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第３０卷
２００８年１２月
宜春学院学报
Ｊｏｕｒｎａｌ
ｏｆ Ｙｉｃｈｔｍ
Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
Ｖ０１．３０
Ｄｅｅ．２【）０８
含参变 量的广义积分非一致收敛的一个判定定理
郭小春
（杭州师范大学理学院数学系，浙江杭州３１伽 ３６）
摘要：本文提出并证明了含参变量的广义积分非一致收敛的一个判定定理。
关键词：二元 函数；广义积分；非一致收敛
中图分类号：０１７２．２文献标识码：Ａ文章编号：１６７１—３８０Ｘ （２００８）ｓ１－０１５６一睨
Ａ
ｊｕｄｇｉｎｇ
ｔｈｅｏｒｅｍ
ａｂｏｕ ｔ
ｉｍｐｒｏｐｅｒ
ｉｎｔｅｇｒａｌｄｅｐｅｎｄｉｎｇ
Ｏｌｌａ
ｐａｒａ ｍｅｔｅｒ
ｎｏｎ—ｕｎｉｆｏｒｍ
ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ
ＧＵＯＸｉａｏ—ｅｈｕ ｎ
（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆ
Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｈａｎｇｚｈｏｕ
Ａｂｓｔ ｒａｃｔ：Ｔｏ
ｇｉｖｅ
ａｎｄ
ａ
Ｎｏｒｍａｌ
Ｕｎｉｖｅ瑙ｉｔｙ
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３
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ａ
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Ｋｅｙｗ ｏｒｄｓ：Ｄｕａｌｆｕｎｃｔｉｏｎ；Ｉｍｐｒｏｐｅｒ
ｉｎｔｅｇｒａｌ；ｎｏｎ—ｕｎｉｆｏｒｍ
ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ
一般地，形如Ｃ。ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘ的积分．称为含参
变量的 广义积分，现将积分Ｃ。ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘ推广为』
：。ｆ（ｘ，Ｙ）ｄｘｇ（ｘ）ｄｘ来研究，得到一 个有意义的定
理。
１相关定义
１．１一致收敛的定义
（２）如果『Ｔｆ（Ｘ） ｄ）【≠ｏ，则Ｇ（Ｘ）．．Ｅｆ（ｔ）ｄｔ可表
示成线性函数与以Ｔ为周期的周期函数之和。
证职１：由周期函数及奇函数的积分性质得：
Ｆ（ｘ＋Ｔ）＝ｇ，Ｔｆ（ｔ）ｄｔ＝岳ｆ（ｔ）ｄｔ＋尼 ＋Ｔｆ（ｔ）ｄｔ
＝Ｆ－｝ｆ（ｔ）ｄｔ＋尼ｆ（ｔ）ｄｔ
＝ｇｆ（ｔ）ｄｔ
＝Ｆ（ｘ ）。
故Ｆ（ｘ）＝尼ｆ（ｔ）ｄｔ是以Ｔ为周期的周期函
数。
证明２：对于任意常数ｋ ，有：
若对Ｖ￡＞Ｏ，ｊＡ。（ｓ）＞ａ（此Ａ（８）仅与
ｇ有关），当Ａ，＇Ａ≥Ａｏ时，对 一切Ｙ仨［ｅ，ｄ］，
成立ｌ丘ｌ（ｘ，Ｙ）ｄ）【ｌ＜８或ＩＫ。ｆ（ｘ，Ｙ）ｄ）【ｌ＜￡，就称< br>ｒ‘ｆ（ｘ，ｙ）ｄ）【关于Ｙ∈【ｅ，ｄ］为一致收敛。
１．２非一致收敛的定义
Ｇ（ ｘ）＝Ｅ［ｆ（ｔ）－＿ｋ＋ｋ］ｄｔ＝『：［ｆ（ｔ）一ｋ］ｄｔ＋
ｋ（Ｘ—ａ），
若对Ｖ￡ ＞Ｏ，找不到仅与８有关的Ａ。（ｇ）＞－
ａ，弓Ａ
０
Ａ≥氏时，对一切Ｙ
Ｅ ［ｃ，ｄ］，成立
因为ｋ（Ｘ—ａ）是线性函数，所以只须证明当
ｋ取某一值时，
ＩＪ ＾，－ｆ（ｘ，Ｙ）ｄｘ
ｌ＜ｇ或∽’ｆ（ｘ，Ｙ）ｄｘ
１．＜８，就称ｆ：。ｆ
（ｘ ，ｙ）ｄｘ关于Ｙ
Ｅ［ｃ．ｄ］为非一致收敛。
２几个引理
ｇ（ｘ）＝肚ｆ（ｔ）一ｋ ］ｄｔ以Ｔ为周期即可。
由周期函数的定积分性质得
ｇ（ｘ＋Ｔ）＝『＝＋’［ｆ（ｔ）一ｋ］ ｄｔ＝』：［ｆ（ｔ）一ｋ］ｄｔ
＋ｅ＋Ｔ［ｆ（ｔ）一ｋ］ｄｔ
引理１若ｆ（ｘ）是以Ｔ为周 期的周期函数，
旦ｌ，１９１’ｆ（Ｘ）ｄｘ＝ｎｇｆ（ｘ）ｄｘ。
引理２
常数）。< br>ｆ（ｘ）定义在全数轴，且以Ｔ为周期
的连续函数，则Ｅ脚ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｎｌｆｆｆ（ｘ）ｄｘ （ａ为任意
引理３设ｆ（ｘ）为厕上的以Ｔ为周期的连
续函数，则：（１）如果ｆ（ｘ）为奇函 数，则函数
Ｆ（ｘ）＝ｇｆ（ｔ）ｄｔ也是以Ｔ为周期的周期函数；
＝ｇ（ｘ）＋尼’ｆ（ｔ） ｄｔ—ｋＴ
取ｇ（ｘ）＝ｉＩ
ｊＴｏｆ（ｔ）ｄｔ有ｇ（ｘ＋Ｔ）＝ｇ（ｘ），
即ｇ（ ｘ）是以Ｔ为周期的周期函数。
３重要结论
定理１设ｆ（ｘ，ｙ）在区域Ｄ：ａｓｘ＜＋∞；< br>收稿日期：２００８—１２—０２
作者简介：郭小春（１９８６一）。男，江西南摩人，规州烽范 大学数学系。本耪。现从事大擘数学研究。
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万方数据

２００ ８年郭小春：含参变量的广义积分非一致收敛的一个判定定理
第３０卷
ａ－＜Ｙ
ｓｂ上连续。且对ＶＸ有ｌｉｍｆ（ｘ，ｙ）＝Ｃ于是ｆ：。ｇ（ｘ）ｄｘ发散，则矛盾是显然的，因
（其中Ｃ≠Ｏ），ｇ（Ｘ）是以Ｔ为最小正周期的连续
此假设不成立。
函数，则ｒ。ｆ（ｘ，ｙ ）ｇ（ｘ）ｄｘ关于Ｙ∈（ａ，ｄ］非一致
从而』：。ｆ（ｘ，ｙ）ｇ（Ｘ）ｄ】【关于Ｙ∈（ａ，ｄ］ 非一致
收敛。
收敛。
证明：利用反证法。
推论１当ｂ－－）４－∞时，有如下 命题：设ｆ（ｘ．
假设ｒ。ｆ（ｘ，Ｙ）ｇ（ｘ）ｄｘ关于Ｙ∈（ａ，ｄ］一致收
ｙ）在区域Ｄ ：ａ≤ｘ．＜＋∞；８＜Ｙ＿＜＋∞上连续，
敛，则：
且对ＶＸ有ｌｉｒａｆ（ｘ．ｙ）＝１２ （其中Ｃ≠０），ｇ（ｘ）是
Ｖ
８＞０，ｊＭ＞０，当Ａ＞Ａ＞Ｍ时，对一切Ｙ以Ｔ为最小正周 期的连续函数，则』０。ｆ（Ｘ，Ｙ）ｇ
＞－ａ（ｙｓｂ）成立Ｉ』＾０（ｘ，ｙ）ｇ（ｘ）ｄ）【ｌ＜ Ｂ，
（ｘ）ｄ）【关于Ｙ∈（ａ，＋∞）非一致收敛．推论的
从而对于ＹＥ（ａ，ａ＋１１）亦 成立
证明也是显然的。
Ｉ『＾０（ｘ，ｙ）ｇ（ｘ）ｄｘ
Ｉ＜￡。
４应用举例
因为ｆ（ｘ，ｙ）在Ｄ：ａ≤ｘ一＜４－∞；ａ一＜ｙ
ｓ
ｂ
例１
设Ｙ
Ｅ（Ｏ，＋∞），１１１∈触＋为一固定的
上连续，
数，Ａ、∞、妒∈喃为三个固定的 数，其中Ａ‘ｏ≠０。
在不等式两边令ｙ一＋ａ，则有ｌ』＾℃ｇ（ｘ）ｄｘ
Ｉ
ｓ则Ｇ。ｅ＿ｙ～Ａｓｉｎ（０）Ｘ＋妒）ｄ，【关于ｙ在（０，
８，从而Ｃ。ｇ（ｘ）ｄ】【收敛，
＋∞）内非一致收敛。
根据引理ｌ，２
例２设Ｙ∈（０，＋∞），１１
Ｅ触＋ ，为一固定
我们有Ｃｇ（ｘ）ｄ）【＝主』：：ｇ“＂ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｎ』：＋Ｔｇ
的数，ｉ＝ Ｏ，１，２，３，ｎ∈阅、｛阅一｝，ＲＥ啸＋为
一固定的数，ａ、ｂＥ回为两个固定的数。
ｊ
（ｘ）ｄｘ
．
把ｇ（ｘ）延拓至［一∞，＋∞］上
贝盯０。ｅ—ｒｈ｛ｂ七／ Ｒ２一［ｘ一（ａ＋２ＪＲ）］２｝ｄｘ关
由引理３，有：
于Ｙ在（Ｏ，４－∞）内非一致收敛 。．
（１）当ｇ（ｘ）是奇函数时，有Ｇ（￡）＝￡＋ｒｇ
证明略。
（ｔ）ｄｔ＝０< br>参考文献：
所以Ｇ（ｘ）＝胎（ｔ）ｄｔ当ｘ■＋∞时，胎（ｔ）
［１］欧阳光中，朱学 炎，金福临，等．数学分析
ｄ￡是以Ｔ为最小正周期的周期函数；
（下）［Ｍ］．北京：高等教 育出版社，２００７：
（２）当Ｆ。ｇ（ｘ）ｄ】【≠０时，Ｇ（ｘ）＝／ｉｇ（ｔ）ｄｔ
２５ １．．２５２
可表示成线性函数与以Ｔ为周期的周期函数之和，
［２］胡汉涛．有关周期函数定 积分问题的几点探
仍为周期函数。
讨［Ｊ］．塔里木农垦大学学报，２００３，１５（３）；< br>（１）（２）习．Ｉｉｍ『＾ｇ（ｘ）ｄｘ不存在。
６５—６８
（上接第１３３页）【３］邹进．现代德国文化教育学［Ｍ］．太原：山西教育
【８］廖道胜．论中国幼儿英语教育史【 Ｊ］．陕西师范大学
出版社，１９９２：５７学报（哲学牡会科学版）。２００２，３１卷专辑：１３９ —
［４］张蓓，马兰．关于大学英语教材的文化内容的调查研
１４１
究［Ｊ］．外语界 ，２００４（４）：６４
［９］刘晓东．儿童教育新论［Ｍ］．南京：江苏教育出版
［５］Ｖｉ ｖｉ锄Ｃｏｏｋ．Ｌｉｎｇｕｉｓｔｉｃｓ
ａｎｄｆｌｅｃｏｎｄ
ｌａｎｇｕａｇｅＡｃｑｕｉ ｓｉｔｉｏｎ．
社。２００３：６５—１３１
语言学和第二语言习得［Ｍ］．北京：外语教学与 研［１０］余珍有．儿童双语现象与双语教育［Ｊ］．南京师大
究出版社，麦克米伦出版社，２０００： ２００—２６９学报（社会科学版），１９９５（１）：１０２～１０４
［６］单小亮．幼儿双语教学误 区何在？［Ｎ］．现代教育报，
［１１］朱纯．外语教学－心理学【Ｍ］．上海：上海外语教育
２００４—０２—２３（３）
出版社。２０００：５９－６１
［７］桂诗春．新编心理语言学［ Ｍ］．上海：上海外语教［１２］朱丽．谈学前教育专业英语教学问题［Ｊ］．教育研
育出版社，２００ ０：１１８—１６９究，２００３（２）：９７—９８
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万方数据

含参变量的广义积分非一致收敛的一个判定定理
作者：
作者单位：
刊名：
英文刊名：
年，卷(期)：
被引用次数：
郭小春， GUO Xiao- chun
杭州师范大学 理学院数学系,浙江 杭州,310036
宜春学院学报
JOURNAL OF YICHUN UNIVERSITY
2008，30(z1)
0次

参考文献(2条)

1.欧阳光中.朱学炎.金福临

数学分析(下) 2007
2.胡汉涛

有关周期函数定积分问题的几点探讨[期刊论文]
-
塔里木农垦大学学报 2003(03)

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含参量瑕积分在数学分析中起着重要作用,能够 应用于很多场合.基于此,本文首先给出二元函教的一致极限概念.从二元函数的一致极限的角度出发
, 给出含参量瑕积分性质的简单证明.从而把含参量广义积分与含参量瑕积分必质统一起来通过研究表明.引入二元 函数一致极限的概念,可以大大降低含
量瑕积分性质证明的复杂性,能够帮助大家更好的学习和掌握含参 量瑕积分的性质.


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