哈尔滨ｒ拌人’学硕十２≯传沦文
赣
Ⅱ帝
ｇ
×
Ｈ图３．５ｒ＝Ｏ．６９时的混沌状态
糕
啦
ｇ
Ｈ
Ｘ
图３． ６ｒ＝Ｏ．７２５６１７１２时的临界混沌状态
鬏
ｎ母
ｇ
ｘ
Ｘ
对上述运动过程的解释是：整个运动过程可以看作是两个运动系统的耦
合。其中之一是非线性系统碧＋ 船＋（一ｘ３＋∥）＝０。另—个是外加周期Ｊ３ｒｃｏｓ
ｃｏｔ，
它可被看作一线性简谐振荡 系统。当外加周期力的振幅，很小时，线性系统的
振动很弱，它对非线性系统作用也很弱，整个系统的运 动可看成是两独立运
动的叠加，即整个系统的运动是围绕非线性系统的两稳定焦点之～以线性振
１８

哈尔滨１１挥人。学硕十学位论文
子的频率振荡，稍许增大，．非线性系统 的影响只是使整个系统的这种围绕稳
定焦点的振荡出现分频（倍周期），系统这种按外加周期力的周期或 其倍周期
振荡称为锁频，即振荡频率锁在外加的频率或其分频上，当厂再加大到使其
幅值超过非 线性系统三个奇点之间的间隔时，系统可以在这些奇点之间来回
跃迁振荡使运动复杂从而出现了混沌；当 厂进一步增大时，线性振子叉处于
主导地位而非线性系统的影响成为次要的，整个系统又被锁在外加周期 力的
各分频上；当，．再进一步增大，线性振子完全处于统治地位，非线性系统的
作用相对来说 极弱，这时整个系统便按线性系统方式运动，即被锁在外加周
期力的频率上。
，．较小时相轨迹 表现为Ｐｏｉｎｃａｒｅ映射意义下的吸引子，相点围绕一个焦
点或另外一个焦点作周期振荡，当，超过 一定阈值时随着，＿的增大，系统历经
同宿轨道、周期分叉、混沌状念、临界周期状态和大尺度周期状态 ，ｒ在很
长一段时间内都表现为混沌状态，直到大于一阈值时系统进入大尺度周期状
态。
３。１．２微弱正弦信号幅值混沌检测原理
从上面的仿真实验得出策动力幅值对混沌运动有很大影响： 在同一策动
力频率下，随着策动力幅值的不同，动力学行为不同，表现为产生的混沌运
动的相轨 迹也不同。系统就利用这一点检测微弱信号的存在与否。我们首先
调节系统策动力幅值ｒ，取，Ｉ＝ｒｅ ，（乃为系统处于从混沌状态到大尺度周期
状态的临界阂值，后面有求解方法）使系统处于从混沌状态向 大尺度周期状
态过渡的临界状态。当用小幅值的、与周期策动力频率相近的Ｊ下弦信号以及
白噪 声对ＤｕＮｎｇ混沌振予进行摄动时，系统将从混沌运动状态进入大尺度
周期运动状态，通过在计算机上 观测混沌系统相轨迹变化，可判断出待检信
号中是否含有所要检测的『Ｆ弦信号。此时，我们只要继续调 节策动力幅值厂，
使得系统再一次处于混沌到大尺度周期的临界状态，得到此时的策动力幅值
艺 ，就可求得待测信号的幅值为Ａ＝ｒｅ一艺。
之所以选择系统从混沌运动状态进入大尺度周期运动的状态 变化作为检
测的临界点，一是因为混沌系统在混沌状态和大尺度周期状态时，系统的相
位图差别 较大，方便我们辨识系统的变化；二是因为此时外界强噪声对系统
１９

哈尔滨丁 程大学硕十学位论文
的影响是最微弱的。
３．１．３仿真实验及结果分析
利用前面建立 的混沌检测系统，进行白噪声背景下的信号检测，将信号
ａｃｏｓ（ｔｏｔ）＋ｚ，并入系统，其中ａｃ ｏｓ（ｔｏｔ）为待检测信号，ｚ，为白噪声，其等价
系统就变为
ｆ爻：１，
｛．。，
Ｉ夕＂－Ｘ３一工５一ｋｙ＋ｒｃｏｓｃｏｔ＋ａｔｃｏｓｃｏｔ＋ｚｓ
，（３－４）
我们首先产生服从高斯（正态）分布的白噪声信号，其波形如图３。８所
示。令ｆ．Ｏ＝１
ｒａ ｄ／ｓ，ｋ＝０．５，通过调整内置信号ｒｃｏｓ（ｏ）ｔ）的幅值，．，使得系统
处于临界混沌状态， 即处于阈值屹附近（系统由混沌到大尺度周期状态的临
界阈值），并加入信号ａｃｏｓ（ｃｏｔ）＋ｚ， 。计算机采用龙格一库塔算法对方程进行
求解，经过若干迭代运算，系统稳定在某一运动形式上，我们根 据系统是否
处于大尺度周期状态来判断输入信号中是否带有微弱『Ｆ弦信号。通过仿真我
们得到 结果如下：
图３．８白噪声信号波形
糕
啦
ｇ
Ｈ
Ｗ
图 ３．９厂＝０．７２５０时的相轨迹图
当系统处于临界混沌状态时加入白噪声，发现系统的运动轨迹不会 有本
质的变化，图３．９为ｒ＝０．７２５０时系统的相轨迹图，图３。１０为加入高斯白噪声
２０

哈尔滨工程大学硕七学位论文
后系统的相轨迹。
图３．１０加入白 噪声后相图
图３．１１加入正弦信号后的相图
图３．１１为当有噪声影响，加入幅值为２．１× １０‘４Ｖ的正弦信号后的系统相
图。可以看出将白噪声和微弱正弦信号同时加入后，系统运动轨迹由混 沌状
态跃迁到大尺度周期状态。由上面结果还可以看出，系统对噪声具有很强的
免疫力，噪声的 加入只是使得系统相轨迹变得比较粗糙，并不会使系统状态
发生本质的变化，而微弱周期信号的加入则引 起了系统运动状态发生本质变
化。
３．２
Ｄｕｆｆｉｎｇ方程的改进
现实应用 中我们检测的信号频率不一定是ｌｒａｄ／ｓ，因此有必要对Ｄｕｆｆｉｎｇ
方程进行改进以来测量某已 知频率不仅是１ｒａｄ／ｓ的待检测信号。
已知Ｄｕｆｆｉｎｇ方程的形式为：
ｊｆ（，）＋磁 （，）一ｘ（ｔ）＋ｘ３（，）＝ｆｃｏｓ（ｔ）
现令ｔ＝缈ｒ
则ｘ（ｔ）＝ｘ（ｃｏｒ）２１
（３－５）

哈尔滨］＿程大学硕士学位论文
地）＝警＝鬻＝ｉ １百ｄｒ（ｏｒ）＝１彩啪ｒ）
（３－６）
戈（ｒ）＝ｄ（Ｚ．亡（ｃｏＱ）／ｄ（ｃｏｒ）＝ 去文（国ｆ）
（３．７）
将上述三式代入Ｄｕｆｆｉｎｇ方程得：
—；岩（∞ｆ）＋ｋ 文（ｃｏｒ）一ｘ（ｃｏｔ）＋七，（缈ｒ）：．厂ｃ。ｓ（ｃｏｔ）（３－８）
上式是以时间尺度ｚ－ 为变化的方程，其状态方程可写成以下形式：
。戈＝ｃｏｙ
夕＝ｃｏ（一ｋｙ＋ｚ—ｚ３＋ｆｃ ｏｓ（ｃｏｒ））
（３－９）
茗＝一ｃ０／ｃ亡＋ｃ０２＠一工３＋ｆｃｏｓ（ｃｏｔ））（３－１０）
这样一来，只要调整上述功值就可以检测不同的待检信号的频率。
从方程的推 导结果可以看出判断混沌的阈值只是国的函数，不受系统其
它参数的影响，很容易确定，当外加待检信号 的频率发生变化时，只要调国值，
混沌振子相轨迹由混沌转为周期状态的阈值并不改变。这给测量工作带 来很
根据上面的分析可以得到下面图３．１２的基于ＭＡＴＬＡＢ／ｓｉｍｕｌｉｎｋ的仿真
模 型中，Ｄｒｉｖｅｒ模块为系统策动力，ＳｉｎｅＷａｖｅ为待测信号，模块Ａｄｄｌ
比和策动力的频率 ，为可调参数。Ｉｎｔｅｒｇｒａｔｏｒ和Ｉｎｔｅｒｇｒａｔｏｒｌ为两个积分器，
Ｇｒａｐｈ表示系 统输出。模块Ｆｃｎ为系统输出的函数甜一“３。
２２
来适应不同的待检信号频率即可。根据上 面研究得知策动力角频率缈改变后，
大方便，在检测不同频率的待检信号幅值时，只要将仿真模型中有关 比例参
数稍加改变即可。
模型。
实现求和功能，增益模块Ｇａｉｎ、Ｇａｉｎｌ、Ｇａ ｉｎ２中的ｋ和彩分别为系统的阻尼
ＸＹ

哈尔滨ｒ稗人学硕十学位论文
图３．１２
Ｄｕｆｆｉｎｇ系统仿真模型
３．３
Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数
Ｌｙａ ｐｕｎｏｖ特性指数是衡量系统动力学特性的一个重要定量指标，它表明
系统在相空间中相邻轨道收敛或 发散的平均指数率，是判断和描述非线性时
间序列是否为混沌系统的重要参数，它是区分系统处于混沌状 态或非混沌状
态的最直接的特征量之一。１９６４年Ｈｅｎｏｎ和Ｈｅｉｌｅｓ根据相轨迹的发散特性，
利用它首次数值表征了相空ｆＢＪ中的混沌行为１２引，对于系统是否存在动力学混
沌可以从最 大Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数是否大于零非常直观的判断出来：一个正的
Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数意味着在系统 相空间中无论初始两条轨线的间距多么小，其差
别都会随着时间的演化成指数率的增加以致达到无法预测 ，这就是混沌现象。
作为混沌的一个最基本的特征量，其求解方法一直是国内外许多学者研究的
课题。近年来，Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数已经被广泛应用于判别系统的混沌行为，并成
为一种极其重要的判 别工具。例如，对语音信号非线性特性的研究旺”，海杂
波的混沌分析口钔，水下目标信号的混沌特性研 究ｐ５１等等都是采用Ｌｙａｐｕｎｏｖ指
数这一混沌的特征量来分析其混沌特性的。随着混沌理论研究 的发展和广泛
应用，Ｌｙａｐｕｎｏｖ特性指数的重要性日益凸显，求解Ｌｙａｐｕｎｏｖ特性指数的方
法也不断更新和完善。
混沌的一个基本特点是运动对初始条件的敏感性，Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数 就是对
这种敏感性的量度，最大Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数是表示两个初始无限小分开的轨迹之
２３

哈尔滨ｆ：稃人‘子！硕十’７：何论文
间的相对距离在单位时间内的平均指数 增长因子。对于确定论系统，最大
Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数为正说明系统是混沌的而且数值越大说明混沌程 度越强，反之
则表明该系统是有序系统也即是周期的或准周期的。稳定定态和周期运动（以
及准 周期运动）都不可能有正的Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数，稳定定态的Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数
都是负的；周期运 动的最大Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数等于０，其余的Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数都
是负的。
利用Ｌｙａｐ ｕｎｏｖ特性指数确定系统从混沌态跃变到周期态的阙值基本思
想是：最大Ｌｙａｐｕｎｏｖ特性指数大 于零，是系统处于混沌态的标志，当系统最
大Ｌｙａｐｕｎｏｖ特性指数由大于零转为小于零，则说明系 统从混沌态跃变到了周
期态，最大Ｌｙａｐｕｎｏｖ特性指数符号转变的那一刻所对应的控制参数的值就 应
为系统阈值（临界值）。Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数的征负可以用来判断混沌的存在与否，
Ｗｂｌ ｆ和Ｂｅｓｓｏｉｒ口州指出，对于多维动力系统的混沌判断，只要看最大的那个
Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数 厶就够了。厶＞０意味着存在混沌，厶＝０存在极限环，厶＜０
存在不动点。当前对于Ｌｙａｐｕｎｏｖ 特性指数的求解，可以分为两大类：一类是
动力系统的运动方程已知，根据已知的运动方程求解Ｌｙａｐ ｕｎｏｖ特性指数；另
一类是动力系统的运动方程未知，只能通过观察数据（也称时间序列）来求
解Ｌｙａｐｕｎｏｖ特性指数。
由观测时间序列来计算Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数的方法有两种：
（１）分析法：该方法通常先进行相空间重构求系统状态方程的雅可比矩
阵，然后对雅可比矩阵进行特征 值分解或奇异值分解求取系统的Ｌｙａｐｕｎｏｖ
指数，但该方法对噪声非常敏感。
（２）轨道 跟踪法：该方法以Ｗｏｌｆ方法口”和Ｒｏｓｅｎｓｔｅｉｎ胆卅的小数据量法为代
表，对系统两条或更 多条的轨道进行跟踪，获得它们的演变规律以提取
Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数。该方法的优点是结果不易受拓 扑复杂性（如Ｌｏｒｅｎｚ吸引子）
的影响。
Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数的值表明了系统混沌的程度 ，为系统的预测和决策提供了
重要信息。例如将Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数与神经网络结合，建立混沌时间序 列的预测
模型，实现了比一般统计方法更高预测精度和更强适应性的预测。因而，作
为混沌的一 个极其重要的特征量，研究Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数是是非常有意义的。
２４

哈尔 滨ｍ￥人’字：硕十学位论文
３．３．１
Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数的定义
Ｌｙａｐｕｎｏ ｖ指数的定义为胆６１：对于某一平面非自治系统，其相应的Ｐｏｉｎｃａｒｅ
映射为
ｚ川＝Ｘ （ｘ。，儿）
ｙ。ｌ＝ｒ（ｘ。，Ｙ。）
它的Ｊａｃｏｂｉ矩阵为
般８ｘ
Ｊｂ ｎ，ｙｎ、）＝
Ｏｘ。Ｏｙ．
８Ｙ８Ｙ
（３－１１）
瓠ｎ砂ｎ
假设由 初始点Ｐｏ（Ｘ。，Ｙ。）出发逐次映射而得到的点列为ＪＰ；（工。，Ｙ，），
５（ｘ２，Ｙ２），． ｏ，ＩＩ
Ｌ（ｘ，，Ｙ。），则前ｎ一１个点处的Ｊａｃｏｂｉ矩阵为
Ｊｏ＝Ｊ（ｘｏ，Ｙｏ） ，Ｊｌ＝Ｚ（ｘｌ，Ｙ１），…，Ｊ。一ｌ＝Ｊ（ｘ。一ｌ，Ｙ。一１）
令，‘”’＝，¨／ｎ－２＂＂ Ｊ。Ｊｏ，并设，‘”’特征值的模为歹：…，－，∥，且一帕＞歹｛…。
则Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数由下 式定义
厶＝ｌｉｍ＂．ｊ［…，Ｌ２＝Ｉｉｍ√∥’
下面说明厶、Ｌ：的意义，可设山，，．， …，以一。均为对角矩阵，即
厶＝［≯０、硝。０，），‘＝（毒Ｏ）０１，…，以一．＝（≯”ｎ墨。 －ｏ）
‘。，＝＝（孑”一’’各”一２’…／ｚｊ。’硝。１型。一．，硝。一：，…趣。：之。，）
从而有
彳哪＝硝””硝”孙…硝Ｄ硝∞
拶）－凹ｑ’砑。２’…正”４０’
由 此得
２５

哈尔滨。ｒ稃大学硕十学何论文
厶＝ｌｉｍ√硝””硝””… 硝∞
月・辛∞’
（３—１２）
Ｌ２＝Ｉｉｍ√霉叫’硝≈’…秽’
（３－１３ ）
ｈ—＇∞
３．３，２由系统方程确定Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数１５１
对于二维映射胙缓嚣
１以＋ｌ＝石（矗，儿）
仔∽
ｕ。＂
其系统可以用Ｌｙａｐｕｎｏ ｖ指数来表征。上式的Ｊａｅｏｂｉ矩阵为
萌研
了＝
Ｏｘ。饥
蔹瓠
Ｏ ｘ。Ｏｙ．
二维映射的两个Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数为
ｆｌ＝去ｈｌ㈨１２＝ｊＩ
１ｎ… （３－ｉｓ）
式（３—１５）涉及到求矩阵，的特征值问题，运用周期系数线性微分方程理论
讨 论混沌检测系统在大尺度周期状态时的Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数。
考虑正弦信号的混沌检测系统
戈 ＋．碗一ｘ３＋ｚ５＝ｒＣＯＳ
ＣＯｔ
（３—１６）
用ｘ＋出和ｘ表示初始位置不同的 两点，厮为两点间的偏差。将ｘ＋面代
入方程式支＋皴＋（～ｘ３＋工５）＝ｒｃｏｓｃｏｔ得到偏差方 程
（罗戈＋尼万量～ｃ（ｔ）ｇｘ＝０（３－１７）
式中省去了．）ｃ的高阶小量且ｃ（ｔ）＝ ３ｘ
２～５ｘ４。
将式（３．１７）写成状态方程的形式，令夙＝８ｙ，则有
｛６渺ｋ ＝＝８一ｙｋ６ｙ＋ｃ（ｔ）６ｘ
‘
【渺＝一
（３－１８）
ｌ’－ｌ＾－、７
将式（３—１
８）写成矢量微分方程形式为

哈尔滨丁程大学硕 七学位论文
Ｘ（ｔ）＝Ｈ（ｔ）Ｘ（ｔ）
式中
（３—１９）
ｃ３—２。，ｘｃｒ，＝［喜；］＝［喜三］，日。７＝［兰。，！．七］
Ｈ（ｔ＋ｒ）＝ＺＣ（ｔ），（－ｏｏ ＜ｆ＜佃）
因为Ｘ（ｔ）为周期函数（周期与ｃｏｓ（ｔ）的周期相同，为２７ｒ），所以Ｈ（ｔ）是< br>连续的周期性的２Ｘ２阶实矩阵，其最小周期Ｔ＝２乃，有下式成立：
（３－２１）
因为 Ｈ（ｔ）是周期矩阵，所以式（３．１９）为一周期系数线性微分方程。为求
出系统的Ｌｙａｐｕｎｏｖ 指数，需将式（３—１９）变为自治系统。
由周期系数线性微分方程理论，设Ｄ（ｔ）为式（３．１９） 的标准基本解矩阵，
则Ｄ（Ｔ＋ｆ）也是基本解矩阵，因此存在常数矩阵Ｃ，使得
Ｄ（ｔ＋丁１ ＝Ｄ（ｔ）Ｃ
当ｆ＝０时，Ｄ（Ｏ）＝Ｉ，从而有
Ｄ（ｔ＋Ｔ）＝Ｄ（ｔ）Ｄ（Ｔ）
又 因为Ｄ（Ｔ）是非退化的，所以存在一个用ＩｎＤ（Ｔ）表示的矩阵，使得
ｅｌｎＤ（７‘）＝Ｄ（Ｔ１
所以式（３．１９）的标准基本解矩阵可表示为
Ｄ（ｔ）＝Ｆ（ｔ）ｅ彳。∽‘７’’
对式（３．１９）作线性变换
ｚ＝Ｆ（ｔ）Ｚ
则周期系统式（３．１９）、式（３．２１）变成 自治系统
２＝Ｔ—ＩｎＤ（Ｔ）Ｚ
（３．２２）
（３－２３）
（３－２４）< br>设矩阵Ｄ（ｆ）的两个特征根为五和兄：，则两个Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数可表示为
ｆ１＝扣Ａ㈦＝ 扣屯ｊ（３－２５）
所以求解Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数的关键是求解Ｄ（Ｔ）的特征根。

< br>哈尔滨１＿程大学硕十学位论文
３．３．３仿真实验及结果分析
根据上面的求解步骤进行 下面的仿真实验Ｄ１：
将式（３．１９）改写成状态方程为
，
ｒ＝１，
｛夕： 二ｏ．５ｙ＋ｘ３－ｘ５＋ＡＣＯＳ（≠）＋（ｆ印甜ｆ）（３－２６）
因为Ｄ（ｔ）是式（３．１９） 的标准基本解矩阵，所以Ｄ（ｔ）应满足下式
＿ｄＤ（ｔ）：Ｈ（ｆ）Ｄ（ｆ１）
一＝仃●ｆ< br>Ｉ，，●●
（３．２７）
Ｉ１一／，－
由于Ｈ（ｔ）随时间变化，不能求出Ｄ（ ，）的解析表达式。但可以通过数值方
法求出Ｄ（Ｔ）（仁Ｔ时）的值。在一个周期内运用四阶Ｒｕｎｇ ｅ—Ｋｕｔｔａ法对上式
进行求解，得出ｘ（ｆ）在一个周期内的值。然后以一个很小的量＆为步长对ｘ （≠）
进行抽样，得出ｘ（ｆ）在各抽样点ｔ＋ｎＡｔ的抽样值ｘ（ｆ＋ｎａｔ），并以该值确定在该抽样时刻Ｈ（ｔ＋ｎＡｔ）的值。这里采用迭代法对式（３．２７）进行求解。由于抽样
时刻Ａｔ 很小，可以认为在缸内Ｈ（ｔ）为常量，即Ｈ（ｎＡｔ＋Ａｔ）＝Ｈ（ｎＡｔ）。
对式（３．２７）进行 变形，由于
∞删。＝南，筹＝南
可得
Ｂ２８，
扎脚鬻删如
Ｔ，
（３＿２９）
对上式两边进行积分得
１７ｕ？
ＩｎＤ（Ｔ）：笙日（聍＆）。Ａｔ； Ｄ（丁）：ｇ三月‘心ｍ（３－３０）
ｎ＝Ｏ
上式便于用计算机求解。首先采用四阶Ｒｕｎｇｅ ．Ｋｕｔｔａ法以址为步长对系
统的状态方程式（３．１９）在一个周期Ｔ内求解，得到ｚ（ｆ）在一个 周期丁内以△，为
步长的一系列抽样值ｘ（ｎＡｔ）（ｎ＝Ｏ，ｌ，２，．．．７’／△，）。将ｘ（ｎ Ａｔ）代入Ｈ（ｔ）得到离散
化的Ｈ（ｎＭ）。采用循环计算式（３—３０），控制循环次数等于Ｔ／Ａ ｔ。初始值Ｈ（Ｏ）
由前面理论推导可知Ｈ（Ｏ．Ａｔ）＝ｊｒ。得到Ｄ（ｔ）后，求其两个特征根，然 后代入
式（３．２５）得到系统的两个Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数。
２８

ｉ ｉ；宣；；；ｉｉ；；ｉ；；ｍ——
．
哈尔滨工程大学硕士学位论文
ｍｉ
ｉ； ＂；；；；ｉｉ譬
根据计算结果从实验中选择５６个典型数值列于表中：
表４．１混沌检测系统 的Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数
ｒ
０．０２００
Ｏ．００１７
—０．５０１０
０．２６００
０．１３５９
—０．６３５１
０．４４００
０．２５４１．０．７５３４
０．５８００
０．２８８５
—０．７８７７
Ｏ．７１４５
．０．０００１
．０．４９９１
Ｏ．７１
５８
．０．００７６
．０．４９１６
０．７２４６
．０．０６２９
．０．４３６３
０．７４．０．２４９６
．０．２４９６
０．０４００
０．００５３
．０．５０４ ５
０．３００
Ｏ．１６４５
．０．６６３７
０．４６００
０．２６５ ０
．０．７６４３
０．６００
０．２７６５
．０．７７５７
Ｏ．７１ ４６
．０．０００７
．０．４９８６
０．７１６０
．０．００９３
． ０．４８９９
０．７２５２
．０．０６７３
．０．４３１９
０．８０
．０．２４９６
．０．２４９６
０．０８００
Ｏ．０１８８
．０．５１８０< br>０．３２００
Ｏ．１７８４
．０．６７７６
０．４８００
０．２７５０
．０：７７４３
０．６２００
０．２５６７
．０．７５５９
Ｏ．７１ ４８
．Ｏ．００１８
．０．４９７４
Ｏ．７１６２
．０．００９６
． ０．４８９６
０．７２６４
．０．０７６６
．０．４２２７
１．００
．０．２４９６
．０．２４９６
Ｏ．１２００
０．０３９２
—０．５３８５< br>０．３４００
Ｏ．１９２０
．Ｏ．６９１２
０．５００
０．２８３７< br>－０．７８３０
０．６４００
０．２２７８
．０．７２７０
Ｏ．７１５ ０
．０．００３９
．０．４９５４
Ｏ．７１６４
．０．０１０９
．０ ．４８８４
０．７２７８
．０．０８８０
Ｏ．０．４１１３
１．２０
．０．２４９６
．０．２４９６
Ｏ．１４００
Ｏ．０５１４
．０．５５０６< br>０．３６００
０．２０５２
．０．７０４５
０．５２００
０．２９０４
，０．７８９６
０．６６００
０．１８８４
．０．６８７６
０．７１ ５２
．０，００４１
．０．４９５１
Ｏ．７１６８
．Ｏ．０１３１
－ ０．４８６１
０．７２８８
．０．０９６７
．０．４０２６
１．４０
．０．２４９６
．Ｏ．２４９６
０．１８００
０．０７８２
．０．５７７４< br>０．３８００
Ｏ．２１８１
．Ｏ．７１７３
０．５４０００
０．２９４ ２
．０．７９３４
０．６８００
０．１３６２
．０．６３５４
０．７ １５４
．０．００５２
．０．４９４０
０．７２００
．０．０５０２
．０．４４６３
０．７３７２
．０．２３０４
．０．２６８８
１．８０
．０．２４９６
．０．２４９６
０．２０００
０．０９２３
．Ｏ．５９１６
０．４２００
０．２４２６
．０．７４１８
０．５６００
０．２９４ ０
．０．７９３２
Ｏ．７１４４
０．０００ｌ
．０．４９９４
Ｏ．７ １５６
－０．００６１
—０．４９３２
０．７２４２
．Ｏ．０６
—０ ．４３９２
０．７３７４
．０．２４９６
．０．２４９６
１．８０
． ０．２４９６
．０．２４９６
Ｌ１
Ｌ２
ｒ
Ｌ１，
Ｌ２
ｒ
Ｌｌ
Ｌ２
ｒ
Ｌｌ
Ｌ２
ｒ
Ｌ１
Ｌ２ｒ
Ｌ１
Ｌ２
ｒ
Ｌ１
Ｌ２
ｒ
ＬＩ
Ｌ２< br>为了更直观的观察实验结果的特点，图３．１３和图３．１４给出了Ｌｙａｐｕｎｏｖ
指数的分布 图：
２９

哈尔滨ｌ－ｌ：．ｔｔ人学硕十学何论文
图３．１３
Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数分布图
Ｎ
ｌｌ
－
。＇
ｑ，
Ｊ
图３．１４局部放大图
实验结果分析：
（１）由上图可以看出在Ｍ２点之前，系统Ｌｙａｐｕｎ ｏｖ指数处于有正有负的
混沌状态，Ａ＝０．７１４４大概是系统由混沌态进入大尺度周期状态的分叉点 。
（２）瞬态Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数曲线细致的反映了系统相态的演变过程，该曲线
具有对称性 ，对称轴方程是
２
２∑Ｚ，（ｒ）＝～
，＝ｌ
其中对称轴位置源于ｋ＝Ｏ．５ ，对称性源于周期矩阵Ｈ（ｔ），其物理机制可
能源于该混沌检测系统的固有性质。
３０

哈尔滨Ｉ：稗人学硕十学何论文
（３）误差分析
实验结果与理论分析有一定的 误差，误差分析原因主要为以下几点：
ａ）在确定偏差方程ｃ（ｔ）＝３ｘ２—５２４时略去了万（ｘ） 的高阶无穷小项；
ｂ）在选取计算的周期时是固定取值的，会在不同的输入幅值下受到暂态
不同 的影响造成与理论值有一定偏差。
３．３．４由时间序列计算系统最大Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数
前 面已经提到对时间序列的Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数求法主要有两种，下面详细介
绍其求解方法：
一 、Ｗｏｌｆ法求Ｌ）ｉａｐｕｎｏｖ指数
１９８５年，Ｗｏｌｆ等人首先提出基于相平面、相体积等演化 来提取系统的
Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数旺ｎ，因此基于轨道跟踪的这类方法又被称为Ｗｏｌｆ方法，它在混
沌系统的研究和基于Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数的混沌时间序列预测中应用十分广泛。
设混沌时间序 列为｛五，而，．．．矗｝，嵌入维数为ｍ，时间延迟为ｒ，则重构
相空间为（重构方法等在后面章节有 介绍）
｛】，（‘）＝（ｘ（‘），ｘ（‘＋ｆ），…，ｘ（ｔ，＋（所一１）ｒ））｝，ｆ＝１，２， …，Ⅳ一（ｍ－１）ｒ
相空间重构后利用混沌吸引子的轨道分离特性，Ｗｏｌｆ方法计算最大Ｌｙａｐｕ ｎｏｖ
指数的整个过程如图：
ｚ（ｔ０）
岛
图３．１５Ｗｏｌｆ方法示意图< br>我们取相空间中的初始点为Ｙ（ｔｏ），设它的最邻近点为ｒｏ（ｔ。），两点之间
￡（＾）＝ｌ ｒ（ｔ，）－Ｙｏ（ｔ１）ｉ＞Ｅ，ｓ＞０
（３—３１）
３１
的距离为三（％），从ｔ 。时刻开始追踪这两点的时间演化，直至ｆ，时刻两点间的
间距超过规定值Ｆ

哈 尔滨ｆ：榉大学硕十学情论文
此时保留点ｙ（，｜），并在Ｙ（ｔ，）邻近找一点¨０，），此时需要保 证两点削的距
离不但保证
Ｌ（ｔ１）－－Ｉｒ（ｔＩ）一Ｘ（‘）ｉ＜占，ｇ＞ｏ
（３ —３２）
并且使得￡（＾）与￡（≠。）之间的夹角Ｂ尽可能小，继续重复上述过程，直至ｙ（≠）到达时间序列的终点，这时追踪演化过程总的迭代次数为膨，则Ｌｙａｐｕｎｏｖ
指数为
元 ：—Ｌ争［ｒｌ－“＂厶ｘ－－－－－－－－Ｌ、－，
五２再了缶￡（ｏ。）
法只能较为可靠的 计算最大Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数。
二、小数据量法计算最大Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数
（３—３３）
．从理论上讲对于无噪声的无限长的数据，Ｗｏｌｆ方法可以精确求得系统所
有的Ｌｙａｐｕｎ ｏｖ指数，但实际时间序列长度有限，并且由于噪声的影响，该方
在计算Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数的各种方 法中，以Ｗ０ｌｆ法为代表的轨道跟踪法较
为实用且效果相对较好，因而获得了较广泛的应用，但Ｗｏｌ ｆ法也存在以下问
题：（１）需要较大的数据长度；（２）计算结果受各种参数影响；（３）实现困难。
在混沌研究和实际应用中，判断时间序列是否具有混沌属性时，并不需
要计算出时间序列的Ｌｙ ａｐｕｎｏｖ指数谱，而只要计算出最大Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数就
够了。只要观察最大Ｌｙａｐｕｎｏｖ 指数是否大于零就能判别一个时间序列是否为
混沌系统，时间序列的预测一般也是基于最大Ｌｙａｐｕｎ ｏｖ指数的，小数据量法
是一种简便的只计算混沌时间序列的最大Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数的方法，它具有 以下
优点：（１）对小数据组比较可靠；（２）计算量较小：（３）相对易操作。其基本原理
如 下住孔：
在时间序列相空问重构后，寻找轨道上第ｊ点ｙ，（，。）的最近临近点ｒ，（ｔｏ），
即
ｄｊ（ｏ）＝ｍｉｎ忆以）一１．（ｔｏ）ｆ｜，［ｊ－ｊ。ｆ＞Ｐ
（３－３４）
其中Ｐ为时间序列的平均周期，它可以通过能量谱的平均功率的导数估
计出来。我们已知最大Ｌｙａｐｕ ｎｏｖ指数可以通过轨道上每个点和其最邻近点演
化的平均发散速率估计出来，根据这一思想，Ｓａｔｏ 等推导出最大Ｌｙａｐｕｎｏｖ
３２

ｉ（／．）－３（
哈尔滨：ｒ程大 学硕七学位论文
指数司以表不为
训，＝古志争纂
时间步长后的距离。Ｓａｔｏ等人将上 式改写为如下形式：
Ｄ３５，
其中Ａｔ为样本周期，ｄ，（ｉ）是基本轨道上第ｊ对最邻近点对 经过ｉ个离散
槲）Ｉｌｆａｌ
量，即有：ｄ（ｆ）＝＆＾‘
对于离散形式有
ｔ （Ｍ－１
Ｋ）芝ｊｏｌ
ｌｎ等
（３－３６）
式中ｋ是常数，ｄ，（ｆ）的意义 同上，Ａ（ｉ，ｋ）随着演化时间ｉ的增大而变化，
最大Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数的几何意义是量化初始轨 道的随指数发散特征演化的参
ｄｇ（ｉ）≈ｑｅ＾‘。…，Ｃ，＝ｄ，（ｏ）
其中Ｃ，为轨道的 初始距离，将上式两边取对数，得到
ＩｎＩｎ
ｉＡｔ
ｄ）＝Ｃ，＋丑（・）（／＝Ｎ
１，２
，…。，一（朋一
１）ｒ
）
（３—３７）
３８
可以通过最ｄｘ－－乘法逼近上式的斜率得到最大Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数丑的值，即
州）＝古（ Ｊ力ｔｏ））（３－３９）
其中（．）表示对所有的点取平均值。
综上，小数据量法的计算步骤 【２引：
（１）对时间序列扛（ｆ，），ｉ＝１，２，．．．，Ｎ｝进行ＦＦＴ变换，计算出时间延迟ｒ 和平
均周期Ｐ
（２）计算出关联维数ｄ，再由聊≥２ｄ＋１确定嵌入维数ｍ
（３）根据 时间延迟ｆ和嵌入维数加重构相空间圯，／＝１，２，．．．Ｍ｝
（４）找相空间中每个点一的最邻近点 ｔ，并限制短暂分离即
ｄ，（ｏ）＝ｍｉｎｌｌｒ～讣ｌ／一歹ｌ＞Ｐ（３－４０）
（５）对相 空间中的每个点ｙ，，计算出该邻点对的ｉ个离散时间步后的距离
ｄＩ（ｆ）
３３

哈尔浜工栏大学坝士！学１豆：论又
ｄ∥）２陟＋，一ｔ：『Ｉ
‘＝１，２，．．・ ，ｒｎｉｎ（膨～歹，Ｍ一，）（３－４１）
（６）对每个ｆ求出所有／的ｌｎｄ，（ｆ）的平均ｙ（ｆ ），即
１
口
少（泸志丢Ｉｎｄｊ（‘）（３－４２）
其中ｇ是非零ｄ∥）的数 目，并用最小二乘法做出回归直线，该直线的斜
率就是最大Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数＾。
３．３． ５仿真实验结果
根据上面介绍的方法进行下面的仿真实验：
实验一：以Ｌｏｒｅｎｚ系统
ｄｘ＝一佩＋咧
咖＝一滋＋ｒｘ—Ｙ
ｄｚ＝ｘｙ一６ｚ
为例
取，．＝４６， ｂ＝４，盯＝１６，初始值为［Ｘ０，粥，ｚｏ】＝【－１；０，１】，ｆ＝１１，ｍ＝３时得
到元＝１ ．４０９３。
ｏ
一ｌｏｒｅｎｚ
墨
刍
ｕ
鲁
互
导
茸
图３。１６求Ｌｏｒｅｎｚ系统的Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数
实验二：以Ｌｏｇｉｓ ｔｉｃ
ｘ（ｎ＋１）＝４ｘ
ｘ（ｎ）ｘ（１一ｘ（，２））为例，取ｆ＝１，嵌入维
３ ４

哈尔滨Ｔ程大学硕十学位论文
数ｍ＝２时，如图３．１７得到五＝Ｏ．６９４ ０。
ｌｏｇｉｓｔ
ｉｃ
●
●
●
●
．一中。‘ｉ’一 ’ｒ’’’ｒ一‘
Ｉ
‘
●．一一
，－Ｉｌ
ｔｌ
ｌ＋．十・＋ 一＋，＋・十＿＋一－卜＋－．
…－－・・－一三：；－．－≤ｔ奠：
十一十／１
．< br>图３．１７
Ｌｏｇｉｓｔｉｃ方程的Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数
３．４混沌振子检测存在的问 题及解决方法
尽管人们在基于混沌振子的弱信号检测方面取得了一定成绩，但是这种
检测方法也 存在不可忽视的问题。首先，阈值的确定不精确，在实际工作中，
很多都采用实验的方法确定：多次改变 系统参数，观察系统的相轨迹图，当
系统的相轨迹图从混沌状态过渡到大尺度周期状态时此时对应的参数 值就确
定为系统的阈值。这种确定系统阂值的方法效率很低而且会出现误判的现象。
再者根据系 统的相轨迹图来判别系统的状态本身就存在不准确性，这里面有
入的主观因素。
进＿步提高混沌 振子检测系统的检测性能是微弱信号混沌检测当前存在
的主要问题。要解决这一问题＿方面需要一种新的 混沌振子检测模型，该检
测模型在噪声干扰的情况下应比传统的现有模型具有更好的稳定性，减少出现误判或错判的可能性；也可以在原来模型的基础上寻找更合适的描述系统
动力学行为的特征参数进 而实现对信号的检测。
３．５本章小结
本章从Ｄｕｆｆｉｎｇ振子模型出发分析了该系统的混沌 特性以及利用该模型
进行强噪声背景下微弱信号检测的基本原理和可行性，仿真实验结果表明该
３５

哈尔滨工程人学硕十学位论文
方法能够作为现行微弱信号检测方法的有效补 充；本章还重点分析了表征混
沌特性的重要参数之一Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数，分别给出了系统方程和时间 序列的
Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数求法，并给出实验求解结果。最后提出了混沌振子检测方法存
在的 问题及解决的办法。
３６

哈尔滨一ｌ：样人学硕十学何论文
第４章混沌 时间序列预测方法研究
４．１混沌时间序列预测理论的基础知识
时间序列是指存在于自然科学或 社会科学中的某一变量或指标的数值或
观测值，按照其出现时间的先后次序，以相同的时间间隔排列的一 组数值。
分析观测时间序列的演变规律是掌握系统动力学特征的重要手段。时间序列
分析的目的 是根据系统的时序较精确的找出相应系统的内在统计特性和发展
规律，尽可能多的从中提取出我们所需要 的准确信息。其基本思想是根据系
统有限长度的运行记录（观察数据）建立能够比较精确的反映时间序列 中所
包含的动态依存关系的数学模型，并借此对系统的未来行为进行预报。
时间序列预测是用被 预测事物过去和现在的观测数据，构造依时间变化
的序列模型，并借助一定的规则推测未来，是预测领域 的重要组成部分。
在传统的预测理论中，主要分为两个方向：一个是建立一个模型来进行
预测， 即模型预测方法；另外一个是对已经得到的观测数据进行统计分析然
后再预测，即统计预测方法。现实生 活中得到的很多系统的模型都是非线性
的，虽然过去曾用一些线性系统去模拟它们，试图降低系统的复杂 度，但有
时由于系统的复杂性，线性系统和线性方法已经无法准确地逼近真实系统了，
这时，非 线性的方法将表现出较好的性能，较线性系统能更准确地反映真实
系统的特性。
混沌是一种典型 的非线性系统，混沌理论表明即使系统初始状态条件细
微差异，系统演化也可能导致显著差异，这便是混 沌系统的“蝴蝶效应”。因
而对混沌系统的长期演化结果不可以预测，但由于混沌是由确定系统的内在< br>特性引起的，短期行为又是完全确定的，即可预测，这就是混沌时间序列预
测的物理基础。混沌一 方面指出了原本认为不可预测的复杂事物具有可预测
性，另一方面也指出了原本认为可预测的简单事物的 预测具有局限性，混沌
理论开辟了预测研究新的领域，为原来被认为不可预测的复杂系统的预测提
供了新的理论与方法途径。
混沌与神经网络相结合，是由标量观测数据构造延时坐标，得到以相空间点映射表达的系统动态行为，据此可推测系统下一状态点的位置，取出合
３７

哈尔滨Ｉ：科人学硕十学传论文
适的时延坐标分量，得到下・时刻观测数据的预测位置。１９８７年 ，Ｌａｐｄｅｓ
和Ｆａｒｂｅｒ首先提出了混沌神经网络的预测技术，开始了混沌时间序列的神经
网络建模和预测的研究热潮。
Ｔａｋｅｎｓｐ川等人提出重构动力学轨迹相空间的延迟坐标法为混沌预 测奠定
了理论基础。自从二十世纪六十年代以来，混沌时间序列的预测方法和预测
理论已经取得 了初步的理论和应用研究成果，对这些成果的继承、综合和发
展是预测领域的主要研究内容。
按 建模数据情况ｐ¨，混沌预测方法可分为全局预测、局部预测和自适应
预测。全局预测在整个吸引域上选 择适当的数学模型对相点进行逼近，这种
方法概念清楚，但是映射关系复杂，或噪声干扰较大时该种方法 困难较大。
局部预测法则认为相空间中某一点的演化行为可由其邻近点的演化行为反映
出来，即 在相空间中寻找预测点的最邻近点，并将此最邻近点在轨道上的下
一个点作为预测值输出，有时为了达到 更好的预测精度，邻近点可以选择多
个。该方法虽然只反映了吸引子的局部特征，一旦超出相应的区域范 围，局
部模型的精度就会下降，甚至完全失效。但是该方法计算简单可行，而且只
要能够实时地 拟合局部模型的系数，就能够较精确的反映整个吸引子的演化
特性。自适应预测是指在预测过程中，始终 根据当前的预测误差来调整预测
模型中的有关参数使之在下一次预测的误差为最小，这种方法对算法的跟 踪
辨识和实时递推能力要求较高。
神经网络的特点使其非常适合混沌时间序列的预测研究。首先 ，神经网
络方法不需要建立实际系统的数学模型和确定初值，只需利用所观测到的系
统输入输出 数据调节网络内部的连接权，完成系统辨识。这对混沌这种复杂
的系统模型辨识研究极具价值；其次，目 的的混沌时间序列预测分析，大都
是一种局部的预测，即基于最近的信息，合理的推测出系统未来的行为 ，比
较适合于短期预测，对于长期预测会出现较大误差。神经网络对信息采取空
间上的分布存储 和时间上的并行处理，因而具有良好的容错和联想记忆功能，
可以较好的包含系统的长期信息，做出精确 的预测：第三，神经网络具有强
大的学习、自组织与自适应能力，能够通过对系统输入输出样本队的学习 自
动提取蕴含其中的映射规则，自动调整网络结构参数以适应环境变化，从而
可以较好的反映系 统的混沌特性；第四，神经网络具有很强的信息综合能力，
３Ｒ

哈尔滨一ｒ：棵 人学硕十学位论文
可同时综合定量和定性信号，对多输入多输出系统特别方便，适用于多信号
的 融合，较好的研究不同输入之间的内在关系。所以神经网络与混沌理论相
结合，将为时间序列的混沌动态 特性研究提供一条崭新的途径。
利用混沌和神经网络相结合进行时间序列的预测为进行微弱信号检测提< br>供了一条思路。如果预先确定背景噪声信号是混沌信号，根据接收的信号重
构出背景噪声信号的相 空间就能得到混沌的预测模型，从接收信号中减去预
测到的混沌信号，就可以将淹没在混沌背景信号中的 有用信号检测出来。该
检测方法的关键在于从观测到的时间序列信号中重构出混沌吸引子的相空
间，这是混沌预测的前提。
４．２混沌时间序列的相空间重构
一个系统在某一时刻的状念称为相 ，决定状态的几何空间称为相空间
（Ｐｈａｓｅ
Ｓｐａｃｅ）。一般来说，非线性系统的相空间 可能维数很高，甚至无穷，
有时还不知道维数是多少。为了获取动态系统的定性信息，往往需要知道充< br>分的状态演化信息。但在实际工程应用中，数据采集设备一般只能得到反映
系统信息的一维向量， 即时间序列。如何从实验的时间序列中提取出系统的
定性信息，重构相空间是本论文实现微弱信号检测的 一个重要环节。传统的
做法是直接从这个序列去分析它的时间演变，这有很大的局限性，因为时间
序列是许多物理因子相互作用的综合反映，它蕴藏着参与运动的全部变量的
痕迹，而且从形式上看，序 列似乎是随机的，但实际可能包含混沌运动的信
息。而混沌运动至少要在三维自治动力系统中才能出现。 因此我们要把时间
序列扩展到三维或更高维的相空间去，才能把时Ｊ剀序列的混沌信息充分显露
出来，这就是时间序列的重构相空间。通过某种方法将一维时间序列展１丌成
一个多维的结构，建立原菲 线性系统的动念模型称为相空间重构。通过相空
间重构技术可以找出隐减在混沌吸引子中的演化规律，使 现有的数据纳入某
种可描述的框架之下，从而为时间序列的研究提供一种崭新的思路和方法。
相 空间重构是非线性时间序列分析的重要步骤，重构的质量直接影响到模型
的建立和预测。
１９８ ０年，Ｐａｃｋａｒｄ等人提出了由一维可观察量重构一个“等价”的相空
间，来重现系统的动态特征ｐ 玎。他的基本观点是：相空间重构法虽然是用一
３９

哈尔滨一［：程大学硕十学 位论文
个变量在不同时刻的值构成相空间，但动力系统的一个变量的变化自然跟此
变量与系统的 其他变量的相互作用有关，即此变量随时间的变化隐含着整个
系统的动力学规律。因此重构相空间的轨线 也反映系统状态的演化规律。其
基本思想是【３”：系统中任一分量的演化都是由与之相互作用着的其他 分量所
决定的。因此这些相关分量的信息就隐含在任一分量的发展过程中，为了重
构～个等价的 状态空间，只需考察一个分量并将它在某些固定的时间延迟点
上的测量作为新维处理，即延迟值被看成是 新的坐标，它们确定了某个多维
状态空间中的一点。重复这一过程并测量相对于不同时间的各延迟量，就 可
以产生出许多这样的点，然后再运用其他方法来检验这些点是否存在于一个
混沌吸引子上。它 可以把吸引子的许多特征保存下来即用系统的～个观察量
可以重构出原动力系统模型。
４．２． １相空间重构理论
定义一（相）：一个系统在某一时刻的状念称为相，决定状态的几何空间
称为 相空间。
定义二（等构同距）：设（Ｎ，Ｐ）、（Ｎ；，级）是两个度量空间，如果存在映
射够 ：Ｎ一Ⅳｌ满足：
１）ｐ是满射：
２）ｐ（ｘ，ｙ）＝易（９（ｚ），妒（ｙ）），对Ｖ
ｘ，Ｙ∈Ｎ；
则称（Ｎ，Ｐ）、（Ⅳ１，岛）是等构同距的，如果（Ⅳｌ，局）与另一个度量空间（Ⅳ ２，岛）
的子空间（Ⅳ０，岛）是等构同距的，则称（Ⅳｌ，届）可以嵌入（Ⅳ＇，岛）。
Ｔａ ｋｅｎｓ嵌入定理：Ｍ是ｄ维流行，够是一个光滑的微分同胚，Ｙ：Ｍ一只，
Ｙ有连续二阶导数，矽（妒 ，Ｙ）：Ｍ
ｊ
Ｒ
２山１，其中：
矽（伊，Ｙ）＝（少（工），ｙ（矽（ｘ）） ，ｙ（ｃｐ２（ｘ）），…，少（伊列（ｘ）））
则≯（缈，Ｙ）是Ｍ到足２州的一个嵌入。
假 设已知序列｛‘｝，ｆ：１，２，．．．Ｊ７Ｖ，根据Ｔａｋｅｎｓ嵌入定理可得延迟矢量及
轨迹矩阵为 ：
４０

哈尔滨］＿程大学硕士学位论文
Ｘｊ
Ｘ＝
Ｘｒ Ｘｊ＋ｒ…五＋（ｄ—１）ｆ
Ｘ２Ｘ２＋ｒ…Ｘ２＋（ｄ一”ｆ
Ｘ；
●●●
ｘ ｒ
ＸＮＸＮ＋ｒ…ＸⅣｒ＋（‘ｆ—Ｉ）ｒ
其中ｄ为嵌入维数，ｒ为延迟时间，Ｎ，三Ｎ一（ｄ 一１）ｒ。
坐标延迟相空间重构技术有两个关键参数：即嵌入维ｍ和时间延迟ｒ的
确定。Ｔａｋ ｅｎｓ嵌入定理证明了一维时间序列在无限长且无噪声的情况下，延
迟时间取任意值时都能重构原系统相 空闻，但实际上，实测时序是有限长的
且不可避免的被噪声污染，因此延迟时间取任意值不能重构原系统 相空间，
嵌入定理也没有提供嵌入维数的选取方法。因此对实测时序相空间重构的关
键是其参数 的选取。有关嵌入维数和时间延迟的选取目前认为有两种观点：
一种观点认为两者是互不相关的，先求出 时间延迟后再选择合适的嵌入维。
求时间延迟比较常用的方法有自相关法、平均位移法、复自相关法和互 信息
法等，目的是使原时ｆＢＪ序列经过时间延迟后可以作为独立坐标使用。目前寻
找最小嵌入 维的方法主要有几何不变量法”“、虚假最邻近点法ｐ引（Ｆａｌｓｅ
Ｎｅａｒｅｓｔ
Ｎｅｉｇ ｈｂｏｒｓ，ＦＮＮ）＊Ｎ它的改进形式Ｃａｏ方法ｐ”。另一种观点认为时间延迟和嵌
入维是相关的， １９９６年Ｋｕｇｉｕｍｔｚｉｓ提出的时问窗长度是综合考虑两者的重要
参数ｐ”。１９９９年，Ｋｉ ｍ等人基于嵌入窗法的思想提出了Ｃ．Ｃ方法，该方法使
用关联积分，同时估计出时延与嵌入窗口引。< br>４．２．２相空间重构延迟时间Ｆ的选取
由Ｔａｋｅｎｓ定理知，在没有噪声无限长的精确数据情 况下可以任意选择ｆ，
但实测时间序列是有限长的，且一般都有噪声污染，只能根据经验来选择，
其基本思想是使ｘ。与ｘ…具有某种程度的独立但又不完全无关，以便它们能
在重构的相空间中作为独 立的坐标处理。如果ｆ太小，则ｚ。与ｘ…的值充分
靠近，以致不能区分它们，从实际观点看不能提供两 个独立的坐标，导致吸
引子重构非常靠近相空间中的对角线，重构的相空间不清晰：如果ｒ太大，
则ｘ。与石…之间统计独立，无法体现动力学轨道上相邻点间的演化规律，重
构的相空间同样不清晰。 在实际应用中有以下四种经验型方法来选取ｆ：
４１

哈尔滨工程大学硕士学位论 文
一是线性自相关函数法；二是平均位移法；三是复自相关法；四是互信息量
法。
（一 ）自相关函数法
自相关法为序列相关法的一种，利用自相关函数选取延迟时间后，使得
重构后的 时间序列元素之间的相关性降低，同时尽可能使原序列动学特征不
丢失。
对于连续变量ｘ（ｆ） ，其自相关函数（Ａｕｔｏｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎｆｕｎｃｔｉｏｎ）定义为：
７＇
２
●
ｃ（ｆ）＝磐ｍ
Ｉｘ（ｔ）ｘ（ｔ＋ｒ）ａｔ
，一，∞，
（４一１）一ｉ
其中ｆ是时间的移动值，表示两时刻ｆ和ｆ＋ｆ的相互关联程度。当ｚ（，）的
幅值一 定时，ｃ（ｒ）越大，则意味着ｘ（ｆ）和石Ｏ＋ｆ）越相似。因此一般ｘ（ｆ）和
ｘ（ｆ＋ｆ）的自相 关函数ｃ（ｒ）随着ｆ的增加而逐渐变小，直至趋于零。
自相关函数是非常成熟的求时间延迟ｆ的方法， 它主要是提取序列间的
线性相关性。对于混沌时间序列＿，ｘ：，．．．，石∥．．，可以先写出其自相 关函数，我
们设总点数为Ｎ，则序列｛％）在时间跨度为ｆ时的自相关函数为：
足”（７）２专 磊‰ｒ（４－２）
我们使用实际观测数据做出自相关函数随延迟时间ｆ变化的函数图像，
当自相 关函数下降到初始值ｌ一１／Ｐ时，所得的时间ｆ就是重构相空间的时间
延迟ｒ。
自相关法隶时 延
辐
闭
斗Ｋ
巽
皿
图４．１自相关法求Ｌｏｒｅｎｚ的时延< br>图４．１是利用自相关函数法求得的Ｌｏｒｅｎｚ时问序列的时延，参数的选取
与前面３．３．５ 节相同，得到ｆ＝１２。
４２

哈尔滨。。：释人学硕十学位论文
虽然自 相关函数是一种简便有效的计算延迟时间的方法，但它仅能提取
时间序列间的线性相关性。如果根据自相 关函数法得到的ｆ可分别让ｘ，和Ｘｍ
以及ｘｍ和Ｘｍ，之间不相关，而ｘ，和Ｘｔ亿之间的相关性却可 能很强。
（二）平均位移法
平均位移法（Ａｖｅｒａｇｅ
Ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ， ＡＤ）属于相空间重构几何法。与自相
关法求序列时间上的相关性不同，Ｒｏｓｅｎｓｔｅｉｎ等提出的 ＡＤ法是从几何的角
度来确定时间延迟的。若时问延迟较小时，重构后的混沌吸引子会被压缩在
主对角线一带，而随着延迟时间的不断增大，吸引子的形状会逐渐展开。最
后求得的ｆ应保证具有重构的 相空间轨道从相空间的主对角线尽可能向外扩
展，而又不发生折叠现象最好的现实吸引子特性。
对于时间序列ｆ％｝按时间延迟ｆ进行相空间重构后，相空间的相邻两点
ｘ（ｆ）和石（ｆ＋ｒ）之间的 平均距离ｓ。（ｆ）可定义如下：
最（ｆ）＝哥ｌ到ａ，ｘ（ｆ＋ｆ）一ｘ（硎
若嵌入维数ｍ已 经确定，则有：
（４—３）
ｓ。（ｆ）５寿吾√吾（ｈ．『ｆ＿）２（４－４）
Ｓ，（ ｒ）随着时间延迟ｆ的增加，会逐渐从线性增加趋于饱和，其线性区的
末端所对应的ｆ值即为最佳时间延 迟，可选择ＡＤ法来度量Ｓ。（ｒ）曲线波形斜
率，第一次降为其波形初始斜率的４０％以下对应的时问 即为所求的时间延迟
１Ⅳ焉丁■———一
丁。ＡＤ法在总体变化趋势中可能夹有较强的抖动，具 有一定的随机性，而且
仅根据实验结构得到，其理论性不强。
（三）复自相关法
复自相 关法是将上面的两种准则进行折衷的新方法，其计算复杂度不大，
具有很好的抗噪能力。
由ＡＤ 法知，时间序列｛矗｝的聊维相空间重构下的平均位移（蕺（ｆ））如下
（ｓ：（ｆ））＝专篙１篆（ｘ 。，，一ｔ）２（４－５）
其中，Ｎ为观测序列｛％｝的点数。平均位移（砩（ｆ））体现了相空间矢量 ｘ。离
４３

哈尔溟１．样入学硕十。＝；＝：何论文
开相空间主对角线 的距离。忽略边缘点带来的差别，可认为∑ｘ三，，对
ｏ≤＿，≤所一１为常数，统一记为Ｅ＝二Ｎｉ∑＝ｏｘＪ２，展开上式则有
（ｓ：（ｆ））：２（聊一１）Ｅ一２ｍ∑－Ｉ尺。（／ｆ）（４． ６）
其中，Ｒ盯（歹ｒ）是序列｛％）在时间跨度为／ｆ的自相关函数，即
如（弦）２专丢一誓 ＂（４－７）
式（４．６）体现了ＡＤ法和自相关法之间的关系，事实上，二维平均位移法
和自 相关法具有大致相反的波形，由式（４．６）定义复自相关函数为：
《（ｒ）＝∑Ｒ。（ｊｒ）
（４－８）
复自相关法不但能让ｘ，和Ｘｍ以及ｘｍ和Ｘｍ，之间不相关，也保证了Ｘ，和
ｘｍ ，之间不相关。因此复自相关法具有较明确的理论依据，可作为时间延迟
选择的序列相关准则和相空间几 何准则之间的桥梁。
（四）互信息量法
自相关法本质上是一个线性的概念，适合于判断线性相关 性，而混沌系
统是一个非线性系统，因此Ｆｒａｓｅｒ和Ｓｗｉｎｎｅｙ提出了用互信息来判断系统的< br>非线性相关性。
考虑两离散信息系统｛ＳＩＪ：，．．．ｓ。｝和｛ｑｌ，ｑ：，．．．，吼｝构 成的系统Ｓ和Ｑ。由信
息论知从两系统测量中所获得的平均信息量，即信启、熵为：
Ｈ（Ｓ）＝ －Ｅｐ，（ｓ，）ｌ０９２Ｐ，（ｓ，）‘（４－９）
日（Ｑ）＝一乏ｐｇ（ｇＪ）ｌ０９２
Ｐ ｑ（ｇ，）
（４・ｌｏ）
其中，Ｐ，（ｓ，）和ｐ。（ｇ，）分别为Ｓ和Ｑ中事件ｓ，和ｑ，的 概率。
在给定Ｓ的情况下，我们得到的关于系统Ｑ的信息，称为Ｓ和Ｑ的互信
Ｉ（Ｑ，ｓ）＝Ｈ （Ｑ）一Ｈ（Ｑ
Ｓ）（４—１１）
因此有
息，如下：

哈尔滨ｌ ：ｉ单人学硕十学位论文
螂）５聊扣棚川０９２［蔫耥１
（４－１２）
其中Ｐ卵（ｓ， ，ｑ，）为事件Ｓ，和事件ｑ，的联合分布概率。
定义［Ｊ，ｑ】＝ｂ＠），ｚ０＋ｆ）】，即Ｓ代表时 间序列ｘ（ｔ），ｑ为其延迟时间为ｆ的
时间序列ｘ（ｔ＋ｒ），则Ｉ（Ｑ，Ｓ）显然是与时间延迟有关 的函数，记为，（ｆ）。，（ｆ＞
的大小代表了在已知系统Ｓ即ｘ（ｆ）的情况下，系统Ｑ也就是ｘ（ｔ ＋ｒ）的确定性
大小。，（彳）＝０示ｘ（ｆ＋ｆ）完全不可预测，即ｘ（ｆ）和ｘ（ｆ＋ｆ）完全不相 关；而，（ｆ）
的极小值，则表示了工（ｆ）和ｚ（，＋ｒ）是最大可能的不相关，重构时使用，（ｆ） 的
第一个极小值作为最优延迟时间。
互信息法求时延
图４．２互信息量法求Ｌｏｒｅｎ ｚ时延
图４．２为互信息量法求得的Ｌｏｒｅｎｚ的时延，同样所取参数及初始值与前
面３．３ ．５节相同，得到ｆ＝１
１０
４．２．３相空间重构嵌入维数ｍ的确定
关于嵌入维数， Ｔａｋｅｎｓ、Ｓａｕｅｒ等先后从理论上证明了当所≥２ｄ＋１时可
获得一个吸引子的分形维数，但这 只是一个充分条件，对实验数据选择ｍ没
有多大帮助。如果仅仅是计算关联维数，Ｄｉｎｇ等人证明了对 无噪声，无限长
的数据只要取ｍ为大于关联维数的最小整数即可。但对长度有限且有噪声的
数据 ，ｍ要比关联维数大得多，如果聊选的太小则吸引子可能折迭以致在某
些地方自相交。这样一来在相交区 域的一个小邻域内可能会包含来自吸引子
４５

哈尔滨丁。ｏＩ手１人学硕十学位 论文
不同部分的点。如果ｍ选的太大，理论上是可以的，但实际应用中随着ｍ的
增加会大大增加 吸引子的几何不变量的计算工作量。在实际应用中通常的做
法是计算吸引子的某些几何不变量，逐渐增加 ｍ直到这些不变量停止变化为
止。从理论上讲由于这些不变量是吸引子的几何性质，当ｍ大于嵌入维数时
几何结构被完全打开，因此不变量与嵌入维数无关了，取吸引子的不变量停
止变化时的ｍ为嵌入 维数。这种方法的缺点是对实验数据要求较高（无噪
声），计算量大且比较主观，从预测误差和几何观点 看，下面两种方法比较容
易实现：一是预测误差最小法，二是虚假最邻近点法。
下面重点介绍虚 假最邻近点法：
从几何的观点看，混沌时间序列是高维相空问混沌运动的轨迹在一维空
间上的投 影，在这个投影的过程中，混沌运动的轨迹会被扭曲。高维相空间
中并不相邻的两点投影在一维空间轴上 时有可能会成为相邻的两点，即虚假
邻点，这就是混沌时问序列呈现出无规律的原因所在。重构相空间实 际就是
从混沌时间序列中恢复出混沌运动的轨迹，随着嵌入维数ｍ的增大，混沌运
动的轨道就会 逐渐打开，虚假邻点也会逐步被剔除，从而混沌运动的轨迹得
到恢复，这个思想就是虚假最邻近点法（Ｆ ａｌｓｅ
Ｎｅａｒｅｓｔ
Ｎｅｉｇｈｂｏｒｓ，ＦＮＮ）的出发
点。
在ｄ维相 空间中，每个相点矢量为Ｘ（ｉ）＝扛（ｆ），ｘ（ｉ＋ｒ），．．．，ｘ（ｉ＋（ｄ—１）ｆ）｝，
都 有一个某距离内的最近邻点ｘＭ（ｆ），其距离为
’
髟（ｆ）＝恬（ｆ）一ＸＭ（０１Ｉ
生变化，两者的距离成为
（４．１３）
当相空间的维数从ｄ维增加到ｄ＋１维时，这两个相点 之间的距离就会发
足；＋Ｉ（≠）＝Ｒ；（ｆ）＋｛ｋ（ｆ＋耐）一ｘＭ（ｆ＋ｒａ）ＩＩ
（４ －１４）
如果Ｒ州（ｆ）比Ｒｄ（ｆ）大很多，可以认为是由于高维混沌吸引子中两个不相
邻的 点投影到低维轨道上时变成相邻的两点造成的，因此这样的邻点是虚假
的，令
ｑ（ｆ，ｄ）：— ］Ｉｘ（—／＋—ｒｄ）了－ｘ鬲Ｎ’。一（ｉ＋ｒｄ）］
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（４．１５）