4－4 对流换热微分方程组
动量 微分方程
依据为牛顿第二定律，用于求解速度分布
作用在微元体上所有外力之和等于单位时间内 流
体通过微元体后动量的变化
单位时间内微元体在x轴向的动量增量为：
∂
v
y
⎞
⎛
⎛
∂
v
x
⎞
⎛
∂
v
x
⎞
∂
v
x
⎞
⎛
dx
⎟
dy
⋅
⎜
v
x
+
dx
⎟
+ρ
v
y
dxv
x
−
ρ
⎜
v
y
+
dy
⎟
dx
⋅
⎜
v
x
+
dy
⎟
ρ
v
x
dyv
x
−
ρ
⎜
v
x
+
⎜
⎟
⎟
⎜
x
x
y
y
∂
∂∂
∂
⎝⎠
⎝⎠
⎠
⎠
⎝⎝
略去高次项，并利用（4－4）式简化后得：
∂
v
x
⎞⎛∂
v
x
−
ρ
⎜
⎜
v
x
∂x
+
v
y
∂
y
⎟
⎟
dxdy
⎝⎠
（a）

4－4 对流换热微分方程组
∂
P
Σ< br>F
合
=
F
x
−+F
粘
∂x
F
x
—体积力，强制对流换热可忽略，自然对流
换热为浮升力；
∂P
=0∂x
则F
合
等于作用在微元体上、下两侧面X轴向的粘
性力，即：
⎡
∂
v
x
∂
⎛
∂
v
x
∂
v
x
+
⎜
dx
−
η
⎢
Σ
F合
=
η
⎜
∂y∂yy
∂
∂
y
⎝
⎣
⎞
⎤
⎟
⎟
dy
⎥
dx
（b）
⎠
⎦
⎡
∂
v
x
∂
⎛
∂
v
x
⎞
⎤
⎛
∂
v
x
∂
v
x
⎞
∂
v
x
dx
−
η
⎢
−
ρ
⎜
v
x
+
v
y
+
⎜⎟
dxdy
=
η
⎟
dy
⎥
dx
∂
y
⎠
∂y
⎝
∂
x
⎣
∂
y
∂
y
⎝∂
y
⎠
⎦

4－4 对流换热微分方程组
简化后 得X轴向的动量微分方程式：
∂v
x
∂v
x
∂v
x
=
υ
v
x
+v
y
2
∂y∂x
∂y
2
（4-5）
同理也可推导出y轴向的动量微分方程式。但由
于边界层很薄，y轴向的 动量微分方程式中的每一项
较x轴向的对应项要小很多，故可忽略。
对于自然对流换热，其动量 微分方程式为：
∂v
x
∂v
x
∂v
x
(
v
x
+v
y
=
υ
+
α
gt−t
vf
2
∂x∂y
∂y
2
)
（4-5）
’
αv
——体膨胀系数

4－4 对流换热微分方程组
能量微分方程式
依据为能量守恒定律，用于求解温度场
稳态时，热边界层中有：
[微元体内质量流引起 的热量增量]＝[微元体通过导
热所失去的热量]
由于热边界很薄，,故可
忽略x轴向 的导热，则有：
⎛
∂
t
∂
t
⎞
∂
t
⎟
+
=
ρ
c
p
⎜
vvdxdy
λ
dxdy
xy
2
⎜
∂
x
⎟
∂
y
⎠
∂
y
⎝
2
λ
∂t∂t∂t
a=
v+v= a
xy
2
c
p
⋅
ρ
∂x∂y∂y
2
∂
t
∂
t
〈〈
∂x∂y
（4-6）

第四章对流换热
4－5 相似原理及对流换热的准数方程式
相似原理简介
Ⅰ. 定 义
相似原理是一种理论分析和实验测定相结合
的方法，是解决关于实验方法的理论。
通 过相似变换的方法，把影响现象的各种因
素组成若干由该现象的微分方程式导出的相似准
数，然 后通过实验的方法确定相似准数间的函数
关系式。
优点是使实验所花的工作量减少，更重要的< br>是所得结果可推广应用于同类的相似过程。

4－5 相似原理及对流换热的准数方程式
Ⅱ. 物理量的相似
物理量相似要求物理量场（速度场、温度
场、导热系数场、密度场、粘度场）相似，即
是要求在几何相似的对应点上的每个物理量有同一个比例系数
物理相似：①几何相似；②物理量相似
′
x
2
′
x
1
==C
l
′′
x
2
′′
x< br>1
′
y
2
′
y
1
=
=
C< br>l
′′
y
2
′′
y
1
C
l
---几何相似倍数
′
v
2
′
v
1
=
C< br>v
=
′′
v
2
′′
v
1
C
v
---速度相似倍数

4－5 相似原理及对流换热的准数方程式
Ⅲ. 物理现象相似的性质
同类现象: 用相同形式并具有相 同内容的微分
方程式所描写的现象。
两个物理现象相似，其有关的物理量场分别
相似， 而各物理量的相似倍数之间存在着由描写
现象的微分方程规定的相互制约关系。
相似物理现象的 重要性质：彼此相似的现
象，它们的同名准则数必相等。

4－5 相似原理及 对流换热的准数方程式
对流换热的准数方程式
Ⅰ.相似准数
对流换热过程的相似包括几 何相似、运动相似、
热相似和边界条件相似等。
设a、b两对流换热现象相似，则由（4-3） 式可
以写出：
a:
∂
t
′
α
′
Δ
t
′
=−
λ
′
|
y
′
=0
∂y
′
∂
t
′′
α
′′
Δ
t
′ ′
=−
λ
′′
|
y
′′
=0
∂
y
′′
t
′
=C
t
t
′′
y
′=C
l
y
′′
(1)
(2)
b:
所对应的物理 量场相似，即有：
α
′
=C
α
α
′′
λ
′
=C
λ
λ
′′
(3)

4－5 相似原理及 对流换热的准数方程式
α
′
=C
α
α
′′
t
′
=C
t
t
′′
y
′
=C
l
y
′′
λ
′
=C
λ
λ
′′
(4)
将 （4）式代入（1）式，得：
C
α
C
l
∂
t
′′< br>α
′′
Δ
t
′′
=−
λ
′′
|y
′′
=0
C
λ
∂y
′′
(5)
比较 （2）式和（5）式，得：
C
α
C
l
=1
C
λ相似倍数间的制约关系
(6)
将（3）式代入（6）式，得:
α
′y
′
α
′′
y
′′
=
λ
′
λ
′′
y
'
l
'
=

=c
l

yl
(7)
习惯上用换热表面的定型尺寸来表示系统的几何量，即：

< br>4－5 相似原理及对流换热的准数方程式
α
′
l
′
α′′
l
′′
=
λ
′
λ
′′
v
′
l
′
v
′′
l
′′
=
υ
′υ
′′
v
′
l
′
v
′′
l
′ ′
=
a
′
a
′′
N
u
=N
u=N
u
′″
努塞尔数
(8)
同理，从（4-4）和（4-5）式 可以获得雷诺数：
R
e
=R
e
=R
e
′″
雷诺数
(9)
从（4-6）式可以获得贝克莱数：
P
e
=P
e
=P
e
′″
贝克莱数
普朗克数
(10)
P
e
=P
r
R
e
P
r
=
υ
a从自然对流换热的动量微分方程式（4-5‘）式可得:
g
′
α
v
′
Δ
t
′
l
′
3
g
′′
αv
″
Δ
t
′′
l
′′
3
=
2
υ
′
υ
′′
2
G
r
=G
r
=G
r
′″
格拉晓夫数
(11)

4－5 相似原 理及对流换热的准数方程式
Ⅱ.相似准数的物理意义
ρ
vLvL
惯性力
==
(1)
Re
=
ηυ
粘性力
反映流体流动时惯性力与粘 性力的相对大小
υ
c
p
ρυ
(2)
P
r
= =
a
λ
反映动量传输与热量传输的相对大小
(3)
导热热阻
α
l
λ
=N
u
==
λ
1
对流热阻
α
l
反映边界换热的特征
反映浮升力与粘性力的相对大小
(4)
G< br>r
=
g
α
v
Δtl
3
υ
2
浮升力
=
粘性力

4－5 相似原理及对流换热的准数方程式
Ⅲ. 对流换热的准数方程式
在对流换热的准数方程中，待定 量对流换
热系数α包含在N
u
中，则N
u
为待定准则；包含
已知量的准则为已定准则
N
u
=f(R
e
,G
r
, P
r
)
强制对流：
N
u
=f(R
e
,P< br>r
)
R=f(G)
N=f(G,P)
er
自然对流：
urr

4－5 相似原理及对流换热的准数方程式
Ⅳ. 准数方程式函数关系 的确定
N
u
=CR
e
P
r
=AP
r
nmm
A=CR
e
n
C,n,m
由实验求得
(1) 固定 R
e
，采用不同P
r
的可得到相应的N
u
，实验
结 果lgN
u
-lgP
r
为一直线。
lgN
u
=lg A+mlgP
r
从斜率和截距可分别得到m和A
(2)以N
u
Pr
-m
对R
e
做实验，同理可求出C和n。
lgA=lgC+n lgR
e

4－5 相似原理及对流换热的准数方程式
Ⅴ. 准数方程 式函数关系的确定
（1）定性温度：确定准数中物性的温度
①流体的平均温度t
f:
'
′
″
t+t
管内流动
t=
ff
t
f
t
f
分别为进出口温度
f
2
②流体与壁面的平 均温度t
m
:
t
m
=
③壁面温度t
w
t< br>f
+t
w
2
（2）特征尺度：包含在准数中的几何尺度。
平板 ：取板长l；管内流动：取管内径d。

第四章
外掠平板
Ⅰ. 流动特征
对流换热
4－6 强制对流换热的计算
(1) 全为层流
x
c
≥l
(2) 全为湍流
x
c
=0
(3) 一般情况
0c

4－6 强制对流换热的计算
Ⅱ. 准则方程：按板长平均的换热系数整理所得
准则方程适用范围定性温 度
t
m
=
1
2
特征尺度
213
5
全为层流：
Nu
m
=0.664Re
1
Pr
Re<5×10 ,0.6mm
(
t
w
+t
f
)l，Re数取
来流速度
4513
全为湍流：
Nu
m
=0 .037Re
m
Pr
m
Re>5×10
5
,0.6t
m
4513
一般情况：
Nu
m
=(0.0 37Re
m
−871)Pr
m
Re<10
7
t
m< br>[例4-1]
一块长5m，平均表面温度为250℃的金属薄板，在
烘炉中进行热处 理。热处理期间，温度为550℃的炉内空气
以15ms的速度沿金属薄板的表面吹过。试计算单位宽度 的
金属薄板和炉内空气之间的换热量、层流边界层区域的换
热量以及湍流边界层区域的换热量。 设炉内气压为一个大
气压。

4－6 强制对流换热的计算
已知：l=5m, t
w
=250℃，t
f
=550℃，v
f
=15ms, b =1
求：φ
总
，φ
层
，φ
湍
解：定性温度
t
m
=
1
2
(250+550)=400℃
查附录有：λ
m
=5.21×10Wm⋅℃
−2
υ
m
=63.09 ×10ms
−62
Pr
m
=0.678
Re=
v
f
l
υ
m
15
×
5
65
==1.19×10 >5×10
−
6
63.09
×
10
x
c
=
Re
cr
υ
m
v
f
5
×
10×
63.09
×
10
=
15
5−6
=2.10 m
即为：0～2.10m为层流；2.10～5m为湍流

4－6 强制对流换 热的计算
（1）求φ
总
13
Nu
m
总
＝（0.03 7Re
45
−871)Pr
m
=[0.037×(1.19×10
6
)
45
−871]×0.678
13
=1591.95
α< br>总
＝
Nu
m总
λ
m
l
1591.95×5. 21×10
−2
2
==16.59Wm⋅℃
5
φ
总
=
α
总
⋅A
总
（⋅t
f
−t
w
) =16.59×5×1×(550−250)=24885W
（2）求φ
层
21351 213
Nu
m
层
＝0.664Re
1
Pr=0.664×( 5×10)×0.678=412.47
mm
α
层
＝
Nu
m 层
λ
m
x
c
412.47×5.21×10
−2
= =10.23Wm
2
⋅°C
2.10
φ
层
＝
α层
⋅A
层
（⋅t
f
−t
w
)=10.23×2 .10×1×(550−250)=6446.96W
（3）求φ
湍
φ
湍=
φ
总
−
φ
层
=24885−6446.96=184 38.04W

4－6 强制对流换热的计算
横掠圆柱（圆管）
Ⅰ. 流动特征
Ⅱ.
准则方程：按管周平均表面传热系数整理而得
（1）空气、烟气及其它双 原子气体：
Nu
m
=CRe
C，n可查P141表10-1
（2）液 体及非双原子气体：
Nu
m
=CRePr
C’，n可查相关文献
（3 ）斜向冲击：
'n
m
13
m
n
m
特征尺度为管外径 d，Re中的流速按来流速度计算,
在准则方程前乘以角修正系数ε
ϕ
，ε
ϕ
可查图10-8
α
ϕ
=
ε
ϕ
⋅
α
90°

4－6 强制对流换热的计算
管内流动
Ⅰ.
入口效 应的影响
入口段的流动和换热情况对α的影响
（1）边界层的发展：
流动（换热）入口 段（不定型段）
δ(δ
t
)在管中心汇合为界
流动（换热）充分发展段（定型 段）
（2）入口段修正（考虑入口段速度边界层和热边界
层尚未充满管道时对α的影响）
若ld<60时，应考虑入口效应的影响，即乘以入
口段修正系数ε
l
d
0 .7
ε
l
=1+(
l
)

4－6 强制对流换热的计算
管内流动
Ⅱ. 不均匀物性场的影响
物性改变对速度分布有影响， 速度分布通过温度分布影
响换热强度。
由于流体粘性随温度而变，故对流换热时的速度分布与< br>等温流动时不同，如图10-9所示。
考虑不均匀物性的影响时，在准则方程中乘以修正项
η
f
0.14
Pr
f
0.25
(
η
w< br>)
或
(
Pr
w
)
来修正。
Ⅲ. 管道弯曲的 影响
在弯曲段，由于离心力作用而产生二次环流加强流体
的扰动，使换热加强，此时应在准则方 程中乘以弯管修正
系数来修正，如图10-11。
d
3
d
气体：ε
R
=1+1.77
R
液体：
ε
R
=1+10 .3(
R
)

4－6 强制对流换热的计算
管内流动
Ⅳ
.
非圆形截面槽道
当量直径：d
e
=
f－槽道的截面积
Ⅴ. 准则方程
准则方程
层流 ：
湍流：
适用范围
η
f
0.14
η
w
4f
P
w
P
w
－润湿周长，即槽道壁与流体接触面的长度
Nu< br>f
=1.86(Re⋅
ε
Rf
Pr)⋅()
Nu
f< br>=0.027RePr⋅()
0.8
f
0.43
f
Pr
f
0.8
f
13
f
d
13
f
l
Re
f
<2320,Pr
f
>0.48,Re
f
Pr
f
d
l
≥10
η
f
0.14
η
w
0.25
⋅
ε
l
⋅
ε
R
Nu
f
=0.021RePr⋅(
Pr
w
)⋅
ε
l
⋅
ε< br>R
Re
f
>10
4
定性温
度
t
f< br>，
t
w
特征尺
度：管
内径
d

第四章对流换热
4－7 自然对流换热的计算
自然对流换热的特点
静止流体与固体表面 接触
温度差密度差相对运动
①如果密度梯度垂直于重力，则立刻引起自然对
流；
②如果密度梯度与重力平行，则当密度梯度足够
大时也能引起自然对流。
Gr=
g< br>α
v
ΔTl
3
υ
2

4－7 自然对流 换热的计算
自然对流换热的计算：恒壁温
Nu
m
=C(Gr
m
Pr
m
)
n
C、n值与流动性质及表面朝向有关，查P146表10-2< br>R
a
瑞利准则：
=Gr⋅Pr
为自然对流流态判据
R
acr
=10
9
几点说明：仅适用于表面温度t
w
恒定的情况
L=AS
（1）非对称平板: 特征尺寸：
（2）块状物体水平面、侧面同时发生 自然对流换热时:
C=0.6，n=14
（3）长方体：
111
=+
LL
h
L
V
L
h
=
1
2
(Lh
1
+L
h
2
)
（4）在标准大气压及压力发生变化时 ，t
m
＝50℃的空
气与表面的自然对流可用表10-3的简化公式计算

本章小结
对流换热的定义及特点，强制对流和自然对流
换热的异同点；
边界 层的定义及发展，层流与湍流的特点及判
据；
了解对流换热微分方程组的推导过程；
相 似原理及其在解决对流换热问题上的应用；
Re、Pr、Gr、Nu准数的物理意义，定性温
度 ，定型尺度，特征速度；
正确使用各条件下的准则方程来计算对流换热
系数及对流换热量。习题：P148，2、5、6、10