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3-1 湍流的基本概念与数学描述

一、湍流的结构特征
经长期研究发现：
¾ 湍流是：连续介质中一种多尺度、随机的、非稳态（非定常）
、三
维、有旋流动。
☆ ：湍流的随机性并非是完全不规则的运动，而是有结构的不规则
运动，存在大尺度的拟序结构。

¾ 湍流的基本结构是：尺度大小、旋转方向、旋转强度不同的多维涡
旋 (eddy or vortex)。
¾ 涡旋的生成地点、范围和周期是随机的，在大涡中还包含有大量的
小涡旋。

一 方面，随着流动，涡旋从主流中获得能量，彼此间进行能量和
动量传递，大尺度的涡旋由于变形可以破碎 为小尺度的涡旋，而小
尺度的涡旋由于粘性耗散而消失，使机械能转变为热能。
另一方面，扰动与速度梯度又会导致新涡旋产生，如此周而复始。
¾ 一般来说，湍流中涡旋的尺度远大于分子的平均自由行程，所以每
个涡旋仍可视为连续介质。
譬如，当空气以的
100ms
(
360kmh
)的平均速度流动时，最小涡旋 的
尺度一般不小于
1mm
3
，而
1mm
3
立方体中 约有
10
7
个气体分子，分子的
平均自由行程约为
10
-4
mm
。

二、湍流产生的原因
研究结果已证实：
¾ 扰动是湍流产生的起因。
若没有扰动就不会出现流态的转变，也就不会产生湍流。
微小的扰动在一定条件下会被放大，而引起层流结构的稳定性丧
失，最终导致湍流。
¾ 产生扰动的因素很多。比如：(来流、壁面、流体物性、压力梯度)
1). 来流速度的不均匀性；
2). 壁面的粗糙度和不平整度；
3). 流体中杂质、汽泡等引 起的物性突变(
ρ
,
µ
,
λ
,c
p
等)， 以及换热引
起的物性不均匀性都会产生扰动。
4). 压力梯度。

一般来说，流动的惯性力促使扰动放大，而粘性力对扰动产生阻尼作
用。所以，Re（＝
惯性力
）数越高，扰动被放大的能力越大，流态越易于
粘性力
转变为湍流，或湍流程度越高。
从
Re
cr
数的实验测量结果，可以看出扰动对流态转变的作用。
1883年，ds对一般圆管内的流动测量发现
Re
cr
=2300
。 而如果采用光滑度很高的玻璃管，尽量消除来流的不均匀性、并使用
纯净流体(如蒸馏水)，则可获 得比2300更高的
Re
cr
。
如：1910年，Elkman测出
Re
cr
=4×10
4
。(管内)
20世纪70年代，美国加州 理工学院的研究人员利用激光将管子对得
很直，获得了高达
10
5
以上的Re
cr
。(管内)
对平板绕流，同样也发现，在采取措施尽量消除扰动因素后 ，可获得
比一般
Re
cr
(
=3.5×10
5
∼ 5×10
5
)高得多的
Re
cr
值(
10
6
以上仍为层流)。

三、流态转变特征及影响因素
以平板绕流与管内流动为例，介绍层流向湍流转变的相关特征及影响
因素。
1.平板绕流边界层流动




层流(2D)




z
¾ 流动特征：

2D→3D
y
Blasius分布
u
∞

1
次方分布
7
湍流(3D)
x
i

x
c

x

(1). 层流边界层稳定性的丧失，首先发生于离前缘某一距离的横断面< br>上个别地点，然后向下游方向扩展，经过一段距离后最终发展成
湍流边界层。这段区域称为过渡区 。
(2). 在过渡过程中，流动由层流的二维特性逐渐出现三维特性。
如实验结果：在< br>x=87.9mm
，
y=1.016mm
处置一z向平行的细金
属丝， 在其下游测得的速度分布为：（下图）
(3). 边界层厚度迅速增加。
(4). 速度分布由层流时的Blasius分布转变为平坦的
1
次方分布。
7
(5). 转变开始时的
Re
x
i
与完成时的
R e
x
c
有定量关系。
Re
x
c
-Re
x
i
=(60+4.86M
1.92
23
)Re
x

i
(
0) (3.1.1)
式中，
M=ac
为自由流马赫数，
c=kRT
为声速，
M>6
后为高超声< br>速流动。

z
①②
③
④
0
0.02
0.040.06

u
'2
u
∞
①
x=101.6mm
②
x=177.8mm
③
x=254mm
④
x=330.2mm

¾ 影响流态转变的因素：
影响边界层流动由层流 向湍流转变的因素较多，除来流M数外，
热交换情况，自由流的压力梯度，以及
壁面粗糙度与来 流的湍流强度
(来流扰动程度) 均是主要的影响因素，后二者的影响尤其大。

湍流强度：
11
'212
1
J=
(
v
j
)
=
V
3
V
2
1
'2'2
(
u+v+w
'2
)
(3.1.2)
3
22
V=u+v+w
(3.1.3)
u
'
，
v
'
，
w
'是三个方向的脉动速度，当
u
'2
=v
'2
=w
'2< br>时为各向同性湍
流，否则为各向异性湍流。
5
Re=3.5∼5×10
对一般平板绕流，来流湍流强度
J≈0.01
，这时，
cr
。
当 来流的
J
很低时(
J<0.0008
)，
Re
cr
=
大，则
Re
cr
会低于
3.5×10
5
。



u
∞
x
c
ν
=2.8×1 0
6
。若来流的
J
较

2. 管内流动
(1). 对工程条件下的直圆管(一般的粗糙度、来流
J
)
Re
cr
=
u
⋅
d
ν
=
2300

2 3004
为过渡区，
Re>10
4
为旺盛湍流状态。
(2).管道入口形状的影响
a. 当入口处有圆滑的收缩段时，若
Re>Recr
，流体进入管道后，
先经历层流状态，经过一段距离后向湍流过渡。





a.有圆滑收缩段 b.尖锐入口段
层流
过渡
湍流

b. 若入口为尖锐的突然收缩段
当
Re>Re
cr
时，流体进入管内，即为湍流状态。
(3).
Re
数的影响
当
Re<2000
时，即使扰动很强，仍保持层流状态。
(4). 湍流入口段
管内湍流也存在入口段与充分发展段，入口段下限
x
i

x
i
d
=
L
d
=
0.693Re
14< br>
一般情况下
L=40
∼
100d
，简单地取
Ld=60
。





(3.1.4)

四、湍流物理量的数学描述
由于湍流的随机 性和非稳态性，当测量流场中任一点的速度时
(
如用热
线风速仪
)
， 会发现其速度总是瞬时变化的，而不存在绝对的恒定值，但速
度的瞬时变化围绕一个平均值发生高频率脉 动，频率一般达
10
4
s
。





v
i






准稳态湍流
v
i

v
i

v
i
'

τ
稳态层流
τ

v
i







如果湍流的瞬时速度平均值不随时间变化，类似于层流的稳态流动，
称为准稳态湍流 流动，习惯上，称为稳态流动或定常流动。

若瞬时速度的平均值也随时间变化，类似于层流的 非稳态流动则称为
非稳态流动或非定常流动。

除速度外，湍流中的压力、温度等物理量也是围绕某一平均值发生高
频率脉动。

非稳态湍流
v
i

v
i
(
τ
)

v
i
(
τ
)

τ

非稳态层流
τ

基于湍流物理量的上述变化特点，可将湍流的瞬时物理量表示为一 个
平均值与一个脉动值之和的形式，如：

v
i
=v
i+v
i
'
p
=
p
+
p
'
(3.1.5)
T=T+T
'
对湍流基本结构的分析已表明，涡旋的尺寸比分子的平 均自由行程大
得多，而且湍流的脉动频率比分子间碰撞频率低得多。所以湍流仍可视为
连续介质 ，前面介绍的描述对流换热的守恒方程对湍流对流仍适用。

但由于瞬时量的脉动频率很高，且 是随机的，对工程应用来说，采用
瞬时量不仅几乎无法求解，而且不感兴趣，对时均值感兴趣。这样，需 要
将原始的以瞬时量形式表示的守恒方程改写成以时均量形式表示的守恒
方程。

五、湍流瞬时量的时均化法则
时均化是将瞬时量在相对于脉动周期 足够长的时间段内
(
∆
τ
)
进行积
分平均。这里
∆
τ
虽比脉动周期长得多，包含了足够多的脉动次数，但相
对于工程应用中的时间间隔小 得多
(
10
数量级
)
。

−2
f
－

瞬时量；

f
－

时均量；

f
'
－

脉动量：

1
f=
∆
τ
1.
线性量的时均化法则

∫
0
∆
τ
f⋅d
τ
(3.1.6)
(1).
脉动量的时均值为零

1
∆
τ
'
1
'
f
=
f
⋅
d
τ
=
∫
0
∆
τ
∆
τ
∫
0
∆
τ
(f
−
f)
⋅
d
τ
=
0
(3.1.7a)
(2).
顺时量和的时均值等于时均值之和

1
∆
τ
f+g=(f+g)⋅d
τ
=f+g
(3.1.7b)
∫
∆
τ
0

(3).
时均量的时均值等于其本身

f=f
(3.1.7c)
(4).
瞬时量与时均量乘积的时均值等于它们的时均值之积

f⋅g=
1
∆
τ
∆
τ
∫
(f⋅g)⋅d< br>τ
=g⋅
1
∆
τ
0
∆
τ
∫
0
fd
τ
=f⋅g

(5).
瞬时量对空间坐标的导数的时均值等于该量时均值的导数

∂f1
∫
∆
τ
∂f
∆
τ
∂
x
=
∆
τ
0
∂
x
d
τ
=
∂
∂
x
[
1
∆
τ
∫
0
fd
τ
]=
∂f
∂
x

同样：

∂
2
f=
∂
2
f
∂
x
2
∂
x
2，
∂
n
f
n
f
∂
x
n
=∂
∂
x
n

(6).
瞬时量对时间导数的时均值等于时均量对时间的导数

∂f1
τ< br>∂f
∆
τ
∂
τ
=
∆
τ
∫
∆
0
∂
τ
d
τ
=
∂1
∂
τ
[
∆
τ
∫
0
fd
τ
]=
∂f
∂< br>τ

(3.1.7d)
(3.1.7e)
(3.1.7f)
(3.1.7g)

(7).
两瞬时量乘积的时均值等于它们时均值的乘积再加上脉动量乘积的
时均值

f⋅g=f⋅g+f
'
⋅g
'
(3.1.7h)
f=f+f
'2

1
f⋅g=
∆
τ
2
2
∫
0
∆
τ
1
f⋅gd
τ
=
∆
τ
∫
0
∆
τ
(f+f
')(g+g
'
)d
τ
=f⋅g+f
'
⋅g
'< br>

2.
非线性量的时均化法则

(1).
时均量与脉动量乘积的时均值为零

f⋅g
'
=0
(3.1.8a)
(2).
瞬时量与脉动量乘积的时均值等于两脉动量乘积的时均值

f⋅g=f⋅g
(3.1.8b)
'''

'
∂f∂f∂f
'
⋅=⋅ +⋅
ggg
(3). (3.1.8c)
∂
x
i
∂
x
i
∂
x< br>i
(4).
Df
D
τ
=
∂f
∂
τ
+v
∂f∂f
∂
x
v
∂f
i
⋅=+
i
⋅

i
∂
τ
∂
x
i
(5).
Df
D
τ
=
∂f
∂
τ
+
v
∂f∂f∂f∂f
''
i
⋅
∂
x
=
τ
+
v
i
⋅
∂
x
+
v
'
Df
i
⋅=D
τ
+
v
'
∂f
i
⋅

i
∂
i
∂
x
i
∂
x
i
(6).
fgh=fgh+fg
'
h
'
+gf
'
h
'
+hf
'
g
'
+f
'
g
'
h< br>'

(7).
fgh
'
=fg< br>'
h
'
+gf
'
h
'
+f
'
g
'
h
'


(3.1.8d)
(3.1.8e)
(3.1.8f)
(3.1.8g)

(8).
'
Df∂f∂f∂f∂f∂f
'
g⋅=g⋅+gv
i
=g⋅+g⋅+gv
i
D
τ
∂
τ
∂x
i
∂
τ
∂
τ
∂x
i
'' '
(3.1.8h)
或
+gv⋅
f
i
'
∂
∂x
+v
'
∂f
'
v
'
∂f
i
g+g
i
''
∂f
∂x
+gv
i
i
∂x
ii
∂x
i
g⋅
Df=g⋅
Df
+g
'
⋅
∂f
'''
+v
∂f
'
∂f∂f
D
τ
D
τ
∂
τ
i
⋅g
'
∂x
+g
'
v
i
⋅+g
'
v
i
'

i
∂x
i
∂x
i