山东潍坊医学院-舒婷神女峰

应用高等数学 等价替换公式 泰勒公式
应用高等数学等价替换公式
1、无穷小量：
设
limf（x）limg（x）0

xx
0
xx
0
*1）若
lim
xx
0
f（x）
0
，f（x）是g（x）的 高阶 无穷小
g（x）
f（x）

，f（x）是g（x）的 低阶 无穷小
g（x）
*2）若
lim
xx
0
*3）若
lim
xx
0
f（x）
c
，f（x）是g（x）的 同阶 无穷小
g（x）
f（x）
1
，f（x）是g（x）的 等价 无穷小
g（x）
*4）若
lim
xx
0
*5）若
lim
xx
0
f（x）
0
，f（x）是g（x）的 k阶 无穷小
k
g（x）
2、等价替换：
若x→x
0
，f（x）~ f
1
（x），g（x）~ g
1
（x）
则
lim
xx
0
f（x）
f（x）


lim
1

xx
0
g
g（x）
（
1
x）
6、常用等价形式：
当f（x）→0时
*1）sinf（x）~ f（x）
*2）arc sinf（x）~ f（x）
*3）tanf（x）~ f（x）
*4）arc tanf（x）~ f（x）
*5）In（1+f（x））~ f（x）
*6）e
f（x）
-1~ f（x）
2
f（x）
*7）1-cosf（x）~
2
1

应用高等数学 等价替换公式 泰勒公式
*8）（1+f（x））-1~ αf（x）
二、函数的连续：
1、间断点：
*1）第一类间断点：f
-
（x
0
）、f
+
（x< br>0
）均 存在的 间断点
⑴跳跃间断点： f
-
（x
0
）≠f
+
（x
0
）
⑵可去间断点： f
-
（x
0
）=f
+
（x
0
）
*2）第二类间断点：f
-
（x
0
）、f
+
（x
0
）至少有一个 不存在的 间断点
⑴无穷间断点： f
-
（x
0
）、f
+
（x
0
）中至少有一个为 ∞
⑵振荡间断点： f
-
（x
0
）、f
+
（x0
）中至少有一个 振荡不存在
三、导数：
1、定义：
f

（x）
=
lim
2、导数的常见形式：
*1）
f

（x
0
） lim
xx
0
α< br>△x0
f（x
0
△x）-f（x
0
）

△x
f（x）-f（x
0
）

x-x
0
*2）
f

（x） lim
h0
f（x
0
h）-f（x
0
）

h
f（x
0
）-f（x
0
h）

h
*3）
f

（x） lim
h0
3、切线方程：
若曲线y=f（x）在点P（x
0
，f（x
0
）），
则 y-y
0
=
f

（x
0
）
（x-x
0
）
注：
*1）如果
f

（x
0
）
=∞，则 x=x
0
*2）如果
f

（x
0
）
=0，则 y=y
0

4、法线方程：
若直线过点P（x
0
，f（x
0
）），
则 y-y
0
=

1
（x-x
0
）
f

（x
0
）
5、基本公式：


0 *1）
（C）

 ax
a-1

（x
a
）
*2）

 a
x
Ina

（a
x
）
*3）
2

应用高等数学 等价替换公式 泰勒公式
*4）
（e
x
）

 e
x

*5）
（log


1
a
x）
xIna

*6）
（Inx）


1
x

*7）
（sinx）

 cosx
*8）
（cosx）

 -sinx


*9）
（tanx）

 sec
2
x

*10）
（cotx）

 -csc
2
x

*11）
(secx）

 secxtanx

*12）
（cscx）

 -cscxcotx

*13）
（arc sinx）


1
1-x
2

*14）
（arc cosx）

-
1
1-x
2

*15）
（arc tanx）


1
1x
2

*16）
（arc cotx）

 -
1
1x
2

6、四则运算：

和

都有导数
*1）
(



）








*2）
（c

）

 c



*3）
(



）









*4）
(





)




2
(

0)

推论：
*1）
（c

）

 c




3

应用高等数学 等价替换公式 泰勒公式




w



w

w


（
w
）
*2）




ws



ws

w

（
ws
）
s

ws

*3）
7、反函数求导法则：
设y=f（x）与x=

（y）（


（y）≠0）
1
1
则
f

（x）
或
y

=
x



（y）
x
y
8、n次导的常见公式：
（n）
（sinx）
*1）=
sin（xn

）
2

（cosx）
*2）
（n）
 cos（xn

）
2

）!

n
n-1
（n-1
（-1）
*3）
[In

1x

]
=
n
（1x）
9、参数方程求导：
x

（t）
设函数

都可导，其中x=
（atb ），且x

（t），y

（t）

y
（t）
dy
dy


（t）
≠0，则函数的导数

dt



（t）
dx
dx


（t）
dt
10、复合函数求导：
若y=f（u ），u=

（x），且f（u）及

（x）都可导，则复合函数y=f[
（x）]
的导数
dy
 f

（x）


（x）

dx
11、隐函数求导：
*1）方程F（x，y）=0两边求导，解出
dy
或y

dx


F
x
dy
*2）公式法：由F（x，y）=0，则
 

dxF
y

dy

dx
*3）利用微分形式的不变性，方程两边求微分，然后解出
4

应用高等数学 等价替换公式 泰勒公式
注：y是x的函数
12、对数求导：
将函数关系式两边取自然对数（成为隐函数形 式），化简，然后两边两边求导，
最后两边乘以y（x）
注：适用于多个因式的乘、除、乘幂构成或幂指函数（y=u（x）
v（x）
）
13、高阶导数：
*1）二阶导数：
f

（x） lim
f

（x△x）-f

（x）
△x

f

（x△x）-f

（x）
△x

△x0
*2）三阶导数：
f

（x） lim
△ x0
*4）n阶导数：
f
（n-1）
（n-1）（n-1）
f（x △x）-f（x）

（x） lim
△x0
△x
14、中值定理：
*1）拉格朗日定理：若函数f（x ）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）
内可导，则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得< br>f

（

）
f（b）-f（a）

b -a
推论1：如果函数f（x）在区间（a，b）内任意一点的导数
f

（x ）
都等于零，你
们函数f（x）在（a，b）内是一个常数
推论2：如果函数f（x ）与g（x）在区间（a，b）内每一点的导数
f

（x）
与
g
（x）
都相等，则这两个函数在区间（a，b）内至多相差一个常数，即：f（x）= g
（x）+C，x

（a，b）
*2）罗尔定理：若函数f（x）在闭区间 [a，b]上连续，在开区间（a，b）内可
导，且f（a）=f（b），则在（a，b）内至少存在一 点ξ，使得
f

（

）
0
*3）柯西定理 ：若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可


（

）
f（b）-f（a）
f
导，且
g

（x） 0
，则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得=

g（b）-g（a）
g（

）
15、洛必达法则：
0
*1）型：
0
设函数f（x）、g（x）满足：
⑴
limf（x）limg（x）
0
xx
0
x x
0
⑵在点x
0
的某去心邻域内
f

（x）与g

（x）
都存在 ，且
g

（x）
0
5

应用高等数学 等价替换公式 泰勒公式
f

（x）
⑶
lim
存在或为无穷 xx
0
g

（x）
有：
lim
xx
0
f（x）
f

（x）
=
lim
g（x）
xx
0
g

（x）

*2）

型：

设函数f（x）、g（x）满足：
⑴
limf（x）limg（x） 

xx
0
x x
0
⑵在点x
0
=的某去心邻域内
f

（x）与 g

（x）
都存在 ，且
g

（x）
0
⑶
lim
xx
0
f

（x）
存在或为无穷
g

（x）
f（x）
f

（x）
=
lim
g（x）
xx
0
g

（x）

f（x）g（x）
或
，一般将In、arc
11
g（x ）f（x）
有：
lim
xx
0
*3）其他未定型：
⑴0·∞型：f（x）·g（x）转化成
留在分子上
0
⑵∞-∞型： 通过通分、分子有理化、倒数代换或代数、三角恒等变形化为型
0
或

型 < br>
Inf（x）
1
g（x）
0

、
0型：f（x）
g（x）
= e
g（x）Inf（x）
=
e
⑶
1

、

16、函数单调性判定：
设函数y=f（x）在开区间（a，b）内可导
*1）如果函数y=f（x）在（a，b）内 ，
f

（x）0
，则函数y=f（x）在（a，b）
内单调递 增 ；
*2）如果函数y=f（x）在（a，b）内，
f

（x）0< br>，则函数y=f（x）在（a，b）
内单调递 减 ；
17、函数的极值： *1）如果函数y=f（x）在点x
0
及其左右近旁有定义，且对于x
0
近旁的任何一点
x（x≠x
0
）的函数值f（x）均有：
6

应用高等数学 等价替换公式 泰勒公式
⑴f（x）0
）,则f（x
0
）称为函数y=f（x）的 极大值 ，点x
0
称为函数
y=f（x）的 极大值点
⑵f（x）>f（x
0
）,则f（x
0
）称为函数y=f（x）的 极小值 ，点x
0
称为函数
y=f（x）的 极小值点
*2）驻点：
f

（x
0
）
0 的点
*3）极值第一充分条件：
设点x
0
是f（x）可能的极值点（
f

（x
0
）0
或
f

（x
0< br>）
不存在）
 0
；
x（x
0
，x
0


）时，f

（x）  0
,⑴当
x （x
0
-

，x
0
）时，f

（x）< br>则x
0
为极大值点
 0
；
x（x
0，x
0


）时，f

（x）  0
, ⑵当
x（x
0
-

，x
0
）时，f
< br>（x）
则x
0
为极小值点
（x
0
，x
0< br>

）
⑶当
x（x
0
-

，x< br>0
）
，
f

（x）
同号 ，则x
0
不是极值点
*4）极值的第二充分条件：
设y=f（x）在点x
0
处有一、二阶导数，且
f

（x
0
）
= 0
⑴如果
f

（x
0
）
> 0，则函数y=f（x）在点x
0
处取得最小值f（x
0
）
⑵如果
f

（x
0
）
< 0，则函数y=f（x）在点x
0
处取得最大值f（x
0
）
18、曲线凹凸性：
*1）若对于x

（a，b）时，
f

（x）0
，则曲线在（a，b）上为 凹 ，用符
号“

” 表示
*2）若对于x

（a，b）时，
f

（x）0
，则曲线在（a，b）上为 凸 ，用符
号“

” 表示
6、曲线拐点：
设f（x）在x
0
的某个 邻域内二阶可导，且
f

（x
0
）
0 ，若x
0
两侧
f

（x
0
）
改
变 符号，则 （x
0
，f（x
0
）） 为曲线的拐点
19、曲线的渐近线：
*1）水平渐近线：如果函数y=f（x）的定义域是无穷区间，且< br>limf（x）b
，
x
则y= b
*2）垂直渐近线：如果 函数y=f（x）在x=x
0
处间断，且
limf（x）
，则x=
xx
0
x
0
7

应用高等数学 等价替换公式 泰勒公式
*3）斜渐近线：如果函 数y=f（x）定义在无穷区间，且
lim
x
f（x）
a
，< br>x
lim[f（x）-ax]b
，则y= ax+b
x
20、经济学与导数：
*1）利润：L（Q）= R（Q）-C(Q)
*2）边际利润：
L

（Q) R

（Q）-C

（Q）

*3）函数弹性：
Eyx
 f

（x）
Exf（x）

*4）需求弹性（供给函数）：

（p
0
）
p
0

Q

（p
0
）
Q(p
0
）
注：
⑴当|η| < 1时，为低弹性，此时需求变动幅度 小于 价格变动幅度。且
> 0，收益R（p）单调 递增 ，即价格随总收益的增加而增加
R

（Q）
⑵当|η| > 1时，为高弹性，此时需求变动幅度 大于 价格变动幅度。且
< 0，收益R（p）单调 递减 ，即价格随总收益的增加而减少
R

（Q）
①当|η| = 1时，为单位弹性，此时需求变动幅度 等于 价格变动幅度。且
= 0，收益R（p）取得 最大值
R

（Q）
四、微分：
1、定义：dy=
f

（x）dx

2、基本公式：
*1）d（c）= 0
*2）
d（x
a
） ax
a-1
dx

*3）
d（a
x
） a
x
Inadx

*4）
d（e
x
） e
x
dx

*5）
d（log
a
x）
1
dx
xIna

1
*6）
d（Inx） dx
x

*7）
d（sinx） cosxdx

*8）
d（cosx） -sinxdx

8

应用高等数学 等价替换公式 泰勒公式
*9）
d（tanx） sec
2
xdx

*10）
d（cotx） -csc
2
xdx

*11）
d(secx） secxtanxdx

*12）
d（cscx） -cscxcotxdx

*13）
d（arc sinx）
1
dx
1-x
2

*14）
d（arc cosx） -
1
1-x
2
dx

*15）
d（arc tanx）
1
1x
2
dx

*16）
d（arc cotx） -
1
1x
2
dx

3、四则混合

和

都有微分
*1）
d（



） d

d


*2）
d（c

） cd


*3）
d(



） d



d


*4）
d(

)
d



d



2
(

0)

5、应用：
*1）计算函数改变量的近似值：△y≈dy=
*2）计算函数值的近似值：f（x
0
+△x）≈
*3）当x
0
=0时，|x|很小时，有f（x）≈ f
注：|△x|相对于x
0
很小（越小越好）
推论：
⑴
(1x)
n
 1nx

⑵e
x
≈ 1+x
⑶In（1+x）≈ x
⑷sinx≈ x （x用弧度制表示）
9

f

（x
0
）△x

（x
0
）+
f

（x
0
）△x

（0）+
f

（0）△x

f

应用高等数学 等价替换公式 泰勒公式
⑸tanx≈ x （x用弧度制表示）
五、不定积分：
1、定义：

f（x）dx F（x）C

2、基本公式：
*1）

0dx C

*2）

kdx kxC
（k为常数）
x
a1
C
*3）

xdx
a1

a
*4）

1
dx InxC
x

x
a
x
C
（a>0且a≠1） *5）

adx
Ina
*6）

e
x
dx e
x
C


*7）

sinxdx -cosxC
*8）

cosdx sinxC


*9）

sec
2
xdx tanxC
*10）

csc
2
xdx -cotxC



*11）

secxtanxdx secxC
*12）

cscxcotxdx -cscxC
*13）

1
1-x
2
dx arc sinxC  -arc cosxC

1
dx arc tanxC  -arc cotxC
*14）

2
1x

*15）

tanxdx -IncosxC
*16）

cotxdx InsinxC


10


*17）

secxdx IntanxsecxC

应用高等数学 等价替换公式 泰勒公式
*18）

cscxdx Incscx-cotxC
* 19）

*20）

*21）

*22）


1
a
2
-x
2
dx arc sin
x
C
（a>0）
a
11x
dx arc tanC
（a≠0）
22
aa
xa
11ax
dx InC
（a≠0）
22
2aa-x
a-x
1
a
2
x< br>2
dx Inxx
2
a
2
C
（a>0）
3、性质：
*1）
[

f（x）dx]

 f（x）

*2）
d[

f（x）dx] f（x）dx
*3）

f

（x）dx f（x）C
*4）

df（x） f（x）C



*5）

kf（x）dx k

f（x）dx
（k≠0）
]dx

f（x）dx
*6）

[f （x）g（x）
4、换元积分法：

g（x）dx

]


（x）dx

f[

（x） ]d

（x）
*1）第一类换元积分法（凑微分法）：

f[

（x）
= F[

（x）]+C
*2）常见形式：
⑴

f（axb）dx
1
a
（a≠0） 
f（axb）d（axb）
nn-1
⑵

f（axb） xdx
1
na
nn
f（axb）d(axb）
（a≠0）

axax
⑶

f（e）edx
1
a
axax
f（e）de
（a≠0）

11

应用高等数学 等价替换公式 泰勒公式
11
⑷

f（）
2
dx -
x< br>x
⑸

f（x）
11
f（）d

xx

1
x
dx 2

f（x）dx

1
⑹

f（Inx）
2
dx

f（Inx）dInx

x
⑺

f（cosx）sinxdx -

f（cosx）dcosx

⑻

f（sinx）cosxdx

f（sinx）dsinx

⑼

f（tanx）sec
2
xdx

f（tanx）dtanx

⑽

f（cotx）csc
2
xdx -
⑾
f（arc sinx）

f（cotx）dcotx


1
1-x
2
dx

f（arc sinx）darc sinx

1
dx

f（arc tanx）darc tanx
⑿

f（arc tanx）
2
x1

*3）第二类换元积分法：

f（x）dx
x

（x）
1


f（

（t））


（t）d（t）  F(t)C  F[


（x）]C

*4）无理代换（根式代换）：
⑴当被积函数中含
n
x
时，令x= t
n
（t>0）
⑵当被积函数中含
n
x
和
m
x
时，令x=t
p
（t>0），p是m和n的 最小公倍数
⑶当被积函数中含
n
axb
（a、b为常数且a≠0）时，令ax+b= t
n
（t>0）
*5）三角代换：
⑴若被不定积分f（x）含
a
2
-x
2
时，令x= |a|sint
⑵若被不定积分f（x）含
x
2
-a
2
时，令x= |a|sect
⑶若被不定积分f（x）含
a
2
x
2
时，令x= |a|tant
注：并且需要回代
12

应用高等数学 等价替换公式 泰勒公式

⑴ ⑵ ⑶
*6）分部积分法：

uv

dx uv-

u

vdx
或

udv uv-

vdu

六、基本积分表：
1、含有a+bx的积分：
u1
（abx）
（axb）dx C （u-1）
*1）

b（u1）

u

*2）

*3）

*4）

*5）

11
dx In（abx）C
abxb

11abx
dx -InC
x（abx）ax

11babx
dx -InC
22
ax
a
x
x（abx）

x1
dx
2
[abx- In（abx）]C
abx
b

x
2
11
dx
3
[(abx)
2
-2a（abx）a
2
In（abx）]C
*6）

ab x
b
2

*7）

x1a
dx [In（abx）]C
abx
(abx)
2
b
2

x
2
1a
2
dx
2
[abx-2aIn（ abx）]C
*8）

2
abx
(abx)b

*9）

111abx
dx -InC

22a（abx）x
x(abx)a
2、含有
abx
的积分：
13

应用高等数学 等价替换公式 泰勒公式
2
3
*1）

abxdx （abx）C
3b

3
（22a-3bx）（abx）
C< br>*2）

xabxdx
2
15b

3
（28a
2
-12abx15b
2
x
2
）（abx）
abxdx C
3
105b

*3）

x
*4）

*5）

*6）

2
abx< br>3
dx 2（abx）a

x
abx
dxC
x

x
abx
x
2
dx -
（22a-bx）abx
C
2
3b

（28a
2
-4abx3b
2
x
2
）abx
dx -C
3
15b
abx



1

dx

*7）

xabx



*8）

1
a
2
In
abx-
abx
a
a
C （a0）
-a
arc tan
abx
C （a0）
-a

1
x
2
abx
dx -< br>abxb
-
ax2a

x
1
abx
dx C

3、含有
a
2
x
2
的积分：
11x
dx arc tanC
*1）

22
aa
ax

1x2n-31
dx dxC
*2）

2n2n-1n-1
（ax
2
）（2n-1）a（a
2
x
2
）（2 n-1)a
2

（a
2
x
2
）

11ax
dx InC
（|x|
22
2aa-x
ax
*4）

11x-a
dx InC
（|x|>a）
22
2aaa
x-a
4、含有a< br>
bx
2
的积分：
14

应用高等数学 等价替换公式 泰勒公式
*1）

11a
dx In
abx
2
2aba-
bx
bx
C

11abx
dx arc tanC
（a>0，b>0） *2）

2
a
abx
ab
*3）

x1
2dx In（abx）C
2
2b
abx

x
2
xa
dx -
*4）

2
bb< br>abx

1
dx
2
abx

11x
2
dx InC
*5）

22
2a
x（abx）abx

11b
dx --
*6）

2
axa
x（a bx
2
）

1
dx
2
abx

1x1
dx -
*7）

2
（abx
2）2a（abx
2
）
2a
5、含有
x
2
a
2
的积分：
*1）


1
dx

2
abx
x
2
a
2
2
xadx xaIn（x
22
22
x
2
a
2
）C< br>
3
（3x
2
a
2
）
C
*2）

xxadx
3

22
*3）

x
*4）

*5）

*6）

*7）
< br>2
xa
4
2222
xadx （2xa）xa-In（x
88
22
223
x
2
a
2
）C

x3a
4
2222
(xa)dx (2x5a）xaIn（ x
88
x
2
a
2
）C

1
x
2
a
2
1
dx In（x
x
a
2
x
2
a
2
）C

（xa）
x
x
2
a
2
223
dx
xa
22
C

dx x
2
a
2
C

15

应用高等数学 等价替换公式 泰勒公式
*8）

*9）

x
2
a
2
2
dx xaIn（x
22
22
xa
x
2
3（x
2
a
2
）
x
2
x
2
 a
2
）C

dx -
x
x
2
a< br>2
In（x
x
xa
22
x
2
a2
）C

*10）

*11）

*12）< br>
*13）

1
dx In（
a
xx
2
a
2
a
1
x
2
1
）C

xa
22
dx -
x
2
a
2
C
2
ax

x
2
a
2
a
dx x
2
a2
aIn（
x
x
2
a
2
）C
x

x
2
a
2
dx -
2
x
x
2
a
2
In（x
x
x
2
a2
）C

6、含有
x
2
a
2
的积分：
*1）

xa
2
22
xadx x-aIn（x
22
22
223
x
2
-a
2
）C

x3a
4
2222
In（x
*2）

（x- a）dx （2x-5a）x-a
88
3
（x
2
-a
2
）
C
*3）

xxadx
3

22
5
（x
2
-a
2
）
C
*4）
x（xa）dx
5

223
x
2
-a
2
）C

*5）

x
*6）

*7）

*8）

2xa
4
2222
xadx （2x-a）x-aIn（x
88
22
x
2
-a
2
）C

1
x
2
a
2
dx In（xx
2
-a
2
）C

1
(xa）x
x
2
a
2
223
dx -
x
a
2
x-a
22
C

dx x
2
-a
2
C

16

应用高等数学 等价替换公式 泰勒公式
*9）

*10）

*11）

*12）
*13）

*14）

x
2
a
2
2< br>dx xaIn（x
22
22
xa
x
2
3
（x
2
a
2
）
x
2
x
2-a
2
）C

dx -
x
x
2
-a
2
In（xx
2
-a
2
）C

1x
dx arc cosC
aa
xx
2
a
2

x
2
-a
2
dx C
2
22
ax
xa

1
1
x
2
x
2
-a
2
x
dx x
2
-a
2
-aarc cosC
xa

x
2
-a
2
dx -
2
x
x
2
-a
2
-In（x
x
x
2
-a
2）C

7、含有
a
2
-x
2
的积分： *1）

*2）

xa
2
x
22
a- xdx a-xarc sinC
22a

22
x3a
4
x
2222
(a-x)dx (5a-2x）a-xarc sinC
88a

223
3
（a
2
-x
2
）
C
*3）

xa-xdx -
3

22
5
（a
2
-x
2
）< br>C
*4）

x（a-x）dx -
5

223
*5）

x
*6）

*7）

*8）
2
xa
4
x
2222
a-xdx （2x-a）a-xarc sinC
88a

22
1
a
2
-x
2
x
a
2
-x
2
x
2< br>dx arc sin
x
C
a

dx -a
2
-x
2
C

xa
2
x
22
dx -a-xarc sinC
22a
a
2
-x
2

17

应用高等数学 等价替换公式 泰勒公式
*9）

*10）

*11）

*12）
*13）

*14）

*15）

1
（a-x ）
x
223
dx
x
a
2
a-x
1< br>a-x
x
a
2
-x
2
22
22
C

（a-x）
x
2
3
（a
2
-x
2
）
223
dx C

dx -arc sin
x
C
a

1x
dx InC
2222
a
xa-xaa-x

1
x
2
1
a-x
22
dx -
a
2
-x
2
C
2
ax

a
2
-x
2
a
dx a
2
-x2
-aIn
x
a
2
-x
2
dx -
2
x
a
2
-x
2
C
x

a
2
-x
2
a
-arc sinC

xx
2
c0）
8、含有
abxcx（
的积分：

2
arc tan

2
1

4ac-b
dx

*1）

2
abxcx
12cx

In
< br>2
2cx

b-4ac
11
dx In
*2）

2
2
abxcx
b4ac
2
c0）9、含有
abxcx（
的积分：
2cxb
4ac-b
2
2
C （b
2
4ac）

C （b
2
4ac）

b-b-4ac
bb
2
-4ac
b
2
4ac 2cx-b
b-4ac-2cxb
2
C

*1）
2cxbb
2
-4ac
2
abxcxdx abxcxIn（2cxb

3
4c
8c
2
2c abxcx
2
）C

*2）

1
abxcx
2
dx
1
c
In（2cxb2cabxcx
2
）C

18

应用高等数学 等价替换公式 泰勒公式
*3）

*4）

*5）

*6）< br>
abxcx
2
b
dx In（2cxb
2cabxcx
2
）C

c
a bxcx
2
2c
3
x
2cxbb
2
4ac 2cx-b
2
abxcxdx abxcxarc sinC
32
4c
8cb4ac

2
1
ab xcx
x
abxcx
2
2
dx
1
c
arc sin
2cx-b
b4ac
2
C

dx -
abx-cx
2
b2cx-b
arc sinC

32
c
2cb4ac
10、含有
ax
的积分：
或（x-a）（b-x）
bx
*1）

*2）

*3）

*4）

ax
dx （ax）（bx）（a-b）In（ax
bx
bx）C

a-xbx
dx （a-x）（bx）（ab）arc sinC
bxba

axb-x
dx -（ax）（b-x）-（ab）arc sinC
b-xba

b-x
dx 2arc sinC

b-a
（x—a）（b-x）
1
11、含有三角函数的积分：一部分见上
x1
*1）

sin
2
xdx -sin2xC
24

*2）

cos
2
dx
n
x1
sin2xC
24

sin
n-1< br>xcosxn-1
sin
n-2
xdx
*3）

s inxdx

nn

cos
n-1
xsinxn- 1
n-2
cosxdx
*4）

cosxdx

nn

n
*5）

1cosxn-2
dx -
n-1
sin
n
x（n-1）sin
n-1
x

1
dx
sin
n-2
x

19

应用高等数学 等价替换公式 泰勒公式
*6）

1sinxn-2
dx -
n-1
cos< br>n
x（n-1）cos
n-1
x

1
dx
c os
n-2
x


2


a

1

dx < br>
*7）

absinx

1

a



a
2
a
2
xb
22
ar ctan[（tan）]C （ab）
2222
2a
a-ba-b
a
2
In
22
b-a
xb
tan-
2a
t an
xb

2a
b
2
-a
2
a
2
C （a
2
b
2
）
b
2
-a2
a
2


2a
2
a
2
xb
22
arctan[（tan）]C （ab）

2222
a2a
a-b

a-b

22
1

xbb -a
dx
*8）


tan-
2
2
absinx
1a
2a
a

22
InC （ab ）

a
b
2
-a
2
22
xbb-a

tan

2a
a
2


cos< br>m-1
xsin
n1
xm-1

*9）

cosxsinxdx
mnmn
mnm-2n
cosxsinxdx


co s
m1
xsin
n-1
xn-1

=
mnmn
*10）

sinmxcosnxdx -
*11）

sinmxsinnxdx -
*12）

cosmxcosnxdx -
*13）

*14）


cosxsin
mn-2
xdx

cos（mn）xcos（m-n）x
-C （mn）
（2mn）（2m-n）

sin（mn）xsin（m-n）x
-C （mn）
（2mn）（2m-n）

sin（mn）xsin（m-n）x
C （mn）
（2mn）（2m-n）

11btanx
dx arc tanC
2222
aba
acosxbsinx

11btanxa
dx InC
2222
2abbtanx-a
acosxbsinx

11
sinax-xcosaxC
a
a
2

20
*15）

xsinaxdx

应用高等数学 等价替换公式 泰勒公式
2
*16）

xsinaxdx -
1
2
22
xcosax-
2
xsinax
3
cosaxC
aaa

*17）

xcosaxdx
11
cosax-xsinaxC
2
a
a

1
2
22
2
*18）

xcosaxdx xsinax-
2
xcosax
3
sinaxC

a
aa
12、含有反三角函数的积分：
*1）

arc sin
xx
dx xarc sin-
aa
a
2
x
2
C

xx
2
a
2
xx
（-）arc sin-a
2
x
2
C
*2）

xarc sindx
a24a4

xx
3
xx
2
2 a
2
*3）

xarc sindx arc sin
a3a9
2
a
2
x
2
C

*4）

arc cos
xx
dx xarc cos-
aa
a
2
x
2
C

xx
2
a
2
xx
（-）arc cos-a
2
x
2
C
*5）

xarc cosdx
a24a4

xx
3
xx
2
2 a
2
*6）

xarc cosdx arc cos
a3a9
2
a
2
x
2
C

*7）

arc tan
xxa
dx xarc tanIn（a
2
x
2
）C
aa2

xa
2
x
2
xax
arc tanC
*8）

xarc tandx
a2a2
xx
3
xax
2
a
3
In（a
2
 x
2
）C
*9）

xarc tandx arc tan
a3a66
2
13、含有指数函数的积分：
e
ax
C
*1）

edx
a

ax
e
ax
(asinbx- bcosbx）
C
*2）

esinbxdx
a
2
b
2

ax
21

应用高等数学 等价替换公式 泰勒公式
e
ax
(bsinbxacosbx）
C
*3）

e cosbxdx
22
ab

ax
e
ax
( ax-1）
C
*4）

xedx
2
a
< br>ax
x
n
e
ax
n
-
*5）
xedx
aa
nax
mx
n-1ax
x

edx

xa
mx
a
mx
-C
*6）

xadx 
2
mIna
（mIna）

x
n
a
mx
n
-
*7）

xadx
mInamIna
nmx
axn
n-1mx
x

adx

e
ax
sin
n-1
bxn
2
-n
2axn-2
（ asinbx-nbcosbx）
2
b

esinbxdx
*8）

esinbxdx
22222
abnabn

e
ax
cos
n-1
bxn
2
-n
2axn-2< br>（acosbxnbsinbx）becosbxdx
*9）

ecosbxdx
2

22222
abna bn
axn
14、含有对数函数的积分：
*1）

1
dx In（Inx）C
xInx


*2）

In
n
xdx xIn
n
x-n

In
n-1
xdx
nn1
*3）
xInxdx x[
Inx1
-]C
2
n1
（n1）

nm-1
xInxdx


x
n1
m
I n
n
x-
*4）

xInxdx
n1n1
nm
七、定积分：
△x
i


f（x）dx
1、定义：
lim

f（
i
)

0
i1
a
n
b
2、上下限 交换：

f（x）dx


a
b
a
b

f（x）dx

b
a
3、上下限相等（即a=b）：

f（x）dx
= 0
4、性质：
设f（x）、g（x）在[a，b]上可积，
22

b
应用高等数学 等价替换公式 泰勒公式
b

*1）

kf（x）dx
k

f（x）dx
（k为常数）
aa
注：
①

dx
b-a
a
b
②

kdx
k（b-a）
a
b
]dx


f（x）dx
*2）

[f（x）g（x）
aa
bb

g（x）dx

a
b
*
3）积分区间的可加性：
f（x）dx

f（x）dx
+
f（x）dx
aac
bb

b

c

b

*4）传递性：

f（x）dx 


f（x）dx
（在[a，b]上f（x）≤g（x））
aa
注：
①当f（x）≥0时，则

f（x）dx
≥ 0
a
b
②当|f（x）|可积时，
|

f（x）dx}|
≤

|f（x）|dx

aa
b
a
bb
*5）估值性：n（b-a） ≤

f（x）dx
≤ m（b-a） （m和n分别是f（x）在
[a，b]上的最大值和最小值）
*6）中值性：

f（x）dx
= f（ξ）（b-a） （a≤ξ≤b）
a
b
*7）均值性：
y
=
5、计算方法：
1
b-a

f（x）dx

a
b
b
b
|
a
1、微积分基本定理（牛顿- 莱布尼兹公式）：

f（x）dx
=
F（x）
= F（b）
a
-F（a） （F（x）是f（x）的原函数）
]


（t）dt


（

） b
）2、换元积分法：（

（

）a
，

f（x）dx
=

f[

（t）
a
b


bb
3、分部积分法：

uv

dx
=
uv|
a
-

u

vdx
或

udv
=
uv|
a
-

vdu

bbb
b
aaaa
4、函数的奇偶性简化：
*1）奇：

f

x

dx
= 0 < br>-a
a
a
*2）偶：

-a
f

x

dx
= 2

f

x

dx

0
a
6、应用：
*1）面积：
⑴上下曲，左右直：
S=

[f

x

-g

x

]dx
（aa
b
23

应用高等数学 等价替换公式 泰勒公式
d

⑵上下直，左右曲：
S=

[κ

x

-


x

]dy
（cc
*2）旋转体的体积：
⑴绕x轴的旋转体：
S= < br>

[f

x

]
2
dx
（aa
b
⑵绕y轴的旋转体：
S=

< br>[


x

]
2
dy
（cc
d
*3）平面曲线的弧长：
曲线y=f（x）从x=a到x=b的曲线弧长L：
S=

b
a
1+(y

)
2
dx
（a
24

应用高等数学 等价替换公式 泰勒公式

25

应用高等数学 等价替换公式 泰勒公式
应用高等数学等价替换公式
1、无穷小量：
设
limf（x）limg（x）0

xx
0
xx
0
*1）若
lim
xx
0
f（x）
0
，f（x）是g（x）的 高阶 无穷小
g（x）
f（x）

，f（x）是g（x）的 低阶 无穷小
g（x）
*2）若
lim
xx
0
*3）若
lim
xx
0
f（x）
c
，f（x）是g（x）的 同阶 无穷小
g（x）
f（x）
1
，f（x）是g（x）的 等价 无穷小
g（x）
*4）若
lim
xx
0
*5）若
lim
xx
0
f（x）
0
，f（x）是g（x）的 k阶 无穷小
k
g（x）
2、等价替换：
若x→x
0
，f（x）~ f
1
（x），g（x）~ g
1
（x）
则
lim
xx
0
f（x）
f（x）


lim
1

xx
0
g
g（x）
（
1
x）
6、常用等价形式：
当f（x）→0时
*1）sinf（x）~ f（x）
*2）arc sinf（x）~ f（x）
*3）tanf（x）~ f（x）
*4）arc tanf（x）~ f（x）
*5）In（1+f（x））~ f（x）
*6）e
f（x）
-1~ f（x）
2
f（x）
*7）1-cosf（x）~
2
1

应用高等数学 等价替换公式 泰勒公式
*8）（1+f（x））-1~ αf（x）
二、函数的连续：
1、间断点：
*1）第一类间断点：f
-
（x
0
）、f
+
（x< br>0
）均 存在的 间断点
⑴跳跃间断点： f
-
（x
0
）≠f
+
（x
0
）
⑵可去间断点： f
-
（x
0
）=f
+
（x
0
）
*2）第二类间断点：f
-
（x
0
）、f
+
（x
0
）至少有一个 不存在的 间断点
⑴无穷间断点： f
-
（x
0
）、f
+
（x
0
）中至少有一个为 ∞
⑵振荡间断点： f
-
（x
0
）、f
+
（x0
）中至少有一个 振荡不存在
三、导数：
1、定义：
f

（x）
=
lim
2、导数的常见形式：
*1）
f

（x
0
） lim
xx
0
α< br>△x0
f（x
0
△x）-f（x
0
）

△x
f（x）-f（x
0
）

x-x
0
*2）
f

（x） lim
h0
f（x
0
h）-f（x
0
）

h
f（x
0
）-f（x
0
h）

h
*3）
f

（x） lim
h0
3、切线方程：
若曲线y=f（x）在点P（x
0
，f（x
0
）），
则 y-y
0
=
f

（x
0
）
（x-x
0
）
注：
*1）如果
f

（x
0
）
=∞，则 x=x
0
*2）如果
f

（x
0
）
=0，则 y=y
0

4、法线方程：
若直线过点P（x
0
，f（x
0
）），
则 y-y
0
=

1
（x-x
0
）
f

（x
0
）
5、基本公式：


0 *1）
（C）

 ax
a-1

（x
a
）
*2）

 a
x
Ina

（a
x
）
*3）
2

应用高等数学 等价替换公式 泰勒公式
*4）
（e
x
）

 e
x

*5）
（log


1
a
x）
xIna

*6）
（Inx）


1
x

*7）
（sinx）

 cosx
*8）
（cosx）

 -sinx


*9）
（tanx）

 sec
2
x

*10）
（cotx）

 -csc
2
x

*11）
(secx）

 secxtanx

*12）
（cscx）

 -cscxcotx

*13）
（arc sinx）


1
1-x
2

*14）
（arc cosx）

-
1
1-x
2

*15）
（arc tanx）


1
1x
2

*16）
（arc cotx）

 -
1
1x
2

6、四则运算：

和

都有导数
*1）
(



）








*2）
（c

）

 c



*3）
(



）









*4）
(





)




2
(

0)

推论：
*1）
（c

）

 c




3

应用高等数学 等价替换公式 泰勒公式




w



w

w


（
w
）
*2）




ws



ws

w

（
ws
）
s

ws

*3）
7、反函数求导法则：
设y=f（x）与x=

（y）（


（y）≠0）
1
1
则
f

（x）
或
y

=
x



（y）
x
y
8、n次导的常见公式：
（n）
（sinx）
*1）=
sin（xn

）
2

（cosx）
*2）
（n）
 cos（xn

）
2

）!

n
n-1
（n-1
（-1）
*3）
[In

1x

]
=
n
（1x）
9、参数方程求导：
x

（t）
设函数

都可导，其中x=
（atb ），且x

（t），y

（t）

y
（t）
dy
dy


（t）
≠0，则函数的导数

dt



（t）
dx
dx


（t）
dt
10、复合函数求导：
若y=f（u ），u=

（x），且f（u）及

（x）都可导，则复合函数y=f[
（x）]
的导数
dy
 f

（x）


（x）

dx
11、隐函数求导：
*1）方程F（x，y）=0两边求导，解出
dy
或y

dx


F
x
dy
*2）公式法：由F（x，y）=0，则
 

dxF
y

dy

dx
*3）利用微分形式的不变性，方程两边求微分，然后解出
4

应用高等数学 等价替换公式 泰勒公式
注：y是x的函数
12、对数求导：
将函数关系式两边取自然对数（成为隐函数形 式），化简，然后两边两边求导，
最后两边乘以y（x）
注：适用于多个因式的乘、除、乘幂构成或幂指函数（y=u（x）
v（x）
）
13、高阶导数：
*1）二阶导数：
f

（x） lim
f

（x△x）-f

（x）
△x

f

（x△x）-f

（x）
△x

△x0
*2）三阶导数：
f

（x） lim
△ x0
*4）n阶导数：
f
（n-1）
（n-1）（n-1）
f（x △x）-f（x）

（x） lim
△x0
△x
14、中值定理：
*1）拉格朗日定理：若函数f（x ）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）
内可导，则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得< br>f

（

）
f（b）-f（a）

b -a
推论1：如果函数f（x）在区间（a，b）内任意一点的导数
f

（x ）
都等于零，你
们函数f（x）在（a，b）内是一个常数
推论2：如果函数f（x ）与g（x）在区间（a，b）内每一点的导数
f

（x）
与
g
（x）
都相等，则这两个函数在区间（a，b）内至多相差一个常数，即：f（x）= g
（x）+C，x

（a，b）
*2）罗尔定理：若函数f（x）在闭区间 [a，b]上连续，在开区间（a，b）内可
导，且f（a）=f（b），则在（a，b）内至少存在一 点ξ，使得
f

（

）
0
*3）柯西定理 ：若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可


（

）
f（b）-f（a）
f
导，且
g

（x） 0
，则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得=

g（b）-g（a）
g（

）
15、洛必达法则：
0
*1）型：
0
设函数f（x）、g（x）满足：
⑴
limf（x）limg（x）
0
xx
0
x x
0
⑵在点x
0
的某去心邻域内
f

（x）与g

（x）
都存在 ，且
g

（x）
0
5

应用高等数学 等价替换公式 泰勒公式
f

（x）
⑶
lim
存在或为无穷 xx
0
g

（x）
有：
lim
xx
0
f（x）
f

（x）
=
lim
g（x）
xx
0
g

（x）

*2）

型：

设函数f（x）、g（x）满足：
⑴
limf（x）limg（x） 

xx
0
x x
0
⑵在点x
0
=的某去心邻域内
f

（x）与 g

（x）
都存在 ，且
g

（x）
0
⑶
lim
xx
0
f

（x）
存在或为无穷
g

（x）
f（x）
f

（x）
=
lim
g（x）
xx
0
g

（x）

f（x）g（x）
或
，一般将In、arc
11
g（x ）f（x）
有：
lim
xx
0
*3）其他未定型：
⑴0·∞型：f（x）·g（x）转化成
留在分子上
0
⑵∞-∞型： 通过通分、分子有理化、倒数代换或代数、三角恒等变形化为型
0
或

型 < br>
Inf（x）
1
g（x）
0

、
0型：f（x）
g（x）
= e
g（x）Inf（x）
=
e
⑶
1

、

16、函数单调性判定：
设函数y=f（x）在开区间（a，b）内可导
*1）如果函数y=f（x）在（a，b）内 ，
f

（x）0
，则函数y=f（x）在（a，b）
内单调递 增 ；
*2）如果函数y=f（x）在（a，b）内，
f

（x）0< br>，则函数y=f（x）在（a，b）
内单调递 减 ；
17、函数的极值： *1）如果函数y=f（x）在点x
0
及其左右近旁有定义，且对于x
0
近旁的任何一点
x（x≠x
0
）的函数值f（x）均有：
6

应用高等数学 等价替换公式 泰勒公式
⑴f（x）0
）,则f（x
0
）称为函数y=f（x）的 极大值 ，点x
0
称为函数
y=f（x）的 极大值点
⑵f（x）>f（x
0
）,则f（x
0
）称为函数y=f（x）的 极小值 ，点x
0
称为函数
y=f（x）的 极小值点
*2）驻点：
f

（x
0
）
0 的点
*3）极值第一充分条件：
设点x
0
是f（x）可能的极值点（
f

（x
0
）0
或
f

（x
0< br>）
不存在）
 0
；
x（x
0
，x
0


）时，f

（x）  0
,⑴当
x （x
0
-

，x
0
）时，f

（x）< br>则x
0
为极大值点
 0
；
x（x
0，x
0


）时，f

（x）  0
, ⑵当
x（x
0
-

，x
0
）时，f
< br>（x）
则x
0
为极小值点
（x
0
，x
0< br>

）
⑶当
x（x
0
-

，x< br>0
）
，
f

（x）
同号 ，则x
0
不是极值点
*4）极值的第二充分条件：
设y=f（x）在点x
0
处有一、二阶导数，且
f

（x
0
）
= 0
⑴如果
f

（x
0
）
> 0，则函数y=f（x）在点x
0
处取得最小值f（x
0
）
⑵如果
f

（x
0
）
< 0，则函数y=f（x）在点x
0
处取得最大值f（x
0
）
18、曲线凹凸性：
*1）若对于x

（a，b）时，
f

（x）0
，则曲线在（a，b）上为 凹 ，用符
号“

” 表示
*2）若对于x

（a，b）时，
f

（x）0
，则曲线在（a，b）上为 凸 ，用符
号“

” 表示
6、曲线拐点：
设f（x）在x
0
的某个 邻域内二阶可导，且
f

（x
0
）
0 ，若x
0
两侧
f

（x
0
）
改
变 符号，则 （x
0
，f（x
0
）） 为曲线的拐点
19、曲线的渐近线：
*1）水平渐近线：如果函数y=f（x）的定义域是无穷区间，且< br>limf（x）b
，
x
则y= b
*2）垂直渐近线：如果 函数y=f（x）在x=x
0
处间断，且
limf（x）
，则x=
xx
0
x
0
7

应用高等数学 等价替换公式 泰勒公式
*3）斜渐近线：如果函 数y=f（x）定义在无穷区间，且
lim
x
f（x）
a
，< br>x
lim[f（x）-ax]b
，则y= ax+b
x
20、经济学与导数：
*1）利润：L（Q）= R（Q）-C(Q)
*2）边际利润：
L

（Q) R

（Q）-C

（Q）

*3）函数弹性：
Eyx
 f

（x）
Exf（x）

*4）需求弹性（供给函数）：

（p
0
）
p
0

Q

（p
0
）
Q(p
0
）
注：
⑴当|η| < 1时，为低弹性，此时需求变动幅度 小于 价格变动幅度。且
> 0，收益R（p）单调 递增 ，即价格随总收益的增加而增加
R

（Q）
⑵当|η| > 1时，为高弹性，此时需求变动幅度 大于 价格变动幅度。且
< 0，收益R（p）单调 递减 ，即价格随总收益的增加而减少
R

（Q）
①当|η| = 1时，为单位弹性，此时需求变动幅度 等于 价格变动幅度。且
= 0，收益R（p）取得 最大值
R

（Q）
四、微分：
1、定义：dy=
f

（x）dx

2、基本公式：
*1）d（c）= 0
*2）
d（x
a
） ax
a-1
dx

*3）
d（a
x
） a
x
Inadx

*4）
d（e
x
） e
x
dx

*5）
d（log
a
x）
1
dx
xIna

1
*6）
d（Inx） dx
x

*7）
d（sinx） cosxdx

*8）
d（cosx） -sinxdx

8

应用高等数学 等价替换公式 泰勒公式
*9）
d（tanx） sec
2
xdx

*10）
d（cotx） -csc
2
xdx

*11）
d(secx） secxtanxdx

*12）
d（cscx） -cscxcotxdx

*13）
d（arc sinx）
1
dx
1-x
2

*14）
d（arc cosx） -
1
1-x
2
dx

*15）
d（arc tanx）
1
1x
2
dx

*16）
d（arc cotx） -
1
1x
2
dx

3、四则混合

和

都有微分
*1）
d（



） d

d


*2）
d（c

） cd


*3）
d(



） d



d


*4）
d(

)
d



d



2
(

0)

5、应用：
*1）计算函数改变量的近似值：△y≈dy=
*2）计算函数值的近似值：f（x
0
+△x）≈
*3）当x
0
=0时，|x|很小时，有f（x）≈ f
注：|△x|相对于x
0
很小（越小越好）
推论：
⑴
(1x)
n
 1nx

⑵e
x
≈ 1+x
⑶In（1+x）≈ x
⑷sinx≈ x （x用弧度制表示）
9

f

（x
0
）△x

（x
0
）+
f

（x
0
）△x

（0）+
f

（0）△x

f

应用高等数学 等价替换公式 泰勒公式
⑸tanx≈ x （x用弧度制表示）
五、不定积分：
1、定义：

f（x）dx F（x）C

2、基本公式：
*1）

0dx C

*2）

kdx kxC
（k为常数）
x
a1
C
*3）

xdx
a1

a
*4）

1
dx InxC
x

x
a
x
C
（a>0且a≠1） *5）

adx
Ina
*6）

e
x
dx e
x
C


*7）

sinxdx -cosxC
*8）

cosdx sinxC


*9）

sec
2
xdx tanxC
*10）

csc
2
xdx -cotxC



*11）

secxtanxdx secxC
*12）

cscxcotxdx -cscxC
*13）

1
1-x
2
dx arc sinxC  -arc cosxC

1
dx arc tanxC  -arc cotxC
*14）

2
1x

*15）

tanxdx -IncosxC
*16）

cotxdx InsinxC


10


*17）

secxdx IntanxsecxC

应用高等数学 等价替换公式 泰勒公式
*18）

cscxdx Incscx-cotxC
* 19）

*20）

*21）

*22）


1
a
2
-x
2
dx arc sin
x
C
（a>0）
a
11x
dx arc tanC
（a≠0）
22
aa
xa
11ax
dx InC
（a≠0）
22
2aa-x
a-x
1
a
2
x< br>2
dx Inxx
2
a
2
C
（a>0）
3、性质：
*1）
[

f（x）dx]

 f（x）

*2）
d[

f（x）dx] f（x）dx
*3）

f

（x）dx f（x）C
*4）

df（x） f（x）C



*5）

kf（x）dx k

f（x）dx
（k≠0）
]dx

f（x）dx
*6）

[f （x）g（x）
4、换元积分法：

g（x）dx

]


（x）dx

f[

（x） ]d

（x）
*1）第一类换元积分法（凑微分法）：

f[

（x）
= F[

（x）]+C
*2）常见形式：
⑴

f（axb）dx
1
a
（a≠0） 
f（axb）d（axb）
nn-1
⑵

f（axb） xdx
1
na
nn
f（axb）d(axb）
（a≠0）

axax
⑶

f（e）edx
1
a
axax
f（e）de
（a≠0）

11

应用高等数学 等价替换公式 泰勒公式
11
⑷

f（）
2
dx -
x< br>x
⑸

f（x）
11
f（）d

xx

1
x
dx 2

f（x）dx

1
⑹

f（Inx）
2
dx

f（Inx）dInx

x
⑺

f（cosx）sinxdx -

f（cosx）dcosx

⑻

f（sinx）cosxdx

f（sinx）dsinx

⑼

f（tanx）sec
2
xdx

f（tanx）dtanx

⑽

f（cotx）csc
2
xdx -
⑾
f（arc sinx）

f（cotx）dcotx


1
1-x
2
dx

f（arc sinx）darc sinx

1
dx

f（arc tanx）darc tanx
⑿

f（arc tanx）
2
x1

*3）第二类换元积分法：

f（x）dx
x

（x）
1


f（

（t））


（t）d（t）  F(t)C  F[


（x）]C

*4）无理代换（根式代换）：
⑴当被积函数中含
n
x
时，令x= t
n
（t>0）
⑵当被积函数中含
n
x
和
m
x
时，令x=t
p
（t>0），p是m和n的 最小公倍数
⑶当被积函数中含
n
axb
（a、b为常数且a≠0）时，令ax+b= t
n
（t>0）
*5）三角代换：
⑴若被不定积分f（x）含
a
2
-x
2
时，令x= |a|sint
⑵若被不定积分f（x）含
x
2
-a
2
时，令x= |a|sect
⑶若被不定积分f（x）含
a
2
x
2
时，令x= |a|tant
注：并且需要回代
12

应用高等数学 等价替换公式 泰勒公式

⑴ ⑵ ⑶
*6）分部积分法：

uv

dx uv-

u

vdx
或

udv uv-

vdu

六、基本积分表：
1、含有a+bx的积分：
u1
（abx）
（axb）dx C （u-1）
*1）

b（u1）

u

*2）

*3）

*4）

*5）

11
dx In（abx）C
abxb

11abx
dx -InC
x（abx）ax

11babx
dx -InC
22
ax
a
x
x（abx）

x1
dx
2
[abx- In（abx）]C
abx
b

x
2
11
dx
3
[(abx)
2
-2a（abx）a
2
In（abx）]C
*6）

ab x
b
2

*7）

x1a
dx [In（abx）]C
abx
(abx)
2
b
2

x
2
1a
2
dx
2
[abx-2aIn（ abx）]C
*8）

2
abx
(abx)b

*9）

111abx
dx -InC

22a（abx）x
x(abx)a
2、含有
abx
的积分：
13

应用高等数学 等价替换公式 泰勒公式
2
3
*1）

abxdx （abx）C
3b

3
（22a-3bx）（abx）
C< br>*2）

xabxdx
2
15b

3
（28a
2
-12abx15b
2
x
2
）（abx）
abxdx C
3
105b

*3）

x
*4）

*5）

*6）

2
abx< br>3
dx 2（abx）a

x
abx
dxC
x

x
abx
x
2
dx -
（22a-bx）abx
C
2
3b

（28a
2
-4abx3b
2
x
2
）abx
dx -C
3
15b
abx



1

dx

*7）

xabx



*8）

1
a
2
In
abx-
abx
a
a
C （a0）
-a
arc tan
abx
C （a0）
-a

1
x
2
abx
dx -< br>abxb
-
ax2a

x
1
abx
dx C

3、含有
a
2
x
2
的积分：
11x
dx arc tanC
*1）

22
aa
ax

1x2n-31
dx dxC
*2）

2n2n-1n-1
（ax
2
）（2n-1）a（a
2
x
2
）（2 n-1)a
2

（a
2
x
2
）

11ax
dx InC
（|x|
22
2aa-x
ax
*4）

11x-a
dx InC
（|x|>a）
22
2aaa
x-a
4、含有a< br>
bx
2
的积分：
14

应用高等数学 等价替换公式 泰勒公式
*1）

11a
dx In
abx
2
2aba-
bx
bx
C

11abx
dx arc tanC
（a>0，b>0） *2）

2
a
abx
ab
*3）

x1
2dx In（abx）C
2
2b
abx

x
2
xa
dx -
*4）

2
bb< br>abx

1
dx
2
abx

11x
2
dx InC
*5）

22
2a
x（abx）abx

11b
dx --
*6）

2
axa
x（a bx
2
）

1
dx
2
abx

1x1
dx -
*7）

2
（abx
2）2a（abx
2
）
2a
5、含有
x
2
a
2
的积分：
*1）


1
dx

2
abx
x
2
a
2
2
xadx xaIn（x
22
22
x
2
a
2
）C< br>
3
（3x
2
a
2
）
C
*2）

xxadx
3

22
*3）

x
*4）

*5）

*6）

*7）
< br>2
xa
4
2222
xadx （2xa）xa-In（x
88
22
223
x
2
a
2
）C

x3a
4
2222
(xa)dx (2x5a）xaIn（ x
88
x
2
a
2
）C

1
x
2
a
2
1
dx In（x
x
a
2
x
2
a
2
）C

（xa）
x
x
2
a
2
223
dx
xa
22
C

dx x
2
a
2
C

15

应用高等数学 等价替换公式 泰勒公式
*8）

*9）

x
2
a
2
2
dx xaIn（x
22
22
xa
x
2
3（x
2
a
2
）
x
2
x
2
 a
2
）C

dx -
x
x
2
a< br>2
In（x
x
xa
22
x
2
a2
）C

*10）

*11）

*12）< br>
*13）

1
dx In（
a
xx
2
a
2
a
1
x
2
1
）C

xa
22
dx -
x
2
a
2
C
2
ax

x
2
a
2
a
dx x
2
a2
aIn（
x
x
2
a
2
）C
x

x
2
a
2
dx -
2
x
x
2
a
2
In（x
x
x
2
a2
）C

6、含有
x
2
a
2
的积分：
*1）

xa
2
22
xadx x-aIn（x
22
22
223
x
2
-a
2
）C

x3a
4
2222
In（x
*2）

（x- a）dx （2x-5a）x-a
88
3
（x
2
-a
2
）
C
*3）

xxadx
3

22
5
（x
2
-a
2
）
C
*4）
x（xa）dx
5

223
x
2
-a
2
）C

*5）

x
*6）

*7）

*8）

2xa
4
2222
xadx （2x-a）x-aIn（x
88
22
x
2
-a
2
）C

1
x
2
a
2
dx In（xx
2
-a
2
）C

1
(xa）x
x
2
a
2
223
dx -
x
a
2
x-a
22
C

dx x
2
-a
2
C

16

应用高等数学 等价替换公式 泰勒公式
*9）

*10）

*11）

*12）
*13）

*14）

x
2
a
2
2< br>dx xaIn（x
22
22
xa
x
2
3
（x
2
a
2
）
x
2
x
2-a
2
）C

dx -
x
x
2
-a
2
In（xx
2
-a
2
）C

1x
dx arc cosC
aa
xx
2
a
2

x
2
-a
2
dx C
2
22
ax
xa

1
1
x
2
x
2
-a
2
x
dx x
2
-a
2
-aarc cosC
xa

x
2
-a
2
dx -
2
x
x
2
-a
2
-In（x
x
x
2
-a
2）C

7、含有
a
2
-x
2
的积分： *1）

*2）

xa
2
x
22
a- xdx a-xarc sinC
22a

22
x3a
4
x
2222
(a-x)dx (5a-2x）a-xarc sinC
88a

223
3
（a
2
-x
2
）
C
*3）

xa-xdx -
3

22
5
（a
2
-x
2
）< br>C
*4）

x（a-x）dx -
5

223
*5）

x
*6）

*7）

*8）
2
xa
4
x
2222
a-xdx （2x-a）a-xarc sinC
88a

22
1
a
2
-x
2
x
a
2
-x
2
x
2< br>dx arc sin
x
C
a

dx -a
2
-x
2
C

xa
2
x
22
dx -a-xarc sinC
22a
a
2
-x
2

17

应用高等数学 等价替换公式 泰勒公式
*9）

*10）

*11）

*12）
*13）

*14）

*15）

1
（a-x ）
x
223
dx
x
a
2
a-x
1< br>a-x
x
a
2
-x
2
22
22
C

（a-x）
x
2
3
（a
2
-x
2
）
223
dx C

dx -arc sin
x
C
a

1x
dx InC
2222
a
xa-xaa-x

1
x
2
1
a-x
22
dx -
a
2
-x
2
C
2
ax

a
2
-x
2
a
dx a
2
-x2
-aIn
x
a
2
-x
2
dx -
2
x
a
2
-x
2
C
x

a
2
-x
2
a
-arc sinC

xx
2
c0）
8、含有
abxcx（
的积分：

2
arc tan

2
1

4ac-b
dx

*1）

2
abxcx
12cx

In
< br>2
2cx

b-4ac
11
dx In
*2）

2
2
abxcx
b4ac
2
c0）9、含有
abxcx（
的积分：
2cxb
4ac-b
2
2
C （b
2
4ac）

C （b
2
4ac）

b-b-4ac
bb
2
-4ac
b
2
4ac 2cx-b
b-4ac-2cxb
2
C

*1）
2cxbb
2
-4ac
2
abxcxdx abxcxIn（2cxb

3
4c
8c
2
2c abxcx
2
）C

*2）

1
abxcx
2
dx
1
c
In（2cxb2cabxcx
2
）C

18

应用高等数学 等价替换公式 泰勒公式
*3）

*4）

*5）

*6）< br>
abxcx
2
b
dx In（2cxb
2cabxcx
2
）C

c
a bxcx
2
2c
3
x
2cxbb
2
4ac 2cx-b
2
abxcxdx abxcxarc sinC
32
4c
8cb4ac

2
1
ab xcx
x
abxcx
2
2
dx
1
c
arc sin
2cx-b
b4ac
2
C

dx -
abx-cx
2
b2cx-b
arc sinC

32
c
2cb4ac
10、含有
ax
的积分：
或（x-a）（b-x）
bx
*1）

*2）

*3）

*4）

ax
dx （ax）（bx）（a-b）In（ax
bx
bx）C

a-xbx
dx （a-x）（bx）（ab）arc sinC
bxba

axb-x
dx -（ax）（b-x）-（ab）arc sinC
b-xba

b-x
dx 2arc sinC

b-a
（x—a）（b-x）
1
11、含有三角函数的积分：一部分见上
x1
*1）

sin
2
xdx -sin2xC
24

*2）

cos
2
dx
n
x1
sin2xC
24

sin
n-1< br>xcosxn-1
sin
n-2
xdx
*3）

s inxdx

nn

cos
n-1
xsinxn- 1
n-2
cosxdx
*4）

cosxdx

nn

n
*5）

1cosxn-2
dx -
n-1
sin
n
x（n-1）sin
n-1
x

1
dx
sin
n-2
x

19

应用高等数学 等价替换公式 泰勒公式
*6）

1sinxn-2
dx -
n-1
cos< br>n
x（n-1）cos
n-1
x

1
dx
c os
n-2
x


2


a

1

dx < br>
*7）

absinx

1

a



a
2
a
2
xb
22
ar ctan[（tan）]C （ab）
2222
2a
a-ba-b
a
2
In
22
b-a
xb
tan-
2a
t an
xb

2a
b
2
-a
2
a
2
C （a
2
b
2
）
b
2
-a2
a
2


2a
2
a
2
xb
22
arctan[（tan）]C （ab）

2222
a2a
a-b

a-b

22
1

xbb -a
dx
*8）


tan-
2
2
absinx
1a
2a
a

22
InC （ab ）

a
b
2
-a
2
22
xbb-a

tan

2a
a
2


cos< br>m-1
xsin
n1
xm-1

*9）

cosxsinxdx
mnmn
mnm-2n
cosxsinxdx


co s
m1
xsin
n-1
xn-1

=
mnmn
*10）

sinmxcosnxdx -
*11）

sinmxsinnxdx -
*12）

cosmxcosnxdx -
*13）

*14）


cosxsin
mn-2
xdx

cos（mn）xcos（m-n）x
-C （mn）
（2mn）（2m-n）

sin（mn）xsin（m-n）x
-C （mn）
（2mn）（2m-n）

sin（mn）xsin（m-n）x
C （mn）
（2mn）（2m-n）

11btanx
dx arc tanC
2222
aba
acosxbsinx

11btanxa
dx InC
2222
2abbtanx-a
acosxbsinx

11
sinax-xcosaxC
a
a
2

20
*15）

xsinaxdx

应用高等数学 等价替换公式 泰勒公式
2
*16）

xsinaxdx -
1
2
22
xcosax-
2
xsinax
3
cosaxC
aaa

*17）

xcosaxdx
11
cosax-xsinaxC
2
a
a

1
2
22
2
*18）

xcosaxdx xsinax-
2
xcosax
3
sinaxC

a
aa
12、含有反三角函数的积分：
*1）

arc sin
xx
dx xarc sin-
aa
a
2
x
2
C

xx
2
a
2
xx
（-）arc sin-a
2
x
2
C
*2）

xarc sindx
a24a4

xx
3
xx
2
2 a
2
*3）

xarc sindx arc sin
a3a9
2
a
2
x
2
C

*4）

arc cos
xx
dx xarc cos-
aa
a
2
x
2
C

xx
2
a
2
xx
（-）arc cos-a
2
x
2
C
*5）

xarc cosdx
a24a4

xx
3
xx
2
2 a
2
*6）

xarc cosdx arc cos
a3a9
2
a
2
x
2
C

*7）

arc tan
xxa
dx xarc tanIn（a
2
x
2
）C
aa2

xa
2
x
2
xax
arc tanC
*8）

xarc tandx
a2a2
xx
3
xax
2
a
3
In（a
2
 x
2
）C
*9）

xarc tandx arc tan
a3a66
2
13、含有指数函数的积分：
e
ax
C
*1）

edx
a

ax
e
ax
(asinbx- bcosbx）
C
*2）

esinbxdx
a
2
b
2

ax
21

应用高等数学 等价替换公式 泰勒公式
e
ax
(bsinbxacosbx）
C
*3）

e cosbxdx
22
ab

ax
e
ax
( ax-1）
C
*4）

xedx
2
a
< br>ax
x
n
e
ax
n
-
*5）
xedx
aa
nax
mx
n-1ax
x

edx

xa
mx
a
mx
-C
*6）

xadx 
2
mIna
（mIna）

x
n
a
mx
n
-
*7）

xadx
mInamIna
nmx
axn
n-1mx
x

adx

e
ax
sin
n-1
bxn
2
-n
2axn-2
（ asinbx-nbcosbx）
2
b

esinbxdx
*8）

esinbxdx
22222
abnabn

e
ax
cos
n-1
bxn
2
-n
2axn-2< br>（acosbxnbsinbx）becosbxdx
*9）

ecosbxdx
2

22222
abna bn
axn
14、含有对数函数的积分：
*1）

1
dx In（Inx）C
xInx


*2）

In
n
xdx xIn
n
x-n

In
n-1
xdx
nn1
*3）
xInxdx x[
Inx1
-]C
2
n1
（n1）

nm-1
xInxdx


x
n1
m
I n
n
x-
*4）

xInxdx
n1n1
nm
七、定积分：
△x
i


f（x）dx
1、定义：
lim

f（
i
)

0
i1
a
n
b
2、上下限 交换：

f（x）dx


a
b
a
b

f（x）dx

b
a
3、上下限相等（即a=b）：

f（x）dx
= 0
4、性质：
设f（x）、g（x）在[a，b]上可积，
22

b
应用高等数学 等价替换公式 泰勒公式
b

*1）

kf（x）dx
k

f（x）dx
（k为常数）
aa
注：
①

dx
b-a
a
b
②

kdx
k（b-a）
a
b
]dx


f（x）dx
*2）

[f（x）g（x）
aa
bb

g（x）dx

a
b
*
3）积分区间的可加性：
f（x）dx

f（x）dx
+
f（x）dx
aac
bb

b

c

b

*4）传递性：

f（x）dx 


f（x）dx
（在[a，b]上f（x）≤g（x））
aa
注：
①当f（x）≥0时，则

f（x）dx
≥ 0
a
b
②当|f（x）|可积时，
|

f（x）dx}|
≤

|f（x）|dx

aa
b
a
bb
*5）估值性：n（b-a） ≤

f（x）dx
≤ m（b-a） （m和n分别是f（x）在
[a，b]上的最大值和最小值）
*6）中值性：

f（x）dx
= f（ξ）（b-a） （a≤ξ≤b）
a
b
*7）均值性：
y
=
5、计算方法：
1
b-a

f（x）dx

a
b
b
b
|
a
1、微积分基本定理（牛顿- 莱布尼兹公式）：

f（x）dx
=
F（x）
= F（b）
a
-F（a） （F（x）是f（x）的原函数）
]


（t）dt


（

） b
）2、换元积分法：（

（

）a
，

f（x）dx
=

f[

（t）
a
b


bb
3、分部积分法：

uv

dx
=
uv|
a
-

u

vdx
或

udv
=
uv|
a
-

vdu

bbb
b
aaaa
4、函数的奇偶性简化：
*1）奇：

f

x

dx
= 0 < br>-a
a
a
*2）偶：

-a
f

x

dx
= 2

f

x

dx

0
a
6、应用：
*1）面积：
⑴上下曲，左右直：
S=

[f

x

-g

x

]dx
（aa
b
23

应用高等数学 等价替换公式 泰勒公式
d

⑵上下直，左右曲：
S=

[κ

x

-


x

]dy
（cc
*2）旋转体的体积：
⑴绕x轴的旋转体：
S= < br>

[f

x

]
2
dx
（aa
b
⑵绕y轴的旋转体：
S=

< br>[


x

]
2
dy
（cc
d
*3）平面曲线的弧长：
曲线y=f（x）从x=a到x=b的曲线弧长L：
S=

b
a
1+(y

)
2
dx
（a
24

应用高等数学 等价替换公式 泰勒公式

25