆ，叮）％地
其中，Ｓ为所有导体表面的并集，Ｖ为所有导体体积的并集。
（３．３５）
另外，电场强度Ｚ 电位标量≯，与电流密度宠间有如下关系：
船）＝一Ｖ≯一＿，％￡Ｇｏ（酬文叩地
（３．３６ ）
其州炉￡吡功掣呶
从式（３．３５）中减去式（３．３６），可得一边界积分方程
（ ３．３７）

“，）
重庆邮电大学工程硕士论文第三章寄生电感电阻参数提取一言ｚ（ｆ）＝Ｖ≯（ｆ）一Ｖ×￡Ｇｏ（孝，叩）［轰明（刁）呶
＋Ｖｌ
Ｇ０（孝，，７ ）［÷．翻（叩）向
（３．３８）
一＿，％￡Ｇｏ（善，刁）Ｂ胡仞地
其中点孝位于Ｓ 上。
方程（３．３１），（３．３７）及（３．３８）即为该模型三个基本的边界积分方程。
３ ．４．３最少变量数间接边界元模型的计算原理
该模型是由方蜀州、王泽毅等人所提出的最少变量数间接 边界元模
型。同理假设在时谐电磁场中，忽略位移电流，可以得到导体ｋ内部电磁
场满足如下方 程：
ｖ×才：盯言
才：里：三ｖ。才
∥
ｕ
（３．３９）
（３ ．４０）
其中，＋Ｈ、＋Ｅ、才、方、仃和Ⅳ分别为磁场强度、电场强度、矢量磁位、
磁感应强 度、导体的电导率和磁导率。
由于自由电荷只分布在导体表面（ｖ．富：０），用矿表示由导体表面自< br>由电荷产生的电场，即库仑电场。则在矢量磁位满足规范条件（Ｖ・面＝０）
的情况下，可以得到 言，才和芗三者之间有如下关系：
蟊一，五＋矿
对其两端去散度，可得如下方程：
（３ ．４１）
其中，．，为虚数单位，∞为角频率。将式（３．４０）及（３．４１）代入式（３．３９），
ｖ×ｖ×ｊ＝∥仃ｆ一＿，∞ｊ＋呻Ｅｃ）
（３．４２）
利用矢量恒等式Ｖ×Ｖ×育＝ Ｖ（Ｖ．刁一Ｖ２ｊ及规范条件Ｖ・才＝ｏ，式（３．４２）
可化为：
Ｅｃ
０
ｖ２才一ｊｅａ∥才＋“盯一＝
（
３．４３
在二维情况下，每个导体的∥可以用一个虚 拟的矢量磁位Ａ。来表示：
矿：一＿，∞７
（３．４４）
在三维时谐情况下，对于任意 截面的直导体也可利用同样的表示方
法。这里的直导体可看作任意截面沿其垂线方向拉伸而成，两端面分 别为

Ｖ９４．（
重庆邮电大学工程硕士论文第三章寄生电感电阻参数提取
电位不同的等位面。
上式代入式（３．４３），并考虑到由于导体表面电荷使将－÷Ｅｃ在该导体中< br>保持为平行于轴线的常矢量（意味着Ｖ２才：０），可得如下的Ｈｅｌｍｈ０１ｔｚ方
程：
Ｖ２（者＋才）一脚盯（办刁＝ｏ
（３．４５）
将方程（３．４５）的解表示为分布在导体七 表面墨上的虚拟电流密度芦的
积分：
反ｆ）＋茅（孝）＝∥文髟（孝，叩）芦（呷）呜
（３．４６）
其中孝为导体内部的观察点，足（ｆ刃）＝差芸誊南，后＝厮（ｓ４，）
Ｒ（孝， 呷）为ｆ与卵之间的距离。
使用下标０表示导体外的自由空间中的量。自由空间中的矢量磁位玄
同样取规范条件，则满足矢量拉普拉斯方程：
ｖ２才：０
（３．４８）
应用二阶矢量磁 位的概念，可将才表示为：
才：×衫
４＝×掣
（．
３
４９））
，
其中亨为平行于适当选择的坐标系轴线方向的单位矢量，∥为满足拉普拉
斯方程的标量，可 以看作一种标量位，并可以表示为分布在所有导体表面
并集．％上的虚拟磁荷密度矿的积分：
ｙ （善）＝ＬＧ（善，叩ｐ’（叩）呜
（３．５０）
其中ｆ为自由空间中的观察点，节为％上的积 分点，
Ｇ（翻）２蕊锄
。。５Ｄ
将式（３．５０）代入式（３．４９），可以得到自由 空间中矢量磁位才的如下
表达式：
葫孝）＝Ｖ×（劫）＝一Ｌ：ｘｖｆＧ（ｆ，即）矿（∥）匆
（３．５２）
至此，已经分别用边界积分式（３．４６）和（３．５２）成功描述了导体内部和自由空间中的电磁场。另外，考虑边界上的情形，可推导得出以导体
内部矢量磁位ｊ，库仑电场 等效矢量磁位７，以及自由空间中矢量磁位才

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表示的如下两个边界条件：
玄・（主＋刁＝ｏ
芦．（ｊ一习＝０，＝１， ２
直的单位矢量。
（３．５３）
（３．５４）
其中方为导体表面的单位外法线 矢量，
芦和声是导体表面切平面中相互垂
将式（３．４６）和（３．５２）中的观察点孝移到边 界表面上，可得到ｊ和才
在导体表面上的表达式。将这些表达式代入边界条件（３．５３）和（３．５４ ），
可得最终的边界积分方程：
粕・－嚷Ｋ（孝，叩）芦∞地一承掌））－０
，＝１． ２
反铮ｆ∥文Ｋ（ｆ州芦（刁）呶一承ｆ）＋Ｌ教Ｖ。Ｇ（善刃ｐ，（刁）呶一牮］＝。
（３． ５５）
（３．５６）
７是对应导体｜ｊ｝的一个额外未知矢量，需要一个方程确定，应用安培< br>定律，可以得到关于导体脚一个方程
Ｖ×育（叩）・疗＝以
（３．５７）
其中， ｔ黾导体七一个截面的轮廓线，ｔ是导体七中的电流强度。
式（３．５５）、（３．５６）和（３．５７ ）包含了该模型的三个边界积分方程。
３．４．４评估
判断一个模型，可以从模型的每个边界元 分配的变量数、适用的导体
形状结构以及计算的复杂度等来分析。
①作为一个边界元模型，Ｊ． Ｆ．Ｗａｎｇ等人的模型避免了体积元模型的
一般性缺点。另外，它采用自适应的分段积分策略可提高该 模型中面片积
分计算的精度［６８１；对边界积分方程两端求取法向导数后再进行离散化，可
减 少所得线性方程组的条件数。从三个边界积分方程的推导过程可以看
出，该模型相对较简单，主要是对格 林定理和泊松方程的应用，理解起来
也比较容易。
该模型的不足之处在于：首先是计算规模太大 。对边界积分方程进行
简单分析可知，在电磁准静态（ＥＭＱＳ）假设下，该模型必须为每个边界

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第三章寄生电感电阻参数提取
元分配８个未知变量 ：电场强度量的３个分量及其法向导数的３个分量，
标量电位≯，以及表面电荷密度成。即使是在进一步 简化的准静态假设下，
每个边界元至少也需要７个未知量（仅能去掉ｎ）。其次，该模型中的边
界积分方程是由标量Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ方程变换而来，使用电场强度及其法向矢
量作为未知变量。这使 得难以将目前已经较为成熟且有效的多层介质格林
函数方法¨４】Ｉ＂Ｊ运用于该模型，以便对含有多层 不同介质的三维互连结构
进行分析。再者，考虑在高频情况下集肤效应对电流分布的影响，该模型
采用与低频情况下不同的方法计算端口上的电流。这有可能导致连续性问
题，并妨碍模型降阶方法的使 用。
②Ｂ．Ｓｏｎｇ等人所提出的模型的基本边界积分方程是由矢量
Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ方程变 换推导而来，适合采用多层介质格林函数方法，可以处
理含有多层不同介质的三维互连结构【５６１。考 虑到目前的芯片制造工艺中多
层介质已被广泛采用，这一优势具有很大的实际意义。另外，在高频和低< br>频情形下，该模型使用统一的方法计算端口上的电流。这有利于将模型降
阶方法应用到该模型，可 以降低计算规模。
Ｂ．Ｓｏｎｇ等人的模型为每个边界元分配变量的数目虽较Ｊ．Ｆ．Ｗａｎｇ等
人的模型有所减少，但仍然较大。若只考虑所有导体表面均为平面的情形，
则可用电场强度的切向分量 消去方程（３．３１）中磁场强度的法向分量，同
时用磁场强度的切向分量消去方程（３．３８）中电场 强度的法向分量。最终
需要求解的未知变量一共有６个：电场强度Ｅ的２个切向分量，磁场强度日
的２个切向分量，标量电位西，以及表面电荷密度Ｐ。因此，该模型仅适
用于所有导体表面均为平面的 场合，对于含有曲面的互连结构则无能为
力。这限制了它处理复杂三维互连结构的能力。
③方蜀 州、王泽毅等人提出的提取模型为一种三维涡流计算模型，在
导体与无限大自由空间中利用矢量磁位表示 其中的电磁场，得到间接边界
积分方程，并利用边界元离散化技术进行求解。这种方法避免对导体体积< br>区域进行离散；作为一种间接边界元模型。它以假设分布于边界上的虚拟
电流密度和磁荷密度为待 求解的未知变量。相较于Ｊ．Ｆ．Ｗａｎｇ等人的直接
边界元模型而言，其最大优点在于变量数较少，只 需为每个边界元分配３
个变量，再为每个导体分配额外的一个变量。需要求解的未知变量为导体
表面虚拟电流密度，５的两个互相垂直的分量，虚拟磁荷密度矿，以及每个
导体的一个额外未知矢量矛（ 方向已知，只需求大小）。这使得它在计算
的时间效率上具有相当的优势。
但是，正如推导过程 中，该模型只适用于所有导体均为直导体的互电

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感和互电阻。对于其它的较为复杂的三维互连结构，如环状结构，该模型
都无法 处理。方蜀州等人所在的实验室还提出了一种改进的电感计算模
型，模型在保持了在速度上的潜在优势外 ，还去除了对导体的限制。
因此，为了得到一个边界元变量数较少，可以运用多层介质格林函数
法，又能够处理不同形状的导体结构的新边界元模型，需要即综合上述三
种模型的优势，同时还要尽量避 免它们的缺点。
３．５电感电阻提取的新模型
在对现有模型进行研究的基础上，综合了方蜀州、 王泽毅等人提出的
最少变量数间接边界元模型和Ｂ．Ｓｏｎｇ等人所提出的易于采用多层介质格
林函数的模型，提出一种新的边界元模型。这种新模型仍然采用与前三种
模型类似的假设条件。同时，新 模型还沿用了最少变量数间接边界元模型
中，使用虚拟变量来描述导体内部和自由空间中的电场强度及磁 感应强度
的方法，区别在于不引入虚拟矢量磁位，从而去除模型中所有导体必须为
直导体的限制 。此外，新模型注意同多层介质格林函数的结合，力图使其
应用更为广泛。
本部分将从基本理论 （边界积分方程的推导和建立）、数值实现（方
程离散化、线性方程组求解）以及工程上的近似计算等角 度，详细阐述本
文提出的边界元模型。
３．５．１基本条件
一些基本的假设条件在三维 电感电阻提取研究已经被广泛采用。新模
型将沿用与前三种模型类似的遮假设。它们大致可被分成如下两 类：
３．５．１．１电磁场
电磁场方面的假设包括以下４点：
①电磁场为时谐场，即在 线性媒介参数不随时间变化的电磁场中，当
场源随时间按正弦规律变化时，处于稳定状态下的电磁场就是 时谐的电磁
场；
②在磁准静态场（ＭＱＳ）的情况下，由于位移电流远小于传导电流（即

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可忽略务因此可以忽略位移蛾
③集肤效应、邻近效应和涡流效应等均不可忽略；
④导体与介质的交界面上可以分布不同的虚拟 电磁场源。
３．５．１．２导体自身参数及其形状结构
导体自身参数及其形状结构方面的假设包 括以下３点：
①导体的材料特性参数（如电导率、磁导率）在不同区域内为不随时
间变化的常数 ；
②材料特性参数不同的导体不共享同一边界，即不存在导体之间的交
界面，参数不同的交界面 只能是导体与自由空间的交界面；
③导体的衬底被视为非理想导体，即其电导率非常小。
３．５ ．２相关参数表达式
根据上述假设条件，对Ｍａｘｗｅｌｌ方程进行变换，可以得到导体五内部
磁场强度育及电场强度享满足如下方程
ｖ。苷：７＋，嬲言：了：盯言
ｖ×Ｚ：一，甜“霄ｖ．苷：０
盯为电导率。
（３．５８）
（３．５９）
（３．６０）
其中，Ｊ为虚数单位，了为电流密度，由为角频率，口为该导体的磁导率，
对式（３．５８）两端取散 度，同时考虑到电导率盯在同一导体区域内为
常数，可得下式：
ｖ．言：０
（３．６１ ）
即满足规范条件，这表明自由电荷只分布于导体表面。
利用矢量恒等式Ｖｘｖ。声：ｖｆｖ． 竞一ｖｚ声，由式（３．５８），式（３．５９）和
式（３．６１）可电场强度Ｚ满足如下Ｈｅｌｍｈｏ ｌｔｚ方程
～焖≤毫：一ｊ∞阑ｘ直：一ｊ∞毒：一．ｎＢ出鑫
ｖ２言一，伽盯杏：０
足如下的Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ方程，
（３．６２）
同理，式（３．５８），式（３．５９）和式 （３．６０）也可以得到磁场强度耳满

ｘＶ８６．３（
重庆邮电大学工程硕士论 文
第三章寄生电感电阻参数提取
ｖ。ｖ。方：田。言：一泐倒育
ｖ２苷一，础盯才：０
（３．６３）
在文献【５７】中，Ｍａｙｅｒｇｏｙｚ将导体内部的磁场强度表示为分布在导体
表面的虚拟电流密度矢量的积分。对比最少变量数间接边界元模型，根据
式（３．６２）与（３ ．６３）的对称性，同样可以将电场强度表示为分布在导体七
表面Ｓ的虚拟磁流密度矢量≯的积分：・足皓）２赢，气＝
间的距离。
杏（孝）＝Ｖ％ｘ文Ｋ（酬声（玎）呜
（３．６４ ）
．足（ｆ，ｒ／）：若黑，气：ｑ－ｑ啄，ｕｔｒ
（３．６５）
‘３筋’
其 中，ｆ为导体内部的观察点，叩为最上的积分点，Ｒ（善，ｒ／）为ｆ与７之
由电场强度表达式Ｖｘ吾＋ 膨否＝０，又可获得如下的导体内部磁感应强
度百的表达式：
畜（孝）＝丢Ｖｒ×ｚ（ｆ）＝丢 已×Ｖｔ×嚷足（掌，叩）反刁）晦（３．６６）
以下标０表示自由空间中的量。取库仑规范条件，则自 由空间中的矢
量磁位刁满足拉普拉斯方程：
ｖ２才：０
二阶矢量磁位（ＳＯＶＰ）的概 念，刁可以表示为：
矿
才：
矿
４＝
（３．６７）
应用Ｍｏｒ ｓｅ和Ｆｅｓｈｂａｃｈ在著作［５８】以及Ｓｍｙｔｈｅ在著作［５９］中阐述的
）
（３．< br>６８）
其中矿即为二阶矢量磁位。如果才满足矢量ＨｅｌｍｈｏＩｔｚ方程，矿需要两个
分别满足标量Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ方程的参数定义。由于式（３．６７）为矢量拉普拉
斯方程，只需一个 满足标量Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ方程的参数定义就足够了。根据式
（３．６７），采用Ｋｒｉｅｚｉｓ和Ｘ ｙｐｔｅｒａｓ在文献［６０】中的做法，将自由空间中旷
的表示为
矿：乞
（３．６９ ）
其中，；是平行于适当选择的坐标系轴线方向的单位矢量，∥是一个满足
拉普拉斯方程的标量 。将∥看作一种标量位，则可以表示为分布在所有导
体与自由空间的交界面％上的虚拟磁荷密度ｃｒｏ的 积分：
∥（孝）＝ＬＧ（孝，，７ｈ（刁）呶
（３．７０）

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第三章寄生电感电阻参数提取
６（辱，ｎ）２丽１丽
哭中ｆ为自由空Ｉ 司中的观察点，ｒｌ为％上的积分点。
式：
（３．７１）
由式（３．６８），（３．６ ９）及（３．７０），可以得到自由空间矢量磁位的表达
才（ｆ）＝Ｖｆ×（劾）＝一Ｌ教ＶｆＧ（ｆ川 ）ｃｒｏｏ）呜
（３．７２）
矢量磁位取库仑规范的条件下，电场强度茸，矢量磁位才及标量电 位
（３．７３）
≯之间满足如下关系：茸：一，国才一ｖ≯
将式（３．７２）代入式（ ３．７３），可得自由空间中电场强度的表达式
露（ｆ）＝弦Ｌ言×ＶｆＧ（驯％（玎）晦一Ｖ≯
由上式可得自由空１９中磁感应强度表达式
（３．７４）
育＝丢已×弦Ｌ＇ＸＶ夕（ｆ，野） ｃｒ０（，７）呜
（３．７５）
３．５．３利用多层介质格林函数推导边界条件及边界积分方程
利用格林第二矢量恒等式对式（３．６２）和（３．６３）进行变换，可得如
下的磁场强度才和 电场强度言的边界积分方程形式：
丁（ｆ）营（ｆ）—－Ｖ×文Ｇｏ（善，叩）［款司（，７）呜
ｗ’奸（翻）［：登溉
一脚炙Ｇｏ（纠［÷×翻（叩）岛
一／掣￡Ｇ０（酬文７７）叱
（３．７６）
……
当善ｅ屹时，，（善）＝１；当善∈只时，，（掌）＝１／２；其它情况下 ，，（ｆ）＝０。
啪圳＝嵩∥翻吣班和再（３．７７）
其中瓯为导体ｋ的表面，胄（孝，玎）为 ≠与叩之间的距离。
将式（３．７６）左右两端分别累加起来，并将ｆ点移到导体的边界上，
可 得：

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第三章寄生电感电阻参数提取
圭言（ｆ ）＝－Ｖｘ￡Ｇｏ（善，７７）［苏司（７７）晦
Ⅳ￡Ｇ０（驯［，．刁（叩）呜
一＿，％￡Ｇ ０（孝，玎）［款司（叩）呶
一＿，％工Ｇｏ（孝，玎）了仞地
其中，ｓ为所有导体表面的并集 ，矿为所有导体体积的并集。
当导体被强加电位边界上，应用如下边界条件：
（３．７８）７．（ｚ一萄＝０，＝１，２
（３．７９）
方・（言一萄＝言・（苔一露）＝０
妒 ＝红
（３８０）
（３．８１）
其中，芦和声是导体表面切平面中相互垂直的单位矢量， 言为导体表面的
单位外法向矢量。以为该边界上被强加的电位值。
在导体未被强加电位的边界上 同样使用式（３．７９）、（３．８０）作为边界
条件。另外，考虑到电荷守恒定律及ＭＱＳ状态下边界 上自由电荷密度对
时间的导数为０，可得如下边界条件
嘉．富：０
（３．８２）
电场强度言，电位标量痧，与电流密度亨之间有如下关系：
Ｚ＝一Ｖ≯一＿，嘶工Ｇｏ（善，７）确地
（３．８３）
其州垆Ｅ眯莉掣呶
中，可得如下的边界积分方程：
（３．８４）
将式（３．６４）、（３．６６）、（３．７４）及（３．７５）中的观察点善移至边界上，
获 得导体内部和自由空间中电场强度及磁感应强度在边界上的表达式，并
将这些表达式代入以上的边界条件 式（３．７８）、（３．７９）、（３．８０）及（３．８２）

一委营（善）：ｖ矿（孝 ）一Ｖ×￡Ｇｏ（孝，，７）［荔司如）出，
茹．￡Ｇｏ（孝，叩）眵司仞）ａｓ，一．，掣￡Ｇ０（参 ，叩）［款翻加）ａｓ”
：ｖ蚓一ｖｘ￡Ｇ。（纠降司（珂）鹂
办￡Ｇｏ（酬Ｆ司（玎）峨‘３∞’
锕￡啡神Ｍ＿，等埘叩地
输电莉×Ｖ∥（善，智地＋挑）‘Ｐ（亭）×捌
了（州Ｌ言×ＶｆＧ（绷［，∞ｃｒｏ（卵）］呜
（３．８６）
一去阳・降砒）］［弦吼（掌） ］一Ｖ船妒（ｆ）＝ｏ
，＝１，２
齐（善），文Ｖ；Ｋ（纠≯（刁）出。
ｆ≯（７７） Ｖｆ（Ｖ；Ｋ（ｆ，巧）），Ｉ
一相・呶｛≯（叩）Ｖ；（Ｖ；Ｋ（善砒一
ｌ声（刁）Ｖｔ（Ｖ ∥（翻））：』
薪（孝）・ＬＶ２Ｇ（酬［归％（玎）］啦
ｐ
Ｖ；（Ｖ；Ｇ（孝，印） ），Ｉ
（３．８７）
彳（善）・球Ｖ，（ＶｒＧ（圳雌觚（，７）］呜。０
Ｉ言Ｖ；（ Ｖ∥（善，叩））Ｊ
相・嚷声（巧）ｘＶ≯（酬出－＝ｏ
（３．８８）
其中，善、玎分 别为边界上的观察点和积分点，Ｖ，（∥（孝）为声（掌）在反善）方
向上娶弓篓８。５、（３
式（３．
‘
）、（３．
）包管ｊ新俣型刚丑７Ｉ。垄平姓引’
及（３．
８６）、（３．８７）及（３．８８）包含了新模型的五个基本边界
）、（３．
积分方程。< br>．３６．

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３．５ ．４化简积分方程
考虑将所有边界划分成若干个矩形元，将第ｉ个边界元命名为
ｂｏｕｎｄａｒ ｙ，，并设其配置点为矩形的几何中心点ｑ，单位外法向矢量为毒
采用常数单元以及式（３．７４）：ｚ （孝）＝Ｖｆ×《Ｋ（孝，，７）赢玎）呜，并考虑到虚
拟磁流密度矢量在边界元上无法向分量，因此， 为ｂｏｕｎｄａｒｙ，选择两个互相
垂直的单位切向矢量才及才，满足才×毒：孝，并为其分配如下四个 变量；
记：矢量菥在才方向上的分量
破：矢量万在毒方向上的分量
薛：标量ｃｒｏ的值
破：标量妒的值
设常数边界元ｂｏｕｎｄａｒｙ，位于导体ｋ的表面最上，并设墨被划分为虬个
边界元，依次为ｂｏｕｎｄａｒｙ？，ｂｏｕｎｄａｒｙ：，…，ｂｏｕｎｄａｒｙ，，；所有导体表面 的
并集％被划分为％个边界元，依次为ｂｏｕｎｔｙ；，ｂｏｕｎｄａｒｙ笋，…，
６Ｄ“ｎ咖 ），咒ａ
方程（３．８５）可离散化为：
一三偿［（才×宏）・磊］赢＋薹［（不功・赢］破｝
一
虬
‰
］
＝Ｖ。庐＋Ｖ。≯一∑
÷
珂ｉ
＿
‰
ｌ
一＇
‰
Ｆ
以∑¨
１ｌ珥
、％，％１、 ％
陪
（３．９０）
（３．８９）
匿
其中，
（，掣）
《＝ｆ
Ｖ∥（ｆ，可）Ｉ乒。峨
：。上ｂｏｕｎ端ｄａｒ）Ｙ“Ｍ傅啪卅ｋ鹤

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第三章寄生电感电阻参数提取
稼露＝』Ｖ，（Ｖ；Ｋ（孝，叮 ）），Ｉ扣。呜
＝上矧（（¨）嘶ｍ眦帆哪两鹂。。９。
起２上Ｖｒ（Ｖ础蚍一呶
＝上 嬲（（枞№帅，１＋眦洲弧。呜。９２’
麒磊２。。ＬＶｒ（Ｖ∥（勃））：Ｉ“呜
＝上涮（（ 铋№帅，０，，堋（锄哪鲍呜。。９３’
兹露＝』Ｖ；（Ｖ户（孝，玎）），ｋ呶
６ＤⅫ☆，？
＝上端［矧ｃ寸ｏｏ，ｏ啦呜
寝＝』Ｖ；（Ｖ∥（ｆ，誓）），ｆ扣。戤
ｂｏｕｎｄａ ｒｙ．＇
∞。９４’
＝。上端［矧旷沪＠∽咄，岛．。‘９５’
兹宏＝Ｊ
Ｖｆ （Ｖ＃Ｇ（孝，刁））：ｌ乒。呜
ｂ∞ｎｄａ醚
‘
＝。上端［矧旷沪＠叫啦匆
ｃ
。９６’
式（３．８９）中的Ｖ。≯及Ｖ。≯分别表示为≯在点ｑ处沿孝和才方向的导数，< br>可将它们表示为ｂｏｕｎｄａｒｙ，及与之相邻的边界元上的≯值的线性组合。式
ｓ．，・，～ｃ ，．，。，中ｒ（善，叩）＝｛三懈＋２群）（叩一善），而其中
．３８．
Ｖｆ（Ｖ≯（己７７ ））。的含义是指矢量ＶｆＫ（孝，刁）在工方向上的分量对ｆ的梯度。其
余同理。

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在式（３．８６）中取芦：Ｚ，芦 ：才在ｑ点处离散化此积分方程，可得如
羹陋习．露］《＋薹睁莓）．碉瓦丢砑
“ｉ：
“‘
。
（３．９７）
＋芝［（孝×刁。确（－，国％。）一去（孝・刁（豇，‰，）一 Ｖ。矿＝ｏ
ｍ－Ｉ一
。
－ｔ
莓睁芴）・确露＋薹限期。确砰丢有㈦９。，＋薹胁刁’硐（触ｍ）一拇习（觚，）一Ｖ一例
瓯＝Ｊ
ｂｏｌｍｄａｒ爿Ｉ
ＶｆＧ （≠，珂）Ｉ细呜
（３．９９）
２上端∽列驰
以配置点Ｐ６所在的边界元ｂｏｕｒｌｄ ６０＂ｙ６为例，
可得如下两式：
Ｖ∥镶鬻
Ｖ护镱胬
（３．１００）
（３．１０１）
其中，丸．，九，九和九分别为ｂｏｕｎｄａｒｙｔ的四个顶点Ｖ１，ｖ２，ｖ３和ｖ４ 上的≯
值。这些值可分别取与之相关的四个边界元的西值的算术平均值
”虹警
（３．１ ０２）
九＝虹哮垃
（３．１０３）
九＝止半
丸；址半
红…，磊表示ｖ 。≯和Ｖ、妒的线性表达式。
肯耜（３
９７）可离舯批为．
（３．１０４）
（ ３．１０５）
将式（３．１０２）～（３．１０５）代入式（３．１００）
及（３．１０１）， 便得到以氟，

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堂ｍ＝ｌ ［（考・确定《］五艺＋艺ｒａ＝ｌ［（孝・Ｚ）玄碉五彳
一
＿
Ｌ
Ｊ
——～
—÷
材ｍ
—４
‰
—＿．
砰
ｖ埘
—÷
一
兹露１１
丝乙¨
ｖ肼
—÷
砧ｍ
％
ＫＫａ ，．ＪＪ
赢霄ｌ
ｌ露
（３．１０６）
＋篓［ｍ嘲（觚卜篓
其中
６删树∞珐
毒啊
斌斌兹
（－，国ｃｒｏ。）＝０
荭＝Ｊ．Ｖ；足（善，叩） Ｉ扣。呜
（３．１０７）
＝Ｊ
２孵Ｋ（掌，７７）ｋ呜
６ｍｍ出。盎
荭＝．ｆ
Ｖ≯（孝，刁）Ｉ乒。呶＝ｏ
∞Ⅻ卅
同理，离散化方程（３．８８）可得（３．１０８）
封（不习・司瓦＋氢（孝×功・司瓦＝。
３．５．５线－陛方程组的求解法
（３．１０９）
导体表面的并集．％被划分为％个边界元，则所有方程离散化后可以
建 立线性方程组：
出＝ｆ
向量。右端向量厂的值取决于给导体加电压的具体方式。
（３． １１０）
其中，彳是规模为４％ｘ４‰的矩阵，ｚ是由４类未知变量组成的４％维
线性方程组（ ３．１１０）的求解方法可分为两大类：直接解法和迭代解法。
直接法主要有选取主元的高斯消去法、Ｌ Ｕ分解法以及一些稳定性很高的
正交型消元方法等。直接法有确定的计算量，其计算复杂度为Ｄ（矿）（ ｎ为
方程组未知量的个数），一般适于规模较小方程组的求解。迭代法主要有：
高斯一塞德尔（ Ｇａｕｓｓ．Ｓｅｉｄｅｌ）迭代法、雅可比（Ｊａｃｏｂｉ）迭代法、逐次超
松弛（Ｓｕｃｃｅｓｓｉ ｖｅ
Ｏｖｅｒ・Ｒｅｌａｘａｔｉｏｎ）迭代法、共轭梯度（Ｃｏｎｊｕｇａｔｅ
Ｇｒａｄｉｅ ｎｔ，

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ＣＧ）法、广义 共轭剩余（ＧｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＣｏｎｊｕｇａｔｅ
Ｒｅｓｉｄｕａｌ，ＧＣＲ）法及广义
最小剩余（ＧｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＭｉｎｉｍａｌ
Ｒｅｓｉｄｕａｌ，ＧＭＲＥＳ）法等。迭代法是一 种
以近似解逐渐逼近方程组精确解的方法，算法复杂度一般为Ｏ（ｍｎ２１（ｍ为
迭代的次数） 。当ｍ远小于ｎ时。求解效率较高，适于求解规模比较大的方
程组。从数值稳定性、健壮性、并行性、存 储量及计算量等方面考虑，广
义最小剩余法是求解非对称线性方程组的最佳方法，在实际应用中也常被< br>采用。
广义最小剩余迭代法的要旨是用较低维度的子空间的基向量去表示
近似解。对ｎ阶 线性代数方程组Ａｘ＝ｂ，取而为解的初始值，则初始剩余值
为％＝ｂ一线。取Ｈ维实向量空间∥中的两 个ｍ维子空间：
如＝Ｓｐａｎ｛ｒｏ，４％。…，４”１％｝与Ｌ＝爿Ｅ＝Ｓｐａｎ｛Ａｒｏ，４２ｒｏ ，…，么”％｝。设方程组的
近似解为％＝ｘｏ－ｔ－Ｚｍ，则剩余向量为％＝６一瓴＝％一４％。若取 ％∈％，且
满足０上厶，即‰与厶中所有向量正交，则可求得％。可以证明，按上述
方法求乙等 价于在％中以２－范数极小化剩余向量‰。
从理论上讲，当ｍ＝ｎ时，可得到方程组的精确解。但是，这 时算法的
复杂度已为Ｏ（ｎ３１，当ｎ很大时，运算量与内存占用都很大。因此，实际
计算中常 采用ＧＭＲＥＳ（ｋ）算法［６１１，ｋ是预置的重启动迭代次数，一般
ｋ《ｎ。算出磊后，取而＋缸作 为新的迭代初值，重新启动迭代过程。允许
进行多次迭代过程，直到满足解的精度要求为止。
３ ．５．６工程上的近似计算
在工程上，对于一个含有Ⅳ个导体的互连结构，其阻抗矩阵ｚ将各个
导体两端的偏压构成的向量矿与通过各个导体的电流构成的向量，联系起
来
刀＝Ｖ
（３ ．１１１）

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第三章寄生电感电阻参数提取
ｎ
吃
啮
图３．Ｉ导体系统电感电阻提取加偏压的方式
为求得阻抗矩阵Ｚ，可以按 图３．１所示，首先在电路两端分别加上适
当偏压，偏压在不同的导体上构成一个Ⅳ维向量。然后，建立 并使用预条
件的广义最小剩余（ＧＭＲＥＳ）算法求解线性方程组Ｚ／＝Ｖ，需要代入离散
化式 （３．８９）和式（３．１０６），从而获得各导线表面虚拟磁流密度矢量≯的
分布。随后，采用求取极 限的方法，将观察点｛移至边界上，对式（３．６４）
进行化简，可得：
富∽吧×呶Ｋ慨嘲）呶 ＝Ｖｅｘ文舄声㈤呶
吧×Ｌｆ眨
碉鸸
（≯（，７）），
（≯（叩）），
ｅ－Ｊｋ，Ｒ（ｆ，ｗ，
（３～１１２）
（声（叩））；
其中，
≯（刁）为 已知量，它在各方向的值都可以确定下来，
足（六玎）＝赢，与＝√√掣盯，善为导体内部的观察点，叩 为墨上的积
。一内Ｒ（ｆ，＿）——
分点，Ｒ（ｆ，ｒ／）为ｆ与叩之间的距离。这样就可以把 二维平面积分公式转换
为一维边界积分公式，简化了计算量。
根据边界积分方程式（３．９７） 、式（３．９８）和式（３．９０），离散积分方程
（３．１１２），将式（３．１０９）代入，可得到 进一步简化为：

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Ｚ（ｆ ）＝Ｖ＃×４，Ｋ（ｅ，叩）声（叩）呜
玄（孝）
玎
ｊ
胡；×Ｌ
文ｆ ）
孝（善）
节
，
彪
（酬呶＝Ｖｆ×Ｌ声（叩弦（酬岛（３．１１３）
声声芗
野
，
＝薹［（÷（孝）×动・歇玎）］芷（￡叩）＋薹［（文孝）×毒 ）・芹。）］Ｋ（磊刁）
其中，≯（叩）＝
，；｝为导体表明的单位外法线矢量。随后将积分方程转换为离散求和方程，减少了单位矢量的个数，同时去掉了旋度的
求解，因此各参数均为标量 ，比矢量容易计算。
求出各导体的强加电位端面上的电场强度，进而可以求得通过各导线
的电流 。这些电流也相应地构成一个Ⅳ维向量。重复以上过程＾ｒ次，并假
设为系统加上的Ⅳ个线性无关的偏压 向量依次为巧，圪，．．．，珞，所求得的电
流向量依次为‘，厶，¨．，如，则阻抗矩阵Ｚ＝ＶＩ一， 其中Ｖ＝（Ｋ，％，．．．，％），
，＝（‘，‘，．．．，如）。
求得阻抗矩阵ｚ之后，可立 即获得电阻矩阵Ｒ和电感矩阵￡
Ｒ＝ｒｅａｌ（Ｚ、
（３．１１４）
‘
工：塑 堡㈤
万
（３．１１５）
其中口为角频率。
３．５．７新模型的评估
在 仔细研究并理解前人工作的基础上，本文提出了这种新的用于三维
电感电阻提取的边界元模型，并从理论 推导、方程求解及实例计算结果和
仿真结果等方面加以详细阐述。该模型综合了方蜀州、王泽毅等人提出 的
最少变量数间接边界元模型和Ｂ．Ｓｏｎｇ等人所提出的易于采用多层介质格
林函数的模型， 其优点在于：
①模型抛弃了电流只沿导体轴向流动的假设，可用于计算相互垂直导
体之间的电感 电阻；

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第三章寄生电感电阻参数提取
层不同 介质的三维互连结构，不受导体的几何形状的限制，因而应用广泛；
④模型沿用基本条件，以假设分布于 不同区域交界面上的虚拟变量来
描述电磁场中导体内部和自由空间中的电场强度及磁感应强度。
这四种模型各自的未知变量个数、算法复杂度和性能的对照表如表３．１
所示。
．
表３ ．１
模型的复杂度和性能对照表
模型
未知变量
算法复杂
性能
（个）度
直接边界元模型
８
Ｄ（以７）
差
易于采用多层介
６
较差
质格林函数的模
Ｏ（ｎ６）
型
最少变量数间接
４
边界元模型
ｏ（矿）
次优
新模型
４
行Ｄ（∥）
’优
从上表３．１中可以看出，新模型的算法要比前两种模型简单。虽然在
未知变量的个数上同最少变量数 间接边界元模型一致，但是由于新模型中
引入了多层介质的格林函数。因此，它的算法比最少变量数间接 边界元模
型的算法复杂，从而制约了模型的优化和快速求解。从总体上来讲，新模
型在性能上略 优于其他模型的。

重庆邮电大学工程硕士论文
第四章新模型在验证中的应用第四章新模型在验证中的应用
４．１寄生效应的影响
在集成电路的设计中，版图验证是一项 重要的不可缺少的环节。它是
用来在实际生成晶片之前估计和验证所设计的集成电路的正确功能。版图< br>验证不仅包括检查实际电路与所希望的电路功能是否符合，还必须考虑实
际电路中的寄生效应，而 且随着电路复杂度的提高和晶体管尺寸的不断缩
小，这种寄生效应显得越来越重要。在整个版图验证系统 中，参数提取主
要完成各种类型电容的提取和电感电阻的提取，它是验证系统的一个重要
部分。
随着集成电路规模的不断扩大，工艺水平的不断提高，在亚微米级及
高速集成电路中，寄生电容 的精确计算就显得十分重要了。因为寄生电容
的大小直接影响着芯片的开关速度及特性功能，是一个比较 关键的因素，
尤其在多层布线的情况下，层间耦合电容引起的交调失真也越来越明显，
因此需要 仔细处理各种类型的连线电容【６“。
在参数提取中，电感电阻提取的主要任务就是根据给定版图的相关 数
据，计算出版图中的固有电感电阻和寄生电感电阻的阻值，并将它们添加
到相应的网表中去。 比较而言，电感电阻的计算比电容的计算要困难一点，
这是因为其大小依赖于实际版图的区域形状、通孔 的形状和位置【６…。
由此可见，寄生效应在版图验证中的影响已经不容忽视。已有的一些
处理 问题的方法己不再适用，出现的问题也越来越多，因而目前研究的重
点在于如何根据实际情况建立新的模 型，并找出解决问题的方法。
４．２新模型的应用
在重邮自主研发的ＴＤ．ＳＣＤＭＡ
３Ｇ手机芯片”通芯一号”的设计过程
中，承担了后端的设计工作。”通芯一号”采用了目前比较先进的 ０．１３微米
的半导体工艺技术，一共包含７层金属。芯片设计过程中，全面充分地考
虑了寄生 参数对集成电路的诸多影响，并通过Ｓｙｎｏｐｓｙｓ公司提供的整套设
计工具和部分有效的方法，避免 寄生参数毁坏芯片的正确性，确保芯片的
性能和可靠性。

重庆邮电大学工程硕士 论文第四章新模型在验证中的应用
提出的新模型主要是针对寄生电感电阻参数的提取，可以应用于ＡＳＩ Ｃ
芯片设计中时序功耗的验证分析、信号完整性分析以及其他方面的验证。
应用是以０．１３ｕ ｍ的”通芯一号”芯片为标准，时钟为ｇｎｓ，工作频率为
１２５ＭＨｚ。验证的结果包括两个部分：一 部分是在利用Ｓｙｎｏｐｓｙｓ公司提供
的设计工具，得到可做为参考标准的相关参数值；另一部分是运 用模型分
析计算得出的参数值。
４．２．１模型正确性的验证
４．２．１．１时序方面
利用模型可以计算出电路中数据的上升时间。首先在电路两端分别加
上适当偏压，这些偏压构成 一个Ⅳ维向量。然后，建立并求解线性方程组
（３．１１１），获得各个导体表面虚拟磁流密度矢量的分 布。最后，通过采用
的求取极限的方法，将观察点ｆ移至边界上，可得到导体表面电场强度的
表 达式。由已求得的虚拟磁流密度矢量，求出各个导体的强加电位端面上
的电场强度，进而求得通过各个导 体上的电流。这些电流也相应地构成一
个Ⅳ维向量。重复以上过程Ⅳ次后，可由阻抗矩阵Ｚ，通过式（３ ．１１４）和
式（３．１１５），获得电阻矩阵Ｒ和电感矩阵三。最后，利用电路的三要素法
求 出上升时间。
在”通芯一号”芯片的设计中，使用了Ｓｙｎｏｐｓｙｓ公司提供的静态时序分
析 软件。该软件适用于门级电路设计，可以和Ｓｙｎｏｐｓｙｓ公司的其他ＥＤＡ
软件非常好的结合在一起 。这种静态时序的分析软件是针对复杂的数百万
门的全芯片门级静态时序分析器。它是一个易于使用的产 品，能进行静态
时序分析，精确的ＲＣ延迟计算，先进的建模和时序验收。对于大型的多
时钟的 设计，比如包括了综合出的逻辑电路、嵌入式存储器和微处理器核
的设计等，都是一个理想的工具。其运 行文件如图４．１所示：
．４６．