(一)速度边界层
放飞中国梦-大学生就业现状
•§3-2 对流换热过程的数学描述
一. 速度边界层和温度边界层
（一）速
度边界层
主流
u
∞
y
u
∞
δ
x
x
•从y = 0、u = 0 开始，u 随着
y
方向离壁面距离的增加而
迅速增大；经过厚度为
δ
的
薄层，u
接近主流速度u
∞
•y =
δ
薄层—流动边界层
•或速度边界层<
br>•
δ
—边界层厚度
•定义：uu∞=0.99 处离壁的距离为边界层厚度•边界层内：平均速度梯度很大；y=0处的速度梯度最大
∂u
满足牛顿粘性定律
：
τ
=
μ
∂y
•边界层外：u
∞
在
y 方向不变化，∂u∂y=0
•粘滞应力为零
•流场可以划分为两个区：边界层区与主流区<
br>•边界层区：流体的粘性作用起主导作用，流体的运动
•可用粘性流体运动微分方程组描述（N-
S方程）
•主流区：速度梯度为0，
τ
=0；可视为无粘性理想流
体；
•欧拉方程
•流体外掠平板时的流动边界层
•临界距离：由层流边
界
层开始向紊流边界
层过渡的距离，x
c
•临界雷诺数：Re
c
惯性力
ρ
u
∞
x
c
Re
c
==
粘性力<
br>μ
=
u
∞
x<
br>c
ν
•紊流边界层：
•粘性底层（层流底层）：紧靠壁面处，粘滞力会占绝对<
br>•优势，使粘附于壁的一极薄层仍然会保持层流特征，具
•
有最大的速度梯度
•流动边界层的几个重要特性
•(1) 边界层厚度
δ
与壁的定型尺寸L相比极小，
δ
<< L
•(2) 边界层内存在较大的速度梯度
•(3) 边界层流态分层流与紊流；紊流边界层紧靠壁面
处仍有 层流特征，粘性底层（层流底层）
•(4) 流场可以划分为边界层区与主流区
•边界层区：由 粘性流体运动微分方程组描述
•主流区：由理想流体运动微分方程—欧拉方程描述
•边界层理论 的基本论点
•边界层概念也可以用于分析其他情况下的流动和换热：
•如：流体在管内受迫流动 、流体外掠圆管流动、流体在
竖直壁面上的自然对流等
（二）温度边界层
T
∞
δ
T
T
∞
热边界层厚度曲线
u
∞<
br>T
∞
T
热边界层温度分布曲线
x
T
w
热流体
流经冷壁面时的温度边界层温度分别曲线
当壁面与流体间有温差时，会产生温度梯度很大的温度边界层（
热边界
层）
定义：假定热边界层内任一点处的温度为T，则此点的温度与壁面温度
之差
为
T−T
w
，主流温度与壁面温度之差为
T
∞
−T
w
，当无量纲温度
θ
=(T−T
w
)(T
∞
−T<
br>w
)=0.99
时，此点距壁面的垂直距离为温度边界层
•层流
：温度呈抛物
•线分布
•紊流：温度呈幂函
•数分布
•紊流边界层贴壁处的温
度梯度明显大于层流
⎛
∂
T
⎞⎛
∂
T
⎞
⎜
⎟⎜
⎟
>
⎜
∂
y
⎟⎜
∂
y
⎟
⎝
⎠
w,t
⎝
⎠
w,L
•故：紊流换热比层流
换热强！
(三）速度边界层和温度边界层的关系
•
δ
与
δ
t
的关系：分别反映流体分子和流体微团的动量
•和热量扩散的深度
一
般情况下：
δ
≠
δ
T
Pr小，n＝0.5
Pr大，n＝0.
3
说明流体的动量传输能力
大于热量传输能力
说明流体的动量传输能力
与热量
传输能力相等，流
体温度场与速度场相似
说明流体的热量传输能力
大于动量传输能力<
br>δ
n
∝Pr
δ
T
*对于Pr>1的流体，
δ
>
δ
T
*对于Pr=1的流体，
δ
=
δ
T
*对于Pr<1的流体，
δ
<
δ
T
各种流体Pr数的
大致范围
10
−8
10
−3
10
−1
10
0
10
1
水
10
2
10
3
10
4
液态金属
气体
有机液体
流体的Pr并不是一成不变的，随温度而发生变化的<
br>例：
变压器油：20℃，Pr＝482；100℃，Pr＝59
甘油：20℃，Pr＝1
2460；50℃，Pr＝1680
二对流换热的物理模型
包括：a.
通过紧靠壁面的静止流体的导热作用传递热量
b.
通过流体的宏观运动带走热量
三.
受迫层流对流换热过程的数学描述
为便于分析，只限于分析二维对流换热
假设：
1)
流体的热物性为常数，它们均不随温度和压力而变化
2）流体为不可压缩流体
3）无内热源4）流体的流速不大，因而由于粘性而引起的耗散热忽略不计
5）不考虑壁面与气体的辐射
•（一）能量微分方程
•能量微分方程式描述流体温度场
•——能量守恒
•微元体的能量守恒：
•[导入与导出的净热量] + [热对流传递的净热量]
+
•[内热源发热量] = [总能量的增量] + [对外作膨胀功]
−
λ∂
∂T
(T+dy)dx
∂y∂y
∂
v
∂
T<
br>ρ
(
v
+)
dxC
p
(
T
+dy)
∂y∂
y
∂
u
∂
T
dx)
dx
)
dyc
p
(
T
+
∂x∂
x
[导入与导出的
净热量] +
[热对流传递的净热量]=0
x面的温度
ρ
udyc
p
T
ρ
(
u
+
T
∂T
−
λ
dx
∂y
∂
T
dx
x+dx面的温度
T
+
∂
x
ρ
vdxc
p
T
y面的温度
∂T
y
+dy面的温度
T+
∂y
dy
T
∂
∂T−
λ
(T+dy)dx
∂y∂y
∂
v
∂
Tρ
(
v
+)
dxC
p
(
T
+dy)<
br>∂y∂
y
∂
u
∂
T
dx)
dx
)<
br>dyc
p
(
T
+
∂x∂
x
∂
TQ
x
=−
λ
dy
∂x
ρ
udyc
p<
br>T
ρ
(
u
+
Q
x+dx
∂∂
T=−
λ
(T+dx)dy
∂x∂x
−
λ
∂T
d
x
∂y
ρ
vdxc
p
T
∂
T
Q
y
=−
λ
dx
∂
y
Q
y+dy
∂∂
T
=−
λ
(T+dy)dx
∂y∂y
通过导热微元体所吸收的净热量
为
⎛
∂
2
T
∂
2
T
⎞
⎟
dxdy
+
Q
λ
=
λ
⎜
⎜
∂
x<
br>2
∂
y
2
⎟
⎝
⎠
因为在热边界层内
∂
T
∂
T
<<
∂y
∂
x
⎛
∂2
T
⎞
⎟
dxdyQ
λ
=
λ
⎜
⎜
∂
y
2
⎟
⎝⎠
∂
∂T
−
λ
(T+dy)dx
∂y∂y
∂
v
∂
T
ρ
(
v
+)
dxC
p
(
T
+dy)
∂y∂
y
∂
u
∂
T
dx)
dx
)
dyc
p
(
T
+
∂x∂
x
ρ
udyc<
br>p
T
ρ
(
u
+
单位时间内，温度为T的流
体
在x和y方向分别以速度u
和v进入控制体的能量为
Q
c,x
=
ρ<
br>c
p
Tudy
Q
c,y
=
ρ
c
p<
br>Tvdx
−
λ
∂T
dx
∂y
ρ
vdxcp
T
单位时间内，流出控制体的
能量为
∂
T
∂
u
Q
c,x
=
ρ
c
p
(
T+dx
)(
u+dx
)
dy
∂x
∂
x
∂
T
∂
v
dy
)(
v
+dy)dx
Q
c,y
=
ρ
c
p
(
T
+
∂
v∂
y
单位时间内通过对流带给控制体的热量为（略去高阶项）
∂T∂T
+
v
)d
ydx
Q
c
=−
ρ
c
p
(
u
∂x
∂y
如果不计控制体中温度随时间的变化，则上面得到的由
导热和对流进入控制
体的热量之和为零，整理得到能量
方程为
∂
T
∂
T
∂
T
+
v
u=
a
2
∂
x
∂
y∂
y
对流项导热项
2
•（二）边界层动量微分方程
•动量微分方程式描述流体速度场
•——动量守恒
•牛顿第二运动定律：作用在微元体上各外
力的总
•和等于控制体中流体动量的变化率
∂v
v+dy
∂u∂
μ<
br>[u+dy]dx
∂y
∂y∂y
流入控制体的流体沿X方向
的动量为<
br>∂
u
u
+dx
∂
x
u
ρ
udy⋅u
ρ
vdx⋅u
v
∂u
μ
dx
∂y
流出控制
体的流体沿X方向
的动量为
∂
u
∂
u
ρ
(u+dx
)dy⋅(u+dx)
∂x∂x
∂
v
∂
u
ρ
(v
+
dy
)
dx
⋅(
u
+
dy
)
∂
y
∂
y
∂v
v+dy
∂∂<
br>u
μ
[u+dy]dx
∂y
∂y∂y
单位时间内控制体在x方
向动量
的变化为
∂
u
dx
u
+
∂
x
u
v
μ
∂u
dx
∂y
∂u
2
ρ
udy−
ρ
(u+dx)dy+
ρ
vudx−
∂x
∂v∂u
ρ
(v+dy)dx⋅(u+dy)
∂y∂y
2
将上式展开并略去高
阶项得单位时
间内控制体在x方向动量的变化为
∂
u
∂
u
−
ρ
(u+v)dxdy
∂x∂y
对于平壁流体沿壁面流动时，速度为常数，因
此
dp
=0
dx
∂v
v+dy
∂∂
u
μ
[u+dy]dx
∂y
∂y∂y
u
u+
∂u
dx
∂x
在边界层内，只考虑沿x方向的
粘性力，则在控制体上下两个
表
面的粘性力分别为：
v
μ
∂u
dx
∂y
∂
u
μ
dx
∂y
∂∂
u
μ
[u+dy]dx
∂y∂y
在边界层内，沿x方向的粘性力的合力为
∂
u
∂
∂uμ
dx−
μ
[u+dy]dx
∂y∂y∂y
∂<
br>u
∂∂
u
∂
u
∂
u
μ
dx−
μ
[u+dy]dx
＝
−
ρ
(u+v)dxdy
∂y∂y
∂y∂x∂y
作用在微元体上各外力的合力等于控制体中流体动量
的变化率，因此可得沿x方向
的动量微分方程为
⎛
∂
u∂u
∂
u
⎞
⎟
ρ
⎜
μ
uv=
+
⎜
∂
x
⎟
2
∂
y
⎠
∂y
⎝
惯性力
2
粘性力
<
br>（三）连续性方程
流体的连续流动遵循质量守恒规律
单位时间内、沿x轴方向、经
x表面流入微元体的质量
M
x
=
ρ
udy
单位时间内、沿
x轴方向、经
x+dx表面流出微元体的质量
M
x
+
dx
单
位时间内、沿x轴方向
流入微元体的净质量：
∂
M
x
=
M<
br>x
+dx
∂
x
M
x
−M
x+dx
M
x
=
ρ
udy
M
x
+
dx
∂
M
x
=
M
x
+dx
∂
x
单位时间内、沿x 轴方向流入微元体的净质量：
M
x
−M
x
+< br>dx
∂
M
x
∂(
ρ
u)
=−dx=−dxd y
∂
x
∂
x
单位时间内、沿y轴方向流入微元体的净质量：
M
y
−
M
y+dy
∂
(
ρ
v
)< br>=−
dy
=−
dxdy
∂
y
∂
y
∂
M
y
单位时间x 轴方向净质量：
∂(
ρ
u
)
−dxdy
∂
x
单位时间y轴方向净质量：
∂
(
ρ
v)
−dxdy
∂y
微元体内流体质量守恒：单位时间内
稳定情况
下流入与流出控制体的净质量之和应相等零
∂(
ρ
u)
∂
(
ρ
v)
−dxdy
−dxdy
=0
∂x
∂y
对于二维、稳态流动、密度为常数时：
∂
u
∂v
+=0
∂x
∂y
层流边界层对流换热微分方程组
（常物性、无内热源、二维、不可
压缩牛顿流体）
∂
u
∂
v
+=0
∂x∂y
⎛
∂
u∂u
∂
u
⎞
⎟
ρ
⎜
μ
uv
=
+
⎜
∂
x
⎟
2
∂
y
⎠
∂y
⎝
2
∂
T
∂
T
∂
T
+
v
u=
a
2
∂
x
∂
y
∂
yλ
⎛
∂T
⎞
h
x
=−
2
⎜⎟
⎜⎟
T
w
−
T
f
⎝
∂
y
⎠
w,x
4个方程，4个未知量——可求得层流边界层的速度场
和温度场
表面传热系数的确定方法
（1）微分方程式的数学解法
a）精确解法（分析解）：根据边界层
理论，得到
边界层微分方程组常微分方程求解
b）近似积分法：
假设边界层内的速度分
布和温度分布，解积分方程
c）数值解法：近年来发展迅速
可求解很复杂问题：三维、紊流、变
物性、超音速
（2）动量传递和热量传递的类比法
利用湍流时动量传递和热量传递的类似规律，
由湍
流时的局部表面摩擦系数推知局部表面传热系数
（3）实验法
用相似理论指导
四、对流换热过程的单值性条件
单值性条件：能单值地反映对流换热过程特点的条件
完整数学描述：对流换热微分方程组+ 单值性条件
单值性条件包括四项：几何、物理、时间、
边界
1、几何条件
2、物理条件
说明对流换热过程中的几何形状和大小
平板、
圆管；竖直圆管、水平圆管；长度、直径等
说明对流换热过程的物理特征
如：物性参数
λ
、
ρ、
c 和
η
的数值，是否随温度
和压力变化；有无内
热源、大小和分布
3、时间条件
说明在时间上对流换热过程的特点
稳态对流换热过程不
需要时间条件—与时间无关
４、边界条件说明对流换热过程的边界特点
边界条件
可分为二类：
第一类、第二类边界条件
（1）第一类边界条件
已知任一瞬间对流换热过
程边界上的温度值
（2）第二类边界条件
已知任一瞬间对流换热过程边界上的热流密度值