北京玉渊潭中学-承包合同范本

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２０００年１２月　
Ｄｅｃ．２０００　
应用 数学与计算数学学报　
ＣｏＭＭ　ｏＮ　ＡＰＰＬ．ＭＡＴＨ．ＡＮＤ　ＣｏＭＰＵＴ　
第１４ 卷第２期　
Ｖ。１．１４　Ｎｏ．２　
双对角占优与非奇Ｍ一矩阵的判定　
安国斌　郭 希娟　
（华北煤炭医学院基础都，唐山，０６３０００）　（燕山大学计算机系，秦皇岛．０６６００４ ）　
摘要本文利用矩阵Ｂ＝Ａ＋Ａ　的双对角占优性给出了矩阵Ａ为Ｍ矩阵的新判　
定准则．推 广丁已有的判定定理．实例说明，采用本文定理可以较为容易地得出判定结　
果．本文给出的判定准则具 有简单　方便的特点，与已有的判定准则相比，具有更为广泛　
的适用范围　
关键词：非奇异Ｍ 矩阵．对角占优，双对角占优　
１．引　言　
Ｍ矩阵是计算数学中应用极其广泛的一类矩阵．它 出现于经济价值模型矩阵和反　
网络系统分析的系数矩阵，以及解某类微分方程问题的数值解法中．在生 物学、物理　
学、经济学和社会学等不同领域里的线性方程组或非线性方程组及特征值问题中的许　多问题，可以归结为具有特殊构造的矩阵问题（即Ｍ矩阵问题）因而判定一个矩阵在　
什么条件下为 非奇Ｍ矩阵具有非常重要的理论价值及实际意义．　
本文利用双对角占优得到了非奇Ｍ矩阵判别的新的判 定准则，推广了已有的判　
定定理．实例说明，对于采用已有方法难以判定的某些矩阵，采用本文定理可 以较为　
容易地得出判定结果．　
为讨论问题的方便，引入如下记号：设　
Ａ＝（ａｉ ｊ）　×　表示　×ｎ实或复矩阵．　
ｃ…
Ｒ　
表示ｎ×ｎ复矩阵集．　
表示 ｎ×ｎ实矩阵集．　
Ｚ　”：｛ＡＩＡ∈Ｃ　，ｎ　０，ｚ≠＾　，Ｊ∈Ⅳ）｝　
Ｍ　：｛ＡＩ Ａ∈Ｚ㈣，ｎ。　＞０，　∈Ｎ｝　
Ｍ（Ａ）：（ｍ，　）为＾的比较矩阵．　
ｒ；：∑ｌ。　 ｌ＝Ｒ（＾）．　
ｊ　
Ｊ（Ａ）＝｛　∈Ｎｌｌａｉｉａｊｊ『＞ｎｄＡ）　（Ａ））｛，　∈ Ｎ．Ｊ≠　．　
设Ａ＝（ａｉｊ）∈Ｒ…，若对每一下标　∈Ｎ，皆有　
２０００年Ｌ月２０日 收到第二敬修改葙　

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应用数学与计算数学学报　
则称Ａ为对角占优矩阵（Ｄｉａｇｏｎａｌ　Ｄｏｍｉｎａｎｔ　Ｍａｔｒｉｘ），记为Ａ∈Ｄｏ若（１）式中 每一不　
等号都是严格的，则称Ａ为严格对角占优矩阵（Ｓｔｒｉｃｔ　Ｄｉａｇｏｎａｌ　Ｄｏｍｉｎ ａｎｔ　Ｍａｔｒｉｘ），记　
为Ａ∈Ｄ若存在正对角阵Ｄ，使ＡＤ为严格对角占优矩阵，则称　为广义 对角占优　
矩阵（Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　Ｄｉａｇｏｎａｌ　Ｄｏｍｉｎａｎｔ　Ｍａｔｒｘ）、记 为Ａ∈ＧＤＤＭ．ｉ　
设Ａ＝（ａｉｊ）∈Ｒ　，若对每一对下标，皆有　
则称Ａ为取对角占优 矩阵（Ｄｏｕｂｌｙ　Ｄｉａｇｏｎａｌ　Ｄｏｍｉｎａｎｔ　Ｍａｔｒｉｘ），记为Ａ∈ＤＤｏ．若（２）　< br>式中每一不等号都是严格的，则称Ａ为双严格对角占优矩阵（Ｄｏｕｂｌｙ　Ｓｔｒｉｃｔ　Ｄｉａｇｏｎ ａｌ　
Ｄ０ｍｉｎａｎｔ　Ｍａｔｒｉｘ），记为Ａ∈ＤＤ．若存在正对角阵Ｄ，使ＡＤ为双严格对角占 优矩阵，　
则称Ａ为广义双严格对角占优矩阵（Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　Ｄｏｕｂｌｙ　Ｄｉａｇｏｎ ａｌ　Ｄｏｍｉｎａｎｔ　Ｍａｔｒｉｘ），记　
为Ａ∈ＤＤ　．　
引理ｌ【　设Ａ：（。　） ∈Ｍ“”，若Ａ为广义对角占优，则　为非奇　阵．　
引理２［３１设Ａ＝（ａ　）∈Ｍ…，若Ａ的特征 值均为正值，则Ａ为非奇Ｍ阵．反　
之亦然．　
引理３［３］设Ａ：（ａ　）∈Ｍ…，若　的特 征值实部均为正值，则　为非奇Ｍ阵．　
反之亦然．　
引理４ｉｌｊ对Ａ：（ａ　Ｊ）∈Ｒ　， 若Ａ∈ＤＤ，则Ａ∈ＧＤＤＭ　
引理５【４）【ｑ设Ａ∈Ｍ…，若Ａ∈ＤＤ，则　为非奇Ⅳ阵．　
引理６［５＿设Ａ∈Ｍ　，则Ａ为非奇Ｍ阵的充要条件是　为广义严格双对角占　
优，即Ａ∈ＤＤ　． 　
引理７　若Ａ∈ＤＤ０，则Ｍ（Ａ）是Ｍ矩阵．　
２．主要结果　
下面用Ｂ＝Ａ＋Ａ 。ｒ具有双对角占优特性来研究矩阵　是否是Ｍ矩阵，显然Ｂ　
为对称矩阵．由定义，若Ｂ为取对角占优 ，则对任意ｌ，　∈Ｎ有　
ｌｂ￣ｌｌｂ２ｊｌ≥Ｒ（Ｂ）　（Ｂ）　（３）　
我们得到如下结 果：　
定理ｌ设Ｂ＝Ａ＋Ａ　Ａ∈Ｍ…，若Ｂ为非奇异Ｍ阵，则　必为非奇异Ｍ阵．　
证明因为 Ｂ为实对称的非奇Ｍ矩阵，所以Ｂ的特征值都是正实数，根据Ｒ￣ｙｌｅ　血　
商值定理，对任意实向量 Ｚ≠０都有　
（４）　
（其中Ａ１，Ａ２为Ｂ的最小、最大特征值，Ｚ　是Ｚ的共轭转置）．　
设Ａ的任一特征值　所对应的特征向量为Ｙ，则Ａｙ＝　，Ｙ≠０　由Ｐ￣ｙｌｅｉｇｈ商值　
定理　
Ａｌ　ｙ—Ｈ　Ｂｙ　
＾２　
Ｙ　Ｙ　
（５）　

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２期　安国斌等：双对角占优与非奇Ｍ一矩阵的叛定　９５　
因为　 Ｈ口　＝ｙＨ（＾＋Ａ　）　＝　ＨＹ＋ＰＹＨＹ：２Ｐ，．ｅ＃ｙ　Ｙ．　
所以，从（５）式有：＾ｌ ≤２Ｒｅｌｔ　＾２．　
又因为Ｂ为Ⅳ阵，由引理３知：　Ａｌ＞０故２Ｒｅｌｔ＞０．即Ｒｅｌｔ＞０ ．所以，＾的　
任意特征值实部均为正值，再由引理３知＾为＾Ⅵ阵．证毕．　
定理２设Ａ∈Ｍ …，Ｂ＝Ａ＋Ａ　．若Ｂ∈ＤＤ，则Ａ为非奇　
证明因为Ｂ∈ＤＤ，故对任意ｉ，Ｊ∈Ｎ恒有　
”
矩阵．　
ｌ　｝＞Ｐ￣（１Ｂ）Ｒｊ（Ｂ）　
由引理１知：　口为　根据引理４知， 口为广义对角占优矩阵，即Ｂ∈ＧＤＤＭ
矩阵．再由定理１可得：Ａ为非奇Ｍ矩阵．证毕．　
定 理３若Ａ∈Ｍ　，Ｂ＝Ａ＋Ａ　∈ＤＤｏ，则Ａ为　
证明因为Ａ∈Ｍ　
阵．　
，Ｂ∈Ｄ Ｄｏ，由引理７知口的比较矩阵Ｍ（Ｂ）为　阵．由于　
Ａ∈Ｍ　，故Ｂ∈Ｍ　，因而Ｍ（Ｂ）＝Ｂ，所 以口为Ｍ阵，再根据定理１知＾为　
阵．证毕．　
定理４设Ａ∈Ｍ…，若Ｂ＝Ａ＋Ａ　∈ＤＤ　 ，则Ａ为非奇　阵．　
证明因为由引理６知且为　阵，所以，再由定理１知Ａ为非奇Ｍ阵．证毕．　推论１【９ｌ若Ｂ　Ａ＋Ａ　为严格双对角占优阵，则ｄｅｔ（Ａ）≠０　
推论２【　若Ｂ＝Ａ＋Ａ 　为具有非零元素链双对角占优阵，且Ａ∈Ｍ　．则＾　
为非奇Ｍ阵．　
推论３【　若Ｂ：Ａ＋ Ａ　的特征值为正值，Ａ∈Ｍ　“，则Ａ为非奇Ｍ阵．　
由此可知，对Ａ∈Ｍ　“，虽然Ａ　ＤＤ（或Ａ 　ＤＤｏ）．但若有Ｂ∈ＤＤ（或　
Ｂ∈ＤＤ０），则可判定Ａ必为Ｍ阵．因而推广了判定的范围．　< br>３．例题分析　
Ａ：
ｆ　芋－－　３］　
Ｌ一４—２—１　６　Ｊ　
ｒ １６—５—４—７］　
显然Ａ　ＤＤｏ，Ａ　ＤＤ，所以不能用双对角占优直接判定Ａ是否为Ｍ矩阵．但 考虑　
Ｂ＝Ａ＋Ａ　，此时　
口＝
ｌ二ｉ一１２。苫：　
Ｌ一７—３—１　１ ２　Ｊ　
‘　
易知Ｂ∈ＤＤｏ、显然Ｂ存在非零元素链，且经验证知，满足定理３条件，所以， 　
由定理３知Ａ为非奇Ｍ矩阵．　
例２设　
『ｌ２．６－２－１］　
Ｊ　－
１
一
。　

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应用数学与 计算数学学报　ｌ４卷　
则有　
Ｂ：Ａ＋Ｊ４　：ｌｌ－３　５　—２　ｌ　
２—２　 ４　Ｊ　
一
『５．２—３—２］　
容易验证Ａ　ＤＤ１］，及Ａ　Ｄｏ因此无法用文献 【４］一【８］判别．但是，由于Ｂ∈ＤＤ０，　
成立，满足定理３的条件，所以Ａ为非奇　阵．　由此例可知，对有些问题利用本文定理来判别一个矩阵　是否为　矩阵比利用　
广义对角占优进行判 定更方便、更快捷．　
参　考　文　献　
【１】高益明矩阵广义对角占优和非奇异的判定．东北 师大学报（自科版）．　１９８２；（３）．　
【２１高益明矩阵广义对角占优和非奇异的判定（ＩＩ） ，工程数学学报　１９８８；（３）．　
【３１游兆永非奇异　矩阵．华中工学院研究生讲义　１９８１ ．１０．　
【４】Ｂｉｓｈａｎ　Ｌｉ　ａｎｄ　Ｍ．Ｊ．Ｔｓａｔｓｏｍｅｒｏｓ．Ｄｏｕｂｌｙ　ｄ ｉａｇｏｎａｌｌｙ　ｄｏｍｉｎａｎｔ　ｍａｔｒｉｃｅｓ．Ｌｉｎｅａｒ　ａｌｇｅｂｒａ　ａｎｄ　
ｉｔｓ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ．１９９７；２６１；２２１—２３５．　
【５】孙玉祥．非奇异 　一矩阵等价表征．新疆大学学报（自然科学版）　１９９６；ｌａ（１）　
【６】逢明贤．矩阵对角占 优性的推广及应用．应用数学学报．　１９８９；１２（１）；３５－４３　
【７】高福顺、孙玉祥．　 一矩阵的判定．应用数学学报．　１９９８；２１（４）：５３５－５３８．　
【８】孙玉祥．弱严格对 角占优矩阵及应用．新疆大学学报（自然科学版）．　１９８１；８（１）；２６－２９　
【９】郭希娟 等．广义对角占优矩阵和　矩阵的判定准则，工程数学学报　１９９８；１５（４）；５９－６３　
Ｄｏ ｕｂｌｅ　Ｄｉａｇｏｎａｌｌｙ　Ｄｏｍｉｎａｎｔ　Ａｎｄ　Ｔｈｅ　Ｄｅｔｅｒｍｉｎｉｎｇ　
Ｃ ｒｉｔｅｒｉｏｎｓ　ｆｏｒ　Ｎｏｎ－－Ｓｉｎｇｕｌａｒ　Ｍ——Ｍａｔｒｉｃｅｓ　
ＧＵＯＢＩＮ 　ＡＮ　
ｉＤｅｐａｒｔｒｎｅｎｔ　ｏｊ　Ｂａｓｉｓ．Ｎｏｒｉｈ　Ｃｈｉｎａ　Ｃｏｏ２　Ｍｅｄ ｉｃａｌ　Ｃｏｌｌｅｇｅ．Ｔａｒ￣ｊｓｈａｎ　０６３０００｝　
ＸＩＪＵＡＮ　ＧＵ０　
（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ。，Ｃｏｍｐｕｔｅｒ，Ｙａｒ￣ｈａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｑｉｎｈｕａｒ￣ｊ ｄａｏ，０６６００４）　
Ａｂｓｔｒａｃｔ　
Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｓｏｍｅ　ｎｅ ｗ　ｊｕｄｇｉｎｇ　ｃｒｉｔｅｒｉｏｎｓ　ｆｏｒ　Ｍ－ｍａｔｒｉｃ￣ｈａｖｅ　ｂｅｅｎ　ｐｒｅｓｅｎ ｔｅｄ　ｂｙ　ｌ１ｓ　ｌｇ　ｔｈｅ　
ｄｏｕｂｌｅ　ｄｉａｇｏｎａｌｌｙ　ｄｏｍｉｎａｎｔ　ｍ ａｔｒｉｘ　Ｂ＝Ａ＋Ａ　ａｎｄ　ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　ｔｈｅ　ｃｏｎｃｌｕｄｅｄ　ｒｅｓｕｌｔ￣ｉ ｎ［１】．ｆ８】Ａｓ　
ｔｈｅ　ｅｘａｍｐｌｅｓ　ｈａｖｅ　ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｄ，ｔｈｅ　ｊ ｕｄｇｉｎｇ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｃａⅡｂｅ　ｅａｓｉｌｙ　ｏｂｔａｉｎｅｄ　ｂｙ　ｕｓ．ｍｇ　ｔｈｅ　 ｔｈｅ０ｒｅｍ　ｐｒｅ－　
ｓｅｎｔｅｄ　ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎ ｇ　ｔｏ　ｏｔｈｅｒｓ　ｃｏｎｃｌｕｄｅｄ　ｊｕｄｇｉｎｇ　ｒｅｓｕｌｔｓ，ｔｈｅ　ｄｅｔｅｒｍｉｎ ａｔｅ　ｃｒｉｔｅｒｉｏｎｓ　
ａｒｅ　ｏｆ　ｍ０ｒｅ　ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ　ｃｈａｒａｃｔｅ ｒｉｓｔｉｃｓ　ａｎｄ　ｍｏｒｅ　ｗ￣．ｄｅｌｙ　ａｐｐｌｉｃａｔｌｏｎ　ａｒｅａｓ．　
ｋｅ ｙ　ｗｏｒｄｓ　Ｎｏｎ－ｓｉｎｇｕｌａｒ　Ｍ－ｍａｔｒｉｘ，Ｄｉａｇｏｎａｌｌｙ　Ｄｏｍｉｎａｎｔ， Ｄｏｕｂｌｅ　Ｄｉａｇｏｎａｌｌｙ　Ｄｏｍｉｎａｎｔ