微电子专业-安徽省人事考试

讲义

【教学目的】
无穷小 极限的简单计算
1、理解无穷小与无穷大的概念；
2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限；
3、不同类型的未定式的不同解法。
【教学内容】
1、无穷小与无穷大；
2、无穷小的比较；
3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换；
4、求极限的方法。
【重点难点】
重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。
难点是未定式的极限的求法。 < /p>

【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大
的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳
总 结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。
【授课内容】
一、无穷小与无穷大

1.定义
前面我们研究了
n
数 列
x
n
的极限、
x
（
x
、
x 
）函数
f

x

的极限、
xx
0< br>（
xx
0
、
xx
0
）函数
f(x)的极限这七种趋近方式。下面我们用
x
＊表示上述七种的某一种趋近方式，即

＊
nxxxxx
0

xx
0

xx
0


定义：当在给定的
x＊下，
f(x)
以零为极限，则称
f(x)
是
x
＊下 的无穷小，即
limf

x

0
。
x＊
例如,
limsinx0,

函数sinx是当x0时的无穷小.

x0
【注意】不能把无穷小与很 小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量
都不是无穷小。
定义： 当在给 定的
x
＊下，
f

x

无限增大，则称
f

x

是
x
＊下的无穷大，即

都是 无穷大量，
limf

x


。显然，
n
时，
n、n
2
、n
3
、
x＊
【注意】不 能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷

大是相对的 ，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如

lime
x
0
，
lime
x

，
xx
所以
e
x
当
x
时为无穷小，当
x
时为无穷大。 < br>2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果
f

x

为无穷大，
则
11
为无穷小；反之，如果
f

x

为无穷小，且
f

x

0
，则为无 穷大。
f

x

f

x

小结 ：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，
任何非零常量都不 是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋
势。
3.无穷小与函数极限的关系:
定理1
limf(x)
=
A< br>?
f(x)
x
®
x
0
x
A
+

(x),
其中

(x)
是自变量在同一变化过程
xx
0
（或
x
）中的无穷小.
证：（必要性）设
limf (x)
=
A,
令

(x)=f(x)-A,
则有
l im

(x)
=
0,

x
®
x
0
x
®
x
0
（充分性）设
f(x)=A+

(x),
其中

(x)
是当
x®x
0
时的无穷小， 则
【意义】
（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);
（2）给出了函数f(x)在x
0
附近的近似表达式f(x)»A,误差为

( x).

3.无穷小的运算性质
定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.
【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
11
1
0
，limxsin0
，
limsinx0

x0x
xn x
如：
lim(1)
n
n
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.
推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
二、无穷小的比较

1
观察各极限：
都是无穷小，
x
例如，
当
x®
0
时
,x,x
2
,sinx,x
2
sin< br>x
2
sin
lim
x0
1
x
limsi n
1
不存在.
不可比.
x0
x
x
2
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.
1．定义: 设

,

是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且

¹0.

例1
证明:当x0时,4xtan
3
x为x的四阶无穷小.

4xta n
3
x
tanx
3
4lim()
4,
故当x 0时,4xtan
3
x为x的四阶无穷小.
证：
lim
4
x0
x0
x
x

例2
当x0时,求tanxsinx关于x的阶数.

tanxsinxtanx1 cosx1
,
tanxsinx为x的三阶无穷小.

lim( )
32
x0x0
2
xxx
解
lim
2．常用 等价无穷小:
当x0时,

（1）
sinx
～
x
； （2）
arcsinx
～
x
； （3）
tanx
～
x
；
（4）
arctanx
～
x
； （5）
ln(1x)
～
x
； （6）
e
x
1
～
x

x
2
（7）
1cosx
～ （8）
(1x)

1
～

x
（9）
a
x
-1
～
lna*x

2
用等价无穷小可给出函数的近似表达式:
1
2
xo(x
2
).

2
例如
sinxxo(x),
cosx1
3．等价无穷小替换
定理：
设< br>
~


,

~


且l im




存在,则limlim.

< br>


证：
lim



< br>






lim()li mlimlim
lim.













2
tan
2
2x
e
x
1
.
； （2）
lim
例3 （1）
求lim


x0
cosx1
x0
1cosx
(2x)
2
1
2
解: （1）
当x0时,1cosx~x,tan2x~2x.
故原极限
=
lim
= 8
x
®
0
1
2< br>x
2
2

x
2
1
（2）原极限=
lim
=


2
x0
2
x

2
例4
求lim
tanxsinx
.

x0
sin
3
2x
xx
=0
x0
(2x)
3
错解:
当x0时,tanx~x,sinx~x.
原式lim
正解:
当x0 时,
sin2x~2x,tanxsinxtanx(1cosx)
~
1
3
x,

2
1
3
x
1
故原极限
=
lim
2
3

.

x
®
0(2x)
16
【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以 进行等价无
穷小替换。

tan5xcosx1
.

x0
sin3x
1
2
xo(x
2
).

2
例5
求lim
解:
tanx5xo(x),sin3 x3xo(x),
1cosx
o(x)1o(x
2
)
122
5x
5x
+
o(x)
+
x
+
o(x)
x2x

5
.

2
原式
=lim
lim
x
®
0
x0
o(x)
3x< br>+
o(x)
3
3
x
三、极限的简单计算

1. 代入法：直接将
xx
0
的
x
0
代入所求极 限的函数中去，若
f

x
0

存在，即为其极限，
2x
5
3x
4
2x12

；若
f

x
0

不存在，我们也能知道属于哪种未定式，便于我们例如
lim
3
x1
9
3x2x4

x
2
 9
0
选择不同的方法。例如，
lim
就代不进去了，但我们看出了这是一个型 未定式，我
x3
x3
0
们可以用以下的方法来求解。
2. 分解因式，消去零因子法
x
2
9
lim

x3
6
。 例如，
lim
x3
x3
x3
3. 分子（分母）有理化法 < br>例如，
lim
x
2
53
2x15
x2lim
x2


x
2
53
2x1
1
x1x
2


2x15

< br>5

2x15


x53

2< br>

x53
2
又如，
lim
x

x
2
1xlim

x
0

4. 化无穷大为无穷小法

1
-
3x
+
x
-
7
x
例如，
lim
2
=
lim
x2x
-
x
+
4
x
2
-
1
+< br>x
2
3
+
7
x
2
=
3
，实 际上就是分子分母同时除以
x
2
这个无穷
4
2
x
2
大量。由此不难得出
又如，
lim
1x
x2
1lim
xx
1
x
（分子分母同除
x
）。
1
，
2
1
x

2

1
nn
25
n

5

5
再如，< br>lim
n
，（分子分母同除）。
lim1
n
n< br>35
n
n

3


1

5

n

5. 利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限
xarctan

x1

（无穷小量乘以有界量）。
 0
，
x
3x
2
x1
4x1
.

2
x2x3
例如，
lim
又如，
求lim
x 1
解：
lim(x
2
2x3)
0,
商的法则不能用
x1
由无穷小与无穷大的关系,得
lim
x1
4x1
.

x
2
2x3
再如，等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3—例5。
6. 利用两个重要极限求极限（例题参见§1.4例3—例5）
7. 分段函数、复合函数求极限

1x,x0
例如，
设f(x)

2
,求limf(x).

x0

x1,x0
解:
x0是函数的分段点,两个单侧极限为

左右极限存在且相等,
故limf(x)1.

x0
【启发与讨论】
11
sin
是无界变量吗？是无穷大吗？

xx
思考题1：
当
x
?
0
时
,y
解：
(1)取x
0

1
2k



2
(k0,1,2, 3,)

y(x
0
)2k



2
,

当k充分大时,y(x
0
)M.
无界，

当k充分大时,x
k


,

但y(x
k
)2k

sin2k


0M.
不是无穷大．
结论：无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.
思考题2：若
f (x)0
，且
limf(x)A
，问：能否保证有
A0
的结论 ？试举例说明.
x
解：不能保证. 例
f(x)
111

x0,

f(x)0

limf(x)

limA0.

x
x
x
x
x思考题3：任何两个无穷小量都可以比较吗？
1sinx
都是无穷小量
,g(x)
x
x
解：不能．例如当
x
时
f(x) 
但
lim
x
g(x)

limsinx
不 存在且不为无穷大，故当
x
时
f(x)
和
g(x)
不 能比较.
f(x)
x
【课堂练习】求下列函数的极限
e
x
cosx
（1）
lim
；
x0
x
e
x
cosxe
x
11cosx
limlim 1
解：原极限=
lim
x0x0x0
xxx
1
x
（2 ）求
lim
x0
(1cosx)ln(1x)
3sinxx
2
cos
0
【分析】 “”型，拆项。
0
1

1

22

3sinxxcos

3sinx
xcos

3
x

=
lim

x

=

解：原极限=
lim

x0

2x2x

2

x0

2x



5x
5
4x
4
3x
2
（3）
lim
；
5
x
2x4x1
【分析】“抓大头法”，用于

型

5
4

3
3
5
5x
5
5
x
x
解：原极限=
lim
=，或原极限
=
li m
5
=

x
41
2x2
2
x
2
x
4
x
5
（4）
lim(x
2
x x)
；
x
【分析】分子有理化
解：原极限=
lim
x
x
2
xx
x
=
lim
x1

11x1
2
1
=
x
2
1
)
（5）
lim(
2
x2
x4x2
【分析】
型，是不定型，四则运算法则无法应用，需先通分，后计算。
x
2
x2x
2
1
x1
3
)
=
lim
解：< br>lim(
2
==
lim
2
x2
x4
x 2
x2
x2x4
x2
4
（6）
lim
x
2
x93
2
x0

0
【分析】“”型，是不定型，四则运算法则失效，使用分母有理化消零因子。
0
x
2
解：原极限=
lim

x0
x
2< br>93
=6
2
x

（7）
求lim(
n 
12n
).

222
nnn

解:
n时,是无穷小之和．
先变形再求极限.
【内容小结】
一、无穷小（大）的概念
无穷小与无穷大是相对于过程而言的.
1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论.
2、几点注意:
(1) 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；
（2） 无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.
（3） 无界变量未必是无穷大.
二、无穷小的比较:
1.反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进
行比较。高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶。
2.等价无穷小的替换:
求极限的又一种方法, 注意适用条件.
三、极限求法（不同类型的未定式的不同解法）;
a.多项式与分式函数代入法求极限;

b.消去零因子法求极限;
c.无穷小因子分出法求极限;
d.利用无穷小运算性质求极限;
e.利用左右极限求分段函数极限.

讲义

【教学目的】
无穷小 极限的简单计算
1、理解无穷小与无穷大的概念；
2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限；
3、不同类型的未定式的不同解法。
【教学内容】
1、无穷小与无穷大；
2、无穷小的比较；
3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换；
4、求极限的方法。
【重点难点】
重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。
难点是未定式的极限的求法。 < /p>

【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大
的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳
总 结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。
【授课内容】
一、无穷小与无穷大

1.定义
前面我们研究了
n
数 列
x
n
的极限、
x
（
x
、
x 
）函数
f

x

的极限、
xx
0< br>（
xx
0
、
xx
0
）函数
f(x)的极限这七种趋近方式。下面我们用
x
＊表示上述七种的某一种趋近方式，即

＊
nxxxxx
0

xx
0

xx
0


定义：当在给定的
x＊下，
f(x)
以零为极限，则称
f(x)
是
x
＊下 的无穷小，即
limf

x

0
。
x＊
例如,
limsinx0,

函数sinx是当x0时的无穷小.

x0
【注意】不能把无穷小与很 小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量
都不是无穷小。
定义： 当在给 定的
x
＊下，
f

x

无限增大，则称
f

x

是
x
＊下的无穷大，即

都是 无穷大量，
limf

x


。显然，
n
时，
n、n
2
、n
3
、
x＊
【注意】不 能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷

大是相对的 ，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如

lime
x
0
，
lime
x

，
xx
所以
e
x
当
x
时为无穷小，当
x
时为无穷大。 < br>2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果
f

x

为无穷大，
则
11
为无穷小；反之，如果
f

x

为无穷小，且
f

x

0
，则为无 穷大。
f

x

f

x

小结 ：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，
任何非零常量都不 是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋
势。
3.无穷小与函数极限的关系:
定理1
limf(x)
=
A< br>?
f(x)
x
®
x
0
x
A
+

(x),
其中

(x)
是自变量在同一变化过程
xx
0
（或
x
）中的无穷小.
证：（必要性）设
limf (x)
=
A,
令

(x)=f(x)-A,
则有
l im

(x)
=
0,

x
®
x
0
x
®
x
0
（充分性）设
f(x)=A+

(x),
其中

(x)
是当
x®x
0
时的无穷小， 则
【意义】
（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);
（2）给出了函数f(x)在x
0
附近的近似表达式f(x)»A,误差为

( x).

3.无穷小的运算性质
定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.
【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
11
1
0
，limxsin0
，
limsinx0

x0x
xn x
如：
lim(1)
n
n
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.
推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
二、无穷小的比较

1
观察各极限：
都是无穷小，
x
例如，
当
x®
0
时
,x,x
2
,sinx,x
2
sin< br>x
2
sin
lim
x0
1
x
limsi n
1
不存在.
不可比.
x0
x
x
2
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.
1．定义: 设

,

是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且

¹0.

例1
证明:当x0时,4xtan
3
x为x的四阶无穷小.

4xta n
3
x
tanx
3
4lim()
4,
故当x 0时,4xtan
3
x为x的四阶无穷小.
证：
lim
4
x0
x0
x
x

例2
当x0时,求tanxsinx关于x的阶数.

tanxsinxtanx1 cosx1
,
tanxsinx为x的三阶无穷小.

lim( )
32
x0x0
2
xxx
解
lim
2．常用 等价无穷小:
当x0时,

（1）
sinx
～
x
； （2）
arcsinx
～
x
； （3）
tanx
～
x
；
（4）
arctanx
～
x
； （5）
ln(1x)
～
x
； （6）
e
x
1
～
x

x
2
（7）
1cosx
～ （8）
(1x)

1
～

x
（9）
a
x
-1
～
lna*x

2
用等价无穷小可给出函数的近似表达式:
1
2
xo(x
2
).

2
例如
sinxxo(x),
cosx1
3．等价无穷小替换
定理：
设< br>
~


,

~


且l im




存在,则limlim.

< br>


证：
lim



< br>






lim()li mlimlim
lim.













2
tan
2
2x
e
x
1
.
； （2）
lim
例3 （1）
求lim


x0
cosx1
x0
1cosx
(2x)
2
1
2
解: （1）
当x0时,1cosx~x,tan2x~2x.
故原极限
=
lim
= 8
x
®
0
1
2< br>x
2
2

x
2
1
（2）原极限=
lim
=


2
x0
2
x

2
例4
求lim
tanxsinx
.

x0
sin
3
2x
xx
=0
x0
(2x)
3
错解:
当x0时,tanx~x,sinx~x.
原式lim
正解:
当x0 时,
sin2x~2x,tanxsinxtanx(1cosx)
~
1
3
x,

2
1
3
x
1
故原极限
=
lim
2
3

.

x
®
0(2x)
16
【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以 进行等价无
穷小替换。

tan5xcosx1
.

x0
sin3x
1
2
xo(x
2
).

2
例5
求lim
解:
tanx5xo(x),sin3 x3xo(x),
1cosx
o(x)1o(x
2
)
122
5x
5x
+
o(x)
+
x
+
o(x)
x2x

5
.

2
原式
=lim
lim
x
®
0
x0
o(x)
3x< br>+
o(x)
3
3
x
三、极限的简单计算

1. 代入法：直接将
xx
0
的
x
0
代入所求极 限的函数中去，若
f

x
0

存在，即为其极限，
2x
5
3x
4
2x12

；若
f

x
0

不存在，我们也能知道属于哪种未定式，便于我们例如
lim
3
x1
9
3x2x4

x
2
 9
0
选择不同的方法。例如，
lim
就代不进去了，但我们看出了这是一个型 未定式，我
x3
x3
0
们可以用以下的方法来求解。
2. 分解因式，消去零因子法
x
2
9
lim

x3
6
。 例如，
lim
x3
x3
x3
3. 分子（分母）有理化法 < br>例如，
lim
x
2
53
2x15
x2lim
x2


x
2
53
2x1
1
x1x
2


2x15

< br>5

2x15


x53

2< br>

x53
2
又如，
lim
x

x
2
1xlim

x
0

4. 化无穷大为无穷小法

1
-
3x
+
x
-
7
x
例如，
lim
2
=
lim
x2x
-
x
+
4
x
2
-
1
+< br>x
2
3
+
7
x
2
=
3
，实 际上就是分子分母同时除以
x
2
这个无穷
4
2
x
2
大量。由此不难得出
又如，
lim
1x
x2
1lim
xx
1
x
（分子分母同除
x
）。
1
，
2
1
x

2

1
nn
25
n

5

5
再如，< br>lim
n
，（分子分母同除）。
lim1
n
n< br>35
n
n

3


1

5

n

5. 利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限
xarctan

x1

（无穷小量乘以有界量）。
 0
，
x
3x
2
x1
4x1
.

2
x2x3
例如，
lim
又如，
求lim
x 1
解：
lim(x
2
2x3)
0,
商的法则不能用
x1
由无穷小与无穷大的关系,得
lim
x1
4x1
.

x
2
2x3
再如，等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3—例5。
6. 利用两个重要极限求极限（例题参见§1.4例3—例5）
7. 分段函数、复合函数求极限

1x,x0
例如，
设f(x)

2
,求limf(x).

x0

x1,x0
解:
x0是函数的分段点,两个单侧极限为

左右极限存在且相等,
故limf(x)1.

x0
【启发与讨论】
11
sin
是无界变量吗？是无穷大吗？

xx
思考题1：
当
x
?
0
时
,y
解：
(1)取x
0

1
2k



2
(k0,1,2, 3,)

y(x
0
)2k



2
,

当k充分大时,y(x
0
)M.
无界，

当k充分大时,x
k


,

但y(x
k
)2k

sin2k


0M.
不是无穷大．
结论：无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.
思考题2：若
f (x)0
，且
limf(x)A
，问：能否保证有
A0
的结论 ？试举例说明.
x
解：不能保证. 例
f(x)
111

x0,

f(x)0

limf(x)

limA0.

x
x
x
x
x思考题3：任何两个无穷小量都可以比较吗？
1sinx
都是无穷小量
,g(x)
x
x
解：不能．例如当
x
时
f(x) 
但
lim
x
g(x)

limsinx
不 存在且不为无穷大，故当
x
时
f(x)
和
g(x)
不 能比较.
f(x)
x
【课堂练习】求下列函数的极限
e
x
cosx
（1）
lim
；
x0
x
e
x
cosxe
x
11cosx
limlim 1
解：原极限=
lim
x0x0x0
xxx
1
x
（2 ）求
lim
x0
(1cosx)ln(1x)
3sinxx
2
cos
0
【分析】 “”型，拆项。
0
1

1

22

3sinxxcos

3sinx
xcos

3
x

=
lim

x

=

解：原极限=
lim

x0

2x2x

2

x0

2x



5x
5
4x
4
3x
2
（3）
lim
；
5
x
2x4x1
【分析】“抓大头法”，用于

型

5
4

3
3
5
5x
5
5
x
x
解：原极限=
lim
=，或原极限
=
li m
5
=

x
41
2x2
2
x
2
x
4
x
5
（4）
lim(x
2
x x)
；
x
【分析】分子有理化
解：原极限=
lim
x
x
2
xx
x
=
lim
x1

11x1
2
1
=
x
2
1
)
（5）
lim(
2
x2
x4x2
【分析】
型，是不定型，四则运算法则无法应用，需先通分，后计算。
x
2
x2x
2
1
x1
3
)
=
lim
解：< br>lim(
2
==
lim
2
x2
x4
x 2
x2
x2x4
x2
4
（6）
lim
x
2
x93
2
x0

0
【分析】“”型，是不定型，四则运算法则失效，使用分母有理化消零因子。
0
x
2
解：原极限=
lim

x0
x
2< br>93
=6
2
x

（7）
求lim(
n 
12n
).

222
nnn

解:
n时,是无穷小之和．
先变形再求极限.
【内容小结】
一、无穷小（大）的概念
无穷小与无穷大是相对于过程而言的.
1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论.
2、几点注意:
(1) 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；
（2） 无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.
（3） 无界变量未必是无穷大.
二、无穷小的比较:
1.反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进
行比较。高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶。
2.等价无穷小的替换:
求极限的又一种方法, 注意适用条件.
三、极限求法（不同类型的未定式的不同解法）;
a.多项式与分式函数代入法求极限;

b.消去零因子法求极限;
c.无穷小因子分出法求极限;
d.利用无穷小运算性质求极限;
e.利用左右极限求分段函数极限.