宜川中学-吉林华侨外国语大学

Chapter 3. Radar Equation
•作用：
（1） 估计最大作用距离
（2）一定作用距离要求的发射功率
（3）雷达各部分参数对作用距离的影响

3.1 基本雷达方程
•发射功率P
t
•天线增益G
t
•在自由空间，与雷达天线距离为R处的功率密度：
S
P
t
G< br>t
1
=
4
π
R
2
watts
假设目 标的RCS: σ，则
m
2
由目标散射的功率
（二次辐射功率）为
R
P
=
σ
⋅
S
P
t
G
t
σ
21
=
4
π
R
2

•在接收天线处收 到的回波信号功率密度：
P
t
G
t
σ
P
2
=
S
2
=
222
4
π
R(4
π
R )
•如果雷达接收天线的有效接收面积为Ae，则接收回波信号功率为：
P
t
G
t
σ
A
e
P
r
=
A
e
S
2
=
22
(4
π
R)

•天线增益 和有效面积之间的关系为
G
λ
A
e
=
4
π
•接收回波信号功率为：
2
2
A
e
=
ρ
A < br>0≤
ρ
≤1
P
t
G
t
G
r
λσ
P
t
A
t
A
r
σ
P
r
==
3424
(4
π
)R4
πλ
R
•对单基地雷 达，收发共用天线，G
t
=G
r
=G, A
t
=A
r
P
t
G
λσ
P
t
A
e
σ
=
P
r
=
3424
(4
π
)R4
πλ< br>R
22
2
(
P
r
)
dBW
=
(
P
t
)
dBW
+2
(
G
)
d B
+20lg
λ
+
(
σ
)
dbm
2
−32.98−40lgR

Example: Pt=1kW, λ=3cm, G=100, RCS=2m
2
,
(
P
r
)
dB W
=
30
+
2
×
20
+
10.45
+
3
−
32.98
−
40lgR
≈50−40lgR

•天线端接收信号的功率P
r
:
P
t
G
t
G
r
λ
F
t
F
r
σ
P
r
=
34
(4
π
)R
•F
t
:
目标位置处的场强E与自由空间中天线波束最大增益方向上距
雷达相同距离处的 场强E
0
之比。F
r
类似。说明目标不在波束最大
值方向上的情况， 以及自由空间中不存在的各种传播衰减（吸收、
绕射、某些折射效应、多径干涉）
在自由空间中 ，在波束最大值方向, F
t
= F
r
=1
222

the minimum detectable signal power
P
t
=
S
mi n
P
t
σ
A
=
2
2
t
4
P
t
G
λσ
=
34
22
R
max
4
πλ
R
max
(4
π
)R
max
22< br>1
1
=


P
σ

4
t< br>G
λ
2

(
3

=

4< br>4
π
)
S

P
t
σ
A
r< br>
min


4
πλ
2
S

min


•雷达方程虽然给出了作用距离和各参数间的定量关系,但因未考虑 设备的
实际损耗和环境因素, 而且方程中还有两个不可能准确预定的量: 目标有
效反射面积σ和最小可检测信号, 因此它常用来作为一个估算的公式,考
察雷达各参数 对作用距离影响的程度。
•在实际情况中，雷达接收的回波信号总会受接收机内部噪声和外部干扰的影响，这会引入起伏电压。由第二章知接收机输入端噪声功率，输出端噪
声的功率为
Ni
=kT
e
B
N
o
=N
i
F=kT< br>e
B⋅F
(
SNR
)
i
S
i
Ni
F==
(
SNR
)
o
S
o
N
o

输入端信号功率
S
i
=kT
e
BF(
SNR
)
o
最小可检测信号功率可表示为
S
min< br>=kT
e
BF
(
SNR
)
o
min
R
max

P
t
G
λσ
=

3

(
4
π
)
kT
e
BF
(SNR
)
omin

22
1
4
(
SN R
)
o
(
SNR
)
o
P
t
Gλσ
=
3
4
(
4
π
)
kT
e
BFR
P
t
G
λσ
=
3
4
(4
π
)
kT
e
BFLR
22
22

•信噪比：
S
N
=
P
r
P
n
• 接收系统的噪声功率：
P
n
=kT
e
B
n
P
t
G
λσ
S
=
34
N(4
π
)kTe
B
n
R
22
R
max

P
t
G
λσ
=

3

(4
π
) kT
e
B
n
(SN)
min

22
14< /p>

Example: C-band radar
P
t
=1.5 MW
τ
=0.2
µ
sec
f
0
=5.6GHzG=45dB
T
e
=290K
2
(
SNR
)< br>min
=20dB
1
σ
=0.1m
Compute the maximum range.
Solution: Bandwidth
1
B=== 5MHz
−6
τ
0.2×10
8
c3×10
λ
== =0.054m
9
f
0
5.6×10

(
R< br>)
4
dB
=P
t
+G+
λ
+
σ−
(
4
π
)
−kT
e
B−F−
(SNR
)
omin
22
3
22
3
()
dB
P
t

λ
G kT
e
B
(
4
π
)
F
(
SNR
)
omin

σ
61.761 −25.421 90dB−136.988 32.976 3dB 20dB −10
R=61.761+90−25.352−10−32.976+136.988−3−20 =197.421dB
R=10
4
4
4
197.42 1
10
=55.210×10m
18
184
R=55.210×10 =86.199438Km

3.2目标的雷达截面积(RCS)
•雷达是通过目 标的二次散射功率来发现目标的。为了描述目标的后向散
射特性,在雷达方程的推导过程中,定义了“点 ”目标的雷达截面积σ。雷
达截面积σ可表示为：
•由于二次散射, 则在雷达接收点处单位立 体角内的散射功率P
△
为
P
2
σ
=
S
1< br>P
2
为目标散射的总功率,
S
1
为照射的功率密度
P
2
σ
P
∆
==S
1
4
π
4
π

•由于二次散射, 则在雷达接收点处单位立体角内的散射功率P
△
为
P
∆
•
P
2
σ
==S
1
4< br>π
4
π
σ
=4
π
⋅P
∆
S
1
因此, σ又可定义为: 在远场条件(平面波照射)下,目标处每单位入射功率密度在
接收 机处每单位立体角内产生的反射功率乘以4π。为进一步了解σ的意义,考
虑一个具有良好导电性能的各 向同性的球体截面积。设目标处入射功率密度为
S
1
,球目标的几何投影面积为A1
, 则目标所截获的功率为S
1
A
1
。将截获的功率全部均匀地辐射到4π立体角内,
σ
i
P
△
R
S
1

S
1
A
1
(
4
π
)

σ
i
=
4
π


=
A
1
S
1

截面积等于该球体的几何投影面积

•在早 期雷达中, 通常都用各类显示器来观察和检测目标信号, 所以称所需的（SN）
0min
为 识别系数或可见度因子M。多数现代雷达则采用建立在统计检测理论基础
上的统计判决方法来实现信号检 测,在这种情况下,检测目标信号所需的最小输出
信噪比称之为检测因子(Detectability Factor)Do较合适, 即
•
•Do是在接收机匹配滤波器输出端(检波器输入端)测量的信号噪声功率比值, 如图< br>3.3所示。检测因子Do就是满足所需检测性能(即检测概率为P
d
和虚警概率为P< br>fa
)
时,在检波器输入端单个脉冲所需要达到的最小信号噪声功率比值。
D< br>0

E
r
=


N

0< br>
S


=



N

0min

0min

R
4
max
P
t
G
λσ
P
t
σ
A
=
=

S


S

33
(4
π
)< br>kT
0
B
n
F
n

(4
π
)
kT
0
B
n
F
n


N< br>
0 min

N

0 min
22
2r
•用信号能量代替脉冲功率,用检测因子替换雷达距离方程时,
E
t
=P
t
τ
=
∫
τ
0
P
t
dt
S

D
0
=


N
< br>0 min
2
R
•
4
max
E
t
G
t
A
r
σ
P
t
τ
G
t
G
r
λσ
==
23
(4
π
)kT
0
F
n
D
0
C
B
L(4
π
)kT
0
F
n
D
0
C
B
L
上式中增加了带宽校正因 子
C
B
≥1, 它表示接收机带宽失配所带来的信噪
比损失, 匹配时
C
B
=1。L表示雷达各部分损耗引入的损失系数。

•用检测因子
D
o和能量表示的雷达方程在使用时有以下优点:
•①当雷达在检测目标之前有多个脉冲可以积累时, 由于积累可改善信噪比, 故此
时检波器 输入端的Do(n)值将下降。因此可表明雷达作用距离和脉冲积累数n之
间的简明关系, 可计算和绘 制出标准曲线供查用。
•②用能量表示的雷达方程适用于当雷达使用各种复杂脉压信号的情况。只要知< br>道脉冲功率及发射脉宽就可以用来估算作用距离而不必考虑具体的波形参数。

Ra dar Cross Section (RCS)
P
2
=
σ
⋅S< br>1
P
2
2
σ
=
(m)
S
1

与
λ
关
系
目标
相对入射波的
视线
法线
对称轴平行于
照射方向
垂直于对 称轴
轴
R C S
λ
-2
面积为A的大平板
4
π< br>A
2
λ
2
三角形角反射器
4
π
a3
λ
42
, a-边长
λ
-1
圆柱
（长L，半径a）
椭球
2aL
λ
π
b
2
a
2
a,b为半长轴 和半短轴
2
λ
0
顶部曲率半径
ρ
0
抛物面
球
轴
πρ
0
2
轴
锥轴
π
r
2(r 半径),
24
2
π
r>>
λ
λ
2
圆
1
16
π
λ
tan
θ

< br>谐振

2. 复杂目标的雷达截面积
•诸如飞机、舰船、地物等复杂目标的雷达截面积, 是视角和工作波长的复杂函
数。尺寸大的复杂反射体常常可以近似分解成许多独立的散射体, 每一个独立
散射体的尺寸仍处于光学区, 各部分没有相互作用, 在这样的条件下总的雷达
截 面积就是各部分截面积的矢量和。
这里
σ
k
是第k个散射体的截面积,dk
是第k个散射体与接收机之间的距离。各独立单
元的反射回波由于其相对相位关系, 可以是相加给出大的雷达截面积, 也可能相
减而得到小的雷达截面积。复杂目标各散射单元的间隔是可以和工作波长相比
的, 因此当观察方向改变时, 在接收机输入端收到的各单元散射信号间的相位也
在变化, 使其矢量和相应改变, 这就形成了起伏的回波信号。
σ
=
∑
k
< br>4
π
d
k

σ
k
exp

j



λ

2

3.2.3 目标起伏模型
•由于雷达需要探测的目标十分复杂而且多种多样, 很难准确地得到各种目标截面
积的概率分布和相关函数。通常是用一个接近而又合理的模型来估计目标起伏
的影响并进行数学上的分 析。最早提出而且目前仍然常用的起伏模型是施威林
(Swerling)模型。它把典型的目标起伏分 为四种类型: 有两种不同的概率密度函
数, 同时又有两种不同的相关情况, 一种是在天线一次扫描期间回波起伏是完全
相关的, 而扫描至扫描间完全不相关, 称为慢起伏目标; 另一种是快起伏目标,
它们的回波起伏, 在脉冲与脉冲之间是完全不相关的。四种起伏模型区分如下:

•
•
第一类称施威林(Swerling)Ⅰ型: 慢起伏, 瑞利分布。
接收到的目标回波在任意一次扫描期间都是恒定的(完全相关), 但是从一次扫描到下一次
扫描是独立的(不相关的)。假设不计天线波束形状对回波振幅的影响, 截面 积σ的概率密
度函数服从指数函数分布。
−
σ
p(
σ
)=< br>1
•
而回波振幅A的分布则为瑞利分布。由于A
2
=σ,即得到
σ
e
σ
•
第二类称施威林(Swerling)Ⅱ型: 快起伏, 瑞利分布。目标截面积的概率分布与式(3-33)
同, 但为快起伏, 假定脉冲与脉冲间的起伏是统 计独立的。
2

AA

P(A)
=
2
ex p

2

A
0

2A
0

(2A=
σ
)
2
0

•第三类称施威林Ⅲ型: 慢起伏, 截面积的概率密度函数为
(3-35)
•

2
σ

p(
σ
)=
2
exp

−

亦 表示截面积起伏的平均值。回波振幅A满足以下概率密度函数
σσ

(A
2
=σ):
(3-36)
4
σ
•I、II类适用于复杂目标是由大量近 似单元散射组成的。III、Ⅳ适用于复杂目
标具有一个较大反射体和许多小反射体合成。
< br>3A

9A
P(A)
=
4
exp

−
2

2A
0

2A
0

32< br>4A
σ
=
3
2
0

3. 3 系统损耗
传输的损耗发生在雷达发射机和天线输入端之间波导引起的损失, 它们包括
单 位长度波导的损耗、每一波导拐弯处的损耗、旋转关节的损耗等。接收的
损耗发生在天线输出端和接收机 的前端之间。

设
m
B
为半功率波束宽度
θ
B
内收到的脉冲数;
m
为积累脉冲数,则波束形状损失(相对于
积累
m
个最大增益时的脉冲)为
波束形状损失=
m
2
1 +2
∑
exp−5.55K
2
m
B
()
例如: 积累11个脉冲, 它们均匀地排列在3dB波束宽度以内,则其损失为1.96dB。

(叠加损失)

恒虚警概率(CFAR)损耗
自适 应门限CFAR，非确定参数CFAR，和非线性接收机技术。
自适应门限CFAR假定干扰分布已知， 并且估计出与分布有关的未知参数。
非确定参数CFAR会适应未知干扰分布。
非线性接收机技 术则通过标准化干扰幅度的均方根来保持恒定的虚警概率。

量化损耗
距离门跨越
雷达接收机是由一串邻近的距离门实现的。每个距离门的作用如同一个与发射脉冲宽度相匹配的累加器。 因为雷
达接收机作用对接收到的目标产生回波如同一个平滑滤波器。平滑后的目标返回包络通常跨越多于 一个距离门。

如果一个点目标正好位于一个距离门
中间，那么初期和末期样本是 相等的。
然而当目标开始向下一个门移动，末
期样本逐渐变大同时初期样本不断减
小。 任何情况下，三种样本的幅值大
体上是一样的。平滑后的目标回波包
络很像高斯分布形状。在实 际中，三
角波包络实现起来更加简单和快速。

多 普勒滤波跨越

3.4 干扰机雷达方程
RadarEquationwithJamming
Self- Screening Jammers(SSJ): 自保护干扰机
The power received by the radar
from a target of RCS
σ
,at range R:
The power received by the radar from
an SSJ jammerat the same range:
P
t
G
λσ
P
r
=
3
4
(
4
π
)
RL
P
SSJ
P
J
G
J
AB
=
2
4
π
R
B
J
L
J
2
22
P
J
G
J
λ
GB
PJ
, G
J
, B
J
, L
J
: the jammer’s peak power,
=
P
SSJ
2
antenna gain,operating bandwidth, lossses
4
π
R4
π
B
J< br>L
J
The factor
(
BB
J
)
is needed in order to compensate for the fact that the ja-
mmer bandwidth is usually large than the operating bandwidth of radar.
P
t
G< br>σ
B
J
L
J
P
r
S
==
2
P
SSJ
S
SSJ
4
π
P
J
G< br>J
RBL

P
r
=1
P
SSJ
(
R
CO
)
SSJ

P
t
G
σ< br>B
J
L
J

=


PGBL4π


JJ
1
2
RRco

St and-off Jammers(SOJ): 远方支援干扰机
P
SOJ
P
J
G
J
λ
G'B
=
2
4
π
RJ
4
π
B
J
L
J
2
G
’: radar antenna gain in the direction of the jammer and
normally considered to be the side lobe gain.
S
S
SOJ
S
=1
S
SOJ
P
t
GR
σ
B
J
L
J
=
4
4
π
P
J
G
J
G'RBL

P
t
GR
σ
B
J
L
J

=

4
π
'PGGBL


JJ
22
J< br>1
4
22
J
(
R
CO
)
SOJThe detection range:
(
R
CO
)
SOJ
R
D
=
4
(
SS
SOJ
)
min