文案策划岗位职责-济南大学录取分数线

2、利用等价无穷小代换求极限时应注意的问题．
考研数学每年必考有关求极限的问题 ，利用等价无穷小代换求极限一般可以简化计算，
但我们一定要明确，在求极限时，什么时候能用等价无 穷小代换，什么时候不能用等价无
穷小代换，这也是部分学员，尤其基础比较薄弱的学员开始复习的时候 比较容易犯错的地
方。
下面通过给出几个例子来进行讲述，注意错误的解法，谨防自己犯同样的错误。


例1：求极限
lim
解：
lim
tanxsinx
x
3


0< br>x0
tanxsinx
x
3
x0
lim
x x
x
3


x0
利用等价无穷小代换．这样 计算对吗？计算的错误在于在运算过程中利用了未加证明的
命题．
若

~< br>
',

~

'
,则



~

'

'
.考察这个命题，


lim








lim







lim




1



< br>1



，当
lim


1< br>时,这个命题是真命题；当
lim


1
时,命题是假命题 ．
对于例1，因为，

sinx,

tanx,

'

'x
，
lim
所以，证明的结论是错误的．
正确解答:
tanxsinx
x
3


x0
lim
sinx
tanx
x0
1

lim< br>x0
lim
tanx(1cosx)
x
3
x
l im
x0
x
2
x0
2

1
.
3
x2

sin(xsin
2
1
例2：求
lim
x0
x
2
x

1
)xsin
2< br>)
x
limxsin
1
0

x0x0x0
xxx
错误的原因在于在运算中错误的运用了等价无穷小代换：
sin(xsin
1
错误解答:
lim
x
lim
1

1

22
sin

xsin

xsin,

x0


x

x


而根据无穷小的比较的定义，当
x取
所以不能用等价无穷 小的代换．
正确解答：当
x0
时，
1
x
1
x
1
n

(nZ)时，sin(xsin
2
1
x< br>)
和
xsin
2
1
x
均为0，
sin(x sin
2
x
，
2
1
x
)

xs in
x
2
1
x
x
0(x0)

si n(xsin
2
)xsin
2
x
所以，由夹逼准则知原函数极限为 0．

例3：求极限
lim
x

sinx
x

解：本题切忌将
sinx
用
x
等价代换，导致结果为1．
sinxsin

应该为：
lim0
.
x

x

注意：
①乘除运算中可以使用等价无穷小因子 替换，加减运算中由于用等价无穷小替换是有
条件的，故统一不用．这时，一般可以用泰勒公式、洛必达 法则等方法来求极限．
②注意等价无穷小的条件，即在哪一点可以用等价无穷小因子替换，如例2.3．
巩固相应知识点
① 无穷小量阶的定义,设
lim

(x)0, lim

(x)0
.
(1)若
lim

(x)

(x)
0
,则称

(x)
是比
（x)
高阶的无穷小量.
(2)
若lim

(x)

(x)
,则

(x)是比

（x)低阶的无穷小量.
(3)
若lim

(x)

(x)
(x)

(x)
c(c0),则称

(x)与
< br>（x)
是同阶无穷小量.
(4)
若lim1,则称

(x )与

（x)是等价的无穷小量
,记为

(x)

(x)
.
(5)
若lim

(x)

(x)< br>k
c(c0),k0,则称

(x)是

（x)的k阶 无穷小量

② 常用的等价无穷小量 (命题重点,历年必考)
当
x0
时,

sinx


ar csinx

1
2

tanx
1coxs~x

~x,

2

arctanx


(1x)1

~x


是实常数

l n(1x)


x
e1



2、利用等价无穷小代换求极限时应注意的问题．
考研数学每年必考有关求极 限的问题，利用等价无穷小代换求极限一般可以简化计算，
但我们一定要明确，在求极限时，什么时候能 用等价无穷小代换，什么时候不能用等价无
穷小代换，这也是部分学员，尤其基础比较薄弱的学员开始复 习的时候比较容易犯错的地
方。
下面通过给出几个例子来进行讲述，注意错误的解法，谨防自己犯同样的错误。


例1：求极限
lim
解：
lim
tanxsinx
x
3


0< br>x0
tanxsinx
x
3
x0
lim
x x
x
3


x0
利用等价无穷小代换．这样 计算对吗？计算的错误在于在运算过程中利用了未加证明的
命题．
若

~< br>
',

~

'
,则



~

'

'
.考察这个命题，


lim








lim







lim




1



< br>1



，当
lim


1< br>时,这个命题是真命题；当
lim


1
时,命题是假命题 ．
对于例1，因为，

sinx,

tanx,

'

'x
，
lim
所以，证明的结论是错误的．
正确解答:
tanxsinx
x
3


x0
lim
sinx
tanx
x0
1

lim< br>x0
lim
tanx(1cosx)
x
3
x
l im
x0
x
2
x0
2

1
.
3
x2

sin(xsin
2
1
例2：求
lim
x0
x
2
x

1
)xsin
2< br>)
x
limxsin
1
0

x0x0x0
xxx
错误的原因在于在运算中错误的运用了等价无穷小代换：
sin(xsin
1
错误解答:
lim
x
lim
1

1

22
sin

xsin

xsin,

x0


x

x


而根据无穷小的比较的定义，当
x取
所以不能用等价无穷 小的代换．
正确解答：当
x0
时，
1
x
1
x
1
n

(nZ)时，sin(xsin
2
1
x< br>)
和
xsin
2
1
x
均为0，
sin(x sin
2
x
，
2
1
x
)

xs in
x
2
1
x
x
0(x0)

si n(xsin
2
)xsin
2
x
所以，由夹逼准则知原函数极限为 0．

例3：求极限
lim
x

sinx
x

解：本题切忌将
sinx
用
x
等价代换，导致结果为1．
sinxsin

应该为：
lim0
.
x

x

注意：
①乘除运算中可以使用等价无穷小因子 替换，加减运算中由于用等价无穷小替换是有
条件的，故统一不用．这时，一般可以用泰勒公式、洛必达 法则等方法来求极限．
②注意等价无穷小的条件，即在哪一点可以用等价无穷小因子替换，如例2.3．
巩固相应知识点
① 无穷小量阶的定义,设
lim

(x)0, lim

(x)0
.
(1)若
lim

(x)

(x)
0
,则称

(x)
是比
（x)
高阶的无穷小量.
(2)
若lim

(x)

(x)
,则

(x)是比

（x)低阶的无穷小量.
(3)
若lim

(x)

(x)
(x)

(x)
c(c0),则称

(x)与
< br>（x)
是同阶无穷小量.
(4)
若lim1,则称

(x )与

（x)是等价的无穷小量
,记为

(x)

(x)
.
(5)
若lim

(x)

(x)< br>k
c(c0),k0,则称

(x)是

（x)的k阶 无穷小量

② 常用的等价无穷小量 (命题重点,历年必考)
当
x0
时,

sinx


ar csinx

1
2

tanx
1coxs~x

~x,

2

arctanx


(1x)1

~x


是实常数

l n(1x)


x
e1

