咖啡策划-年末工作总结

西南石油大学《高等数学》专升本讲义
无穷小 极限的简单计算
【教学目的】
1、理解无穷小与无穷大的概念；
2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限；
3、不同类型的未定式的不同解法。
【教学内容】
1、无穷小与无穷大；
2、无穷小的比较；
3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换；
4、求极限的方法。
【重点难点】
重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。
难点是未定式的极限的求法。
【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟 ），在理解无穷小与无穷大的
概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分 钟）。最后归纳总结
求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。
【授课内容】
一、无穷小与无穷大
1.定义
前面我们研究了
n 
数列
x
n
的极限、
x
（
x
、
x
）函数
f

x

的
极限、xx
0
（
xx
0
、
xx
0
）函 数
f(x)
的极限这七种趋近方式。下面我们用


x
＊表示上述七种的某一种趋近方式，即
＊
n 

xxxxx
0
xx
0

xx
0


定义：当在给定的
x
＊下，
f( x)
以零为极限，则称
f(x)
是
x
＊下的无穷小，即
l imf

x

0
。
x＊
例如,

limsinx0,

函数sinx是当x0时的无穷小.

x0

lim
11
0,

函数是当x时的无穷小
.

x
xx
(1)n
(1)
n
}
是当n时的无穷小
.


lim0,

数列{
n
n
n
【 注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都
不是无穷小。
定义： 当在给定的
x
＊下，
f

x

无限增大，则称
f

x

是
x
＊下的无穷大，即
limf

x


。显然，
n
时，
n、n
2
、n
3
、
都是无穷大量，
x＊【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷大
是相对的 ，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如
1

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lime0
，
lime
，
xx
xx
所以
e
当
x
时为无穷小，当
x
时为无穷大。
2．无穷小 与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果
f

x

为无穷 大，
x
则
11
为无穷小；反之，如果
f

x
为无穷小，且
f

x

0
，则为无穷大。
f

x

f

x

小结：无穷大 量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，
任何非零常量都不是无穷小 ，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。
3.无穷小与函数极限的关系:
定理1
limf(x)=A?
x
®
x
0
x
f(x)A+

(x),
其中

(x)
是自 变量在同一变化过程
xx
0
（或
x
）中的无穷小.
证：（必要性）设
limf(x)=A,
令

(x)=f(x)-A,
则有
lim

(x)=0,

x
®
x
0
x
®
x
0
f(x)A

(x).

（充分性）设
f(x)=A+

(x),
其中

( x)
是当
x®x
0
时的无穷小，则
x

x
0
limf(x)=lim(A+

(x))

Alim

(x)

A.

xx
0
xx
0
【意义】
（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);
（2）
给出了函数f(x) 在x
0
附近的近似表达式f(x)»A,误差为

(x).

3.无穷小的运算性质
定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.
【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
1
1

但n个之和为1不是无穷小.

例如,n时,是无穷小，
n
n
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
如
：
lim(1)
n
n
11
1
0
，
limxsin0
，
limsin x0

x0x
xnx
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.
推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
二、无穷小的比较
例如，
当
x
®
0
时
,x,x,sinx,xsin
22
1< br>都是无穷小，
观察各极限：
x
2

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x
2
lim
0,
x
2
比3x要快得多;

x0
3x
sinx
1,
sinx与x大致相同;
x0
x
1
x
2
sin
x
limsin1
不存在.
不可比.
lim
x0
x0
x
x
2
lim
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.
1．定义: 设

,

是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且

¹0.


=0,就说

是比
高阶的无穷小,记作

=o(

);


< br>(2)如果limC(C0),就说

与

是同阶的无穷小;


特殊地如果lim=1,则称

与

是 等价的无穷小，记作

~

;



(3 )如果lim
k
=C(C?0,k0),就说

是

的k阶 的无穷小.


(1)如果lim
例1
证明:当x0时,4xtan
3
x为x的四阶无穷小.

tanx
3
4xtan
3
x
4lim()
4,
故当x 0时,4xtan
3
x为x的四阶无穷小
证：
lim
.

4
x0
x0
x
x
例2
当x0时,求tanxsinx关于x的阶数.

解

lim< br>x0
tanxsinxtanx1cosx1
lim(
)
 ,
tanxsinx为x的三阶无穷小.

x0
x
3
xx
2
2
2．常用等价无穷小:
当x0时,

（1）
sinx
～
x
； （2）
arcsinx
～
x
； （3）
tanx
～
x
；
x
（4）
arctanx
～
x
； （5）
ln(1x)
～
x
； （6）
e1
～
x

x
2
x
（7）
1cosx
～ （8）
(1x)

1
～

x
（9）
a-1
～
lna*x

2
用等价无穷小可给出函数的近似表达式:

lim




1,
lim0,
即


o(

),于是有



o(

).



1
2
xo(x
2
).

2
例如
sinxxo(x),
cosx1
3．等价无穷小替换
定理：
设

~


,

~
< br>
且lim




存在,则limlim.< br>




3

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证：
lim






< br>



lim()limlimlim
l im.













2
tan
2
2x
e
x
1
.
； （2）
lim
例3 （1）
求lim

x0
1cosx
x0
cosx 1
1
2
(2x)
2
解: （1）
当x0时,1cosx~x,tan2x~2x.
故原极限
=lim
= 8
x
®
0
1
2
x
2
2
1
x
2

（2）原极限
=
l im
=
2
x0
2
x

2
例4
求lim
x0
tanxsinx
.

3
sin2x
错解:
当x0时,tanx~x,sinx~x.
原式lim
xx
=0
x0
(2x)
3
1
3
x,

2
正解:
当x0时,
sin2x~2x,tanxsinxtanx (1cosx)
~
1
3
x
1
.
故原极限
=lim
2
3

x
®
0
(2x)
16< br>【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷
小替换 。

例5
求lim
tan5xcosx1
.

x0
sin3x
1
2
xo(x
2
).

2
1
2
o(x)1o(x
2
)
2
5x+o (x)+x+o(x)
5x
2
x2x

5
.
原式
=lim
lim
x
®
0
x0
o(x)3x+o(x)
3
3
x
解:
tanx5xo(x), sin3x3xo(x),
1cosx
三、极限的简单计算
1. 代入法： 直接将
xx
0
的
x
0
代入所求极限的函数中去，若
f

x
0

存在，即为其极
2x
5
3 x
4
2x12

；若
f

x
0

不存在，我们也能知道属于哪种未定式，限，例如
lim
3
x1
9
3x2x4
0
x
2
9
便于我们选择不同的方法。 例如，
lim
就代不进去了，但我们看出了这是一个型
x3
x3
0
4

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未定式，我们可以用以下的方法来求解。
2. 分解因式，消去零因子法
x
2
9
lim

x3

6
。 例如，
lim
x3
x3
x3
3. 分子（分母）有理化法 < br>例如，
lim
x2
x
2
53
2x15
lim
x2

x
2
53
2x1


2x15


5

2x1 5


x53

x
2
53
2

x
2
4

lim

x2
2x4

lim

x2

x2


x2
2

x2


2

又如，
lim
x

x
22
1xlim

1
x1x
2
x
0

4. 化无穷大为无穷小法

1
-
3x+x-7< br>x
例如，
lim=lim
x

2x
2
-x+ 4
x

1
2-+
x
3+
无穷大量。由此不难得出
7
x
2
=
3
，实际上就是分子分母同时除以
x2
这个
4
2
x
2

a
0
，n m

b
a
0
x
m
a
1
xm1


a
m

0
lim
< br>0，nm

x
bx
n
bx
n1


b
01n

，nm



又如，
lim
1x
x2
1
lim
xx 
1
x
1
，（分子分母同除
x
）。
2
1
x

2


1
nn
25

5

n
lim1
，再如，
lim
n（分子分母同除
5
）。
nn
n
35
n
3


1

5

5. 利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限
5
n

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例如，
lim
xarctan

x1

0，（无穷小量乘以有界量）。
x
3x
2
x1
4x1
.
又如，
求lim
2
x1
x2x3
解：

lim(x2x 3)
0,
商的法则不能用
x1
2
x
2
2 x3
0
又
lim(4x1)
30,
lim
 0.

x1
x1
3
4x1
由无穷小与无穷大的关系, 得
lim
x1
4x1
.

2
x2x3
再如，等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3—例5。
6. 利用两个重要极限求极限（例题参见§1.4例3—例5）
7. 分段函数、复合函数求极限
例如，
设f(x)


1x,x 0
,求limf(x).

2
x0
x1,x0

解:
x0是函数的分段点

,两个单侧极限为
2
limf(x)li m(1x)
limf(x)lim(x1)
1,

1,
 

x0x0
x0x0
左右极限存在且相等,
故limf(x)1.

x0
【启发与讨论】
思考题1：
当x?0时,y
11
sin是无界变量吗？是无穷大吗？

xx

解：
(1)取x
0

1
2k



2
(k

0,1,2,3,

)

2
1
(2)取x
0

2k

y (x
0
)2k



,

当k充分大时,y(x
0
)M.
无界，
(
k
0,1,2,3,

)

6

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当k充分大时,x
k


,

但y(x
k
)2k

sin2k


0M.
不是无穷大．
结论：无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.
思考题2：若
f (x)0
，且
limf(x)A
，问：能否保证有
A0
的结论 ？试举例说明.
x
解：不能保证. 例
f(x)
111

x0,

f(x)0

limf(x)

limA0.

x
x
xxx
1sinx< br>,g(x)
都是无穷小量
xx
思考题3：任何两个无穷小量都可以比较吗？
解：不能．例如当
x
时
f(x)
但
lim
x
g(x)

limsinx
不存在且不为无穷大，故当
x 
时
f(x)
和
g(x)
不能比较.
f(x)
x
【课堂练习】求下列函数的极限
e
x
cosx
（1）
lim
；
x0
x
e
x
cosxe
x
11cosx
limlim 1
解：原极限=
lim
x0x0x0
xxx
1
x
（2 ）求
lim
x0
(1cosx)ln(1x)
3sinxx
2
cos
【分析】 “
0
”型，拆项。
0
1
< br>1

22

3sinxxcos

3sin x
xcos

3
x

=
lim

x

=

解：原极限=
lim

x0

2x
2x

2

x0

2x




5x
5
4x
4
3x
2
（3）
lim
；
5
x
2x4x1
【分析】“抓大头法”，用于

型

5
4

3
3
5
5x
5
5
x
x
解：原极限=
lim
=，或原极限
=
li m
5
=

x
41
2
2
2
x

2x
4

5
xx
（4）
lim(xx x)
；
x
2
【分析】分子有理化
7

西南石油大学《高等数学》专升本讲义
解：原极限=
lim
x
x
2
xx
x=
lim
x
1

2
11x1
1
=
x
2
1
)
（5）
lim(
2
x2
x4x2
【分析】
型，是不定型，四则运算法则无法应用，需先通分，后计算。
x13
x
2x2
x
2
1
lim
)
=
lim
解：
lim(
2
==
x2
x2
x2
x4
4
x2
x2
x
2
4
（6）
lim< br>x0
x
2
x93
2

【分析】“
0
”型，是不定型，四则运算法则失效，使用分母有理化消零因子。 < br>0
解：原极限=
lim
x0
x
2

x2
93
x
2

=6
（7）
求
l im(
n
12n


).

n
2
n
2
n
2
解:
n时,是无穷小之和．
先变形再求极限.
1
n(n1)
12 n12

n111
2
lim(
2

2



2
)limlim(1)
.

 lim
2
n
n
nn
n
nnn
2< br>2n
2
n
【内容小结】
一、无穷小（大）的概念
无穷小与无穷大是相对于过程而言的.
1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论.
2、几点注意:
(1) 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；
（2） 无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.
（3） 无界变量未必是无穷大.
二、无穷小的比较:
1.反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行
比较。高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶。
2.等价无穷小的替换:
求极限的又一种方法, 注意适用条件.
三、极限求法（不同类型的未定式的不同解法）;
a.多项式与分式函数代入法求极限;
b.消去零因子法求极限;
c.无穷小因子分出法求极限;
d.利用无穷小运算性质求极限;
e.利用左右极限求分段函数极限.
8

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无穷小 极限的简单计算
【教学目的】
1、理解无穷小与无穷大的概念；
2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限；
3、不同类型的未定式的不同解法。
【教学内容】
1、无穷小与无穷大；
2、无穷小的比较；
3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换；
4、求极限的方法。
【重点难点】
重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。
难点是未定式的极限的求法。
【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟 ），在理解无穷小与无穷大的
概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分 钟）。最后归纳总结
求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。
【授课内容】
一、无穷小与无穷大
1.定义
前面我们研究了
n 
数列
x
n
的极限、
x
（
x
、
x
）函数
f

x

的
极限、xx
0
（
xx
0
、
xx
0
）函 数
f(x)
的极限这七种趋近方式。下面我们用


x
＊表示上述七种的某一种趋近方式，即
＊
n 

xxxxx
0
xx
0

xx
0


定义：当在给定的
x
＊下，
f( x)
以零为极限，则称
f(x)
是
x
＊下的无穷小，即
l imf

x

0
。
x＊
例如,

limsinx0,

函数sinx是当x0时的无穷小.

x0

lim
11
0,

函数是当x时的无穷小
.

x
xx
(1)n
(1)
n
}
是当n时的无穷小
.


lim0,

数列{
n
n
n
【 注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都
不是无穷小。
定义： 当在给定的
x
＊下，
f

x

无限增大，则称
f

x

是
x
＊下的无穷大，即
limf

x


。显然，
n
时，
n、n
2
、n
3
、
都是无穷大量，
x＊【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷大
是相对的 ，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如
1

西南石油大学《高等数学》专升本讲义

lime0
，
lime
，
xx
xx
所以
e
当
x
时为无穷小，当
x
时为无穷大。
2．无穷小 与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果
f

x

为无穷 大，
x
则
11
为无穷小；反之，如果
f

x
为无穷小，且
f

x

0
，则为无穷大。
f

x

f

x

小结：无穷大 量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，
任何非零常量都不是无穷小 ，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。
3.无穷小与函数极限的关系:
定理1
limf(x)=A?
x
®
x
0
x
f(x)A+

(x),
其中

(x)
是自 变量在同一变化过程
xx
0
（或
x
）中的无穷小.
证：（必要性）设
limf(x)=A,
令

(x)=f(x)-A,
则有
lim

(x)=0,

x
®
x
0
x
®
x
0
f(x)A

(x).

（充分性）设
f(x)=A+

(x),
其中

( x)
是当
x®x
0
时的无穷小，则
x

x
0
limf(x)=lim(A+

(x))

Alim

(x)

A.

xx
0
xx
0
【意义】
（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);
（2）
给出了函数f(x) 在x
0
附近的近似表达式f(x)»A,误差为

(x).

3.无穷小的运算性质
定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.
【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
1
1

但n个之和为1不是无穷小.

例如,n时,是无穷小，
n
n
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
如
：
lim(1)
n
n
11
1
0
，
limxsin0
，
limsin x0

x0x
xnx
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.
推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
二、无穷小的比较
例如，
当
x
®
0
时
,x,x,sinx,xsin
22
1< br>都是无穷小，
观察各极限：
x
2

西南石油大学《高等数学》专升本讲义
x
2
lim
0,
x
2
比3x要快得多;

x0
3x
sinx
1,
sinx与x大致相同;
x0
x
1
x
2
sin
x
limsin1
不存在.
不可比.
lim
x0
x0
x
x
2
lim
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.
1．定义: 设

,

是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且

¹0.


=0,就说

是比
高阶的无穷小,记作

=o(

);


< br>(2)如果limC(C0),就说

与

是同阶的无穷小;


特殊地如果lim=1,则称

与

是 等价的无穷小，记作

~

;



(3 )如果lim
k
=C(C?0,k0),就说

是

的k阶 的无穷小.


(1)如果lim
例1
证明:当x0时,4xtan
3
x为x的四阶无穷小.

tanx
3
4xtan
3
x
4lim()
4,
故当x 0时,4xtan
3
x为x的四阶无穷小
证：
lim
.

4
x0
x0
x
x
例2
当x0时,求tanxsinx关于x的阶数.

解

lim< br>x0
tanxsinxtanx1cosx1
lim(
)
 ,
tanxsinx为x的三阶无穷小.

x0
x
3
xx
2
2
2．常用等价无穷小:
当x0时,

（1）
sinx
～
x
； （2）
arcsinx
～
x
； （3）
tanx
～
x
；
x
（4）
arctanx
～
x
； （5）
ln(1x)
～
x
； （6）
e1
～
x

x
2
x
（7）
1cosx
～ （8）
(1x)

1
～

x
（9）
a-1
～
lna*x

2
用等价无穷小可给出函数的近似表达式:

lim




1,
lim0,
即


o(

),于是有



o(

).



1
2
xo(x
2
).

2
例如
sinxxo(x),
cosx1
3．等价无穷小替换
定理：
设

~


,

~
< br>
且lim




存在,则limlim.< br>




3

西南石油大学《高等数学》专升本讲义
证：
lim






< br>



lim()limlimlim
l im.













2
tan
2
2x
e
x
1
.
； （2）
lim
例3 （1）
求lim

x0
1cosx
x0
cosx 1
1
2
(2x)
2
解: （1）
当x0时,1cosx~x,tan2x~2x.
故原极限
=lim
= 8
x
®
0
1
2
x
2
2
1
x
2

（2）原极限
=
l im
=
2
x0
2
x

2
例4
求lim
x0
tanxsinx
.

3
sin2x
错解:
当x0时,tanx~x,sinx~x.
原式lim
xx
=0
x0
(2x)
3
1
3
x,

2
正解:
当x0时,
sin2x~2x,tanxsinxtanx (1cosx)
~
1
3
x
1
.
故原极限
=lim
2
3

x
®
0
(2x)
16< br>【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷
小替换 。

例5
求lim
tan5xcosx1
.

x0
sin3x
1
2
xo(x
2
).

2
1
2
o(x)1o(x
2
)
2
5x+o (x)+x+o(x)
5x
2
x2x

5
.
原式
=lim
lim
x
®
0
x0
o(x)3x+o(x)
3
3
x
解:
tanx5xo(x), sin3x3xo(x),
1cosx
三、极限的简单计算
1. 代入法： 直接将
xx
0
的
x
0
代入所求极限的函数中去，若
f

x
0

存在，即为其极
2x
5
3 x
4
2x12

；若
f

x
0

不存在，我们也能知道属于哪种未定式，限，例如
lim
3
x1
9
3x2x4
0
x
2
9
便于我们选择不同的方法。 例如，
lim
就代不进去了，但我们看出了这是一个型
x3
x3
0
4

西南石油大学《高等数学》专升本讲义
未定式，我们可以用以下的方法来求解。
2. 分解因式，消去零因子法
x
2
9
lim

x3

6
。 例如，
lim
x3
x3
x3
3. 分子（分母）有理化法 < br>例如，
lim
x2
x
2
53
2x15
lim
x2

x
2
53
2x1


2x15


5

2x1 5


x53

x
2
53
2

x
2
4

lim

x2
2x4

lim

x2

x2


x2
2

x2


2

又如，
lim
x

x
22
1xlim

1
x1x
2
x
0

4. 化无穷大为无穷小法

1
-
3x+x-7< br>x
例如，
lim=lim
x

2x
2
-x+ 4
x

1
2-+
x
3+
无穷大量。由此不难得出
7
x
2
=
3
，实际上就是分子分母同时除以
x2
这个
4
2
x
2

a
0
，n m

b
a
0
x
m
a
1
xm1


a
m

0
lim
< br>0，nm

x
bx
n
bx
n1


b
01n

，nm



又如，
lim
1x
x2
1
lim
xx 
1
x
1
，（分子分母同除
x
）。
2
1
x

2


1
nn
25

5

n
lim1
，再如，
lim
n（分子分母同除
5
）。
nn
n
35
n
3


1

5

5. 利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限
5
n

西南石油大学《高等数学》专升本讲义
例如，
lim
xarctan

x1

0，（无穷小量乘以有界量）。
x
3x
2
x1
4x1
.
又如，
求lim
2
x1
x2x3
解：

lim(x2x 3)
0,
商的法则不能用
x1
2
x
2
2 x3
0
又
lim(4x1)
30,
lim
 0.

x1
x1
3
4x1
由无穷小与无穷大的关系, 得
lim
x1
4x1
.

2
x2x3
再如，等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3—例5。
6. 利用两个重要极限求极限（例题参见§1.4例3—例5）
7. 分段函数、复合函数求极限
例如，
设f(x)


1x,x 0
,求limf(x).

2
x0
x1,x0

解:
x0是函数的分段点

,两个单侧极限为
2
limf(x)li m(1x)
limf(x)lim(x1)
1,

1,
 

x0x0
x0x0
左右极限存在且相等,
故limf(x)1.

x0
【启发与讨论】
思考题1：
当x?0时,y
11
sin是无界变量吗？是无穷大吗？

xx

解：
(1)取x
0

1
2k



2
(k

0,1,2,3,

)

2
1
(2)取x
0

2k

y (x
0
)2k



,

当k充分大时,y(x
0
)M.
无界，
(
k
0,1,2,3,

)

6

西南石油大学《高等数学》专升本讲义
当k充分大时,x
k


,

但y(x
k
)2k

sin2k


0M.
不是无穷大．
结论：无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.
思考题2：若
f (x)0
，且
limf(x)A
，问：能否保证有
A0
的结论 ？试举例说明.
x
解：不能保证. 例
f(x)
111

x0,

f(x)0

limf(x)

limA0.

x
x
xxx
1sinx< br>,g(x)
都是无穷小量
xx
思考题3：任何两个无穷小量都可以比较吗？
解：不能．例如当
x
时
f(x)
但
lim
x
g(x)

limsinx
不存在且不为无穷大，故当
x 
时
f(x)
和
g(x)
不能比较.
f(x)
x
【课堂练习】求下列函数的极限
e
x
cosx
（1）
lim
；
x0
x
e
x
cosxe
x
11cosx
limlim 1
解：原极限=
lim
x0x0x0
xxx
1
x
（2 ）求
lim
x0
(1cosx)ln(1x)
3sinxx
2
cos
【分析】 “
0
”型，拆项。
0
1
< br>1

22

3sinxxcos

3sin x
xcos

3
x

=
lim

x

=

解：原极限=
lim

x0

2x
2x

2

x0

2x




5x
5
4x
4
3x
2
（3）
lim
；
5
x
2x4x1
【分析】“抓大头法”，用于

型

5
4

3
3
5
5x
5
5
x
x
解：原极限=
lim
=，或原极限
=
li m
5
=

x
41
2
2
2
x

2x
4

5
xx
（4）
lim(xx x)
；
x
2
【分析】分子有理化
7

西南石油大学《高等数学》专升本讲义
解：原极限=
lim
x
x
2
xx
x=
lim
x
1

2
11x1
1
=
x
2
1
)
（5）
lim(
2
x2
x4x2
【分析】
型，是不定型，四则运算法则无法应用，需先通分，后计算。
x13
x
2x2
x
2
1
lim
)
=
lim
解：
lim(
2
==
x2
x2
x2
x4
4
x2
x2
x
2
4
（6）
lim< br>x0
x
2
x93
2

【分析】“
0
”型，是不定型，四则运算法则失效，使用分母有理化消零因子。 < br>0
解：原极限=
lim
x0
x
2

x2
93
x
2

=6
（7）
求
l im(
n
12n


).

n
2
n
2
n
2
解:
n时,是无穷小之和．
先变形再求极限.
1
n(n1)
12 n12

n111
2
lim(
2

2



2
)limlim(1)
.

 lim
2
n
n
nn
n
nnn
2< br>2n
2
n
【内容小结】
一、无穷小（大）的概念
无穷小与无穷大是相对于过程而言的.
1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论.
2、几点注意:
(1) 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；
（2） 无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.
（3） 无界变量未必是无穷大.
二、无穷小的比较:
1.反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行
比较。高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶。
2.等价无穷小的替换:
求极限的又一种方法, 注意适用条件.
三、极限求法（不同类型的未定式的不同解法）;
a.多项式与分式函数代入法求极限;
b.消去零因子法求极限;
c.无穷小因子分出法求极限;
d.利用无穷小运算性质求极限;
e.利用左右极限求分段函数极限.
8