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第３６卷第９期
数学的实践与认识
ｖ０１．３６Ｎｏ．９
２００６年９ 月
ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ
ＩＮＰＲＡＣＴＩＣＥ
ＡＮＤ
ＴＨＥＯＲＹ
ｓｅｐ．，２００６
—’’，＇’，，，＇・，，＇、
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～‘ｔｔｌｌ・‘‘ ‘ｌ‘ｌ‘ｒ
病态线性方程组的判定方法
郑孝勇，
张东俊
（解放军９２３３７ 部队，辽宁大连１１６０２３）
接要：
针对用条件数来衡量方程组的性态将随阶数增大丽变得异 常困难这一阀题，分析了病态线性方程
组产生的原因・提出了一种判定方法・探讨了对一定精度要求的解 的可允许扰动的数量级，实例证明了这种
方法的有效性．
关键词：
方程组Ｉ病态；条件 数；判定方法
ｌ
引言
由实际问题建立起来的线性方程Ａｚ＝６．由于初始数据小小的扰 动而使计算的结果严
重失真时，这样的方程组我们称为病态方程组Ｄ矗］．
为此引入系数矩阵的 条件数来刻划一个线性方程组的性态问题．当条件数相对大，则称
方程组以Ｚ一６是病态方程组；反之条 件数相对小，则称方程组是良态方程组。
然而，至于条件数大到什么程度，方程组才是病态的，至今还没 有一个标准‘¨．而且当矩
阵的阶数，ｚ比较大时，计算Ａ叫很麻烦，用条件数判定非常困难．另外，对 于同一方程组而
言，扰动数量级不同，判定结论应有所不同才合理．
２病态方程组产生的原因< br>２．１
向量的相关程度
广…．］
对于ｎ维向量ｚ，ｙ，当Ｉｌ
ｚ
Ｉｌ≠ｏ，Ｉｌ
ｙ
ｌＩ≠ｏ时，口＝ａｒｃｃ０８可ｉ铲衔，称为扎维
向量．ｚ与∥ 的夹角Ⅲ．根据模式识别的基本原理Ⅲ，我们这样度量两个向量闾相似程度（或
称相关程度）．令ｒ（ｚ ，ｙ）＝ｃｏｓ良
当■，ｙ］＝ｏ时，向量ｚ与ｙ正交，此时向量ｚ与ｙ的相关程度为ｏ；当ｃｏｓ口＝ ｏ，即ｚ
＝ｊ，时，此时向量ｚ与ｙ的相关程度为１；当ｚ—ｙ时，ｚ与ｙ的相关程度趋近１．
２．２向量组的相关程度
设方程组Ａｚ＝６的系数矩阵Ａ是一个村×以的矩阵，其中口，＝（口。，，ｃ ｚ。∥．．＇ｎ。，）Ｔ，（Ｊ＝
１，２，…，ｎ）．如果仅用向量组线性无关与相关难以反映向量组的 变化情况．下面我们用相关
程度的概念来度量．
对于系数矩阵Ａ，必然存在一组实数点。，屉： ，…南。一。，使得是。口。＋矗。以：＋…＋志。一，％～，＝
６为向量口，，的最佳逼近，定义向量 组的相关程度为ｒ（口。，口：，…，ｎ。）＝，一（以。６），则有
收稿日期：２００４一０５一０９
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１６８
数学的实践与认 识
……
３６卷
ｎ１１
●
ｎ１．Ｊ—ｌ口１．Ｊ＋１
盘１一< br>●
●
●
●●
其中Ｍ“＝
口Ｐ一１．１
口ｆ＋１．１< br>●
●
●
…
…
ｎ；一ｌ，，一１
ｎｆ～１，ｊ＋１ｎｉ＋１．』＋１
●
●
●
口ｌ—ｌ，＾
…
口ｆ＋１．』 一１
●
ｎｊ＋１．¨
●
●
●
●
●
，口。ｌ
…
盘Ｈ．ｊ—ｌ盘＊．ｊ＋ｌ
…
口＿Ｈ
则Ｄ＝如ｆ』Ａ“２（一１） 件。如。％，若，．（ｎ１，ｎ
２’．．．＇口“）・１，则有△口“２
Ｆ１靠＋ｏ・
（３）
（４）
则扰动对方程组解的影响与△口小△６。的大小有关，同时考虑Ｎ的影响，当Ｎ＞ １时，设扰动
数量级满足ｆ手ｆ≤ｌｏ—ｆ出“ｌ／Ⅳ；当Ⅳ≤１，设扰动数量级满足Ｉ｝Ｉ≤１０—ｌ △以ｉ．ｆｆ；ｆ为常数，
方程组解的结果变化满足精度要求．则有
…≤ｌ∥Ｉ番毛ｌ，Ｎ＞１
…≤ｌｏ＿。蚓，Ⅳ≤１
下面我们来讨论分量ｚ。变化情况．如表１所示
袭１Ⅳ＞１分 ■∞变化情况晨
由表１可以看出，当ｚ≥２时，扰动对方程组解的结果影响就相当小了．对于精度要求更
高的情况，则要求ｚ取得更大些．
下面就坡度矩阵（亦称Ｈｉｌｂｅｒｔ矩阵）为例来说踢。< br>、
１
１
１／，２
表２不同阶数对应的可允许扰动数量级
ｉ１１
Ｈ。一
２
甩＋１
１
咒
１
１
２咒一 １
押＋１
设，一２即可满足精度要求，则对于不同
阶数的可允许扰动的数量级如表２所 示．
４
结束语
本文提出了一种对病态线性方程组的判定方法，并就扰动对方程组解的影 响进行了阐
万方数据　

９期郑孝勇，等：病态线性方程组的判定方法
１ ６９
述，给出了可允许的扰动数量级分析，通过实例说明了此方法的有效性．
参考文献：
［１］宋国乡．冯有前．王世儒等．数值分析［Ｍ］．西安：西安电子科技大学出版社，２００２・８：ｌｚｏ 一１２３
［２］戴华．矩阵论［Ｍ］．ｊＥ京：科技出版社・２００１・８：１８９一１９９．
［３］同济大学数学教研室编．线性代数［Ｍ］．北京：高等教育出版社．１９９９．６．
［４］王永庆 ．人工智能原理与方法［Ｍ］．西安：西安交通大学出版社．２００ｌ，１０ｔ
３７３—３９６．
Ｔｈｅ
Ｊｕｄｇｉｎｇ
Ｍｅｔｈｏｄ
ｆｏｒＩｌｌ—ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｅｄＬｉｎ ｅａｒ
Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ“
ＺＨＥＮＧ
Ｘｉａｏ—ｙｏｎｇ，
ＺＨＡＮＧ< br>Ｄｏｎｇ—ｊｕｎ
（ＰＬＡ
Ｔｒｏｏｐｓ
９２３３７，Ｄａｌｉａｎ
Ｌ ｉａｏｎｉｎｇ
１１６０２３，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：
Ｉｎａｌｌｕｓｉｏ ｎ
ｔｏ
ｔｈｅ
ｐｒｏｂｌｅｍ
ｔｈａｔｔｈｅｂｅｈａｖｉｏｒｌｏｆ
ｔｈｅ
ｅｑｕａｔｉｏｎｓ
ｗｉＩｌｂｅｃｏｍｅ
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ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄｈａｓｂｅｅｎｔｅｓｔｅｄ
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ｎｕｍｂｅ ｒ；ｊｕｄｇｉｎｇ
ｍｅｔｈｏｄ
万　方数据

病态线性方程组的判定方 法
作者：
作者单位：
刊名：
英文刊名：
年，卷(期)：
被引 用次数：
郑孝勇， 张东俊， ZHENG Xiao-yong， ZHANG Dong-jun< br>解放军92337部队,辽宁,大连,116023
数学的实践与认识
MATHEMAT ICS IN PRACTICE AND THEORY
2006,36(9)
1次

参考文献(4条)

1.王永庆

人工智能原理与方法 2001
2.同济大学数学教研室

线性代数 1999
3.戴华

矩阵论 2001
4.宋国乡;冯有前;王世儒

数值分析 2002

引证文献(1条)
1.陈斌.谢新怀

向量内积不足以作 为列向量组相关程度的度量[期刊论文]
-
重庆电力高等专科学校学报 2008(1)


本文链接：http:odical_