恐怖太平间-广西艺术学院成绩查询

模块基本信息
一级模块名称
三级模块名称
函数与极限
极限的计算---无穷小等价替换
1、无穷小量
先行知识
2、等价无穷小的定义
知识内容
1、常用等价无穷小；
教学要求
模块编号 1-11
掌握程度
二级模块名称
模块编号
模块编号
计算模块
1-12
1-10
1、熟记几个常用的等价无穷小；

2、理解等价替换原理；

一般掌握

2、无穷小替换求极限的方法；
3、熟记等价替换的条件并能熟练掌握其
应用；
能力目标
时间分配
修订
培养学生灵活运用知识的能力
30分钟
熊文婷
编撰 尧克刚
二审
校对 熊文婷 审核
危子青
危子青
一、正文编写思路及特点：
思路：
在熟记常用等价无穷小量的基础，按照由易到难得 顺序讲题例题和
习题使学生能够灵活运用无穷小量的的等价替换掌握
法。
0
型极限的求解方
0

特点：
通过例题及练习的变形，使学生学会灵活运用知识的能力。

二、授课部分
1、预备知识

（1）无穷小的定义：
在自变 量的某种趋势下，以零为极限的函数

(x)
称
为无穷小量，简称无穷小.
（2）等价无穷小的定义：若

,

是无穷小量且
li m
是等价无穷小量，记作：



1,
则称
,


.
2、常用等价无穷小:
当x0时,

（1）
sinx
～
x
； （2）
arcsinx
～
x
； （3）
tanx
～
x
；
（4）
arctanx
～
x
； （5）
ln(1x)
～
x
； （6）
e
x
1
～
x

x
2
（7）
1cosx
～ （8）
(1x)

1
～

x
（9）
a
x
1
～
2
xlna

注：在教学中选择性地证明几个等价无穷小.
引例
lim
e1
=

x0
cosx1
x
2
3、等价无穷小的替换定理
定理
设

~


,

~


且lim




存在,则limlim.





证：
lim

< br>








 limlim
lim()
lim
lim.















4、等价无穷小替换求极限的求解案例
（一）直接替换求极限： （一级）

例1. （1）
lim
sin2x
e1

； （2）
lim
.

x0
x0
cosx1
x
x
2


x
2
解: （1）原式
=
lim
x0
x
2

2
=

1
;
2
（2）
当x0时,sin2x~2x.
故原式
lim
2x
= 2
.
x0
x
【注意】等价无穷小的替换能直接用在乘、除运算，一般不能 用
在加、减法运算中.

（二）四则运算变形后进行替换求极限： （二级）
例2.
求lim
解:
当x0时,
sin2x~2x,< br>tanxsinxtanx(1cosx)
~
tanxsinx
.
3
x0
sin2x
1
3
x,

2
所以原式
1
3
x
1
lim
2< br>3
.

x0
(2x)
16
tan5xcosx1
.

x0
sin3x
1
2
x

2
1
2
x
2
=
5
.
3x
3
例3.
求lim
解:
tan5x~5x,sin3x~3x,
1cosx~
原式=lim
x0
tan5x
sin3x
1cosx
5x
=< br>lim
x0
3x
sin3x
（选讲）（三）其它情形进行替换求极限： （三级）

x
x
1
例4. 求
lim
.

x1
xlnx
解：
当x1时,

txlnx0,

则
x
x
1e
xln x
1e
t
1txlnx
，

xlnx
x
x
1
用等价无穷小替换得
lim
=
lim
=1.

x1
xlnx
x1
xlnx
1
例5. 求
lim(1tan2x)
x0
sin3x
.

解：因为
当x0时,

tan2x2x
，
sin2x3x
，

所以 < br>lim(1tan2x)
x0
1
sin3x
lim(1tan 2x)
x0
1tan2x

tan2xsin3x

2
3


l im

(1tan2x)
x0

1
tan2x



tan2x
sin3x
e
.
三、能力反馈部分

1、（考查学生对等价无穷小替换求极限的方法的掌握情况）
直接用等价替换：
(1x)
(1cosx)arctan3x
lim

（2）
x0
(e
x
1)ln(12x)sin5x
sinx
2
（1）
lim
x0
四则运算变换后进行替换

1
ecosx
x
（3）
lim
（4）
lim
x0
x0
(1cosx)ln(1x)
xx
3sinxx
2
cos
其它情况等价替换（选做）

1cosx
2x
()1
ln(1x
2
)2
（5）
lim(cosx)
（6）
lim

3
x0
x0
ln(12x)
1

模块基本信息
一级模块名称
三级模块名称
函数与极限
极限的计算---无穷小等价替换
1、无穷小量
先行知识
2、等价无穷小的定义
知识内容
1、常用等价无穷小；
教学要求
模块编号 1-11
掌握程度
二级模块名称
模块编号
模块编号
计算模块
1-12
1-10
1、熟记几个常用的等价无穷小；

2、理解等价替换原理；

一般掌握

2、无穷小替换求极限的方法；
3、熟记等价替换的条件并能熟练掌握其
应用；
能力目标
时间分配
修订
培养学生灵活运用知识的能力
30分钟
熊文婷
编撰 尧克刚
二审
校对 熊文婷 审核
危子青
危子青
一、正文编写思路及特点：
思路：
在熟记常用等价无穷小量的基础，按照由易到难得 顺序讲题例题和
习题使学生能够灵活运用无穷小量的的等价替换掌握
法。
0
型极限的求解方
0

特点：
通过例题及练习的变形，使学生学会灵活运用知识的能力。

二、授课部分
1、预备知识

（1）无穷小的定义：
在自变 量的某种趋势下，以零为极限的函数

(x)
称
为无穷小量，简称无穷小.
（2）等价无穷小的定义：若

,

是无穷小量且
li m
是等价无穷小量，记作：



1,
则称
,


.
2、常用等价无穷小:
当x0时,

（1）
sinx
～
x
； （2）
arcsinx
～
x
； （3）
tanx
～
x
；
（4）
arctanx
～
x
； （5）
ln(1x)
～
x
； （6）
e
x
1
～
x

x
2
（7）
1cosx
～ （8）
(1x)

1
～

x
（9）
a
x
1
～
2
xlna

注：在教学中选择性地证明几个等价无穷小.
引例
lim
e1
=

x0
cosx1
x
2
3、等价无穷小的替换定理
定理
设

~


,

~


且lim




存在,则limlim.





证：
lim

< br>








 limlim
lim()
lim
lim.















4、等价无穷小替换求极限的求解案例
（一）直接替换求极限： （一级）

例1. （1）
lim
sin2x
e1

； （2）
lim
.

x0
x0
cosx1
x
x
2


x
2
解: （1）原式
=
lim
x0
x
2

2
=

1
;
2
（2）
当x0时,sin2x~2x.
故原式
lim
2x
= 2
.
x0
x
【注意】等价无穷小的替换能直接用在乘、除运算，一般不能 用
在加、减法运算中.

（二）四则运算变形后进行替换求极限： （二级）
例2.
求lim
解:
当x0时,
sin2x~2x,< br>tanxsinxtanx(1cosx)
~
tanxsinx
.
3
x0
sin2x
1
3
x,

2
所以原式
1
3
x
1
lim
2< br>3
.

x0
(2x)
16
tan5xcosx1
.

x0
sin3x
1
2
x

2
1
2
x
2
=
5
.
3x
3
例3.
求lim
解:
tan5x~5x,sin3x~3x,
1cosx~
原式=lim
x0
tan5x
sin3x
1cosx
5x
=< br>lim
x0
3x
sin3x
（选讲）（三）其它情形进行替换求极限： （三级）

x
x
1
例4. 求
lim
.

x1
xlnx
解：
当x1时,

txlnx0,

则
x
x
1e
xln x
1e
t
1txlnx
，

xlnx
x
x
1
用等价无穷小替换得
lim
=
lim
=1.

x1
xlnx
x1
xlnx
1
例5. 求
lim(1tan2x)
x0
sin3x
.

解：因为
当x0时,

tan2x2x
，
sin2x3x
，

所以 < br>lim(1tan2x)
x0
1
sin3x
lim(1tan 2x)
x0
1tan2x

tan2xsin3x

2
3


l im

(1tan2x)
x0

1
tan2x



tan2x
sin3x
e
.
三、能力反馈部分

1、（考查学生对等价无穷小替换求极限的方法的掌握情况）
直接用等价替换：
(1x)
(1cosx)arctan3x
lim

（2）
x0
(e
x
1)ln(12x)sin5x
sinx
2
（1）
lim
x0
四则运算变换后进行替换

1
ecosx
x
（3）
lim
（4）
lim
x0
x0
(1cosx)ln(1x)
xx
3sinxx
2
cos
其它情况等价替换（选做）

1cosx
2x
()1
ln(1x
2
)2
（5）
lim(cosx)
（6）
lim

3
x0
x0
ln(12x)
1