吴江市高级中学-组织委员工作总结

均匀带电圆环的电场
E

无限大带点平面的电场
xQ
4

0

x

R
22

32

E

2

0
电偶极子在均匀电场中所受 的力矩
非闭合曲面的电通量
通过闭合面的电通量
电力线的性质



L

p

E
S

E


d

E

S

SEdS



E


E

dS

3.3 高斯定理的表述和证明
1.表述：
在真空中的静电场内，通过一个任意闭合曲面
的电通量

e
等于该闭合面所包 围的所有电荷量的代
数和
q
i

除以

0
，与闭合面外的电荷无关

。



e
=

E

dS

S

q
i
i
内

0
闭合面S 习惯上
称为高斯面
2.高斯定理的证明 库仑定律 + 叠加原理
思路：
点电荷的场
一般电荷分布的场
（下面补充：对同一点所成锥面相同的各面元对该点所
张立体角相同）

立体角
（见P82附录A.2）
平面角

的大小用“弧度”来量度
r
2

s
1
s
1
s
2


弧度 因为

r
1
r
1
r
2

O
r
1


s
2
s
1
圆周长为2
 r
, 所以圆周角为2弧度。
三维情况--立体角
d
球面上的面元< br>ds”
的边缘各点与球心
q
的连线形成一个锥面，面元
ds”
对球
心
q
张开的锥角称立体角
d
，用“球
面度”来量度


r
ds

q
ds

球面度
dΩ

2
r

以
q
为球心做半径为
R
的球面，
ds”
对球心
q
做所张开的锥面在
新的球面上截出面元
ds’
,
则
ds’
对球心
q
所张开的锥角与
ds”
对
球心
q
所张开的锥角相同。

n
n’
ds

ds

R

ds

ds

即：
dΩ

2

2
rR
r
ds

q
求立体角
d
的大小时，可任取半径
r
球。
若面元
ds
不在球面上, 但
ds
对点
q
张开的锥面与
ds
 对
q

张开的锥面相同，则面元
ds
对
q
张开的立体角亦为
d
。




面元
ds
的法向为 , 面元
ds’
的法向为

,

与
n



的夹

n
n
n

角为

,

则
ds
在垂直

n

方向上投影为
ds
, 即
ds
 =
ds
cos


1) 通过包围点电荷q 的同心球面的电通量都等于q
0

在该场中任取一包围点电荷的闭合球面(如图示)
穿过
S
的电通量 = 穿过
S
的电力线条数



Φ
e

S
E

dS


EdS
E

dS

q
4

0
r

4< br>
r
2
2
Φ
e

q

0< br>S

E
q

E
dS
这一结论是库仑平方反比 关系的必然结果
Nq

0
电量为
q
的点电荷产生的电力线总条数为：
2
以
q
为球心、半径为
r
的整个
4

r

4

4球面度
2
球面对球心张开的立体角为：
r
任意闭合曲面对曲面内任一点所张
开的总立体角均为4球面度:
q
S

整个球面对球心张开的立体角为4

点电荷的场是球对称场，其电通量均匀
分布在4

的立体角内，
对点电荷张开 则
Nq

0
E
的微元立体角
d
内的电通量：
dΦ
e

q
4

dΩ
0
2) 通过包围点电荷
q
的任意闭合曲面的
电通量都等于
q


0

由前面关于立体角的介绍可知，图中
球面
S
与任意闭合曲面

S
’对点电荷
S
q
所
张开的立体角均为4

, 所以通过’的
电通量与通过

S

的电通量相等，均为:
e
=
q


0

q
S
E
q
S
S

3) 通过不包围点电荷的任意闭合曲面
S
的
电通量恒等于0
q
ds
点电荷产生的电力线是辐向直线，
在空间连续不断，
如图, 从面元
ds
进入闭合

面的电力线必从另一面元
ds
穿出。
又：
ds’
对球心
q
所张开的锥角与
ds
对球心
q
所张开的锥角相同 。
S
ds

< br>dΦ
e,ds

dΦ
e,ds


Φe,s

0
4) 多个点电荷的电通量等于它们单独存在时电通量的
代数和




Φ
e

< br>s
E

ds


(E
1

E
2



E
n
)

ds
s







E
1

ds

E
2

ds


< br>E
n

ds
Φ
e1
Φ
e1
 Φ
en

s

s

s

闭 合面上的电通量：


q
i
内
Φ
e
< br>
s
E

ds
Φ
e1
Φ
e1< br>Φ
en



i

q
ii
内

0

0
讨论
E
均 1.闭合面内、外电荷对闭合面上一点的
有贡献,但通过整个闭合面的电通量

s


E

ds
只与闭合面内电荷代数和的贡献有关。
2.静电场性质的基本方程
有源场
3.源于库仑定律 高于库仑定律
3.4 从高斯定理看电力线的性质
看书自学

3.5. 高斯定理在解场方面的应用
i

E


dS



q
i
S

0

Q
分布具有某种对称性的情况，高斯定理求
步骤
1. 对称分析
2. 选取适当高斯面
3. 计算电通量
4. 让它等于面内自由电荷的
1

0
E

较方便
9

常见的电量分布的对称性：
球对称 轴对称 面对称
均匀带电的 无限长
柱体
柱面
带电线
无限大
球体
球面
(点电荷)
平板
平面
选取高斯面的原则：
1）选规则闭合曲面;
2）该闭合曲面上电场的特点：



一部分面上：
E
为常量, 且
E
与
dS
有固定夹角





剩下的面上：
E

0
或
E

dS
则
EdS0

例1. 求总电量为Q、半径为R的均匀带电球面的电场强
度分布
解: 根据电荷分布的对称性，
取过场点的以球心O为心的球面
计算高斯面的电通量
+ +
+
+

Q
+
+
+
+



dS
+ +
+ +
+
+

+ +
高斯面


E
dS

EdS

EdS



S
S
S
E4

r
根据高斯定理解方程
E4< br>
r

q
i

0
2
i
2
E


q
i
i
2
4

0
r
11

q
i
E


i
4

2
0
r
高斯面内电量代数和
rR

q
i
0
r

R

i
q
i

Q
i
rRE0
r

RE
Q
4

2
0
r
+
+ +
+
+

Q
+
+
+


dS

+
+
+
+
+

+
+
+
E
r
2
0
R
r
12


思考：
 面内场强为何为0 ? 面上的场强是多少？
能用高斯定理吗？
如何理解面内场强为0 ?
dE

1

d E
2
dq
P
1
dq
2

例2. 求线密度为的无限长均匀带电直线的电场
对称性的分析
取合适的高斯面
r
Eds
P
计算电通量

dE


E

dS



S
侧面
E ds

底面
E2

rl0
利用高斯定理解出E

l
E

E2

rl

ds< br>l
r
ds


E

0

2

0
r
14

例3. 求面电荷密度为的无限大均匀带电平面的电场分布
分析：无限大带电面两侧电场分布对称
作高斯面如图示:
S
1




E

E

dS
S


E

dS


E

dS


E

dS
s
1

S

S

S
σ
S



0


EdS


EdS

S

S


e

S
E2S


0

e
E
2

0
15

S
1


S
x

x
S
’

匀强电场，方向垂直板面

例4 均匀带电球壳
总电量为
内外半径R
1、
R
2

求：电场强度分布
Q
Q
P

r
解:
电荷分布球对称，
故场强分布球对称，方向沿径向
取过场点的以球心O为心的球面
先从高斯定理等式的左方入手，
计算高斯面的电通量
S
< br>E

dS



E

dS

S

E

dS

EdS
S
E 4

r
2
S

 根据高斯定理 解方程


2

E

dS
E4

rS
E4

r

2

q
i
i< br>内

0

0
E


q
i< br>i
2
4

0
r
 过场点的高斯面内电量代数和
r

R
1

q
i
i
rR
1
E
1
0
R
1

r

R2
3
3
4
Q

(r

R
1< br>)
3
q
i


33
4

( R
2

R
1
)
i
3
Q(r
R)
E
2

233
4

0
r(R< br>2

R
1
)
33
1
R
2
 r
E
3

Q
4

0
r
2
在均匀带电球壳外的电场, 与
全部电荷集中在球心处的点
电荷在该处产生的电场相同。

E
1

0
讨论：
Q(r

R
1
)
E
2

33
2
4
< br>0
r(R
2

R
1
)
3
3
E
3

Q
R
1
R
2
Q
4
0
r
2
2)R
1
R
2
1)R
1

0
均匀带电球体
Qr

r
E
内

3
3

0
4

0
R
2
Q
E
外

2
4

0r
均匀带电球面
E
均匀带电球体
E
内
0
E
外

Q
4

0
r
2
E
R
均匀带电球面
r
请自己画出均匀带电球壳的E-r图
R
r

 高斯定理求电荷分布
例5. 金属导体静电平衡时,体内场强处处为0，
求证：体内处处不带电
证明：在导体内任取体积元
dV



S
EdS0
由高斯定理

q
i
内

i

V

内< br>dV0
体积元任取

内
0
20

例6 均匀带电球体空腔部分的电场。球半径为
R
，
在球内挖去一个半径为r（r < R）的球体。
试证：空腔部分的电场为匀强电场，并求出该电场。
证明： 用补缺法证明。
在空腔内任取一点 p,设该点场强为
E

r 且体电荷密度与大球相同的
p

点场强变为
E

1
E




3

op
0
小球单独存在时，p点的场强为
E

2

3

cp
0
r
E

c
1

o
p
E

2
R
21
设想用一个半径为
小球将空腔补 上后，

E

E

1

2

E
E


E

E

1

2


3

op

cp
< br>



0

3


oc

0
因为oc为常矢量，所以空腔内为
匀强电场。
r
E

c
1

o
p
E

2
R
22

小结
库仑定律：

q
1
q
2
ˆ
f

r
2
4

0
r

电力叠加原理：
f
电场强度：
E


q
0


f


f
i

q
0
为静止电 荷

q
i


2
r
场强叠加原理：
E


E
i


i
4
 
0
r
i

dq

E


r
q
4

r
2
0

1
23

6、电通量：

e


E

ds
s

7、高斯定理：
E

ds


s

1

0

q
E
内
8、典型静电场：
均匀带电球面
E0

球面内

均匀带电无限
长直线

E

2

0
r

E
2

0
q


2
r

球面外

4

0
r
1
方向垂直于带电直线
方向垂直于带电平面
24
均匀带电无限
大平面

作 业
教科书
3.
习题
5. 7. 11.
P49

请回答：
关于高斯定理得出的下述结论正确的是（ ）
（A）闭合曲面内的电荷代数和为零，则闭合面上任
一点的电场强度必为零；
（B）闭合面上各点的电场强度为零，则闭合曲面内
的一定没有电荷；
（C）闭合面上各点的电场强度仅由曲面内的电荷决
定；
（D）通过闭合面的电通量仅由曲面内的电荷决定。