我有一颗坚强的心-幼儿园教师师德总结

关于等价无穷小替换法则在何种情况下适用于加减
法的若干探讨
程浩
北京航空航天大学，电子信息工程学院，北京，100191
薛玉梅
北京航空航天 大学，数学与系统科学学院，数学、信息、行为教育部重点实验室，北京，
100191

摘要：本文对等价无穷小替换法则适用于加减法的情形做了
一些探究，并在最后以泰勒公式做了一些推广.
关键字：等价无穷小 替换 泰勒公式
一、引言
我们已经知道，等价无穷小替换法则适用于乘除法，即：
设函数
f

x

,g

x

,h
x

在
x
0
附近有定义，且
f

x< br>
~g

x

xx
0

则：若
limf

x

h

x
a
，则
limg

x

h

x
a
；
xx
0
xx
0
若
li m
xx
0
h

x

h

x
a
，则
lima
.（在
x
0
附近
f

x

0,g

x

0
）
xx
0
g

x

f

x< br>
那么等价无穷小替换法则在何时适用于加减法呢？当然我们可以轻易推得：
若
f

x

~g

x

xx
0

，则
lim

f

x

h

x

lim

g

x
< br>h

x

（若两极限存在）但
xx
0
xx
0
在参与一些较复杂的运算时就不一定成立了.如：
例1计算
lim
x0
tanxsinx

sin
3
x
sinx
sinx
tanxsinxtanxsinx
cosx
正解
lim

limlim
333
x0x 0x0
sinxxx

1
2
sinx
sinx
1cosx

2
1

lim


32
x0
xcosxx2
错解
lim
tanxsinxtanxtanx
lim0

x 0x0
sin
3
xsin
3
x
究竟是什么原因导致了错误 呢？
原来若我们所求极限是
0
型极限的话，我们轻易替换可能出现错误，不难验证若
0
分子分母函数的极限都存在且不等于0时，等价无穷小可以适用于加减.因此我
0< br>们主要探讨型极限.我们只讨论减法运算.
0
二、从无穷小阶量化角度得到的结论

笔者从无穷小量化的角度得到了如下结论：
定理1
设
f

x

~g

x

xx
0

，
limh

x

0
，
limF

x

0
，
lim
xx
0
xx
0< br>xx
0
f

x

h

x

a
,
F

x

（1）当
f
x

和
h

x


xx
0

不是等价无穷小量，则

lim
xx< br>0
g

x

h

x

f

x

h

x

lima
；
xx
0
F

x

F

x< br>
（2）当
f

x

~h

x

xx
0

，则
xx
0
lim< br>g

x

h

x

f

x

h

x

lima
成立当且仅 当
f

x

g

x

是
F

x

的高阶无穷小量.
xx
0
F

x

F

x

证明
以下设
h

x

的阶数为m，
f

x

的阶数为n，
f

x

h

x

的阶数为p，
F

x

的阶数为
q，
f

x

g

x

的阶数为s.


f

x

h

x

g

x

h

x


g

x

h

x

分析：
l ima
等价于
lim

0
即等价于

xx
0
xx
0
F

x

F

x


F

x

f

x
g

x

为无穷小，等价于
f

x

g

x

为
F

x

的高阶无穷小.在开篇的例子中由于
F

x

tanx sinx
与
sin
3
x
为等价无穷小，故出现了错误（两者均为3 阶无穷小量）.
现在我们来更深入地探讨这个问题.由于
lim
xx
0< br>f

x

h

x

a,
若
a0
，则
f

x

h
x

为
F

x

若
a0
，则
f

x

h

x

为 < br>F

x

的等价无穷小.这就产生了两个问题：
F

x

的高阶无穷小；
（1）
f

x

h

x

的阶数与
f

x
< br>和
h

x

的阶数有何关系；（2）
f
< br>x

g

x

的阶数与
f
x

和
g

x

的阶数有何关系.
对问题（1），我们可证下面命题：
定理2
若
mn
，则
pmin

m,n

；若
mn
，则
pm.
证明
若
mn
，不妨设
mn
.则由题可设lim
h

x

f

x

 c0,limd0
，则
xx
0
x
n
x
m
xx
0
xx
0
lim
f

x

h

x

f

x


h

x

mn

limlim

m
x

0dd0
，故
pmin

m, n

得证.
xx
0
x
n
xx
0x
n

x

f

x

h< br>
x

f

x

h

x< br>
limlimdc

mmm
xxxx
00xxx
若
mn
，
lim
xx
0
m
若
cd
，则
pm
；若
cd
，则
f

x

h

x

是
x
的高阶无穷 小，故
pm
，命题后
半部分得证.定理2得证
由定理2我们还可以解决问题（2）.我们有如下定理：
定理3(1)
若
m n
，
则qs
，这样
f

x

g
x

必为
F

x

的高阶无穷小；
(2)若
mn
，则
当
cd
则
qs
，
f

x

g
x

为
F

x

的高阶无穷小；

当
cd
时，无法推知
f
x

g

x

和
F

x< br>
的阶数之间的关系.
证明
由于
f

x

~g

x

xx
0

f

x

x
n
f

x

x
n
，则
lim
n
limlim1
，进而
xx
0
xg

x

xx
0
x
n
x x
0
g

x

xx
0
lim
f

x

g

x

lim
，由 上面所证命题可知
f

x

g

x
< br>的阶数
sn
.
nn
xx
0
xx
这样， 若
mn
，则
pn
，而
ns,qp,则qs
，这样
f

x

g

x

必为
F

x

的高阶无
穷小；若
mn
，则当
cd
时，
pn，ns,qp
，则
qs
也成立，当
cd
时，则无
法推得.定理3得证.
由分析结合定理2、3知定理1成立. < br>定理4
设
f

x

~g

x

xx
0

，
limh

x
0
，
lim
xx
0
xx
0
F

x

a
,
f

x

h

x

（1）当
f

x

和
h

x


xx
0

不是等价无穷小量，则

lim< br>xx
0
F

x

F

x

lima
；
xx
0
f

x
< br>h

x

g

x

h

x

（2）当
f

x

~h

x

xx
0

，则
xx
0< br>lim
F

x

F

x

lima
成立当且仅当
f

x

g

x

是
F

x

的高阶无穷小量.
x x
0
g

x

h

x
f

x

h

x

f
< br>x

h

x

1

，归结为类型 一，由定理1知定理4成立；
F

x

a
证明
若
a0,则lim
xx
0
若
a0
，则
F

x

是
f

x

h
x

的高阶无穷小，即
qp
.而
f

x
h

x

和
g

x
< br>h

x

不
一定相同，故
lim
xx< br>0
F

x

a
仍等价于
f
x

g

x

是
F

x< br>
的高阶无穷小量.
g

x

h
x


定理4得证.
三、应用泰勒公式进行推广
上述结 论实际应用起来多有不便，为此我们应用泰勒公式进一步深入推广这个结论.首先我
们叙述一下带Pea no型余项的泰勒公式.
定理5
[1]

设
f

x

在xx
0
处n阶可导
，则
f

x



k0
n
f

k


x
0


xx
0

k
o

xx
0

n


xx
0


k!

通常记
T
n

f,x
0
;x



k 0
n
f

k


x
0


xx
0

k
,R
n

x

o

xx
0

n

k!

前者称为
f

x

在xx
0
处的n次泰 勒多项式，
，后者为Peano型余项.
分析
泰勒公式的实质就是用多项式作为
f

x

的等价无穷小，和结论一相比，
g
x

就是泰勒多项
式，而
f

x

 g

x

就是Peano型余项
R
n

x

o

xx
0

，而结论一的关键是判断n

f

x

h

x

是否是
F

x

的高阶无穷小量，只要保证
f
x

h

x

是
F
< br>x

的高阶无穷小量，
等价无穷小替换法则就能适用于加减，而有了泰勒公式， 我们就有了解决办法，我们只要使
Peano型余项成为
F

x
< br>的高阶无穷小量即可，而这我们显然是可以做到的.进而，我们得到
定理1的推广形式：
定理6
设
f

x

T
1n

f,x
0
;x

R
1n

x

,h

x

T
2n

f,x
0
;x

R
2n

x

，其中
T
1n

f,x
0
;x

，
T
1n

f,x
0
;x

分别是
f

x

，
h

x

的
n
阶泰勒展开，
R
1n

x

和
R
2n

x
分别是
f

x

，
h

x

的
余项.若
lim
xx
0
f

x

h

x

存在，则
g

x


xx
0
lim
[T

f, x
0
;x

T
2n

f,x
0
;x

][R
1n

x

R
2n
x

]
f

x

h
< br>x


lim
1n
xx
0
g

x

g

x

[T

f,x0
;x

R
1n

x

][T< br>2n

f,x
0
;x

R
2n

x

]
f

x

h

x

lim
1n

xx
0
g

x

g

x

[T
1n

f, x
0
;x

T
2n

f,x
0
;x

][R
1n

x

R
2n
x

]

xx
0
g

x

证明
lim
xx
0

lim
得证.

下面我们举一例说明其具体应用.
e
x
sinxx

1x

例2
求
lim

x0
sin
3
x
[2]
解 因为

x
2
x
3
2

esinx

1x ox

xox
4

23!

x
3
2
xxox
3
3
x

所以
e
x
sinxx

1x
lim
x0
sin
3
x
e
x
sinxx< br>
1x

lim
x0
x
3
x
3
2
xxox
3
x

1x

3
lim

x0
x
3
x
3
ox
3
lim
3
3
x0
x
1

3


参考文献

[1]《工科数学分析教程》，2013年8月 第一版，杨小远、孙玉泉、薛玉梅、杨卓琴编著，
科学出版社出版.
[2]《工科数学分析教程》，2013年8月第一版，杨小远、孙玉泉、薛玉梅、杨卓琴编著，
科学出版社出版.

关于等价无穷小替换法则在何种情况下适用于加减
法的若干探讨
程浩
北京航空航天大学，电子信息工程学院，北京，100191
薛玉梅
北京航空航天 大学，数学与系统科学学院，数学、信息、行为教育部重点实验室，北京，
100191

摘要：本文对等价无穷小替换法则适用于加减法的情形做了
一些探究，并在最后以泰勒公式做了一些推广.
关键字：等价无穷小 替换 泰勒公式
一、引言
我们已经知道，等价无穷小替换法则适用于乘除法，即：
设函数
f

x

,g

x

,h
x

在
x
0
附近有定义，且
f

x< br>
~g

x

xx
0

则：若
limf

x

h

x
a
，则
limg

x

h

x
a
；
xx
0
xx
0
若
li m
xx
0
h

x

h

x
a
，则
lima
.（在
x
0
附近
f

x

0,g

x

0
）
xx
0
g

x

f

x< br>
那么等价无穷小替换法则在何时适用于加减法呢？当然我们可以轻易推得：
若
f

x

~g

x

xx
0

，则
lim

f

x

h

x

lim

g

x
< br>h

x

（若两极限存在）但
xx
0
xx
0
在参与一些较复杂的运算时就不一定成立了.如：
例1计算
lim
x0
tanxsinx

sin
3
x
sinx
sinx
tanxsinxtanxsinx
cosx
正解
lim

limlim
333
x0x 0x0
sinxxx

1
2
sinx
sinx
1cosx

2
1

lim


32
x0
xcosxx2
错解
lim
tanxsinxtanxtanx
lim0

x 0x0
sin
3
xsin
3
x
究竟是什么原因导致了错误 呢？
原来若我们所求极限是
0
型极限的话，我们轻易替换可能出现错误，不难验证若
0
分子分母函数的极限都存在且不等于0时，等价无穷小可以适用于加减.因此我
0< br>们主要探讨型极限.我们只讨论减法运算.
0
二、从无穷小阶量化角度得到的结论

笔者从无穷小量化的角度得到了如下结论：
定理1
设
f

x

~g

x

xx
0

，
limh

x

0
，
limF

x

0
，
lim
xx
0
xx
0< br>xx
0
f

x

h

x

a
,
F

x

（1）当
f
x

和
h

x


xx
0

不是等价无穷小量，则

lim
xx< br>0
g

x

h

x

f

x

h

x

lima
；
xx
0
F

x

F

x< br>
（2）当
f

x

~h

x

xx
0

，则
xx
0
lim< br>g

x

h

x

f

x

h

x

lima
成立当且仅 当
f

x

g

x

是
F

x

的高阶无穷小量.
xx
0
F

x

F

x

证明
以下设
h

x

的阶数为m，
f

x

的阶数为n，
f

x

h

x

的阶数为p，
F

x

的阶数为
q，
f

x

g

x

的阶数为s.


f

x

h

x

g

x

h

x


g

x

h

x

分析：
l ima
等价于
lim

0
即等价于

xx
0
xx
0
F

x

F

x


F

x

f

x
g

x

为无穷小，等价于
f

x

g

x

为
F

x

的高阶无穷小.在开篇的例子中由于
F

x

tanx sinx
与
sin
3
x
为等价无穷小，故出现了错误（两者均为3 阶无穷小量）.
现在我们来更深入地探讨这个问题.由于
lim
xx
0< br>f

x

h

x

a,
若
a0
，则
f

x

h
x

为
F

x

若
a0
，则
f

x

h

x

为 < br>F

x

的等价无穷小.这就产生了两个问题：
F

x

的高阶无穷小；
（1）
f

x

h

x

的阶数与
f

x
< br>和
h

x

的阶数有何关系；（2）
f
< br>x

g

x

的阶数与
f
x

和
g

x

的阶数有何关系.
对问题（1），我们可证下面命题：
定理2
若
mn
，则
pmin

m,n

；若
mn
，则
pm.
证明
若
mn
，不妨设
mn
.则由题可设lim
h

x

f

x

 c0,limd0
，则
xx
0
x
n
x
m
xx
0
xx
0
lim
f

x

h

x

f

x


h

x

mn

limlim

m
x

0dd0
，故
pmin

m, n

得证.
xx
0
x
n
xx
0x
n

x

f

x

h< br>
x

f

x

h

x< br>
limlimdc

mmm
xxxx
00xxx
若
mn
，
lim
xx
0
m
若
cd
，则
pm
；若
cd
，则
f

x

h

x

是
x
的高阶无穷 小，故
pm
，命题后
半部分得证.定理2得证
由定理2我们还可以解决问题（2）.我们有如下定理：
定理3(1)
若
m n
，
则qs
，这样
f

x

g
x

必为
F

x

的高阶无穷小；
(2)若
mn
，则
当
cd
则
qs
，
f

x

g
x

为
F

x

的高阶无穷小；

当
cd
时，无法推知
f
x

g

x

和
F

x< br>
的阶数之间的关系.
证明
由于
f

x

~g

x

xx
0

f

x

x
n
f

x

x
n
，则
lim
n
limlim1
，进而
xx
0
xg

x

xx
0
x
n
x x
0
g

x

xx
0
lim
f

x

g

x

lim
，由 上面所证命题可知
f

x

g

x
< br>的阶数
sn
.
nn
xx
0
xx
这样， 若
mn
，则
pn
，而
ns,qp,则qs
，这样
f

x

g

x

必为
F

x

的高阶无
穷小；若
mn
，则当
cd
时，
pn，ns,qp
，则
qs
也成立，当
cd
时，则无
法推得.定理3得证.
由分析结合定理2、3知定理1成立. < br>定理4
设
f

x

~g

x

xx
0

，
limh

x
0
，
lim
xx
0
xx
0
F

x

a
,
f

x

h

x

（1）当
f

x

和
h

x


xx
0

不是等价无穷小量，则

lim< br>xx
0
F

x

F

x

lima
；
xx
0
f

x
< br>h

x

g

x

h

x

（2）当
f

x

~h

x

xx
0

，则
xx
0< br>lim
F

x

F

x

lima
成立当且仅当
f

x

g

x

是
F

x

的高阶无穷小量.
x x
0
g

x

h

x
f

x

h

x

f
< br>x

h

x

1

，归结为类型 一，由定理1知定理4成立；
F

x

a
证明
若
a0,则lim
xx
0
若
a0
，则
F

x

是
f

x

h
x

的高阶无穷小，即
qp
.而
f

x
h

x

和
g

x
< br>h

x

不
一定相同，故
lim
xx< br>0
F

x

a
仍等价于
f
x

g

x

是
F

x< br>
的高阶无穷小量.
g

x

h
x


定理4得证.
三、应用泰勒公式进行推广
上述结 论实际应用起来多有不便，为此我们应用泰勒公式进一步深入推广这个结论.首先我
们叙述一下带Pea no型余项的泰勒公式.
定理5
[1]

设
f

x

在xx
0
处n阶可导
，则
f

x



k0
n
f

k


x
0


xx
0

k
o

xx
0

n


xx
0


k!

通常记
T
n

f,x
0
;x



k 0
n
f

k


x
0


xx
0

k
,R
n

x

o

xx
0

n

k!

前者称为
f

x

在xx
0
处的n次泰 勒多项式，
，后者为Peano型余项.
分析
泰勒公式的实质就是用多项式作为
f

x

的等价无穷小，和结论一相比，
g
x

就是泰勒多项
式，而
f

x

 g

x

就是Peano型余项
R
n

x

o

xx
0

，而结论一的关键是判断n

f

x

h

x

是否是
F

x

的高阶无穷小量，只要保证
f
x

h

x

是
F
< br>x

的高阶无穷小量，
等价无穷小替换法则就能适用于加减，而有了泰勒公式， 我们就有了解决办法，我们只要使
Peano型余项成为
F

x
< br>的高阶无穷小量即可，而这我们显然是可以做到的.进而，我们得到
定理1的推广形式：
定理6
设
f

x

T
1n

f,x
0
;x

R
1n

x

,h

x

T
2n

f,x
0
;x

R
2n

x

，其中
T
1n

f,x
0
;x

，
T
1n

f,x
0
;x

分别是
f

x

，
h

x

的
n
阶泰勒展开，
R
1n

x

和
R
2n

x
分别是
f

x

，
h

x

的
余项.若
lim
xx
0
f

x

h

x

存在，则
g

x


xx
0
lim
[T

f, x
0
;x

T
2n

f,x
0
;x

][R
1n

x

R
2n
x

]
f

x

h
< br>x


lim
1n
xx
0
g

x

g

x

[T

f,x0
;x

R
1n

x

][T< br>2n

f,x
0
;x

R
2n

x

]
f

x

h

x

lim
1n

xx
0
g

x

g

x

[T
1n

f, x
0
;x

T
2n

f,x
0
;x

][R
1n

x

R
2n
x

]

xx
0
g

x

证明
lim
xx
0

lim
得证.

下面我们举一例说明其具体应用.
e
x
sinxx

1x

例2
求
lim

x0
sin
3
x
[2]
解 因为

x
2
x
3
2

esinx

1x ox

xox
4

23!

x
3
2
xxox
3
3
x

所以
e
x
sinxx

1x
lim
x0
sin
3
x
e
x
sinxx< br>
1x

lim
x0
x
3
x
3
2
xxox
3
x

1x

3
lim

x0
x
3
x
3
ox
3
lim
3
3
x0
x
1

3


参考文献

[1]《工科数学分析教程》，2013年8月 第一版，杨小远、孙玉泉、薛玉梅、杨卓琴编著，
科学出版社出版.
[2]《工科数学分析教程》，2013年8月第一版，杨小远、孙玉泉、薛玉梅、杨卓琴编著，
科学出版社出版.