东北师范大学研究生分数线-锦州中考

等价无穷小量的替换法求极限

樊宝恒
（西北师范大学数学与统计学学院 甘肃 兰州 730070）


摘 要
：

讨论了等价无穷小量以及等价无穷小量替换法求极限以及在运算中互
相 替换时要注意的一些问题.



Abstract:
Some problems are discussed as well as the Equivalent
Infinitesimal Substitution of Equivalence Infinitesimal Method for limit and
replace each other in operation should pay attention to.


关键词：
无穷小量；无穷大量；等价无穷小量；极限



Keywords:
infinitesimal; infinity; l; infinite product; limit

一 等价无穷小量的定义

设f在某

x
0

内有定义，若
x
lim
x
f(x)0
则称f为当
xx

0
0
时的无穷小量
设当
xx
0
时，f于g均为无穷小量
若
lim
f(x)
xx
1
则称
0
g (x)
f于g是当
xx
0
时的等价无穷小量。记作
f(x)~g(x)(xx
0
)

二 等价无穷小在求函数极限中的应用
求函数的极限技巧很强，可利用无穷小等价的关系，简化了求某些
0

的极限的计算
引理 设函数
f
（x），
f
（x）满足下列条件：
在a的某个去心邻域内均有非零导数
（1）lim f（x）=0，；
limf
_
xa
(x)0

(x)< br>（2）
lim
f

xa
f

(x)
1
则
lim
f(x)ln(1f(x

xa
f( x)
1lim
))
，
xa
ln(1f(x))
1< br>
（3）当f（x），
f(x)
>0时,
lim
lnf(x)
xa
lnf(x)
=1
证明 由洛比达法则;
lim
f(x)

lim
f

(x)
xa
xa

f(x)
f

(x)
1
;
lim
ln (1f(x))

1f(x)f

(

xa
ln(1f(x))

lim
xa

.
x)


1f(x)
f

(x)

1

lim
lnf(x)
=
lim
f(x)
.
f

(x)
1
,证毕

xa
lnf(x)
xa
f(x)
f

(x)


型
1

定理1 设函数f(x),g(x)及
f(x)
,
g(x)
满足下列条件:
（1）在a的某去心邻域内均有导数
（2）在x

a时,均为无穷小量, < br>f

(x)

(x)g
lim1
,
lim 1
,于是;
xa
f

(x)
xa
g

(x)


(1) 若
lim

1g(x)

xa
1
f(x)
l,
lim

1g(x)

xa
g(x)
1
f(x)
 l

(2) 若f(x),
f(x)
>0，且
limf(x)xa
t
,则
limf(x)
g(x)
t

xa
证明 由引理
(1)
lim
xa
ln

1g(x)

f(x)
1
f(x)

ln< br>
1g(x)

f(x)
ln

1g(x)

ln

1g(x)



< br>

lim

**lim

xa
f(x)f(x)
ln

1g(x)


xa
f(x)



1
f(x)
故
lim

1g(x)

xa

lim


1g(x)

xa
l


g(x)lnf(x)

(2)
limg(x)lnf(x) lim

g(x)lnf(x)**g(x)lnf(x)


l im
xaxaxa
g(x)lnf(x)

故
limf(x )
g(x)
limf(x)
xaxa
g(x)
t

如果我们能熟记一些符合定理条件的一些无穷小量,则在求某些
0

1

型的
极限时将很方便. 如
x0
时,
x,sinx,tanx,e
x
1,ln(1x)
等,均为无穷小量,且
sinx



limlimcosx1
x0
x

x0

x0
tanx


< br>limlim
x

x

1
1
x0cos
2
x

e
lim
x0
1


x0
x



ln(1x)

lim
1
1lim
x0x0
1xx
lime
x
1
所谓等价无穷小，是指在同种变化趋势下，

和

都是无穷小，且


0，

如果
lim

1
，那么

和

是等价无穷小，记

~

。这意味 着在这一极限过程

sinxtanx
1
，
lim1
， 所
x0
x0
x
x
中，

和

趋近于零的速度基本相同。例如因为
lim
以当
x0
时，
x,si nx,tanx
都是等价无穷小，即
sinx~x,tanx~x
。
常见的 等价形式有：
x0
时，
x
2
x~sinx~tanx,x~arc sinx~arccosx,x~ln(1x),x~e1,(1x)~1ax,1cosx~
2
xa2
1
1
x
1
1x1~x

(1)
n
1~
2
xn
,
例1 因为当
x0
时
sinx~x~tanx
lim
lntan7x

x0
lntan2x
tan7x
7
ln7x
0ln7 x
7x
解 原式=
lim
=
limlim
7x
1

x0
x0
0ln2x
x0
2
tan2x
lnln2x< br>2x
2x
ln
例2
limsinx
x0
1
lntan2x

sinx
lnx
x
lim
x0
tan2x
lnln2x
2x
ln
解
limsinx
x0
1
lntan2x
e
x0
lntan2x
lim
lnsinx
e

使用等价无穷小，当
x0
时
sinx~x,tanx~x
上式=
e
x0
ln2x
lim
lnx
e
1
e

ln(tan((12x)
6
))
例3 求
lim

x0
lnsin((1cosx)
3
)
解 它是
型，按以前的求极限方法，它是不能用等价无穷小来代替，用洛必达

法则计算

[tan((12x1)
6
)]
1
sec
2
((12x1)
6
)6(12x1)
5
原式=
lim
x0
1
12x
...1

[sin ((1cosx)
3
)]
1
cos((1cosx)
3
)3(1cosx)
2
sinx
很显然，这个题目直接用洛比达法则求解太繁，我 们考虑函数中使用等价无穷小
进行化简。注意到：当
x0
时，有
1
tan(12x1)
6
~(12x1)
6
~((2x))
6
x
6
2

2
x1
sin((1cosx)< br>3
)~(1cosx)
3
~()
3
x
6
28
(tan((12x1)
6
))
lnlnx
6
6
lnx
6
x
原极限=
limlim1

3< br>6
x0x0
(sin((1cosx)))1
lnxln8
l nln(x
6
)
1
6
8
x
8
可 见，对一些无法直接使用等价无穷小的极限式直接使用洛比达法则，会造
成计算量大而且通过对函数式的 构造变换，再使用等价无穷小，就很容易求得答
案了。
数列极限的常见求法
（1）极限的四则运算法则
若{
a
n
}与{
b
n
}为收敛数列，则{
a
n
b
n
}，{
a
n
b
n
}，{
a
n
b
n
}也都是收敛 数列，
其有
lim(a
n
b
n
)lima
n
b
n
n
n
n
lim(a
n
b
n
)lima
n
limb
n
nn
n 

例4 求
limn(n1n)

解
n(n1n)
n

n1n
1

1
11
n
由
1
得
1
1(n)

n
limn(n1n)lim
nn
11


2
1
11
n

（2） 利用重要极限求数列的极限
两个重极限分别为
(1)lim
2
例5 求
lim(1)
n

n
n
n

2
2
n
2

解
lim(1)lim

1


e
2

nn

n

n



2
sinx1
 1,(2)lim(1)
n
e

x0n
xn
（3）单调有界数列法
这一方法是利用极限理论基本定理 ：单调有界数列必有极限，其方法为:(1)判定
数列是单调有界的，从而可设其极限为A。（2）建立 数列相邻两项之间的关系式。
（3）在关系式两端取极限，得以关于A的方程，若能解出A，问题得解。
例8求数列
a,aa,aaa
其中（a>0）极限
解: 设
x
0
a
，
x
1
aaax
0
…
x
n1
ax
n
(n1,1,2...)

则{
x
n
}是单调有界数列，它必有极限，设其极限为A在
aaa

x
n1
ax
n
两边取极限得< br>AaA
即
A
2
Aa0

所以
A
114a114a
，因为A>0所以
A

22
114a

2
即
limx
n

n
（4）利用定积分计算
计算项数无限增多的无穷小量之和，有时可设法把问题化为某一函数在某一区间
上的积分和的极 限问题，从而利用定积分求解。有时问题呈现乘积的形式，也可
试用本方法，只式要先取对数将问题转化 为和的形式。
例6 计算
lim
1
n
（2n）!

n
nn!
解
a
n

1
n
(2n）！
n
(2n)!
n
12n
(1)(1)...（ 1+）
、
n
nn!n!nnnn

n
1
n< br>ii1
先考虑
lna
n


ln(1)

ln(1)
，从而有
n
i1
nnn
i1
limlna
n


ln(1x)dx(1x)

l n(1x)1

0
2ln21

n
0
1
1
因此
lima
n
e
2ln21

n
4

e
（5）变上限积分的极限
常用的变上限积分的等价无穷小有：

x
0
tdt~
< br>x
0
x
2
tantdt~

arcsintdt~< br>
arctantdt~

ln(1t)dt~

(e1 )dt~

0000
2
xxxx
t
x
3

0
(1cost)dt~
6
x


x
0
x


1x


1

dt~

x
2
其中
a0,a1


2
(a
t
1)dt~
1
2
xlna
2
0
上述等式可以用洛比塔法则直接证明，证明中我们可以看到被积函数之间是等价
无穷小，由此可 得将被积函数用等价无穷小代换后的变上限积分仍是等价无穷
小，即是:
定理3 若当x0,f(x)0,f

(x)
存在，
F(x)0,G(x)0 ,F(x)~G(x)
，则

f(x)
0
F(t)dt~

0
f(x)
0
G(x)dt
。

lim
证明：

x0
f(x)
f(x)
F(x)dt
G(t)d t
lim
f(x)o
0


f(x)
0
f(x)
0
F(x)dt
G(x)dt
lim
F
f(x)

f

(x)F

f(x)

lim1

f(x)0
G

f(x)

f

(x)
f(x)0
G

f(x)


由此定理还可以得出如下结论，例如：


tanx
0
f (x)
sint
2
dt~


tanx
0
1
t
2
dttan
3
x(x0)
3
f(x)< br>0


1t

1

dt~
< br>0


tdt


2

f( t)

(x0,f(x)0)
2

例7 求
lim< br>x0

x
2
0
(e
t
1)
2< br>dt
sinx
o

tdt
3


解 原式=
lim

x0
x
2
0
sinx
tdt
0
x
6
4x
6limlim
4
0

x0
1
x0
3 x
3
tdt
(sinx)
4
4
2
1
6x
3
例 8 求
lim
x0


0
0
arctant
dt
t(1t)
(11t)dt
2
1cosx

1

0
(1t)
dt
ln(1 x
6
)x
6
解 原式=
limlimlim48

2
x0x0
11
x0
1cosx
t
11
36
(1cosx)x
dt

0
2
2368
x
6
（6）幂指数数激增和T aylor公式使用
定理4 设

~


,

~


，且
lim(1


)A< br>x0
1
1


lim(1

)

lim(1


)
x0x0
1



A
证明
ln(1

)


lim(1

)

limln(1


)


A

x0x0
ln(1


)

1
2
例9 求
lim(cos)
x

x

x
11
解 因为
cos12sin()
2
，当
x
时，有
x2x
11
sin()
2
~()
2
，所以
2x2x
1
)
1
x
2
1
2x
2(
1
2
e
2
原式=
lim(12
2< br>)lim(1
2
)
xx
4x2x
11

在求极限过程中，初学者往往对问题直接计算，造成计算量大，甚至死路
一条，若平 时学习注意积累一些必要的素材，对极限问题按所掌握的素材进行构
造性的转换，利用等价无穷小进行化 简，再结合洛比达法则，就很容易得答案了。
从而有效地提高学生思维的开放性，增强其解决复杂问题的 信心，激发学生学习
高等数学的兴趣。

综上所述，我们看到等价无穷小的应用 非常广泛，但还是要具体情况具体分析，
同时结合洛比达法则，选择合理恰当的方法进行求解。

等价无穷小量的替换法求极限

樊宝恒
（西北师范大学数学与统计学学院 甘肃 兰州 730070）


摘 要
：

讨论了等价无穷小量以及等价无穷小量替换法求极限以及在运算中互
相 替换时要注意的一些问题.



Abstract:
Some problems are discussed as well as the Equivalent
Infinitesimal Substitution of Equivalence Infinitesimal Method for limit and
replace each other in operation should pay attention to.


关键词：
无穷小量；无穷大量；等价无穷小量；极限



Keywords:
infinitesimal; infinity; l; infinite product; limit

一 等价无穷小量的定义

设f在某

x
0

内有定义，若
x
lim
x
f(x)0
则称f为当
xx

0
0
时的无穷小量
设当
xx
0
时，f于g均为无穷小量
若
lim
f(x)
xx
1
则称
0
g (x)
f于g是当
xx
0
时的等价无穷小量。记作
f(x)~g(x)(xx
0
)

二 等价无穷小在求函数极限中的应用
求函数的极限技巧很强，可利用无穷小等价的关系，简化了求某些
0

的极限的计算
引理 设函数
f
（x），
f
（x）满足下列条件：
在a的某个去心邻域内均有非零导数
（1）lim f（x）=0，；
limf
_
xa
(x)0

(x)< br>（2）
lim
f

xa
f

(x)
1
则
lim
f(x)ln(1f(x

xa
f( x)
1lim
))
，
xa
ln(1f(x))
1< br>
（3）当f（x），
f(x)
>0时,
lim
lnf(x)
xa
lnf(x)
=1
证明 由洛比达法则;
lim
f(x)

lim
f

(x)
xa
xa

f(x)
f

(x)
1
;
lim
ln (1f(x))

1f(x)f

(

xa
ln(1f(x))

lim
xa

.
x)


1f(x)
f

(x)

1

lim
lnf(x)
=
lim
f(x)
.
f

(x)
1
,证毕

xa
lnf(x)
xa
f(x)
f

(x)


型
1

定理1 设函数f(x),g(x)及
f(x)
,
g(x)
满足下列条件:
（1）在a的某去心邻域内均有导数
（2）在x

a时,均为无穷小量, < br>f

(x)

(x)g
lim1
,
lim 1
,于是;
xa
f

(x)
xa
g

(x)


(1) 若
lim

1g(x)

xa
1
f(x)
l,
lim

1g(x)

xa
g(x)
1
f(x)
 l

(2) 若f(x),
f(x)
>0，且
limf(x)xa
t
,则
limf(x)
g(x)
t

xa
证明 由引理
(1)
lim
xa
ln

1g(x)

f(x)
1
f(x)

ln< br>
1g(x)

f(x)
ln

1g(x)

ln

1g(x)



< br>

lim

**lim

xa
f(x)f(x)
ln

1g(x)


xa
f(x)



1
f(x)
故
lim

1g(x)

xa

lim


1g(x)

xa
l


g(x)lnf(x)

(2)
limg(x)lnf(x) lim

g(x)lnf(x)**g(x)lnf(x)


l im
xaxaxa
g(x)lnf(x)

故
limf(x )
g(x)
limf(x)
xaxa
g(x)
t

如果我们能熟记一些符合定理条件的一些无穷小量,则在求某些
0

1

型的
极限时将很方便. 如
x0
时,
x,sinx,tanx,e
x
1,ln(1x)
等,均为无穷小量,且
sinx



limlimcosx1
x0
x

x0

x0
tanx


< br>limlim
x

x

1
1
x0cos
2
x

e
lim
x0
1


x0
x



ln(1x)

lim
1
1lim
x0x0
1xx
lime
x
1
所谓等价无穷小，是指在同种变化趋势下，

和

都是无穷小，且


0，

如果
lim

1
，那么

和

是等价无穷小，记

~

。这意味 着在这一极限过程

sinxtanx
1
，
lim1
， 所
x0
x0
x
x
中，

和

趋近于零的速度基本相同。例如因为
lim
以当
x0
时，
x,si nx,tanx
都是等价无穷小，即
sinx~x,tanx~x
。
常见的 等价形式有：
x0
时，
x
2
x~sinx~tanx,x~arc sinx~arccosx,x~ln(1x),x~e1,(1x)~1ax,1cosx~
2
xa2
1
1
x
1
1x1~x

(1)
n
1~
2
xn
,
例1 因为当
x0
时
sinx~x~tanx
lim
lntan7x

x0
lntan2x
tan7x
7
ln7x
0ln7 x
7x
解 原式=
lim
=
limlim
7x
1

x0
x0
0ln2x
x0
2
tan2x
lnln2x< br>2x
2x
ln
例2
limsinx
x0
1
lntan2x

sinx
lnx
x
lim
x0
tan2x
lnln2x
2x
ln
解
limsinx
x0
1
lntan2x
e
x0
lntan2x
lim
lnsinx
e

使用等价无穷小，当
x0
时
sinx~x,tanx~x
上式=
e
x0
ln2x
lim
lnx
e
1
e

ln(tan((12x)
6
))
例3 求
lim

x0
lnsin((1cosx)
3
)
解 它是
型，按以前的求极限方法，它是不能用等价无穷小来代替，用洛必达

法则计算

[tan((12x1)
6
)]
1
sec
2
((12x1)
6
)6(12x1)
5
原式=
lim
x0
1
12x
...1

[sin ((1cosx)
3
)]
1
cos((1cosx)
3
)3(1cosx)
2
sinx
很显然，这个题目直接用洛比达法则求解太繁，我 们考虑函数中使用等价无穷小
进行化简。注意到：当
x0
时，有
1
tan(12x1)
6
~(12x1)
6
~((2x))
6
x
6
2

2
x1
sin((1cosx)< br>3
)~(1cosx)
3
~()
3
x
6
28
(tan((12x1)
6
))
lnlnx
6
6
lnx
6
x
原极限=
limlim1

3< br>6
x0x0
(sin((1cosx)))1
lnxln8
l nln(x
6
)
1
6
8
x
8
可 见，对一些无法直接使用等价无穷小的极限式直接使用洛比达法则，会造
成计算量大而且通过对函数式的 构造变换，再使用等价无穷小，就很容易求得答
案了。
数列极限的常见求法
（1）极限的四则运算法则
若{
a
n
}与{
b
n
}为收敛数列，则{
a
n
b
n
}，{
a
n
b
n
}，{
a
n
b
n
}也都是收敛 数列，
其有
lim(a
n
b
n
)lima
n
b
n
n
n
n
lim(a
n
b
n
)lima
n
limb
n
nn
n 

例4 求
limn(n1n)

解
n(n1n)
n

n1n
1

1
11
n
由
1
得
1
1(n)

n
limn(n1n)lim
nn
11


2
1
11
n

（2） 利用重要极限求数列的极限
两个重极限分别为
(1)lim
2
例5 求
lim(1)
n

n
n
n

2
2
n
2

解
lim(1)lim

1


e
2

nn

n

n



2
sinx1
 1,(2)lim(1)
n
e

x0n
xn
（3）单调有界数列法
这一方法是利用极限理论基本定理 ：单调有界数列必有极限，其方法为:(1)判定
数列是单调有界的，从而可设其极限为A。（2）建立 数列相邻两项之间的关系式。
（3）在关系式两端取极限，得以关于A的方程，若能解出A，问题得解。
例8求数列
a,aa,aaa
其中（a>0）极限
解: 设
x
0
a
，
x
1
aaax
0
…
x
n1
ax
n
(n1,1,2...)

则{
x
n
}是单调有界数列，它必有极限，设其极限为A在
aaa

x
n1
ax
n
两边取极限得< br>AaA
即
A
2
Aa0

所以
A
114a114a
，因为A>0所以
A

22
114a

2
即
limx
n

n
（4）利用定积分计算
计算项数无限增多的无穷小量之和，有时可设法把问题化为某一函数在某一区间
上的积分和的极 限问题，从而利用定积分求解。有时问题呈现乘积的形式，也可
试用本方法，只式要先取对数将问题转化 为和的形式。
例6 计算
lim
1
n
（2n）!

n
nn!
解
a
n

1
n
(2n）！
n
(2n)!
n
12n
(1)(1)...（ 1+）
、
n
nn!n!nnnn

n
1
n< br>ii1
先考虑
lna
n


ln(1)

ln(1)
，从而有
n
i1
nnn
i1
limlna
n


ln(1x)dx(1x)

l n(1x)1

0
2ln21

n
0
1
1
因此
lima
n
e
2ln21

n
4

e
（5）变上限积分的极限
常用的变上限积分的等价无穷小有：

x
0
tdt~
< br>x
0
x
2
tantdt~

arcsintdt~< br>
arctantdt~

ln(1t)dt~

(e1 )dt~

0000
2
xxxx
t
x
3

0
(1cost)dt~
6
x


x
0
x


1x


1

dt~

x
2
其中
a0,a1


2
(a
t
1)dt~
1
2
xlna
2
0
上述等式可以用洛比塔法则直接证明，证明中我们可以看到被积函数之间是等价
无穷小，由此可 得将被积函数用等价无穷小代换后的变上限积分仍是等价无穷
小，即是:
定理3 若当x0,f(x)0,f

(x)
存在，
F(x)0,G(x)0 ,F(x)~G(x)
，则

f(x)
0
F(t)dt~

0
f(x)
0
G(x)dt
。

lim
证明：

x0
f(x)
f(x)
F(x)dt
G(t)d t
lim
f(x)o
0


f(x)
0
f(x)
0
F(x)dt
G(x)dt
lim
F
f(x)

f

(x)F

f(x)

lim1

f(x)0
G

f(x)

f

(x)
f(x)0
G

f(x)


由此定理还可以得出如下结论，例如：


tanx
0
f (x)
sint
2
dt~


tanx
0
1
t
2
dttan
3
x(x0)
3
f(x)< br>0


1t

1

dt~
< br>0


tdt


2

f( t)

(x0,f(x)0)
2

例7 求
lim< br>x0

x
2
0
(e
t
1)
2< br>dt
sinx
o

tdt
3


解 原式=
lim

x0
x
2
0
sinx
tdt
0
x
6
4x
6limlim
4
0

x0
1
x0
3 x
3
tdt
(sinx)
4
4
2
1
6x
3
例 8 求
lim
x0


0
0
arctant
dt
t(1t)
(11t)dt
2
1cosx

1

0
(1t)
dt
ln(1 x
6
)x
6
解 原式=
limlimlim48

2
x0x0
11
x0
1cosx
t
11
36
(1cosx)x
dt

0
2
2368
x
6
（6）幂指数数激增和T aylor公式使用
定理4 设

~


,

~


，且
lim(1


)A< br>x0
1
1


lim(1

)

lim(1


)
x0x0
1



A
证明
ln(1

)


lim(1

)

limln(1


)


A

x0x0
ln(1


)

1
2
例9 求
lim(cos)
x

x

x
11
解 因为
cos12sin()
2
，当
x
时，有
x2x
11
sin()
2
~()
2
，所以
2x2x
1
)
1
x
2
1
2x
2(
1
2
e
2
原式=
lim(12
2< br>)lim(1
2
)
xx
4x2x
11

在求极限过程中，初学者往往对问题直接计算，造成计算量大，甚至死路
一条，若平 时学习注意积累一些必要的素材，对极限问题按所掌握的素材进行构
造性的转换，利用等价无穷小进行化 简，再结合洛比达法则，就很容易得答案了。
从而有效地提高学生思维的开放性，增强其解决复杂问题的 信心，激发学生学习
高等数学的兴趣。

综上所述，我们看到等价无穷小的应用 非常广泛，但还是要具体情况具体分析，
同时结合洛比达法则，选择合理恰当的方法进行求解。