今年七夕是几月几号-志愿填报系统

模块基本信息
一级模块名称
三级模块名称
先行知识
1、无穷小量
2、等价无穷小的定义
教学要求
函数与极限
极限的计算---无穷小等价替换
二级模块名称
模块编号
模块编号
模块编号
计算模块
1-12
1-10
1-11
掌握程度 知识内容
1、常用等价无穷小；
1、熟记几个常用的等价无穷小；

2、理解等价替换原理；

一般掌握

2、无穷小替换求极限的方法；
3、熟记等价替换的条件并能熟练掌握其
应用；
能力目标
时间分配
修订
培养学生灵活运用知识的能力
30分钟
熊文婷
编撰 尧克刚
二审
校对 熊文婷 审核
危子青
危子青
一、正文编写思路及特点：
思路：
在熟记常用等价无穷小量的基础，按照由易到难得 顺序讲题例题和
0
习题使学生能够灵活运用无穷小量的的等价替换掌握型极限的求解方
0
法。
特点：
通过例题及练习的变形，使学生学会灵活运用知识的能力。

二、授课部分
1、预备知识
（1）无穷小的定义：
在自变量的某种趋势下 ，以零为极限的函数

(x)
称
为无穷小量，简称无穷小.
（2）等价无穷小的定义：若

,

是无穷小量且
lim
是等价无穷小量，记作：



.
2、常用等价无穷小:
当x0时,


=1,
则称

,



（1）
sinx
～
x
； （2）
arcsinx
～
x
； （3）
tanx
～
x
；
（4）
arctanx
～
x
； （5）
ln(1x)
～
x
； （6）
e
x
1
～
x

x
2
（7）
1cosx
～ （8）
(1x)

1
～

x
（9）
a
x
-1
～
2
xlna

注：在教学中选择性地证明几个等价无穷小.

e
x
1
引例
lim
=？

x0
cosx1
2
3、等价无穷小的替换定理
定理
设

~


,

~


且 lim
证：
lim




存在,则liml im.
















lim()limlimlim
lim.














4、等价无穷小替换求极限的求解案例
（一）直接替换求极限： （一级）
e
x
1
sin2x
例1.（1）
lim
； （2）
lim
.

x0
cosx1
x0
x
2

x
2< br>解:（1）原式
=
lim
x0
x
2

2< br>=

1
;
2
2x
= 2
.
x 0
x
【注意】等价无穷小的替换能直接用在乘、除运算，一般不能用
在加、减法运算中 .

（二）四则运算变形后进行替换求极限： （二级）
tanxsinx
例2.
求lim.

3
x0
sin2x
解:
1
当x0时,
sin 2x~2x,
tanxsinxtanx(1cosx)
~x
3
,
2
（2）
当x0时,sin2x~2x.
故原式
lim< br>1
3
x
1
所以原式
=lim
2
3
 .

x
®
0
(2x)
16
例3.
求lim
tan5xcosx1
.

x0
sin3x
解:tan5x~5x,sin3x~3x,
1cosx~
1
2
x

2
1
2
x
5x
2
5
tan5x1-cos x
原式=
lim
=
lim-
=.
-
x
®
0
3x
x
®
0
sin3x
3x
3
sin3x
（选讲）（三）其它情形进行替换求极限：

（三级）

x
x
-1
例4. 求
lim
.
x
®< br>1
xlnx

解：
当x1时,
t=xlnx?0,
则
x
x
-1=e
xlnx
-1=e
t
-1t=xlnx
，

xlnx
x
x
-1
用等价无穷小替换得

lim
=
lim
=1.
x
®
1
xlnx
x
®
1
xlnx
1
例5. 求
lim(1tan2x)
x0
sin3x
.
解：因为
当x0时,
tan2x2x
，
sin2x3x
，

所 以
lim(1tan2x)
x0
1
sin3x
lim(1t an2x)
x0
1tan2x

tan2xsin3x


lim

(1tan2x)
x0

1
ta n2x



tan2x
sin3x
e
.
2
3
三、能力反馈部分

1、（考查学生对等价无穷小替换求极限的方法的掌握情况）
 直接用等价替换：
（1）
lim
(1cosx)arctan3x
(1x)
（2）
lim
x
2
x0
x0
(e1)ln(12x)si n5x
sinx
四则运算变换后进行替换

1
e
x
cosx
x
（3）
lim
（4）
lim
x0
(1cosx)ln(1x)
x0
x3sinxx
2
cos
其它情况等价替换（选做）

1c osx
2x
()1
2
2
（5）
lim(cosx)
ln(1x)
（
6
）
lim

x0
x0
ln(12x
3
)
1

模块基本信息
一级模块名称
三级模块名称
先行知识
1、无穷小量
2、等价无穷小的定义
教学要求
函数与极限
极限的计算---无穷小等价替换
二级模块名称
模块编号
模块编号
模块编号
计算模块
1-12
1-10
1-11
掌握程度 知识内容
1、常用等价无穷小；
1、熟记几个常用的等价无穷小；

2、理解等价替换原理；

一般掌握

2、无穷小替换求极限的方法；
3、熟记等价替换的条件并能熟练掌握其
应用；
能力目标
时间分配
修订
培养学生灵活运用知识的能力
30分钟
熊文婷
编撰 尧克刚
二审
校对 熊文婷 审核
危子青
危子青
一、正文编写思路及特点：
思路：
在熟记常用等价无穷小量的基础，按照由易到难得 顺序讲题例题和
0
习题使学生能够灵活运用无穷小量的的等价替换掌握型极限的求解方
0
法。
特点：
通过例题及练习的变形，使学生学会灵活运用知识的能力。

二、授课部分
1、预备知识
（1）无穷小的定义：
在自变量的某种趋势下 ，以零为极限的函数

(x)
称
为无穷小量，简称无穷小.
（2）等价无穷小的定义：若

,

是无穷小量且
lim
是等价无穷小量，记作：



.
2、常用等价无穷小:
当x0时,


=1,
则称

,



（1）
sinx
～
x
； （2）
arcsinx
～
x
； （3）
tanx
～
x
；
（4）
arctanx
～
x
； （5）
ln(1x)
～
x
； （6）
e
x
1
～
x

x
2
（7）
1cosx
～ （8）
(1x)

1
～

x
（9）
a
x
-1
～
2
xlna

注：在教学中选择性地证明几个等价无穷小.

e
x
1
引例
lim
=？

x0
cosx1
2
3、等价无穷小的替换定理
定理
设

~


,

~


且 lim
证：
lim




存在,则liml im.
















lim()limlimlim
lim.














4、等价无穷小替换求极限的求解案例
（一）直接替换求极限： （一级）
e
x
1
sin2x
例1.（1）
lim
； （2）
lim
.

x0
cosx1
x0
x
2

x
2< br>解:（1）原式
=
lim
x0
x
2

2< br>=

1
;
2
2x
= 2
.
x 0
x
【注意】等价无穷小的替换能直接用在乘、除运算，一般不能用
在加、减法运算中 .

（二）四则运算变形后进行替换求极限： （二级）
tanxsinx
例2.
求lim.

3
x0
sin2x
解:
1
当x0时,
sin 2x~2x,
tanxsinxtanx(1cosx)
~x
3
,
2
（2）
当x0时,sin2x~2x.
故原式
lim< br>1
3
x
1
所以原式
=lim
2
3
 .

x
®
0
(2x)
16
例3.
求lim
tan5xcosx1
.

x0
sin3x
解:tan5x~5x,sin3x~3x,
1cosx~
1
2
x

2
1
2
x
5x
2
5
tan5x1-cos x
原式=
lim
=
lim-
=.
-
x
®
0
3x
x
®
0
sin3x
3x
3
sin3x
（选讲）（三）其它情形进行替换求极限：

（三级）

x
x
-1
例4. 求
lim
.
x
®< br>1
xlnx

解：
当x1时,
t=xlnx?0,
则
x
x
-1=e
xlnx
-1=e
t
-1t=xlnx
，

xlnx
x
x
-1
用等价无穷小替换得

lim
=
lim
=1.
x
®
1
xlnx
x
®
1
xlnx
1
例5. 求
lim(1tan2x)
x0
sin3x
.
解：因为
当x0时,
tan2x2x
，
sin2x3x
，

所 以
lim(1tan2x)
x0
1
sin3x
lim(1t an2x)
x0
1tan2x

tan2xsin3x


lim

(1tan2x)
x0

1
ta n2x



tan2x
sin3x
e
.
2
3
三、能力反馈部分

1、（考查学生对等价无穷小替换求极限的方法的掌握情况）
 直接用等价替换：
（1）
lim
(1cosx)arctan3x
(1x)
（2）
lim
x
2
x0
x0
(e1)ln(12x)si n5x
sinx
四则运算变换后进行替换

1
e
x
cosx
x
（3）
lim
（4）
lim
x0
(1cosx)ln(1x)
x0
x3sinxx
2
cos
其它情况等价替换（选做）

1c osx
2x
()1
2
2
（5）
lim(cosx)
ln(1x)
（
6
）
lim

x0
x0
ln(12x
3
)
1