高等数学等价无穷小替换
盐城市人事考试网-教师个人小结
【教学目的】
1、理解无穷小与无穷大的概念;
2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限;
3、不同类型的未定式的不同解法。
【教学内容】
1、无穷小与无穷大;
2、无穷小的比较;
3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换;
4、求极限的方法。
【重点难点】
重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。
难点是未定式的极限的求法。
【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质(30分钟
),在理解无穷小
与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法
(20分钟)。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧(25分钟),课堂练习(15
分钟)。
【授课内容】
一、无穷小与无穷大
1.定义
前面我们研究了
n
数列
x
n
的极限、
x
(
x
、
x
)函数
f
x
的极限、
x
x
0
(
xx
0
、
xx
0
)函数
f(x)
的极限这七种趋近方式。下面
我们用
x
*表示上述七种的某一种趋近方式,即
*
nxxx
xx
0
xx
0
xx
0
定义:当在给定的
x
*下,
f(x)
以零为极限,则称
f(x)
是
x
*下的无
穷小,即
limf
x
0
。
x*
例如,
limsinx0,
函数sinx是当x0时的无穷小.
x0
lim
11
0,
函数是当x时的无穷小.
x
xx
(1)
n<
br>(1)
n
lim0,
数列{}是当n时的无穷小.
n
nn
【注意】不能把无
穷小与很小的数混淆;零是可以作为无穷小的唯一的数,任何
非零常量都不是无穷小。
定义:
当在给定的
x
*下,
f
x
无限增大,则称<
br>f
x
是
x
*下的无
都是无穷大量, 穷大,即
limf
x
。
显然,
n
时,
n、n
2
、n
3
、
x
*
【注意】不能把无穷大与很大的数混淆;无穷大是极限不存在的情形之一。无穷
小与无穷大是
相对的,在不同的极限形式下,同一个函数可能是无穷小也可能是
无穷大,如
lime
x
0
,
lime
x
,
xx
所以
e
x
当
x
时为无穷小,当
x
时为无穷大。 <
br>2.无穷小与无穷大的关系:在自变量的同一变化过程中,如果
f
x
为无穷
大,
则
11
为无穷小;反之,如果
f
x
为无穷小,且
f
x
0
,则为无穷大。
f
x
f
x
小结:无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势,因此任何常量都不是
无穷大量,任何非零
常量都不是无穷小,谈及无穷大量、无穷小量之时,首先应
给出自变量的变化趋势。
3.无穷小与函数极限的关系:
定理1
limf(x)
=
A<
br>?
f(x)
x
®
x
0
x
A
+
(x),
其中
(x)
是自变量在同一变化过
程
xx
0
(或
x
)中的无穷小.
证:(必要性)设
limf(x)
=
A,
令
(x)=f(x)-A,
则有<
br>lim
(x)
=
0,
x
®
x<
br>0
x
®
x
0
f(x)A
(x).<
br>
(充分性)设
f(x)=A+
(x),
其中
<
br>(x)
是当
x®x
0
时的无穷小,则
x
limf(x)=lim(A+
(x))
Alim
(x)
A.
x
0
xx
0
xx
0
【意义】
(1)将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);
(2)
给出了函数f(x)
在x
0
附近的近似表达式f(x)»A,误差为
(x).
3.无穷小的运算性质
定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.
【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
1
但n个
1
之和为1不是无穷小.
例如,n时,是无穷小,
nn
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. <
br>如
:
lim(1)
n
n
11
1
0<
br>,
limxsin0
,
limsinx0
x0x
xnx
推论1
在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.
推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
二、无穷小的比较
例如,
当
x
®
0
时
,x,x
2
,sinx,x
2<
br>sin
x
2
lim
0,
x
2
比3x要快得
多;
x0
3x
1
都是无穷小,
观察各极限:
x
lim
sinx
1,
sinx与x大致相同;
x0
x
x
2
sin
1
x
limsin
1
不存在.
不可比.
lim
x0
x0
x
x
2
极限不同,
反映了趋向于零的“快慢”程度不同.
1.定义: 设
,
是自
变量在同一变化过程中的两个无穷小,且
¹0.
=
0,
就说
是比
高阶的无穷小
,
记作
=
o(
);
(2)如果lim
C(C0),就说
与
是同阶的无穷小;
特殊地如果
lim
=
1,
则称
与
<
br>是等价的无穷小,记作
~
;
(3)
如果
lim
k
=
C(C
?
0,k0),
就说
是
的
k
阶的无穷小
.
(1)
如果
lim
例1
证明:当x0时,4xtan
3
x为x的四阶无穷小.
tanx
3
4xtan
3
x
4lim()
4,
故当x
0时,4xtan
3
x为x的四阶无穷小.
证:
lim
4
x0
x0
x
x
例2
当x0时,求tanxsinx关于x的阶数.
解
lim
t
anxsinxtanx1cosx1
lim(),
tanxsinx为x的三
阶无穷小.
x0x0
x
3
xx
2
2
2.常用等价无穷小:
当x0时,
(1)
sinx
~
x
;
(2)
arcsinx
~
x
;
(3)
tanx
~
x
;
(4)
arctanx
~
x
;
(5)
ln(1x)
~
x
;
(6)
e
x
1
~
x
x
2
(7)
1cosx
~
(8)
(1x)
1
~
x
(9)
a
x
-1
~
lna*x
2
用等价无穷小可给出函数的近似表达式:
lim
1,lim0,
即
o(
),于是有
o(
).
1
2
xo(x
2
).
2
例如
sinxxo(x),
cosx1
3.等价无穷小替换
定理:
设
~
,
~
<
br>
且lim
存在,则limlim.<
br>
证:
lim
lim()limlimlim
lim.
e1
tan2x
.
; (2)
lim
x0
cosx1
x0
1cosx
2
x
2
例3 (1)
求lim
1
2
(2x)
2
解:
(1)
当x0时,1cosx~x,tan2x~2x.
故原极限
=
lim
= 8
x
®
0
1
2<
br>2
x
2
x
2
(2)原极限
=
lim
x0
x
2
2
=
1
2
例4
求lim
tanxsinx
.
3
x0
sin2x
xx
=0
x0
(2x)
3
错解:
当x0时,tanx~x,sinx~x.
原式lim
正解:
当x0
时,
sin2x~2x,tanxsinxtanx(1cosx)
~
1
3
x
1
2
.
故原极限
=
limx
®
0
(2x)
3
16
1
3
x,
2
【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换,只有因子乘积形式才可以进
行等价无穷小替换。
例5
求lim
tan5xcosx1
.
x0
sin3x
1
2
xo(x
2
).
2
解:
tanx5xo(x),sin3x3xo(x),
1
cosx
o(x)1o(x
2
)
1
22
5x
5x
+
o(x)
+
x
+
o(x)
x2x
5
.
2
原式
=
lim
lim
x
®
0
x0
o(x)
3
3x
+
o(x
)
3
x
三、极限的简单计算
1. 代入法:直接将
xx
0
的
x
0
代入所求极限的函数中去,若
f
x<
br>0
存在,
2x
5
3x
4
2x12<
br>
;若
f
x
0
不存在,我们也能知道属
即为其极限,例如
lim
x1
9
3x
3
2x4
x
2
9
于哪种未定式,便于我们选择不同的方法。例如,
lim
就代不进去了,但
x3
x3
我们看出了这是一个
0
型未定式,我
们可以用以下的方法来求解。
0
2. 分解因式,消去零因子法
x
29
lim
x3
6
。
例如,
lim
x3
x3
x3
3. 分子(分母)有理化法 <
br>例如,
lim
x
2
53
2x15
x2lim
x2
x
2
53
2x1
2x15
5
2x1
5
x53
2
x53<
br>2
x
2
4
lim
x2
2x4
lim
x2
x2
x2
2
x2
1
x1x
2
2
又如,
lim
x
x
2<
br>1xlim
x
0
4.
化无穷大为无穷小法
1
-
3x
2
+
x
-
7
x
例如,
lim
2
=
limx
2x
-
x
+
4
x
2
-
1<
br>+
x
这个无穷大量。由此不难得出
3
+
7
x
2
=
3
,实际上就是分子分母同时除以
x
2
4
2
x
2
a
0
,nm
b
a0
x
m
a
1
x
m1
a
m<
br>
0
lim
0,nm
x
bx<
br>n
bx
n1
b
01n
,nm
1x
x2
1
lim
x又如,
lim
x
1
x
(分子分母同除
x
)。
1
,
2
1
x
2
1
2
n
5
n
5
再如,
lim
n
(分子分母同除
5
n
)。
lim
1
,
nn
n
35
n
3
1
5
n
5.
利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限
例如,
lim
xarctan
x1
0
,(无穷小量乘以有界量)。
x
3x
2
x1
4x1
.
x<
br>2
2x3
x1
又如,
求lim
x1
解:lim(x
2
2x3)
0,
商的法则不能用
x
2
2x3
0
0.
又lim(4x
1)
30,
lim
x1
x1
4x1
3
由无穷小与无穷大的关系,得
lim
x1
4x1
.
x
2
2x3
再如,等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3—例5。
6. 利用两个重要极限求极限(例题参见§例3—例5)
7. 分段函数、复合函数求极限
1x,x0
例如,
设f(x)
2
,求l
imf(x).
x0
x1,x0
解:
x0是函数的分段点,两个单侧极限为
x0
lim
f(x)lim
(1x)
1,
lim
f(x)
lim
(x
2
1)
1,
x0
x0x0
左右极限存在且相等,
故limf(x)1.
x0
【启发与讨论】
思考题1:
当
x
?
0
时
,y
解
:
(1)取x
0
11
sin
是无界变量吗?是无穷大吗?
xx
1
2k
2
(k0
,1,2,3,)
y(x
0
)2k
2
,
当k充分大时,y(x
0
)M.
无界,
(2)取x
0<
br>
1
2k
(k0,1,2,3,)
当k充分大时,x
k
,
但y(x
k
)2k
sin2k
0M.
不是无穷大.
结论:无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.
思考题2:若
f
(x)0
,且
limf(x)A
,问:能否保证有
A0
的结论
?试举例
x
说明.
解:不能保证.
例
f(x)
11
x0,
f(x)0
limf(x)
x
xx
1
A0.
x
x
lim
思考题3:任何两个无穷小量都可以比较吗?
解
:不能.例如当
x
时
f(x)
1sinx
,g(x)都是无穷小量
xx
但
lim
较.
x
g(x)
limsinx
不存在且不为无穷大,故当
x
时
f
(x)
和
g(x)
不能比
f(x)
x
【课堂练习】求
下列函数的极限
e
x
cosx
(1)
lim
;
x0
x
e
x
cosxe
x
11c
osx
limlim1
解:原极限=
lim
x0x0x0
xxx
1
x
(2
)求
lim
x0
(1cosx)ln(1x)
3sinxx
2
cos
0
【分析】 “”型,拆项。
0
1
1
22
3sinxxcos
3sinx
xcos
3
x
=
lim
x
=
解:原极限=
lim
x0
2x2x
2
x0
2x
5x
5
4x
4
3x
2
(3)
lim
;
x
2x
5
4x1
【分析】“抓大头
法”,用于
型
5
4
3
3
5
5x
5
5
x
x
解:原极限=
lim
=
,或原极限
=
lim
5
=
x
41
2
x2
2
x
2
x
4
x
5
(4)
lim(x
2
xx)
;
x
【分析】分子有理化
解:原极限=
lim
x
x
2
xx
x
=<
br>lim
x
1
2
11x1
1
=
x
2
1
)
(5)
lim(
2
x2
x4x2
【分析】
型,是不定型,四则运算法则无法应用,需先通分,后计算。
x13
x
2x2
x
2
1
)
=
lim
lim
解:
lim(
2
==
x2
x4
x2
x2
x2
x2
x
2
4
4
(6)
lim<
br>x
2
x93
2
x0
【分析】“
0<
br>”型,是不定型,四则运算法则失效,使用分母有理化消零因
0
子。
解:原极限=
lim
x
2
x0
x
2<
br>93
=6
2
x
(7)
求lim(
n
12n
).
222
nnn
解:
n时,是无穷小之和.
先变形再求极限.
1
n(n1)
12
n12n111
2
lim(
2
2
2
)limlim(1).
lim
n
n
n
n
2
n
nnn
2
n2
n
2
【
内容小结】
一、无穷小(大)的概念
无穷小与无穷大是相对于过程而言的.
1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论.
2、几点注意:
(1)
无穷小( 大)是变量,不能与很小(大)的数混淆,零是唯一的无穷
小的数;
(2)
无穷多个无穷小的代数和(乘积)未必是无穷小.
(3) 无界变量未必是无穷大.
二、无穷小的比较:
1.反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢,
但并不是所有的无
穷小都可进行比较。高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶。
2.等价无穷小的替换:
求极限的又一种方法, 注意适用条件.
三、极限求法(不同类型的未定式的不同解法);
a.多项式与分式函数代入法求极限;
b.消去零因子法求极限;
c.无穷小因子分出法求极限;
d.利用无穷小运算性质求极限;
e.利用左右极限求分段函数极限.
【教学目的】
1、理解无穷小与无穷大的概念;
2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限;
3、不同类型的未定式的不同解法。
【教学内容】
1、无穷小与无穷大;
2、无穷小的比较;
3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换;
4、求极限的方法。
【重点难点】
重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。
难点是未定式的极限的求法。
【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质(30分钟
),在理解无穷小
与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法
(20分钟)。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧(25分钟),课堂练习(15
分钟)。
【授课内容】
一、无穷小与无穷大
1.定义
前面我们研究了
n
数列
x
n
的极限、
x
(
x
、
x
)函数
f
x
的极限、
x
x
0
(
xx
0
、
xx
0
)函数
f(x)
的极限这七种趋近方式。下面
我们用
x
*表示上述七种的某一种趋近方式,即
*
nxxx
xx
0
xx
0
xx
0
定义:当在给定的
x
*下,
f(x)
以零为极限,则称
f(x)
是
x
*下的无
穷小,即
limf
x
0
。
x*
例如,
limsinx0,
函数sinx是当x0时的无穷小.
x0
lim
11
0,
函数是当x时的无穷小.
x
xx
(1)
n<
br>(1)
n
lim0,
数列{}是当n时的无穷小.
n
nn
【注意】不能把无
穷小与很小的数混淆;零是可以作为无穷小的唯一的数,任何
非零常量都不是无穷小。
定义:
当在给定的
x
*下,
f
x
无限增大,则称<
br>f
x
是
x
*下的无
都是无穷大量, 穷大,即
limf
x
。
显然,
n
时,
n、n
2
、n
3
、
x
*
【注意】不能把无穷大与很大的数混淆;无穷大是极限不存在的情形之一。无穷
小与无穷大是
相对的,在不同的极限形式下,同一个函数可能是无穷小也可能是
无穷大,如
lime
x
0
,
lime
x
,
xx
所以
e
x
当
x
时为无穷小,当
x
时为无穷大。 <
br>2.无穷小与无穷大的关系:在自变量的同一变化过程中,如果
f
x
为无穷
大,
则
11
为无穷小;反之,如果
f
x
为无穷小,且
f
x
0
,则为无穷大。
f
x
f
x
小结:无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势,因此任何常量都不是
无穷大量,任何非零
常量都不是无穷小,谈及无穷大量、无穷小量之时,首先应
给出自变量的变化趋势。
3.无穷小与函数极限的关系:
定理1
limf(x)
=
A<
br>?
f(x)
x
®
x
0
x
A
+
(x),
其中
(x)
是自变量在同一变化过
程
xx
0
(或
x
)中的无穷小.
证:(必要性)设
limf(x)
=
A,
令
(x)=f(x)-A,
则有<
br>lim
(x)
=
0,
x
®
x<
br>0
x
®
x
0
f(x)A
(x).<
br>
(充分性)设
f(x)=A+
(x),
其中
<
br>(x)
是当
x®x
0
时的无穷小,则
x
limf(x)=lim(A+
(x))
Alim
(x)
A.
x
0
xx
0
xx
0
【意义】
(1)将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);
(2)
给出了函数f(x)
在x
0
附近的近似表达式f(x)»A,误差为
(x).
3.无穷小的运算性质
定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.
【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
1
但n个
1
之和为1不是无穷小.
例如,n时,是无穷小,
nn
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. <
br>如
:
lim(1)
n
n
11
1
0<
br>,
limxsin0
,
limsinx0
x0x
xnx
推论1
在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.
推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
二、无穷小的比较
例如,
当
x
®
0
时
,x,x
2
,sinx,x
2<
br>sin
x
2
lim
0,
x
2
比3x要快得
多;
x0
3x
1
都是无穷小,
观察各极限:
x
lim
sinx
1,
sinx与x大致相同;
x0
x
x
2
sin
1
x
limsin
1
不存在.
不可比.
lim
x0
x0
x
x
2
极限不同,
反映了趋向于零的“快慢”程度不同.
1.定义: 设
,
是自
变量在同一变化过程中的两个无穷小,且
¹0.
=
0,
就说
是比
高阶的无穷小
,
记作
=
o(
);
(2)如果lim
C(C0),就说
与
是同阶的无穷小;
特殊地如果
lim
=
1,
则称
与
<
br>是等价的无穷小,记作
~
;
(3)
如果
lim
k
=
C(C
?
0,k0),
就说
是
的
k
阶的无穷小
.
(1)
如果
lim
例1
证明:当x0时,4xtan
3
x为x的四阶无穷小.
tanx
3
4xtan
3
x
4lim()
4,
故当x
0时,4xtan
3
x为x的四阶无穷小.
证:
lim
4
x0
x0
x
x
例2
当x0时,求tanxsinx关于x的阶数.
解
lim
t
anxsinxtanx1cosx1
lim(),
tanxsinx为x的三
阶无穷小.
x0x0
x
3
xx
2
2
2.常用等价无穷小:
当x0时,
(1)
sinx
~
x
;
(2)
arcsinx
~
x
;
(3)
tanx
~
x
;
(4)
arctanx
~
x
;
(5)
ln(1x)
~
x
;
(6)
e
x
1
~
x
x
2
(7)
1cosx
~
(8)
(1x)
1
~
x
(9)
a
x
-1
~
lna*x
2
用等价无穷小可给出函数的近似表达式:
lim
1,lim0,
即
o(
),于是有
o(
).
1
2
xo(x
2
).
2
例如
sinxxo(x),
cosx1
3.等价无穷小替换
定理:
设
~
,
~
<
br>
且lim
存在,则limlim.<
br>
证:
lim
lim()limlimlim
lim.
e1
tan2x
.
; (2)
lim
x0
cosx1
x0
1cosx
2
x
2
例3 (1)
求lim
1
2
(2x)
2
解:
(1)
当x0时,1cosx~x,tan2x~2x.
故原极限
=
lim
= 8
x
®
0
1
2<
br>2
x
2
x
2
(2)原极限
=
lim
x0
x
2
2
=
1
2
例4
求lim
tanxsinx
.
3
x0
sin2x
xx
=0
x0
(2x)
3
错解:
当x0时,tanx~x,sinx~x.
原式lim
正解:
当x0
时,
sin2x~2x,tanxsinxtanx(1cosx)
~
1
3
x
1
2
.
故原极限
=
limx
®
0
(2x)
3
16
1
3
x,
2
【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换,只有因子乘积形式才可以进
行等价无穷小替换。
例5
求lim
tan5xcosx1
.
x0
sin3x
1
2
xo(x
2
).
2
解:
tanx5xo(x),sin3x3xo(x),
1
cosx
o(x)1o(x
2
)
1
22
5x
5x
+
o(x)
+
x
+
o(x)
x2x
5
.
2
原式
=
lim
lim
x
®
0
x0
o(x)
3
3x
+
o(x
)
3
x
三、极限的简单计算
1. 代入法:直接将
xx
0
的
x
0
代入所求极限的函数中去,若
f
x<
br>0
存在,
2x
5
3x
4
2x12<
br>
;若
f
x
0
不存在,我们也能知道属
即为其极限,例如
lim
x1
9
3x
3
2x4
x
2
9
于哪种未定式,便于我们选择不同的方法。例如,
lim
就代不进去了,但
x3
x3
我们看出了这是一个
0
型未定式,我
们可以用以下的方法来求解。
0
2. 分解因式,消去零因子法
x
29
lim
x3
6
。
例如,
lim
x3
x3
x3
3. 分子(分母)有理化法 <
br>例如,
lim
x
2
53
2x15
x2lim
x2
x
2
53
2x1
2x15
5
2x1
5
x53
2
x53<
br>2
x
2
4
lim
x2
2x4
lim
x2
x2
x2
2
x2
1
x1x
2
2
又如,
lim
x
x
2<
br>1xlim
x
0
4.
化无穷大为无穷小法
1
-
3x
2
+
x
-
7
x
例如,
lim
2
=
limx
2x
-
x
+
4
x
2
-
1<
br>+
x
这个无穷大量。由此不难得出
3
+
7
x
2
=
3
,实际上就是分子分母同时除以
x
2
4
2
x
2
a
0
,nm
b
a0
x
m
a
1
x
m1
a
m<
br>
0
lim
0,nm
x
bx<
br>n
bx
n1
b
01n
,nm
1x
x2
1
lim
x又如,
lim
x
1
x
(分子分母同除
x
)。
1
,
2
1
x
2
1
2
n
5
n
5
再如,
lim
n
(分子分母同除
5
n
)。
lim
1
,
nn
n
35
n
3
1
5
n
5.
利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限
例如,
lim
xarctan
x1
0
,(无穷小量乘以有界量)。
x
3x
2
x1
4x1
.
x<
br>2
2x3
x1
又如,
求lim
x1
解:lim(x
2
2x3)
0,
商的法则不能用
x
2
2x3
0
0.
又lim(4x
1)
30,
lim
x1
x1
4x1
3
由无穷小与无穷大的关系,得
lim
x1
4x1
.
x
2
2x3
再如,等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3—例5。
6. 利用两个重要极限求极限(例题参见§例3—例5)
7. 分段函数、复合函数求极限
1x,x0
例如,
设f(x)
2
,求l
imf(x).
x0
x1,x0
解:
x0是函数的分段点,两个单侧极限为
x0
lim
f(x)lim
(1x)
1,
lim
f(x)
lim
(x
2
1)
1,
x0
x0x0
左右极限存在且相等,
故limf(x)1.
x0
【启发与讨论】
思考题1:
当
x
?
0
时
,y
解
:
(1)取x
0
11
sin
是无界变量吗?是无穷大吗?
xx
1
2k
2
(k0
,1,2,3,)
y(x
0
)2k
2
,
当k充分大时,y(x
0
)M.
无界,
(2)取x
0<
br>
1
2k
(k0,1,2,3,)
当k充分大时,x
k
,
但y(x
k
)2k
sin2k
0M.
不是无穷大.
结论:无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.
思考题2:若
f
(x)0
,且
limf(x)A
,问:能否保证有
A0
的结论
?试举例
x
说明.
解:不能保证.
例
f(x)
11
x0,
f(x)0
limf(x)
x
xx
1
A0.
x
x
lim
思考题3:任何两个无穷小量都可以比较吗?
解
:不能.例如当
x
时
f(x)
1sinx
,g(x)都是无穷小量
xx
但
lim
较.
x
g(x)
limsinx
不存在且不为无穷大,故当
x
时
f
(x)
和
g(x)
不能比
f(x)
x
【课堂练习】求
下列函数的极限
e
x
cosx
(1)
lim
;
x0
x
e
x
cosxe
x
11c
osx
limlim1
解:原极限=
lim
x0x0x0
xxx
1
x
(2
)求
lim
x0
(1cosx)ln(1x)
3sinxx
2
cos
0
【分析】 “”型,拆项。
0
1
1
22
3sinxxcos
3sinx
xcos
3
x
=
lim
x
=
解:原极限=
lim
x0
2x2x
2
x0
2x
5x
5
4x
4
3x
2
(3)
lim
;
x
2x
5
4x1
【分析】“抓大头
法”,用于
型
5
4
3
3
5
5x
5
5
x
x
解:原极限=
lim
=
,或原极限
=
lim
5
=
x
41
2
x2
2
x
2
x
4
x
5
(4)
lim(x
2
xx)
;
x
【分析】分子有理化
解:原极限=
lim
x
x
2
xx
x
=<
br>lim
x
1
2
11x1
1
=
x
2
1
)
(5)
lim(
2
x2
x4x2
【分析】
型,是不定型,四则运算法则无法应用,需先通分,后计算。
x13
x
2x2
x
2
1
)
=
lim
lim
解:
lim(
2
==
x2
x4
x2
x2
x2
x2
x
2
4
4
(6)
lim<
br>x
2
x93
2
x0
【分析】“
0<
br>”型,是不定型,四则运算法则失效,使用分母有理化消零因
0
子。
解:原极限=
lim
x
2
x0
x
2<
br>93
=6
2
x
(7)
求lim(
n
12n
).
222
nnn
解:
n时,是无穷小之和.
先变形再求极限.
1
n(n1)
12
n12n111
2
lim(
2
2
2
)limlim(1).
lim
n
n
n
n
2
n
nnn
2
n2
n
2
【
内容小结】
一、无穷小(大)的概念
无穷小与无穷大是相对于过程而言的.
1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论.
2、几点注意:
(1)
无穷小( 大)是变量,不能与很小(大)的数混淆,零是唯一的无穷
小的数;
(2)
无穷多个无穷小的代数和(乘积)未必是无穷小.
(3) 无界变量未必是无穷大.
二、无穷小的比较:
1.反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢,
但并不是所有的无
穷小都可进行比较。高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶。
2.等价无穷小的替换:
求极限的又一种方法, 注意适用条件.
三、极限求法(不同类型的未定式的不同解法);
a.多项式与分式函数代入法求极限;
b.消去零因子法求极限;
c.无穷小因子分出法求极限;
d.利用无穷小运算性质求极限;
e.利用左右极限求分段函数极限.