用等价无穷小大患求极限的误区及一点补充
小丑鸭-江苏科技大学分数线
用等价无穷小大患求极限的误区及一点补充
摘要：等价无穷小代换方法是求极限中最常用的方法之一，利用等价无穷小代换求极
限可以简化计算。分
析了学生用等价无穷小代换求极限的常见错误；探讨了极限式中的和
差项用等价无穷小代换的条件，并给
出了相应的实例。
关键词：等价无穷小；代换；极限
等价无穷小代换方法是求极限
中最常用的方法之一，恰当地选择要代换的无穷小，可
以简化计算，因而也倍受青睐，但学生在应用时玩
玩会出现一些常见的错误，下面就错误的
根源做了相应的理论分析，并对等价无穷小代换定理做了一些补
充，解决了困扰学生的问题，
对学生掌握等价无穷小代换方法有着重要意义。
为了叙述方便，
在以下讨论中，极限过程都指同一个变量的变化过程。若
lim
与
'
是该过程中的等价无穷小，记作
~
~
'
是
：
[2]
=1，则称
'
。关于等价无穷小
代换，最常用的定理
'
'
定理1 设<
br>
~
'
，
~
'
，且
lim
存在，则
lim
存在，且
lim
=
lim
'
'
推论1 设
~
'
，
~
'
，且lim
[1]
。
'f
<
br>f
f
存在
，则
lim
存在，且
lim
=
'
'
'
'f
lim
'
[2]
。
推论2 设
m'f
存在，则
lim
f
存在，且
~
'
，且
li
[2]
lim
f
=
lim
'f
。
有上述定理及其推论可知，等价无穷小的代换，是分子或分母的整体
代换，或分子、
分母的分因式代换，是对极限式中的积商因子的代换，这是很多教材中都会提到的。学生
在
利用等价无穷小代换计算极限时往往容易出错，究其原因，是弄不清楚代换的原理及对象，
另
外就是对无穷小的等价概念不清楚。见下例。
例1：
lim
0
sin
tan
3
错解：当
<
br>0
时，
sin
~
，
tan
~
，故有以下几种错误的结果;
(1)
lim
<
br>0
sin
tan
3
=
l
im
0
3
=0；
(2)
lim
0
sin
tan
3
=
lim
<
br>0
tan
3
=
1；
3
1
。
6
（3）
lim
0
sin
tan
3
=
lim
0
sin
3
=
分析：以上错误在于对极限式中的无穷小进行了无条件的代换，若要依据定理1及其
推论来解，
必须是对分子或分母进行整体代换，或者通过恒等变形后对其中的积商因子进行
代换
[3]。如下：
正解：当
0
时，
tan
~<
br>
，
1cos
~
1
2
，
<
br>2
lim
0
sin
tan
lim
0
3
=
lim
0tan
cos
1
=
3
lim
0
1
2
2
=
1
。
3
2
例2：
3tan
2sin
sin3
解
：
lim
0
3tan
2sin
=
lim
sin3
0
3sec
3cos
1
=
3cos3
3
2
分析
：此法是利用洛必达法则求解
0
型不定式；有学生用等价无穷小代换来解，得：
0当
0
时，
sin
~
，
tan
~
，
故
lim
03tan
2sin
3
2
1
=
lim
=，
3
sin3
3
0
于是错误的得出结论：极限式中的和差项也可无条件的用等价无穷小换来求解极限。
关于和差项能否用等价无穷小代换求极限，很多教材上都没有涉及到，只是强调加减情况下
不能
随意使用。这就会使学生产生困惑，例2中的和差项为什么进行等价无穷小的代换后结
果正确，不知道问
题出在哪里。为解决学生的困惑，下面就和差项的等价无穷小代换做一些
补充。
定理2 设
~
'
，
~
'
，
且
lim
若
C1
，则
~
'
'
；
若
C1
，则
~
'
'
。
证明：若
C1
，
C
，
1
1
<
br>
=
lim
=
lim
lim
'
'
'
'
'
'
'
因为
~
'
，所以
lim
所以
'
'
1
，又定理1，
limlimC
，
'
lim
C1
==1，
即
~
'
'
；
'
'
C1
同理，若
C1
，
1
1
C1
<
br>
lim
=
lim
=
lim
==1，
<
br>'
'
'
'
'
C
1
'
'
即
~
'
'
。
推论 设<
br>
~
'
，
~
'
，<
br>
~
'
，
~
'
，且
lim
a
c
1
，
lim1<
br>，
b
d
[2]
a
'b
'a
b
a
'b
'
a，b，c，d
为常数，则当
lim
存在时，有
lim
=
lim
c
'd
'c
d
c
'd
'
证明：
。
a
1
b
a
b
b
lim
=
lim
；
c
d
c
d
1
d
a
'
1
b
'
a
'b
'
b
'
lim
=
lim
c<
br>
'
d
'
c
'd
'
1
d
'
由定理1及其推论得
lim
a
a
'
lim1
， <
br>b
b
'
c
c
'<
br>lim1
，
d
d
'
lim
lim
b
b
'
=
lim
，
d
d
'
所以
a
a
'
=
lim
1lim
b
b
'
1
0
，
c
c
'
=
lim
1lim
d
d
'
1
0
，
所以
lim
a
b
a
'b
'
=
lim
。
c
d
c
'd
'
利用定理2及其推论，上述例2可解如下：
当
0
时，
tan
~
，
sin
~
，
故
lim
0
3tan
3
3=
lim
=
1
，
2sin
0
2
2
所以
lim
0
3tan
2sin
3
2
1
=
lim
=
lim
=
3
sin3
3
3
0
0
上例说明：和差项并不是绝对不能做等价无穷小代换，只要注意验证定理条<
br>件满足即可。
例3：
lim
0
tan2
sin
3
2
2
2
2
此题若用洛必达法则求，需连续使用两次才能求解出结果，花费时间长，而
且求导过程中极易出错；若用等价无穷小代换求解，过程简单明了，解如下：
当
0
时，
tan2
~
2
，
sin故
22
~
22
，
lim
0
tan2
2
2
=
lim
0
2
2
2
2
2
=
21<
br>；
sin
=
limlim
3
3
0
2
0
2
1<
br>1
；
3
所以
tan2<
br>
2
==
limlim
lim
sin
3
3
<
br>
4
0
22
0
220
2
2222
=
2
1
4
总而言之，恰当地使用等价无穷小代换求极限，可以简化计算，但是代换前
要验证定理满足
的条件。
参考文献：
[1]
同济大学应用数学系，高等数学[M].第五版.北京高等教育出版社,2002,58
[2] 魏国
祥,张隆辉,成明山.关于等价无穷小替换求极限方法的推广[J].四川教
育学院,2008,24(
5):111-112
[3]吴维峰.对等价无穷小代换与洛必达法则求极限的探讨[J].潍坊教育
学院学
报,2008,21(2):22~23
用等价无穷小大患求极限的误区及一点补充
摘要：等价无穷小
代换方法是求极限中最常用的方法之一，利用等价无穷小代换求极
限可以简化计算。分析了学生用等价无
穷小代换求极限的常见错误；探讨了极限式中的和
差项用等价无穷小代换的条件，并给出了相应的实例。
关键词：等价无穷小；代换；极限
等价无穷小代换方法是求极限中最常用的方法之一
，恰当地选择要代换的无穷小，可
以简化计算，因而也倍受青睐，但学生在应用时玩玩会出现一些常见的
错误，下面就错误的
根源做了相应的理论分析，并对等价无穷小代换定理做了一些补充，解决了困扰学生
的问题，
对学生掌握等价无穷小代换方法有着重要意义。
为了叙述方便，在以下讨论中，极限
过程都指同一个变量的变化过程。若
lim
与
'
是该过程中的等价
无穷小，记作
~
~
'
是：
[2]
=1，则称
'
。关于等价无穷小代换，最常用的定理
'
'
定理1 设
~
'
，
~
'
，且
lim存在，则
lim
存在，且
lim
=
lim
'
'
推论1 设
~
'
，
~
'
，且lim
[1]
。
'f
<
br>f
f
存在
，则
lim
存在，且
lim
=
'
'
'
'f
lim
'
[2]
。
推论2 设
m'f
存在，则
lim
f
存在，且
~
'
，且
li
[2]
lim
f
=
lim
'f
。
有上述定理及其推论可知，等价无穷小的代换，是分子或分母的整体
代换，或分子、
分母的分因式代换，是对极限式中的积商因子的代换，这是很多教材中都会提到的。学生
在
利用等价无穷小代换计算极限时往往容易出错，究其原因，是弄不清楚代换的原理及对象，
另
外就是对无穷小的等价概念不清楚。见下例。
例1：
lim
0
sin
tan
3
错解：当
<
br>0
时，
sin
~
，
tan
~
，故有以下几种错误的结果;
(1)
lim
<
br>0
sin
tan
3
=
l
im
0
3
=0；
(2)
lim
0
sin
tan
3
=
lim
<
br>0
tan
3
=
1；
3
1
。
6
（3）
lim
0
sin
tan
3
=
lim
0
sin
3
=
分析：以上错误在于对极限式中的无穷小进行了无条件的代换，若要依据定理1及其
推论来解，
必须是对分子或分母进行整体代换，或者通过恒等变形后对其中的积商因子进行
代换
[3]。如下：
正解：当
0
时，
tan
~<
br>
，
1cos
~
1
2
，
<
br>2
lim
0
sin
tan
lim
0
3
=
lim
0tan
cos
1
=
3
lim
0
1
2
2
=
1
。
3
2
例2：
3tan
2sin
sin3
解
：
lim
0
3tan
2sin
=
lim
sin3
0
3sec
3cos
1
=
3cos3
3
2
分析
：此法是利用洛必达法则求解
0
型不定式；有学生用等价无穷小代换来解，得：
0当
0
时，
sin
~
，
tan
~
，
故
lim
03tan
2sin
3
2
1
=
lim
=，
3
sin3
3
0
于是错误的得出结论：极限式中的和差项也可无条件的用等价无穷小换来求解极限。
关于和差项能否用等价无穷小代换求极限，很多教材上都没有涉及到，只是强调加减情况下
不能
随意使用。这就会使学生产生困惑，例2中的和差项为什么进行等价无穷小的代换后结
果正确，不知道问
题出在哪里。为解决学生的困惑，下面就和差项的等价无穷小代换做一些
补充。
定理2 设
~
'
，
~
'
，
且
lim
若
C1
，则
~
'
'
；
若
C1
，则
~
'
'
。
证明：若
C1
，
C
，
1
1
<
br>
=
lim
=
lim
lim
'
'
'
'
'
'
'
因为
~
'
，所以
lim
所以
'
'
1
，又定理1，
limlimC
，
'
lim
C1
==1，
即
~
'
'
；
'
'
C1
同理，若
C1
，
1
1
C1
<
br>
lim
=
lim
=
lim
==1，
<
br>'
'
'
'
'
C
1
'
'
即
~
'
'
。
推论 设<
br>
~
'
，
~
'
，<
br>
~
'
，
~
'
，且
lim
a
c
1
，
lim1<
br>，
b
d
[2]
a
'b
'a
b
a
'b
'
a，b，c，d
为常数，则当
lim
存在时，有
lim
=
lim
c
'd
'c
d
c
'd
'
证明：
。
a
1
b
a
b
b
lim
=
lim
；
c
d
c
d
1
d
a
'
1
b
'
a
'b
'
b
'
lim
=
lim
c<
br>
'
d
'
c
'd
'
1
d
'
由定理1及其推论得
lim
a
a
'
lim1
， <
br>b
b
'
c
c
'<
br>lim1
，
d
d
'
lim
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b
b
'
=
lim
，
d
d
'
所以
a
a
'
=
lim
1lim
b
b
'
1
0
，
c
c
'
=
lim
1lim
d
d
'
1
0
，
所以
lim
a
b
a
'b
'
=
lim
。
c
d
c
'd
'
利用定理2及其推论，上述例2可解如下：
当
0
时，
tan
~
，
sin
~
，
故
lim
0
3tan
3
3=
lim
=
1
，
2sin
0
2
2
所以
lim
0
3tan
2sin
3
2
1
=
lim
=
lim
=
3
sin3
3
3
0
0
上例说明：和差项并不是绝对不能做等价无穷小代换，只要注意验证定理条<
br>件满足即可。
例3：
lim
0
tan2
sin
3
2
2
2
2
此题若用洛必达法则求，需连续使用两次才能求解出结果，花费时间长，而
且求导过程中极易出错；若用等价无穷小代换求解，过程简单明了，解如下：
当
0
时，
tan2
~
2
，
sin故
22
~
22
，
lim
0
tan2
2
2
=
lim
0
2
2
2
2
2
=
21<
br>；
sin
=
limlim
3
3
0
2
0
2
1<
br>1
；
3
所以
tan2<
br>
2
==
limlim
lim
sin
3
3
<
br>
4
0
22
0
220
2
2222
=
2
1
4
总而言之，恰当地使用等价无穷小代换求极限，可以简化计算，但是代换前
要验证定理满足
的条件。
参考文献：
[1]
同济大学应用数学系，高等数学[M].第五版.北京高等教育出版社,2002,58
[2] 魏国
祥,张隆辉,成明山.关于等价无穷小替换求极限方法的推广[J].四川教
育学院,2008,24(
5):111-112
[3]吴维峰.对等价无穷小代换与洛必达法则求极限的探讨[J].潍坊教育
学院学
报,2008,21(2):22~23