功和能_第5讲_均匀球体的引力
河南工业大学研究生-卓越联盟自主招生
§4.5 均匀球体的引力**
一. 均匀球壳的引力
m
球壳质量面密
度：
σ
=
2
4πR
m
0
x
r
m<
br>Rsin
θ
由对称性，选圆环面：
dS
环面
=2πRsin<
br>θ
⋅Rd
θ
θ
O
R
d
θ
圆环面与m
0
的引力势能：
d
E
p
=−
G
(
σ
⋅
d
S
环面
)
m
0
x
sin
θ
d
θ
d
E
p
=−
Gm
m
0
2x
x=r+R−
2
rR
cos
θ
2
22
m
0
x
r
m
Rsin
θ
2xdx=2
rRsin
θ
d
θ
dx
dE
p
=−
G
mm
0
2rR
θ
O
R
d
θ
质点m
0
在球壳外：
E
p
=
∫
dE
p
r
−
R
r
+
R
Gmm
0
=−
r
G
mm
0
=−
R
质点m
0
在球壳内：
E
p
=
∫
dE
p
R
−
r
R
+
r
球壳与质点的引力势能
Gmm
0
−
(r
<
R)
R
E
p
(r)=
Gmm
0
−
(r
>
R)
r
球壳与质点的引力
F(r)=<
br>−
E
p
(∞)=0
d
E
p
d
r=
0
(r
0
−>
(rR)
2
r
R
E
p
m
质点m
0
在球壳外时：
等同于相同质量的质点在
球心对m
0
产生的引力。
R
r
Gm
m
0
−
r
O
F
质点m
0
在球壳内时：
球壳对m
0
的引力为零。
根源：引力的平方反比律<
br>O
R
r
Gmm
0
−
2
r
平方反比律的讨论
立体角
dΩ
=
′
ds
dΩ
d
s
′′
d
s
′′′
O
′′′
O
′
O
O
′′
ds
′
OO
′
2
=ds
′′
OO
′′
2
=
r
ds
ds<
br>′′′
OO
′′′
r
e
r
ds
2
θ
dΩ
O
r
ds
⊥
ds
⊥
dΩ
=<
br>2
r
rr
dscos
θ
ds
⋅
e
r
=
=
2
2
r
r
球壳上的面元ds<
br>1
、ds
2
对m
0
张开对顶立体角：
rrrr<
br>ds
1
⋅
e
r
ds
2
⋅
e
r
=
22
r
1
r
2
12
r
ds<
br>1
m
0
r
1
O
O
1
r
e<
br>r
1
dm
1
r
2
O
2
ds
1
ds
2
=
22
r
1
r
2
dm<
br>1
m
0
dm
2
m
0
G=G
22r
1
r
2
r
ds
2
r
e
r<
br>2
dm
2
平方反比⇒相对面元引力抵消⇒m
0
不受力
二. 均匀球体的引力
均匀球体：
ρ
= 常量
，
看成同心球壳叠加
m
r
m
0
等同于相同质量的质点在球心
所产生的引力：
mm
0
F=−G
2
r
也适用于
ρ<
br>随半径分布的球体：
ρ
=
ρ
(r) 。