五年级下册第四单元作文-小学工会工作总结

第２４卷第３期
２００８年６月
大
学
数
学
Ｖ ０１．２４，ＮＱ．３
ＣＯＬＬＥＧＥ
ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳＪｕｎ．２００８
非初 等函数的判别法
王文
（徐州工程学院数学与物理科学学院。徐州２２１００８）
［摘< br>要］给出了非初等函数的几种判断方法．
［关键词］分段甬数；初等函数ｆ非初等函数
［ 中图分类号］０１
７２．１
［文献标识码］Ｃ［文章编号］１６７２—１４５４（２００８）０ ３—０１６５—０４
在高等数学中，初等函数是主要的研究对象，因此正确理解初等函数相当重要．众所 周知，初等函数
在其定义区间上是连续的，而连续函数的概念在微积分、常微分方程、复变函数等教材中 出现的频率最
多．因此，能否准确、迅速的判断一个函数是否为初等函数，是初学者经常遇到的问题．关 于初等函数的
判断方法有很多文献，也有很多结论，但是非初等函数的判断方法却很少见．对初学者来说 ，如果引入非
初等函数的判别法，可使初学者更好的理解初等函数这一概念．由普通教科书中可以得到判 断一个函数
为非初等函数的两种方法：
方法１应用初等函数的定义．凡不是“由常数和基本初等 函数经过有限次的四则运算以及有限次
的复合构成的、可用一个式子表示的函数”是非初等函数；
方法２应用“初等函数在其定义区间上连续”的逆否命题．在定义区间上不连续的函数是非初等
函数．
由方法１可知，变限积分函数、函数项级数等都是非初等函数．例如
ｙ＝ｌ
ｃｏｓｔｄ ｔ，（１）
ｙ＝ｆ去∽
ｙ２蚤并一∈（－呱叫
㈤
（３）
ｙ２薹高‰∥ ，矧一，ｏ。，
都是非初等函数．
但对于（１），（３）两式，由于
ｙ—Ｉ
ｃ ｏｓｔｄｔ＝ｓｉｎｘ，
㈤
ｙ一蚤并２ｒ，ｚ∈（一。。，∞），
上两式的左端是非初 等函数，而右端是初等函数．这种一个初等函数与一个非初等函数相等的矛盾现象
在文［１］中给出了合 理的解释．为了避免混淆初等函数与非初等函数的概念，我们把这种通过极限运算
可以和一个初等函数相 等的非初等函数，不妨称为隐初等函数．
而（４）式实际上是ｙ＝Ｉ
［收稿日期］２００６—０ ５—２１
ｅ１。ｄｔ，ｚ∈（一ｏ。，ｏ。），
　

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大学 数学第２４卷
ｆ和ｙ
Ｊ。
由于了一Ｊ。
ｌ壶’２ｔｄｆ和ｙ＝ｆ
由于 了一．ｆ
２
ｅ－，ｚ
不能用初等
是“积不出来的”，就是说ｙ５
ｄｔ 是“积不出来的”，就是说ｙ＝Ｊ”ｌ志ｄｆ和ｙ＝ｆ
南ｄｆ和ｙＪ。
ｅ－＇ｚ—ｄｔ不能用初 等
２
函数表示，因此都是非初等函数。２。］．
按照普通教科书中的定义，初等函数是 能用一个解析式表示的函数．在这个定义中强调了“能用一
个解析式表示”这一条件，而分段函数表面上 是用两个或两个以上的式子分段表示的函数，因此不少人
误认为分段函数不再是初等函数．事实上，许多 分段函数通过变形可以改写为用一个解析式表示，所以
分段表示的函数是否为初等函数就另需加以判定了 ．例如：
函数ｙ＝㈦＝可以改写为ｙ＝华；
函数厂ｃｚ，＝｛。三二，三妻：’可以改写为厂（Ｔ）一ｅ专“一以ｑ＋ｃｏｓｆ－丢（ｚ＋￣／７）］一１，
要利用方法２判断一个函数的初等 性，首先要明确定义区间和定义域的区别．函数在某点处连续，
必须在该点及其附近（即某个邻域内）有 定义，所以在一个孤立的点处是谈不上连续的．例如
ｙ一石＋／－在ｚ＝ｏ处谈不上连续，故在定义域内 不连续．例如ｙ一√垒掣芑芋的定义域为
（一１，＋ｏ。）Ｕ｛一３｝，函数在（一１，＋ｏｏ）内连续 ，但在ｚ＝一３处不连续．故在定义区间内连续，而在定
定理ｌ
如果函数厂（Ｔ）在其定义域Ｄ 的某个非孤立点工。（在．ｒ。的任何邻域都含有属于Ｄ而异于
工。的点）处不连续，则ｙ一厂（工）是 Ｄ上的非初等函数．
证用反证法．设ｙ一，（ｚ）是Ｄ上的初等函数，则ｙ＝，（ｚ）在有定义的区间上 连续．由于工。是其
定义域Ｄ的某个非孤立点，因此Ｔ。是ｙ＝，（丁）某定义区间上的点，所以ｙ＝厂 （ｚ）在工。处连续．这与假
设，（ｚ）在ｚ。处不连续矛盾，故ｙ－－－－ｆ（ｘ）是Ｄ上的非初等函 数．
叫董萝
ｆ—ＳＩＩ—Ｉ工，ｚ≠ｏ，
，Ｑ户化删
在（一。。，＋ｏ。）上 连续，因而不能利用定理１判定是否是一个非初等函数，这就有必要引入一些其他的
姐ｌＬＱ）一｛无轰 Ｘ功＜ｄ‘Ｏ。心¨２｛无袅，葚。’是初等溅
Ｌ‘引一ｊ无定义，工≥．ｒ。及Ｒ。’２１无定义，< br>ｚ≤二。是初等函数・
引理１
ｇ】ｂ户１０，ｚ＞ｍ肌ｂ户１ｌ，ｚ＞‰
ｇ，ｃ 工，一｛：：三妻三；：ｇ。ｃＴ，＝｛；：三妻三：』
“护爿・』、／（．ｒ－－：Ｃｏ）ｚ］一㈨＝ 爿・＋譬］，
　

第３期王文：非初等函数的判别法
１６７
故均 为初等函数，且定义域为（一。。，ｚ。）ｕ（ｚ。，＋ｏ。）・而Ｌ（ｚ）２
Ｒ（ｚ）均为初等函数， 且定义域分别为（一。。，ｚｏ）和（ｚｏ，＋Ｄ。）．
ｉ苦，Ｒ（ｚ）２云南’所以Ｌ‘ｚ’和
命题ｌ设分段函数厂（ｚ）一ｔｆｌ（ｘ），三至耋’是（一。。，ｚ。）ｕ（．Ｔ＂０，－Ｊ－ｏ。）上的初 等函数・则函数
ｆ，（ｚ）与＾（ｚ）分别是（一。。，ｚ。）与（ｚ。，＋。。）上的初等函数．证
，（工）是（一ｏ。，ｚ。）Ｕ（工。，＋。。）上的初等函数，则对任意的ｚ∈（一Ｃｘ３，工 。），，（ｚ）Ｌ（ｚ）一＾（Ｔ）；
对任意的ｚ∈（ｚ。，＋ｏ。），，（ｚ）Ｒ（工）一厂２（ｚ） ．由引理１知Ｌ（ｚ）和Ｒ（ｚ）均为初等函数，所以ｆｉ（ｚ）与
＾（ｚ）分别是（一ｏ。，ｚ。）与 （ｚ。，＋ｏ。）上的初等函数．
命题１的逆否命题为
定理２
设分段函数．厂（ｚ）一 』７：ｌ（，’：’ｘ、＜ｘＪ
设分段函数厂（曲一１＾（ｚ），
ｔ
ｘ＾ｌ
ｚ ＞ｚ。．如果函数＾‘ｚｈｚ∈‘一。。口一或＾‘扪汀∈‘而’
。’如果函数厂。（ｚ），ｚ∈（一。 。，工。）或＾（ｚ），ｚ∈（而，
＋。。）是非初等函数，则厂（ｚ）是（一∞，ｚ。）Ｕ（ｚ。，＋ ｏｏ）上的非初等函数．
命题２设分段函数
ｆ厂】（ｚ），
口＜ｚ＜ｚｏ，
ｍ ）２｛＾乞，，薏二。，
其中Ⅱ和ｃ可以为ｏ。．如果厂（ｚ）是初等函数，则ｆ。（ｚ）和正（工）在 ｚ＝ｚ。处都有定义，且厂・（工ｏ）
一厂２（ｚｏ）＝卢．
证
厂（ｚ）是（ａ，ｃ） 上的初等函数，则对任意的工∈（ｎ，ｚ。），厂（ｚ）Ｌ（ｚ）＝ｆ。（工）；对任意的工∈（工ｏ，ｃ），< br>厂（ｚ）Ｒ（ｚ）＝＾（ｚ）．由引理１知Ｌ（ｚ）和Ｒ（ｚ）均为初等函数，所以ｆ－（ｚ）与ｆｚ（ｚ ）分别是（口，Ｘｏ）与
（ｚ。，ｆ）上的初等函数．由／（ｚ）在ｚ—ｚ。处的连续性可知，，（ｚ。 ）＝厂２（ｚｏ）一户．
命题２的逆否命题为
定理３设分段函数
ｆ厂１（ｚ），
口＜ｚ＜工ｏ，
ｚ＝ｚ。，
，（ｚ）一Ｊ
户，
【＾（ｚ），Ｘｏ＜ｚ＜ｃ，
其中口和ｆ可以为。。，ｆ。（ｚ）与ｆ２（ｚ）分别是（口，ｚ。）与（ｚ。，ｃ）上的初等函数．如 果ｆ。（ｚ）或ｆｚ（ｚ）在
ｚ—ｚ。处没有定义。或厂。（ｚ。）一ｆ２（ｚ。）一户不成立，则厂（ ｚ）是非初等函数．
ｆ
ｓｌｎｚ
，＾
例ｌ讨论函数厂（ｚ）一｛—■’ｚ≠Ｕ ’的初等性．
【１。
解
ｚ—ｏ
函数在分界点处的两侧有相同的表达式，但这一 表达式在ｘ＝Ｏ时无意义．由定理３知厂（ｚ）不
是初等函数．
例２证明函数Ｈｃｚ，＝｛‘： ’三茎：’是非初等函数．
证
函数．
命题３
令ｆ。（ｚ）＝－－４，ｘ＞Ｏ； ｆ２（ｚ）＝６．ｘ＜Ｏ．由于ｆ，（０）≠，２（０），应用定理３可知Ｈ（ｚ）不是初等
函数，（ｚ ）一ｆ驴‘工’＇
口＜：＜６’其中口．－－ｆ为一ｏ。，垆（ｚ）为（口，６］上的初等函数．若厂（ 工）为
ｘ—ｂ－－０。
（ｎ，６］上的初等函数，则
ｌｉｍ
９（ｚ）２驴（６ ）２ｍ．
’
证若，（工）为（ｎ，６］上的初等函数，应用初等函数在其定义区间上连续，可知
ｌｉｍ，（ｚ）＝ｌｉｍ妒（ｚ）＝驴（６）＝ｍ．
命题３的逆否命题为