浙江数学高考-企业规章制度

北京理工大学学报990424
北京理工大学学报
JOURNAL OF BEIJING INSTITUTE OF
TECHNOLOGY

1999年 第19卷 第4期 Vol.19 No.4 1999
层次分析法中矩阵的判断一致性研究
吴祈宗　李有文
摘　要　目的　研究层次分析法中判断矩阵可接受性及一致性的改善问题。方法　引入判 断一致性
矩阵概念，利用判断平均特性修正矩阵的方法，进行层次分析法(AHP)的灵敏性分析，在严 格证明
理论结果的基础上，对一般情况进行统计模拟。结果与结论　判断一致性为在实际应用中合理接受
判断矩阵打开了一个新的思路。利用判断平均特性修正矩阵法可以有效地改善判断矩阵的一致性，
对层次分析法的科学运用有重要意义。
关键词　层次分析法； 判断矩阵； 一致性
分类号　O223
Uniformity of Judgement Matrix in
Analytic Hierarchy Process
Wu Qizong
(School of Management and Economics, Beijing Institute of Technology, Beijing　100081)
Li Youwen
(Mathematics Teaching and Research Section, Huabei Institute of Technology, Taiyuan　030051)
Abstract　Aim　To study the acceptability and the uniformity of judgement matrix, in analytic hierarchy
process (AHP). Methods　The concept on judging uniformity matrix was given and using the performance
characteristic average of judgement to improve matrix, the sensitivity of analytic hierarchy process was
discussed. The academic conclusion was strictly proved and statistical simulation was done in general case.
Results and Conclusion　Judging uniformity opens up a new way for accepting reasonably a judgement
matrix. The method to improve judgement matrix using the performance characteristic average of
judgement is effective, it has an important influence on using AHP.
Key words　analytic hierarchy process; judgement matrix; uniformity
　　层次分析法(AHP)是定性与定量相结合进行多目标决策分析的方法。该方法是用一致性检验来
评价人们对客观事物判断估计的合理性与一致性。AHP的创始人引入了一致性比率
(consiste ncy ratio，记为C)的概念，并建议在C＜0.10时，认为矩阵具有可接受的一致性或满意的一致< br>性
［1］
。随着AHP在实际应用中的广泛深入，愈来愈多的反例对满意一致性标准提出 疑义。运筹学
工作者用某些方法对C的临界值进行了研究，并通过合理的方式对初始判断矩阵予以修正< br>［2～4］
。
作者从AHP的应用背景出发研究了判断矩阵可接受标准，通过研究判断一 致性矩阵与满意一致性矩
阵的差异，讨论单纯通过一致性指标决定接受矩阵的局限性；提出了一种新的利 用判断平均特性的
修正矩阵法，以改进判断矩阵的一致性。
1　判断矩阵一致性检验
1 .1　矩阵的判断一致性概念
层次分析法的用途之一是从有限多个方案中选择最优方案。判断矩阵是经 两两比较以后得到的正互
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北京理工大学学报990424
反矩阵，其中第j列是以第j方案为标准对诸方案 重要性作出的判断。j方案的重要度为1，比j重要的方
案重要度大于1，反之则重要度小于1。将第j 列元素归一化后得到的向量即是对j方案而言的诸方案重
要性的近似权重。由此可把一个n阶判断矩阵看 作各方案针对不同方案的n次重要性排序。如果这n次
排序结果相同，则认为它具有判断一致性。
　　定义1　设判断矩阵A，若其每一列向量均有相同的排序结果，则称A为判断一致性矩阵。
　　在实际操作中，当判断矩阵具有判断一致性时，可以认为决策者思维是清晰有序的。因此，判
断一 致性作为可接受矩阵的一个参考标准是合理的。
1.2　判断一致性与满意一致性判断的合理性评价
　　一致性矩阵是判断一致性矩阵，也是满意一致性矩阵。
　　例1　考虑下列两个矩阵　　容易看出，判断矩阵A是判断一致性矩阵。如果用A
1
，A
2
，A< br>3
表示它所代表的方案，它们在每
一列中显示的重要性排序都是一致的，但其一致性比率 C=0.44＞0.10。
　　同时，判断矩阵B不是判断一致性矩阵。如果用B
1
，B
2
，B
3
，B
4
，B
5
分别表示所代 表的方案，可
以看到，在各列中B
1
，B
2
，B
3
，B
4
，B
5
在这5次判断中相互矛盾，但用特征值法容易得到C≈0.09 ＜
0.10，根据AHP，B矩阵是具有满意一致性的矩阵。
　　例2　考虑上例矩阵A与矩 阵
　　通过简单的计算可知，λ
1
(A)=λ
1
(C)，即两矩阵具 有相同的一致性比率C=0.44，但矩阵A是判
断一致性矩阵；而C中3列的判断相互矛盾，不是判断 一致性的。因此，矩阵的一致性比率不能反映
判断一致性。
　　判断一致性矩阵实质上是符合 一种序传递性质的矩阵。因此，在用AHP考察判断矩阵可接受性
时，若C＜0.10不成立，还应进一 步考察矩阵的判断一致性。
　　当用AHP在单一准则下确定某一方案为优势方案，即目标是选择一个 权重最大的方案时，若某
一方案与其余方案相比具有某种局部序传递性，也予以接受。
　　定 义2　正互反矩阵A=(a
ij
)
n×n
中，如果对任意k，有a
i k
≥a
jk
或对任意k，有a
ik
≤a
jk
，则称 i行元素
与j行元素之间存在局部序传递性。
　　由于单一准则决策主要用来选择最优方案， 因此如果求得右主特征向量的最大分量为w
t
，且t行
与其余各行元素存在局部序传递 性，则仍接受该判断矩阵。
　　例3　考虑判断矩阵
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　 　容易判断D中第3行元素对其余各行均具有局部序传递性，所以虽有λ
1
(D)=5.070 37，C=0.40＞
0.10，仍接受第3方案为最优方案。
2　利用判断平均特性修正矩阵 的方法
　　定理1
［5］
　设A为正互反矩阵，且其初等因子均为线性的，其特征根满 足λ
1
＞｜λ
2
｜≥…≥
｜λ
n
｜，w
1
，w
2
，…，w
n
为相应的正交右特征向量系，v
1
，v
2
，…，v
n
为相应的与线性无关的左特
性向量系，ΔA为A 的摄动矩阵，则ΔA的主特征根及右主特征向量的扰动为
　　由上式可以看出，矩阵A的主特征根与其余 特征根相差越远，其右主特征向量越稳定，否则可
能是敏感的。按照线性代数的有关理论，矩阵的一致性 越好，其主特征值与其余特征值差得越远。
为了保证右主特征向量w具有较好的稳定性，判断矩阵应当具 有尽可能好的一致性。有些合理的判
断矩阵，其C有时比较大，可能出现w对元素扰动比较敏感的问题， 尤其在层次较多时，数值敏感性
可能会影响最后的排序误差。为此从AHP的应用背景出发，提出以下利 用判断平均特性修正矩阵的
方法予以改进。
　　设A=(a
ij
)
n×n
∈M
R(n)
为初始判断矩阵，构造新的正互反矩阵B=(b
ij)
n×n
，称为A的修正矩阵，使B
满足
　　用B的右主特征向量作为判 断矩阵A排序权重向量的一种近似。
　　判断矩阵A=(a
ij
)
n×n< br>中，a
ij
是i方案与j方案的重要度比值；a
ik
a
kj< br>是以k方案为标准i方案与j方案间
接比较的结果；
是分别以诸方案为标准的i方案与j 方案重要度比值的平均值。
　　定理2　若A为一致性矩阵，则其修正矩阵B=A(利用一致性，结论显然)。
　　推论 1　若A为一致性矩阵，B为其修正矩阵，则有λ
1
(B)=λ
1
(A),C (A)=C(B)。
　　定理3　对于任意三阶正互反矩阵A，B为其修正矩阵，则有λ
1< br>(B)≤λ
1
(A)。
　　证明　设
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其 中　c,d,e＞0；C=(2cd+e)(3d)　D=(2cd+e)(3c)　E=(2e+cd)3。于 是可解得
λ
1
(A)=1+(cde)
13
+(ecd)
1 3
，λ
1
(B)=1+(CDE)
13
+(ECD)
13< br>。
　　令　u=cde　则CDE=(2cd+e)
2
［3cd(2e+cd) ］=(2u+1)
2
［3u(u+2)］，
　　令　g(u)=CDE=(2u+1 )
2
［3u(u+2)］,f(u)=E(CD)=［3u(u+2)］(2u+1)
2
。
　　引进函数H(x)=1+x
13
+x
-13
(x ＞0)。注意H(x)具有性质：H(x)=H(1x)，且x=1为其极小点，当x
＞1时H(x)为 增函数，x＜1时H(x)为减函数。
　　则　λ
1
(A)=H(u)=H(1u) ,λ
1
(B)=H(g(u))=H(f(u))。
　　① u=1时，A为一致性矩阵，故由推论1知λ
1
(B)=λ
1
(A)；
　　② u＞1时，g′(u)=2(2u+1)(u-1)［3(2u+u
2
)2
］＞0　又g(1)=1，故g(u)＞g(1)=1。
　　令　G(u)=g(u) u=(2u+1)
2
［3u
2
(u+2)］，显然G(1)=1。
　　于是有　G′(u)=-［4u
2
(u-1)
2
+u
2
+2］［3(u
3
+2u)
2
］＜0，所以G(u)＜G(1)=1，即g( u)＜u。得到
1＜g(u)＜u，再由H(x)的单调性知，有H(g(u))＜H(u)，即λ1
(B)＜λ
1
(A)。
　　③ u＜1时，f′(u)=-6(2u +1)(u-1)(2u+1)
4
＞0，与②类似得到λ
1
(B)＜λ
1
(A)。
　　综合上面3种情况可得：u＞0时，总存在λ
1
(B)≤ λ
1
(A)。证毕
　　进一步计算，可得到修正矩阵B的主特征值的区间估计。

　　因为
　　所以u＞1时λ
1
(B)∈［3， 3.0089］，0＜u＜1时也可得同样结果。
　　由此可见，对于三阶矩阵，修正矩阵法可以有效 地改进矩阵的一致性，从而提高了排序权向量
的稳定性。对于高阶矩阵，作者对1500个随机正互反矩 阵进行了模拟计算，结果无一例外地表明利
用判断平均特性修正矩阵的方法可以有效地改进矩阵的一致性 。
　　尽管利用判断平均特性修正矩阵的方法可以有效地改进矩阵的一致性，但它并不能克服判断的< br>误差，故当矩阵存在严重不一致性时仍然需要重新判断。
作者单位：吴祈宗　北京理工大学管理与 经济学院， 北京　100081
李有文　华北工学院数学教研室， 太原　030051
参考文献
1　Saaty T L. The analytic hierarchy process. New York: McGraw Hill, Inc, 1980
2　Saaty T L. How to make a decision, The analytic hierarchy process. European Journal of Operational
Research, 1990,48:9～26
3　陈光大，廖 明海。一致性指标临界值的改进。系统工程理论与实践，1993，13(1)：67～72
4　王中 胜。层次分析法判断矩阵不一致性的形成机理和一种修正方法。系统工程理论与实践，
1995，15( 9)：36～43
5　王莲芬，许树柏。层次分析法引论。北京：中国人民大学出版社，1990
收稿日期： 1999-02-10
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层次分析法中矩阵的判断一致性研究
作者：
作者单位：
刊名：英文刊名：
年，卷(期)：
被引用次数：
吴祈宗， 李有文， Wu Qizong， Li Youwen
吴祈宗,Wu Qizong(北京理工大学管理与经济学院,北京,100081)， 李有文,Li Youwen(华北工 学院数学教研室
,太原,030051)
北京理工大学学报
JOURNAL OF BEIJING INSTITUTE OF TECHNOLOGY
1999，19(4)
25次

参考文献(5条)

T L

The analytic hierarchy process 1980
T L

How to make a decision, The analytic hierarchy process 1990
3.陈光大.廖明海

一致性指标临界值的改进 1993(01)
4.王中胜

层次分析法判断矩阵不一致性的形成机理和一种修正方法 1995(09)
5.王莲芬.许树柏

层次分析法引论 1990

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本文主要对层次分析法中判断矩阵的权重向量的排序算法及判断矩阵的一致性和相容性问题进行了探讨．
第一章，主要介绍了判断矩阵的排序算法及一致性和相容性问题的发展、研究现状及本文的主要研究成果．
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第三章，基于最小化最大判断偏差，首先给出 了一个正互反判断矩阵的排序模型，并探讨了该模型的一些性质，然后给出了多个正互反(互补)判断矩阵的群组 信息集结模型，在此基
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矩阵拓展 了AHP的应用范围，有一定的理论和应用价值。
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本文主要对AHP中互反型的判断矩阵进行了一致性研究，所做的具体工作概括如下：
第一章， 简述了层次分析法的产生及发展、方法运用的基本步骤、主要研究内容及其发展前景。对目前关于层次分析法中判 断矩阵一致性问题的研究状况进行了综述，并概述了本文
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第二章 ，总结了关于判断矩阵一致性的三种不同的概念，指出了三者之间的关系，简述了各自的国内外研究现状；针对判 断矩阵的基本一致性研究，对现有的一致性校正方法进行了
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；提出了两类校正区间数判断矩 阵基本一致性的新方法，并给出了相应的算例比较分析。
在本文最后，对全文的工作进行了总结，并对层次分析法中关于一致性问题的研究提出了自己的看法。

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