90周年大阅兵-活动邀请函范文

§2–6无穷小与无穷大的比较
基础知识导学
1、无穷小的比较
定义1 设α、β是某一极限过程中的两个无穷小，若

lim

c
（
c
为常数）

则（1）当c ≠ 0时，称在此极限过程中β与α是同阶无穷小；
（2）当c = 0时，称在此极限过程中β是α的高阶无穷小，记作β=o(α)(读作小欧α)；
（3）当c = 1时，称在此极限过程中β与α是等价无穷小，记作β～α。
2、无穷大的比较
定义2 设Y、
Z
是同一极限过程中的两个无穷大量，
Z
= c ≠ 0，则称Y与
Z
是同阶无穷大量；
Y
Z
（2）如果
lim
= ∞时，则称
Z
是Y的高阶无穷大量；
Y
（1）如果
lim
（3）如果
lim
Z
Y
k
= c ≠ 0（k＞0），则称
Z
是关于（基本无穷大量）Y的
k
阶无穷大量。
3、无穷小的阶与主部
定义
k

3 把某极限过程中的 无穷小α作为基本无穷小，如果β与（k＞0）是同阶的无穷小，即

lim
k

= c≠ 0，则称β是关于α的
k
阶无穷小。

重点难点突破
1．关于无穷小的比较
要确定两个无穷小量是同阶、高阶和等价的关系，其实就是求这两个无 穷小量比的极限，再根据定义判
断两个无穷小的关系。
注意 （1）符号β=O(α)与β～α的含义
β=O(α)表示β是α的高阶无穷小，即
lim< br>β～α表示β与α是等价无穷小，即
lim

0
；


1


（1） 同阶不一定等价，等价一定同阶。
（2） 利用等价无穷小求极限
等价无穷小在求极限的过程中可以进行如下替换：
若α～αˊ，β～βˊ，且
lim




存在，则
lim
=
lim







无穷小量的比较表
设在自 变量
xx
0
的变化过程中，

(x)与

(x)
均是无穷小量
无穷小的比较 定 义 记 号


(x)是比

(x)高阶的无穷小


(x)
lim0

xx

(x)
0

(x)



(x)

（
x x
0
）

lim

(x)与

(x)是同阶的无穷小

xx
0

(x)
C(C为不等于零的常数)


(x)
a(x)与

(x)是等阶无穷小

2．关于无穷小的阶
当x→0时，由恒等式
（ⅰ）o(x
n
)+ o(x
m
)= o(x
n
) 0＜n＜m
（ⅱ）o(x
n
) o(x
m
)= o(x
m+n
) m＞0, n＞0
3．关于无穷小的替换定理
xx
0
lim

(x)
a(x)

(x)~< br>
(x)
1

（
xx
0
）
设 当
xx
0
时，

1
(x)~

2
(x)
，

1
(x)~

2
(x)
，< br>lim
xx
0

2
(x)

(x)

2
(x)
存在，则
lim
1
．

x x

(x)

(x)

2
(x)
12< br>0
解题方法指导
1．判断无穷小的阶有以下几种方法（仅供参考）：
例1 当x→0时，下列无穷小量是x的几阶无穷小
① x - 3x
3
+ x
5
②sinxtgx
解：①因为当x→0时，在x - 3x
3
+ x
5
中3x
3
与x
5
都是x的高阶无穷小，由恒等式（ⅰ）
x3x
3
x
5
lim1

x0
x
所以，当x→0时，x - 3x
3
+ x
5
是x的一阶无穷小
②因为当x→0时，sin x～x，tg x～x，由恒等式（ⅱ）可得 sin x tg x=o(x
2
)，即
lim
所以，当x→0时，sin x tg x是x的二阶无穷小
（2）先将原式变形，再判断阶数
例2 当x→0时，下列无穷小量是x的几阶无穷小
①
1x1x
②tg x –sin x
解：①通过分子有理化将原式变形
sinxtgx
1

2
x0
x
1x1x
=
2x

1 x1x
由此看出，当x→0时，
1x1x
是x的一阶无穷小，事实上

lim
2x
1

x0
x(1x1x)
sinxsinx(1cosx)
sinx

cosxcosx
②通过三角函数的公式将原式变形

tgxsinx

因为 sin x～x， 1-cos x～
1
2
x
2
由此看出，当x→0时，tg x –sin x是x的三阶无穷小，事实上
1
xx
2
sinx(1cosx)1
2

lim

lim
33
x0x0
xcosxxc osx2
此题错误解法：
解：因为
lim
tgxsin x

tgxsinx

lim



 0

x0x0
xxx

所以，当x→0时，tg x –sin x是x的一阶无穷小
这种解法是错误的，因为由无穷小阶的定义，β与
2．利用等价无穷小代换求极限

k
比的极限不能为零。
x
1x)~
e1
, 常用等价无穷小有：当
x0
时,
x~sinx~tanx~arcsinx~ar ctanx~ln(
1cosx~
1
2
x
,
2x~sin 2x~tan2x
．
2
， （2）
lim
例5 求下列函数的极限
（1）
lim
1cosx
x0
3x
2
tanxsinx
．
x0
x
3
1
2
x
1cosx1
2
1
2
x0,1cosx~x
）解 （1）
lim
= （．
lim
2
2
x0
x 0
2
3x
6
3x
tanxsinxsinx(1cosx)lim
（2）
lim
=
33
x0x0
sinxx cosx
sinx(1cosx)1
lim
2
x0
xco sx

x
2sin
2
=
lim
x0
x< br>2
x
2

2
1
x

x

= （

x0,sin
2
~

） ．
2
2

2

小结 利用等价无穷小可代换整个分子或分母， 也可代换分子或分母中的因式，但当分子或分母为多项式
时，一般不能代换其中一项。否则会出错．
如上题
lim
x0
tanxsinxxx
lim0
, 即得一错误结果．
33
x0
sinxx

§2–6无穷小与无穷大的比较
基础知识导学
1、无穷小的比较
定义1 设α、β是某一极限过程中的两个无穷小，若

lim

c
（
c
为常数）

则（1）当c ≠ 0时，称在此极限过程中β与α是同阶无穷小；
（2）当c = 0时，称在此极限过程中β是α的高阶无穷小，记作β=o(α)(读作小欧α)；
（3）当c = 1时，称在此极限过程中β与α是等价无穷小，记作β～α。
2、无穷大的比较
定义2 设Y、
Z
是同一极限过程中的两个无穷大量，
Z
= c ≠ 0，则称Y与
Z
是同阶无穷大量；
Y
Z
（2）如果
lim
= ∞时，则称
Z
是Y的高阶无穷大量；
Y
（1）如果
lim
（3）如果
lim
Z
Y
k
= c ≠ 0（k＞0），则称
Z
是关于（基本无穷大量）Y的
k
阶无穷大量。
3、无穷小的阶与主部
定义
k

3 把某极限过程中的 无穷小α作为基本无穷小，如果β与（k＞0）是同阶的无穷小，即

lim
k

= c≠ 0，则称β是关于α的
k
阶无穷小。

重点难点突破
1．关于无穷小的比较
要确定两个无穷小量是同阶、高阶和等价的关系，其实就是求这两个无 穷小量比的极限，再根据定义判
断两个无穷小的关系。
注意 （1）符号β=O(α)与β～α的含义
β=O(α)表示β是α的高阶无穷小，即
lim< br>β～α表示β与α是等价无穷小，即
lim

0
；


1


（1） 同阶不一定等价，等价一定同阶。
（2） 利用等价无穷小求极限
等价无穷小在求极限的过程中可以进行如下替换：
若α～αˊ，β～βˊ，且
lim




存在，则
lim
=
lim







无穷小量的比较表
设在自 变量
xx
0
的变化过程中，

(x)与

(x)
均是无穷小量
无穷小的比较 定 义 记 号


(x)是比

(x)高阶的无穷小


(x)
lim0

xx

(x)
0

(x)



(x)

（
x x
0
）

lim

(x)与

(x)是同阶的无穷小

xx
0

(x)
C(C为不等于零的常数)


(x)
a(x)与

(x)是等阶无穷小

2．关于无穷小的阶
当x→0时，由恒等式
（ⅰ）o(x
n
)+ o(x
m
)= o(x
n
) 0＜n＜m
（ⅱ）o(x
n
) o(x
m
)= o(x
m+n
) m＞0, n＞0
3．关于无穷小的替换定理
xx
0
lim

(x)
a(x)

(x)~< br>
(x)
1

（
xx
0
）
设 当
xx
0
时，

1
(x)~

2
(x)
，

1
(x)~

2
(x)
，< br>lim
xx
0

2
(x)

(x)

2
(x)
存在，则
lim
1
．

x x

(x)

(x)

2
(x)
12< br>0
解题方法指导
1．判断无穷小的阶有以下几种方法（仅供参考）：
例1 当x→0时，下列无穷小量是x的几阶无穷小
① x - 3x
3
+ x
5
②sinxtgx
解：①因为当x→0时，在x - 3x
3
+ x
5
中3x
3
与x
5
都是x的高阶无穷小，由恒等式（ⅰ）
x3x
3
x
5
lim1

x0
x
所以，当x→0时，x - 3x
3
+ x
5
是x的一阶无穷小
②因为当x→0时，sin x～x，tg x～x，由恒等式（ⅱ）可得 sin x tg x=o(x
2
)，即
lim
所以，当x→0时，sin x tg x是x的二阶无穷小
（2）先将原式变形，再判断阶数
例2 当x→0时，下列无穷小量是x的几阶无穷小
①
1x1x
②tg x –sin x
解：①通过分子有理化将原式变形
sinxtgx
1

2
x0
x
1x1x
=
2x

1 x1x
由此看出，当x→0时，
1x1x
是x的一阶无穷小，事实上

lim
2x
1

x0
x(1x1x)
sinxsinx(1cosx)
sinx

cosxcosx
②通过三角函数的公式将原式变形

tgxsinx

因为 sin x～x， 1-cos x～
1
2
x
2
由此看出，当x→0时，tg x –sin x是x的三阶无穷小，事实上
1
xx
2
sinx(1cosx)1
2

lim

lim
33
x0x0
xcosxxc osx2
此题错误解法：
解：因为
lim
tgxsin x

tgxsinx

lim



 0

x0x0
xxx

所以，当x→0时，tg x –sin x是x的一阶无穷小
这种解法是错误的，因为由无穷小阶的定义，β与
2．利用等价无穷小代换求极限

k
比的极限不能为零。
x
1x)~
e1
, 常用等价无穷小有：当
x0
时,
x~sinx~tanx~arcsinx~ar ctanx~ln(
1cosx~
1
2
x
,
2x~sin 2x~tan2x
．
2
， （2）
lim
例5 求下列函数的极限
（1）
lim
1cosx
x0
3x
2
tanxsinx
．
x0
x
3
1
2
x
1cosx1
2
1
2
x0,1cosx~x
）解 （1）
lim
= （．
lim
2
2
x0
x 0
2
3x
6
3x
tanxsinxsinx(1cosx)lim
（2）
lim
=
33
x0x0
sinxx cosx
sinx(1cosx)1
lim
2
x0
xco sx

x
2sin
2
=
lim
x0
x< br>2
x
2

2
1
x

x

= （

x0,sin
2
~

） ．
2
2

2

小结 利用等价无穷小可代换整个分子或分母， 也可代换分子或分母中的因式，但当分子或分母为多项式
时，一般不能代换其中一项。否则会出错．
如上题
lim
x0
tanxsinxxx
lim0
, 即得一错误结果．
33
x0
sinxx