黄河水利技术学院-自主招生面试自我介绍

无穷小 极限的简单计算
【教学目的】
1、理解无穷小与无穷大的概念；
2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限；
3、不同类型的未定式的不同解法。
【教学内容】
1、无穷小与无穷大；
2、无穷小的比较；
3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换；
4、求极限的方法。
【重点难点】
重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。
难点是未定式的极限的求法。
【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟 ），在理解无穷小
与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法
（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15
分钟）。
【授课内容】
一、无穷小与无穷大
1.定义
前面我们研究了
n 
数列
x
n
的极限、
x
（
x
、
x
）函数
f

x


的极限、
xx
0
（
xx
0
、
xx
0
）函数
f(x)
的极限这七种趋近方式。下面
我们用
x
＊表示上述七种的某一种趋近方式，即
＊
nxxx xx
0

xx
0

xx
0


定义：当在给定的
x
＊下，
f(x)
以零为极限，则称
f(x)
是
x
＊下的无
穷小，即
limf
x

0
。
x＊
例如,
limsinx0,

函数sinx是当x0时的无穷小.

x0
lim
11
0,

函数是当x时的无穷小.

x
xx
(1)
n< br>(1)
n
lim0,

数列{}是当n时的无穷小.

n
nn
【注意】不能把无 穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何
非零常量都不是无穷小。
1

定义： 当在给定的
x
＊下，
f

x

无限增大，则称
f

x

是
x
＊下的无

都是无穷大量， 穷大，即
limf

x


。显然，
n
时，
n、n
2
、n
3
、
x ＊
【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷
小与无穷大 是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是
无穷大，如

lime
x
0
，
lime
x

，
xx
所以
e
x
当
x
时为无穷小，当
x
时为无穷大。 < br>2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果
f

x

为无穷
大，
则
11
为无穷小；反之，如果
f

x

为无穷小，且
f

x

0
，则为无穷大。
f

x

f

x
小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是
无穷大量，任何非零 常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应
给出自变量的变化趋势。
3.无穷小与函数极限的关系:
定理1
limf(x)
=
A< br>?
f(x)
x
®
x
0
x
A
+

(x),
其中

(x)
是自变量在同一变化过
程
xx
0
（或
x
）中的无穷小.
证：（必要性）设
limf(x)
=
A,
令

(x)=f(x)-A,
则有< br>lim

(x)
=
0,

x
®
x< br>0
x
®
x
0
f(x)A

(x).< br>
（充分性）设
f(x)=A+

(x),
其中
< br>(x)
是当
x®x
0
时的无穷小，则
x
limf(x)=lim(A+

(x))

Alim

(x)

A.

x
0
xx
0
xx
0
【意义】
（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);
（2）
给出了函数f(x) 在x
0
附近的近似表达式f(x)»A,误差为

(x).

3.无穷小的运算性质
定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.
【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
1
1

但n个之和为1不是无穷小.

例如,n时,是无穷小，
n
n
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
2

如
：
lim(1)
n
11
1
0
，limxsin0
，
limsinx0

nx0x
xnx
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.
推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
二、无穷小的比较
例如，
当
x
®
0
时
,x,x
2
,sinx,x
2< br>sin
x
2
lim
0,
x
2
比3x要快得 多;

x0
3x
1
观察各极限：
都是无穷小，
x
sinx
1,
sinx与x大致相同;

x0
x
1
x
2
sin
x
limsin
1
不存在.
不可比.
lim
x0
x0
x
x
2
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.
lim
1．定义: 设

,

是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且

¹0.

=
0,
就说

是比

高阶的无穷小
,
记作

=
o(

);



(2 )如果limC(C0),就说

与

是同阶的无穷小;


特殊地如果
lim
=
1,
则称

与

是等价的无穷小，记作

~

;



(3)
如果
lim
k
=
C(C
?
0,k0),
就说

是

的
k
阶的无穷小
.


(1)
如果
lim
例1
证明:当x0时,4xtan
3
x为x的四阶无穷小.

4xta n
3
x
tanx
3
证：
lim
4lim()4,
故当x0时,4xtan
3
x为x的四阶无穷小.

4
x0
x0
x
x
例2
当x0时,求tanxsinx关于x的阶数.

解
lim
t anxsinxtanx1cosx1
lim(),
tanxsinx为x的三 阶无穷小.

x0x0
x
3
xx
2
2
2．常用等价无穷小:
当x0时,

（1）
sinx
～
x
； （2）
arcsinx
～
x
； （3）
tanx
～
x
；
（4）
arctanx
～
x
； （5）
ln(1x)
～
x
； （6）
e
x
1
～
x

3

x
2
（7）
1cosx
～ （8）
(1x)

1
～

x
（9）
a
x
-1
～
lna*x

2
用等价无穷小可给出函数的近似表达式:



lim1,lim0,
即



o(
),于是有



o(

).



例如
sinxxo(x),
cosx1
3．等价无穷小替 换
1
2
xo(x
2
).

2
定理：< br>设

~


,

~

< br>且lim
证：
lim




存在,则l imlim.







< br>







lim( )limlimlim
lim.












2
ta n
2
2x
e
x
1
.
； （2）
lim
例3 （1）
求lim

x0
cosx 1
x0
1cosx
(2x)
2
1
2
解: （1）
当x0时,1cosx~x,tan2x~2x.
故原极限
=
lim
= 8
x
®
0
1
2< br>x
2
2
x
2
（2）原极限
=
lim
x0
x
2

2
=

1

2
例4
求lim
tanxsinx
.

x0
sin
3
2x
xx
=0
x0
(2x)
3
错解:
当x0时,tanx~x,sinx~x.
原式lim
正解:
当x0 时,
sin2x~2x,
tanxsinxtanx(1cosx)
~
1
3
x,

2
1
3
x
1
2

.
故原极限< br>=
lim
x
®
0
(2x)
3
16
【 注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进
行等价无穷小替换。

tan5xcosx1
.
例5
求lim
x0
sin3x
1
解:
tanx5xo (x),sin3x3xo(x),
1cosxx
2
o(x
2).

2
4

o(x)1o(x
2
)
1
22
5x
5x+
o(x)
+
x
+
o(x)
x2x

5
.

2
原式
=
lim
lim
x
®
0
x0
o(x)
3x
+
o(x)
3
3
x
三、极限的简单计算
1. 代入法：直接将
xx
0
的
x
0
代入所求极限的函数中去，若
f

x
0< br>
存在，
2x
5
3x
4
2x12
< br>；若
f

x
0

不存在，我们也能知道属即为其极限 ，例如
lim
x1
9
3x
3
2x4
x
2
9
于哪种未定式，便于我们选择不同的方法。例如，
lim
就代不进去 了，但
x3
x3
我们看出了这是一个
0
型未定式，我们可以用以 下的方法来求解。
0
2. 分解因式，消去零因子法
x
2
9< br>lim

x3

6
。 例如，
lim
x3
x3
x3
3. 分子（分母）有理化法 < br>例如，
lim
x
2
53
2x15
x2lim
x2


x
2
53
2x1


2x15


5

2x1 5


x53

2


x53< br>2
x
2
4

lim

x2
2x4

lim

x2

x2


x2
2

x2

1
x1x
2

2

又如，
lim
x

x
2< br>1xlim

x
0

4. 化无穷大为无穷小法

1
-
3x
2
+
x
-
7
x
例如，
lim
2
=
lim
x
2x
-
x
+
4
x
2
-
1
+
x
这个无穷大量。由此不难得出
3
+
7
x
2
=
3
，实际上就是分子分母同时除以
x
2
4
2
x2
5


a
0
，nm

b
a
0
xm
a
1
x
m1
a
m

0< br>lim

0，nm

x
bx
n
b x
n1
b
01n

，nm



1x
x2
1
lim
x
又如，
l im
x
1
x
（分子分母同除
x
）。
1< br>，
2
1
x

2


1
2
n
5
n
n

5

5
再如，
lim
n
，（分子分母同除）。
lim1
n
n
35
n
n

3


1

5

n
5. 利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限
xa rctan

x1

例如，
lim
（无穷小量乘以有界量 ）。
0
，
x
3x
2
x1
4x1又如，
求lim
2
.

x1
x2x3
解 ：
lim(x
2
2x3)
0,
商的法则不能用
x1
x
2
2x3
0
0.

又 lim(4x1)
30,
lim
x1
x1
4x13
4x1
.

x1
x
2
2x3< br>再如，等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3—例5。
由无穷小与无穷大的关系,得
lim
6. 利用两个重要极限求极限（例题参见§1.4例3—例5）
7. 分段函数、复合函数求极限

1x,x0
例如，
设f(x)

2
,求limf (x).

x0

x1,x0
解:
x0是函数的分段点,两个单侧极限为

x0
lim

f(x)lim

(1x)
1,
lim

f(x) lim

(x
2
1)
1,

x0
x0x0
左右极限存在且相等,
故limf(x)1.

x0
【启发与讨论】
思考题1：当
x
?
0
时
,y
11
sin
是无界变 量吗？是无穷大吗？

xx
6

解：
(1)取x
0

1
2k



2
(k0,1,2,3,)

,

当k充分大时,y(x
0
)M.
无界，
2
1
(2)取x
0
(k0,1,2,3,)

2k

当k充分大时,x
k


,

但y(x
k
)2k

sin2k


0M.
不是无穷大．
y(x
0
)2k



结论：无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.
思考题2：若
f(x)0
，且
limf(x)A
，问：能否保证有
A0的结论？试举例
x
说明.
解：不能保证. 例
f(x)
1

x0,

x
f(x)
1
0

limf(x)

x
x
1
A0.

x
x
思考题3：任何两个无穷小量都可以比较吗？
1sinx
解：不能．例如当
x
时
f(x),g(x)
都是无穷小量
xx
lim
但
lim
较.
【课堂练习】求下列函数的极限
e
x
cosx
（1）
lim
；
x0
x
e
x
cosxe
x
11cosx
limlim 1
解：原极限=
lim
x0x0x0
xxx
xg(x)

limsinx
不存在且不为无穷大，故当
x
时
f(x)
和
g(x)
不能比
f(x)
x
7

1
x
（2）求
lim
x0
(1cosx)ln(1 x)
3sinxx
2
cos
0
【分析】 “”型，拆项。
0
1

1

22

3sinxxcos< br>
3sinx
xcos

3
x

=
lim

x

= 解：原极限=
lim

x0

2x2x

2

x0

2 x


5x
5
4x
4
3x
2
（3）
lim
；
5
x
2x4x1
【分析】“抓大头法”，用于

型

5
4

3
3
5x
5
5
5
x
x
解：原极限=
lim
=，或原极限
=
li m
5
=

x
41
2x2
2
x
2
4

5
xx
（4）
lim(x
2
x x)
；
x
【分析】分子有理化
解：原极限=
lim
x
x
2
xx
x
=
lim
x1
=
11x1
2
1
x
2
1
)
（5）< br>lim(
2
x2
x4x2
【分析】

型， 是不定型，四则运算法则无法应用，需先通分，后计算。
x
2
x2
x< br>2
1
x13
)
=
lim
解：
lim(< br>2
==
lim
x2
x4
x2
x2
x2
x2
x
2
4
4
（6）
lim
x
2
x93
2
x0

【分析】“
子。 0
”型，是不定型，四则运算法则失效，使用分母有理化消零因
0
x
2< br>解：原极限=
lim
（7）
求lim(
n

x 0
x
2
93
=6
x
2

12n
).

222
nnn
8

解:
n时,是无穷小之和．
先变形再求极限.
1
n(n 1)
12n12n111
2
lim(
2

2

2
)limlim(1).

lim
2
n
n
nn
n
nnn
2
2n2
n< br>【内容小结】
一、无穷小（大）的概念
无穷小与无穷大是相对于过程而言的.
1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论.
2、几点注意:
(1) 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小
的数；
（2） 无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.
（3） 无界变量未必是无穷大.
二、无穷小的比较:
1.反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷
小都可进行比较。高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶。
2.等价无穷小的替换:
求极限的又一种方法, 注意适用条件.
三、极限求法（不同类型的未定式的不同解法）;
a.多项式与分式函数代入法求极限;
b.消去零因子法求极限;
c.无穷小因子分出法求极限;
d.利用无穷小运算性质求极限;
e.利用左右极限求分段函数极限.
9

无穷小 极限的简单计算
【教学目的】
1、理解无穷小与无穷大的概念；
2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限；
3、不同类型的未定式的不同解法。
【教学内容】
1、无穷小与无穷大；
2、无穷小的比较；
3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换；
4、求极限的方法。
【重点难点】
重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。
难点是未定式的极限的求法。
【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟 ），在理解无穷小
与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法
（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15
分钟）。
【授课内容】
一、无穷小与无穷大
1.定义
前面我们研究了
n 
数列
x
n
的极限、
x
（
x
、
x
）函数
f

x


的极限、
xx
0
（
xx
0
、
xx
0
）函数
f(x)
的极限这七种趋近方式。下面
我们用
x
＊表示上述七种的某一种趋近方式，即
＊
nxxx xx
0

xx
0

xx
0


定义：当在给定的
x
＊下，
f(x)
以零为极限，则称
f(x)
是
x
＊下的无
穷小，即
limf
x

0
。
x＊
例如,
limsinx0,

函数sinx是当x0时的无穷小.

x0
lim
11
0,

函数是当x时的无穷小.

x
xx
(1)
n< br>(1)
n
lim0,

数列{}是当n时的无穷小.

n
nn
【注意】不能把无 穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何
非零常量都不是无穷小。
1

定义： 当在给定的
x
＊下，
f

x

无限增大，则称
f

x

是
x
＊下的无

都是无穷大量， 穷大，即
limf

x


。显然，
n
时，
n、n
2
、n
3
、
x ＊
【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷
小与无穷大 是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是
无穷大，如

lime
x
0
，
lime
x

，
xx
所以
e
x
当
x
时为无穷小，当
x
时为无穷大。 < br>2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果
f

x

为无穷
大，
则
11
为无穷小；反之，如果
f

x

为无穷小，且
f

x

0
，则为无穷大。
f

x

f

x
小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是
无穷大量，任何非零 常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应
给出自变量的变化趋势。
3.无穷小与函数极限的关系:
定理1
limf(x)
=
A< br>?
f(x)
x
®
x
0
x
A
+

(x),
其中

(x)
是自变量在同一变化过
程
xx
0
（或
x
）中的无穷小.
证：（必要性）设
limf(x)
=
A,
令

(x)=f(x)-A,
则有< br>lim

(x)
=
0,

x
®
x< br>0
x
®
x
0
f(x)A

(x).< br>
（充分性）设
f(x)=A+

(x),
其中
< br>(x)
是当
x®x
0
时的无穷小，则
x
limf(x)=lim(A+

(x))

Alim

(x)

A.

x
0
xx
0
xx
0
【意义】
（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);
（2）
给出了函数f(x) 在x
0
附近的近似表达式f(x)»A,误差为

(x).

3.无穷小的运算性质
定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.
【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
1
1

但n个之和为1不是无穷小.

例如,n时,是无穷小，
n
n
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
2

如
：
lim(1)
n
11
1
0
，limxsin0
，
limsinx0

nx0x
xnx
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.
推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
二、无穷小的比较
例如，
当
x
®
0
时
,x,x
2
,sinx,x
2< br>sin
x
2
lim
0,
x
2
比3x要快得 多;

x0
3x
1
观察各极限：
都是无穷小，
x
sinx
1,
sinx与x大致相同;

x0
x
1
x
2
sin
x
limsin
1
不存在.
不可比.
lim
x0
x0
x
x
2
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.
lim
1．定义: 设

,

是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且

¹0.

=
0,
就说

是比

高阶的无穷小
,
记作

=
o(

);



(2 )如果limC(C0),就说

与

是同阶的无穷小;


特殊地如果
lim
=
1,
则称

与

是等价的无穷小，记作

~

;



(3)
如果
lim
k
=
C(C
?
0,k0),
就说

是

的
k
阶的无穷小
.


(1)
如果
lim
例1
证明:当x0时,4xtan
3
x为x的四阶无穷小.

4xta n
3
x
tanx
3
证：
lim
4lim()4,
故当x0时,4xtan
3
x为x的四阶无穷小.

4
x0
x0
x
x
例2
当x0时,求tanxsinx关于x的阶数.

解
lim
t anxsinxtanx1cosx1
lim(),
tanxsinx为x的三 阶无穷小.

x0x0
x
3
xx
2
2
2．常用等价无穷小:
当x0时,

（1）
sinx
～
x
； （2）
arcsinx
～
x
； （3）
tanx
～
x
；
（4）
arctanx
～
x
； （5）
ln(1x)
～
x
； （6）
e
x
1
～
x

3

x
2
（7）
1cosx
～ （8）
(1x)

1
～

x
（9）
a
x
-1
～
lna*x

2
用等价无穷小可给出函数的近似表达式:



lim1,lim0,
即



o(
),于是有



o(

).



例如
sinxxo(x),
cosx1
3．等价无穷小替 换
1
2
xo(x
2
).

2
定理：< br>设

~


,

~

< br>且lim
证：
lim




存在,则l imlim.







< br>







lim( )limlimlim
lim.












2
ta n
2
2x
e
x
1
.
； （2）
lim
例3 （1）
求lim

x0
cosx 1
x0
1cosx
(2x)
2
1
2
解: （1）
当x0时,1cosx~x,tan2x~2x.
故原极限
=
lim
= 8
x
®
0
1
2< br>x
2
2
x
2
（2）原极限
=
lim
x0
x
2

2
=

1

2
例4
求lim
tanxsinx
.

x0
sin
3
2x
xx
=0
x0
(2x)
3
错解:
当x0时,tanx~x,sinx~x.
原式lim
正解:
当x0 时,
sin2x~2x,
tanxsinxtanx(1cosx)
~
1
3
x,

2
1
3
x
1
2

.
故原极限< br>=
lim
x
®
0
(2x)
3
16
【 注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进
行等价无穷小替换。

tan5xcosx1
.
例5
求lim
x0
sin3x
1
解:
tanx5xo (x),sin3x3xo(x),
1cosxx
2
o(x
2).

2
4

o(x)1o(x
2
)
1
22
5x
5x+
o(x)
+
x
+
o(x)
x2x

5
.

2
原式
=
lim
lim
x
®
0
x0
o(x)
3x
+
o(x)
3
3
x
三、极限的简单计算
1. 代入法：直接将
xx
0
的
x
0
代入所求极限的函数中去，若
f

x
0< br>
存在，
2x
5
3x
4
2x12
< br>；若
f

x
0

不存在，我们也能知道属即为其极限 ，例如
lim
x1
9
3x
3
2x4
x
2
9
于哪种未定式，便于我们选择不同的方法。例如，
lim
就代不进去 了，但
x3
x3
我们看出了这是一个
0
型未定式，我们可以用以 下的方法来求解。
0
2. 分解因式，消去零因子法
x
2
9< br>lim

x3

6
。 例如，
lim
x3
x3
x3
3. 分子（分母）有理化法 < br>例如，
lim
x
2
53
2x15
x2lim
x2


x
2
53
2x1


2x15


5

2x1 5


x53

2


x53< br>2
x
2
4

lim

x2
2x4

lim

x2

x2


x2
2

x2

1
x1x
2

2

又如，
lim
x

x
2< br>1xlim

x
0

4. 化无穷大为无穷小法

1
-
3x
2
+
x
-
7
x
例如，
lim
2
=
lim
x
2x
-
x
+
4
x
2
-
1
+
x
这个无穷大量。由此不难得出
3
+
7
x
2
=
3
，实际上就是分子分母同时除以
x
2
4
2
x2
5


a
0
，nm

b
a
0
xm
a
1
x
m1
a
m

0< br>lim

0，nm

x
bx
n
b x
n1
b
01n

，nm



1x
x2
1
lim
x
又如，
l im
x
1
x
（分子分母同除
x
）。
1< br>，
2
1
x

2


1
2
n
5
n
n

5

5
再如，
lim
n
，（分子分母同除）。
lim1
n
n
35
n
n

3


1

5

n
5. 利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限
xa rctan

x1

例如，
lim
（无穷小量乘以有界量 ）。
0
，
x
3x
2
x1
4x1又如，
求lim
2
.

x1
x2x3
解 ：
lim(x
2
2x3)
0,
商的法则不能用
x1
x
2
2x3
0
0.

又 lim(4x1)
30,
lim
x1
x1
4x13
4x1
.

x1
x
2
2x3< br>再如，等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3—例5。
由无穷小与无穷大的关系,得
lim
6. 利用两个重要极限求极限（例题参见§1.4例3—例5）
7. 分段函数、复合函数求极限

1x,x0
例如，
设f(x)

2
,求limf (x).

x0

x1,x0
解:
x0是函数的分段点,两个单侧极限为

x0
lim

f(x)lim

(1x)
1,
lim

f(x) lim

(x
2
1)
1,

x0
x0x0
左右极限存在且相等,
故limf(x)1.

x0
【启发与讨论】
思考题1：当
x
?
0
时
,y
11
sin
是无界变 量吗？是无穷大吗？

xx
6

解：
(1)取x
0

1
2k



2
(k0,1,2,3,)

,

当k充分大时,y(x
0
)M.
无界，
2
1
(2)取x
0
(k0,1,2,3,)

2k

当k充分大时,x
k


,

但y(x
k
)2k

sin2k


0M.
不是无穷大．
y(x
0
)2k



结论：无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.
思考题2：若
f(x)0
，且
limf(x)A
，问：能否保证有
A0的结论？试举例
x
说明.
解：不能保证. 例
f(x)
1

x0,

x
f(x)
1
0

limf(x)

x
x
1
A0.

x
x
思考题3：任何两个无穷小量都可以比较吗？
1sinx
解：不能．例如当
x
时
f(x),g(x)
都是无穷小量
xx
lim
但
lim
较.
【课堂练习】求下列函数的极限
e
x
cosx
（1）
lim
；
x0
x
e
x
cosxe
x
11cosx
limlim 1
解：原极限=
lim
x0x0x0
xxx
xg(x)

limsinx
不存在且不为无穷大，故当
x
时
f(x)
和
g(x)
不能比
f(x)
x
7

1
x
（2）求
lim
x0
(1cosx)ln(1 x)
3sinxx
2
cos
0
【分析】 “”型，拆项。
0
1

1

22

3sinxxcos< br>
3sinx
xcos

3
x

=
lim

x

= 解：原极限=
lim

x0

2x2x

2

x0

2 x


5x
5
4x
4
3x
2
（3）
lim
；
5
x
2x4x1
【分析】“抓大头法”，用于

型

5
4

3
3
5x
5
5
5
x
x
解：原极限=
lim
=，或原极限
=
li m
5
=

x
41
2x2
2
x
2
4

5
xx
（4）
lim(x
2
x x)
；
x
【分析】分子有理化
解：原极限=
lim
x
x
2
xx
x
=
lim
x1
=
11x1
2
1
x
2
1
)
（5）< br>lim(
2
x2
x4x2
【分析】

型， 是不定型，四则运算法则无法应用，需先通分，后计算。
x
2
x2
x< br>2
1
x13
)
=
lim
解：
lim(< br>2
==
lim
x2
x4
x2
x2
x2
x2
x
2
4
4
（6）
lim
x
2
x93
2
x0

【分析】“
子。 0
”型，是不定型，四则运算法则失效，使用分母有理化消零因
0
x
2< br>解：原极限=
lim
（7）
求lim(
n

x 0
x
2
93
=6
x
2

12n
).

222
nnn
8

解:
n时,是无穷小之和．
先变形再求极限.
1
n(n 1)
12n12n111
2
lim(
2

2

2
)limlim(1).

lim
2
n
n
nn
n
nnn
2
2n2
n< br>【内容小结】
一、无穷小（大）的概念
无穷小与无穷大是相对于过程而言的.
1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论.
2、几点注意:
(1) 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小
的数；
（2） 无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.
（3） 无界变量未必是无穷大.
二、无穷小的比较:
1.反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷
小都可进行比较。高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶。
2.等价无穷小的替换:
求极限的又一种方法, 注意适用条件.
三、极限求法（不同类型的未定式的不同解法）;
a.多项式与分式函数代入法求极限;
b.消去零因子法求极限;
c.无穷小因子分出法求极限;
d.利用无穷小运算性质求极限;
e.利用左右极限求分段函数极限.
9