世界最丑的狗-年会背景音乐

前言：特别感谢质心教育的题库与解析，以及“程稼夫力学、电磁学习题答案详解”的 作者
前辈和血色の寂宁前辈的资料.

非习题部分：
P314 积分中运用了近似，这里给出非近似解答：

3-1磁矩：
对轴

：安培力矩
重力力矩：
平衡条件
得.
3-2先计算圆环上的电流

如图取一小段圆 弧，角度为2dθ，分析这一段物体，安培力为
如图中ω的方向，安培力沿径向朝外
设其两端张力大小均为T，它们的合力为，沿径向向里

这一段圆弧的动力学方程，其中
解得
由于不转动时既没有安培力，也没有向心加速 度，也就没有张力，故而转动时的张力也就是
因转动产生的附加张力.
3-3由于锥体顶角很小，粒子的速度沿磁场方向的分量都近似为其速率，设为.
又，有
垂直于磁场方向粒子做圆周运动
得
当运动了

解得
时，电子一定会回到轴上.即若，则聚焦到了屏上.
.

3-4

考虑出射角度为θ为粒子，其运动在垂直于磁场 平面内的投影为一个过原点的圆.设半径为r，
记垂直于磁场的速度分量为，动力学方程：
解得，当时才是题目描述的那种离子.解得
1) 若，则恒成立.比值为.
2)若，则

对应的立体角为
比值为 ——前辈大神云：当年我没事练习积分的时候发现，找一个球面，沿垂直于一固定方向的平
面切两刀 ，则无论如何切，两刀间的面积总是仅与两刀间的距离呈正比。（具体证明请在X
轴上对球面面积取微分 ）于是这样一块面积便可以用两刀间距占直径的比例乘以总面积来求
了。同样，这个发射粒子的范围也可 以看作是两刀切出来的，只不过有一刀切在了边上。这
种东西称为球冠。
3-5由能量关系，解得初速度

（1）此时粒子圆周运动，由弦切角定理，弧度为2α，
又
得
（2）沿 TM方向不受力，速度分量恒为
影是匀速圆周运动.动力学方程：
；垂直于磁场方向的平面上， 粒子的投

解得
欲经过M点，须在时，圆周运动回到了圆周运动的起点，即

解得.
3-6首先考虑将所有粒子收集到原点，然后再偏转到新的范围内.
要使一束平行入射的带电 粒子汇聚于一点，所加磁场应恰好使得边界处粒子完成四分之一圆
周运动抵达原点.由此设计，并考虑方 向，可得答案：

3-7简单画图可以发现，每个圆弧能将粒子的速度偏转一定角度，一共需 要偏转角度为
，要求半经最小，则有粒子进磁场和出磁场点之间连成直径.
粒子在场区内的运动是半径一定的匀速圆周运动，设为.
题中对a的约束意在指明两圆相离
如前面分析的那样，总共要转过
先拐，再拐
，又a与R的具体比值是不清楚的，所以一 定是要
.为了区域半径最小，进出点应为圆区域的对径点.

第一个圆区域，由几何关系；第二个圆区域，由几何关系
解得.
3-8当摆角为θ时，设摆的速度v，由能量守恒：
解得
设拉力为T，动力学方程：
解得
要求这个式子恒为正.
极小值在取到为

.
但是未必能够达到
（1）若
那么大的速度，需要讨论.
，便能达到.
这要求
且需要，解得
因为是的必要条件，所以必有
解得.
（2）若
近二次函数的极值点：

，便不能达到，这时只需考虑最低点，因为那里最接

解得

前面的条件要求，故，解得.即时，在最
低点恰好T=0，而
综上所述
若
时不会出现情况2)
，为情况（1），也就有，所以；
若，为情况（2），
.
3-9（1）粒子x方向运动不受洛伦兹力，为匀变速直线运动：

粒子在平面内做匀速圆周运动：

（2）出发后时，粒子第一次经过x轴
代入解得
（3）
此时
即粒子回到原点.
.
，为整数个周期，即粒子回到x轴

粒子运动中占据的空间为一圆柱，轴线长即x坐标最大值：

半径即粒子匀速圆周运动的半径：
体积为
3-10因为E垂直于
因为洛伦兹 力也垂直于
平面而质子轨迹在
.
平面内，所以质子的动能守恒.
平面，所以粒子匀速运动，且洛伦兹力与电场力平衡：
，解得
撤去电场后，质子运动在垂直于平面内的投影是匀速圆周运动：
解得
而在沿B方向匀速运动，故螺距为
3-11
.

如图，速度方向、电场方向和磁场方向两两垂直，洛伦兹力与电场力平衡
得
取一小段时间，这期间冲到靶上的粒子的电量为.这些粒子的质量为.
由动量定理

其中F是质子束受到的力.作用在靶上的力是它的反作用力
.
3-12（1）在垂直于磁场方向粒子做匀速圆周运动，动力学方程
解得
沿磁场方向粒子做匀加速直线运动，动力学方程
得
在平面内的投影是一个经过原点的圆，圆心在z轴上.故时，
粒子第n次穿过y轴，有
（2）此时
而在垂直于磁场方向速度分量为
得.
3-13（1）（2）动力学方程：
取，记，有
可见是以为角速度的匀速圆周运动的速度.由初始条件，
解得，故有

积分得到
（3）粒子速度为零，即，由此解得，相
邻的，
所以
（4）是匀速圆周运动的速度，平均下来是0，故漂移速度就是.它的x投影
.
3-14

设粒子距离磁极r，轨道半径为R，回旋角速度为ω.粒子受力如图
，其中
动力学方程可由力三角表示，以

为直角边的三角形，斜边为

解得
3-15设圆运动半径为R
，故有.

由第一个方程得
结合第二个方程解得
3-16法一：
.

建立空间直角坐标系如图.电子的动力学方程为
取，记，有

可见是以为角速度的匀速圆周运动的速度.由初始条件
知圆运动这部 分的半径，且与y轴相切，由几何关系临界是当
时.解得
法二：
动力学方程的y分量：


由此
，又能量关系临界情况下电子到了正极板处速度沿y方向

解得.
3-17两小问顺序颠倒.
（1）当粒子静止在O点时，可看成沿x正方向和负方向两个相等速度的叠加，此速度应满
足：
产生的洛伦兹力恰与电场力抵消，故沿x轴匀速直线运动. 从而，x轴正方向的速度
当例子到 达顶点时，匀速圆周运动和匀速直线运动的速度方向一致
（2）根据运动的独立性，首先只考虑匀速圆周 运动

.
由速度合成可得.
3-18撤去重力场，以等效的电场代之.

动力学方程：
取，记，有
可见是以为角速度 的匀速圆周运动的速度.由初始条件，
知匀速圆周运动的线速度，得半径.由于
沿水平方向，所 以圆运动在这里达到最高点，为了不碰地，应有
，解得.
3-19第一阶段：竖直方向
得

.由于一开始vxvx肯定是不够大的，故会贴地匀加速运动.水平方向
电场为小球加速，得
至，第一阶段结束.第一阶段的速度最大值为
第二阶段，动力学方程为
取
记，有
可见是以为角速度的匀速圆周运动的速度.由初始条件
，知线速度
速 度最大时圆运动的速度与漂移速度同向，第二阶段的速度最大值为

综上，整个过程最大速度.
，于是两壁压差为3-20方法一：记这一段导管长为l，它受到安培力为

方法二：记这一段导管长为l，截面宽w.电流强度微观上表示为
子数密度.总洛伦兹力
，n是载流
得到 .
3-21在稳定的状态，上下极板之间会有电势差，从而构成回 路，有稳定的电流形成.由于把
电离气体视为理想导体，所以只要其在z方向受到微小合外力即可产生沿 着z方向任意大小
电流的电流，因此可以认为这些电离的气体受到的洛仑兹力和电场力平衡，从而求出极 板之
间的电场和电势差.
稳定时洛伦兹力与电场力平衡
得

相当于两板之间是一个电源，其电动势为，而内阻，来自于两个
板.上极板是正极.由欧姆定律
得，方向为P→Q.
3-22法一：
竖直方向只有重力作用，是上抛运动
水平方向，得，有
所以

由二次函数性质，在时有最小值

得到
法二：
合外力，与初速度方向夹角
.
，小球相当于在
恒作用下斜抛，最小速率为相应的“水平”速度：

3-23

设横向电场E2，纵向电场E1.由横向电场力与洛伦兹力平衡：
于是有.
3-24（1）由动力学方程：
得到，又回旋加速器中粒子作圆周运动的周期即为电场的周期

解得
（2）.
3-25（1）定性判断知电子顺时针回旋.
朝上发射的电子轨迹是以S为左端的圆，这个方 向最容易发出去.达到时这种电子
逸出了.解得
（2）
.

能够 射出的电子，其轨迹圆心都在S的右半边.由于电子顺时针回旋，电子总是轨迹圆与MN
从较为靠上的交 点射出.
对于圆心在右下时，射出点在相切时最靠下.由几何关系
对于圆心在右上时，射出点 与S对径时最靠上.由几何关系
所以

（3）轨迹圆心在S右边的电子初速度方向是向上和斜向上的所有方向.故占
3-26数据不足无法 得到答案，这里提供解法：
（1）初速度设为，由，解得
.
因为孔径角很小，近 似为圆周运动，解得：
（2）粒子同时在轴线附近做圆周运动，这一圆运动的周期取决于B1
解得.为了有四个聚焦点，应有

解得.
3-27做这题的前提是知道磁镜及磁矩守恒
利用在磁场缓变的状态下，粒子垂直于磁场方向 的速度满足：为常数.
因此有在边缘处和在中心处，垂直于磁场方向速度之比为，刚刚能飞出去的粒子在 边缘处平
行于磁场方向速度为零.
设能逃出的粒子在两端的垂直磁场速度分量为，而它出发时 速度方向与轴向夹角为.
由磁矩守恒，有，解得
由于洛仑兹力不做功，故.于是得到，比例为（注意有左右两边要乘2）：
.
3-28题设A的量纲明显不对，强行忽略就好了.
动力学方程
取，记，有

可见是以为角速度的匀速圆周运动的速度.
因为z方向 无外力，故粒子会留在平面内，因为，所以圆周运动那部
分也留在平面内，由初条件知圆与y轴相切.每 经过一个
周期就会经过y轴一次.

3-29沿z方向的动力学方程
次积分得：
，由，依

两个方向的动力学方程为
令，由上两式可得，由解得

由，积分得：

分离实部虚部得：

电子在z方向的运动，由一个沿z方向的匀速直线运动和另一个同样沿z方向的谐振动叠加；
电子运动在平面内的投影是一条旋轮线.