高数公式
玛丽莲梦兔
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2020年07月31日 04:54
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姿组词-先河的意思
一、重点
1、理解：行列式的定义，余子式，代数余子式。
2、掌握：行列式的基本性质及推论。
3、运用：运用行列式的性质及计算方法计算行列式，用克莱姆法则求解方程组。
二、难点
行列式在解线性方程组、矩阵求逆、向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面的应用。
三、重要公式
1、若A为n阶方阵，则│kA│= kn│A│
2、若A、B均为n阶方阵，则│AB│=│A│·│B│
3、若A为n阶方阵，则│A*│=│A│n-1
若A为n阶可逆阵，则│A-1│=│A│-1
4、若A为n阶方阵，λi（i=1,2,…,n）是A的特征值，│A│＝∏λi
四、题型及解题思路
1、有关行列式概念与性质的命题
2、行列式的计算（方法）
1）利用定义
2）按某行（列）展开使行列式降阶
3）利用行列式的性质
①各行（列）加到同一行（列）上去，适用于各列（行）诸元素之和相等的情况。
②各行（列）加或减同一行（列）的倍数，化简行列式或化为上（下）三角行列式。
③逐次行（列）相加减，化简行列式。
④把行列式拆成几个行列式的和差。
4）递推法，适用于规律性强且零元素较多的行列式
5）数学归纳法，多用于证明
3、运用克莱姆法则求解线性方程组
若D =│A│≠0，则Ax=b有唯一解，即
x1=D1/D，x2= D2/D，…，xn= Dn/D
其中Dj是把D中xj的系数换成常数项。
注意：克莱姆法则仅适用于方程个数与未知数个数相等的方程组。
4、运用系数行列式│A│判别方程组解的问题
1）当│A│＝0时，齐次方程组Ax＝0有非零解；非齐次方程组Ax＝b不是唯一解（可能无解，也可能有无穷多解）
2）当│A│≠0时，齐次方程组Ax＝0仅有零解；非齐次方程组Ax＝b有唯一解，此解可由克莱姆法则求出
第二章 矩阵
一、重点
1、理解：矩阵的定义、性质，几种特殊的矩阵（零矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，对角矩阵，逆矩阵，正交矩阵，伴随矩阵，分块矩阵）
2、掌握：
1）矩阵的各种运算及运算规律
2）矩阵可逆的判定及求逆矩阵的各种方法
3）矩阵的初等变换方法
二、难点
1、矩阵的求逆矩阵的初等变换
2、初等变换与初等矩阵的关系
三、重要公式及难点解析
1、线性运算
1）交换律一般不成立，即AB≠BA
2）一些代数恒等式不能直接套用，如设A，B，C均为n阶矩阵
(A+B)2=A2+AB+BA+B2≠A2+2AB+B2
(AB)2=(AB)(AB)≠A2B2
(AB)k≠AkBk
(A+B)(A-B)≠A2-B2
以上各式当且仅当A与B可交换，即AB=BA时才成立。
3）由AB=0不能
得出A=0或B=0
4）由AB=AC不能得出B=C
5）由A2=A不能得出A=I或A=0
6）由A2=0不能得出A=0
7）数乘矩阵与数乘行列式的区别
2、逆矩阵
1）(A–1)–1＝A
2）(kA) –1=(1/k)A–1，（k≠0）
3）(AB)–1=B–1A–1
4）(A–1)T=(AT)–1
5）│A–1│=│A│–1
3、矩阵转置
1）(AT)T＝A
2）(kA) T=kAT，（k为任意实数）
3）(AB)T=BTAT
4）(A+B)T=AT+BT
4、伴随矩阵
1）A*A＝A A*=│A│I (AB)*=B*A*
2）(A*)*=│A│n-2 │A*│=│A│n-1 ,(n≥2)
3）(kA)*=kn-1A* (A*)T=(AT)*
4）若r(A)=n，则r (A*)=n
若r(A)=n-1，则r (A*)=1
若r(A)
5）若A可逆，则(A*)-1=(1/│A│)A，(A*)-1＝(A-1)*，A*＝│A│A-1
5、初等变换（三种）
1）对调二行（列）
2）用k（k≠0）乘以某行（列）中所有元素
3）把某行（列）的元素的k倍加至另一行（列）的对应元素
注意：用初等变换①求秩，行、列变换可混用
②求逆阵，只能用行或列变换
③求线性方程组的解，只能用行变换
6、初等矩阵
1）由单位阵经过一次初等变换所得的矩阵
2）初等阵P左（右）乘A，所得PA（AP）就是A作了一次与P同样的行（列）变换
3）初等阵均可逆，且其逆为同类型的初等阵
E-1ij=Eij，E(-1)i(k)=Ei(1/k)，E(-1)ij(k)=Eij(-k)
7、矩阵方程
1）含有未知矩阵的等式
2）矩阵方程有解的充要条件
AX=B有解<==>B的每列可由A的列向量线性表示
<==>r(A)=r(A┆B)
四、题型及解题思路
1、有关矩阵的概念及性质的命题
2、矩阵的运算（加法、数乘、乘法、转置）
3、矩阵可逆的判定
n阶方阵A可逆<==>存在n阶方阵B，有AB=BA=I
<==>│A│≠0
<==>r(A)=n
<==>A的列（行）向量组线性无关
<==>Ax=0只有零解
<==>任意b，使得Ax=b总有唯一解
<==>A的特征值全不为零
4、矩阵求逆
1）定义法：找出B使AB=I或BA=I
2）伴随阵法：A-1=(1/│A│)A*
注意：用该方法求逆时，行的代数余子式应竖着写在A*中，计算Aij时不要遗漏(-1)i+j，当n>3时，通常用初等变换法。
3）初等变换法：对(A┆I)只用行变换化为(I┆A-1)
4）分块矩阵法
5、解矩阵方程AX=B
1）若A可逆，则X=A-1B，可先求出A-1，再作乘法A-1B求出X
2）若A可逆，可用初等变换法直接求出X
(A┆B)初等行变换(I┆X)
3）若A不可逆，则可设未知数列方程用高斯消元法化为阶梯型方程组，然后对每列常数项分别求解。
第三章 线性方程组
一、重点
1、理解：向量、向量运算以及向量的线性组合与线性表出，极大线性无关组的概念，线性相关与线性无关的概念，向量组的秩的概念，矩阵的秩的概念及性质，基础解系的概念。
2、掌握：向量的运算及运算规律，矩阵秩的计算，齐次、非齐次线性方程组解的结构。
3、运用：线性相关、线性无关的判定，线性方程组解的判断，齐次、非齐次线性方程组的解法。
二、难点
线性相关、线性无关的判定。向量组的秩与矩阵的秩的关系。方程组与向量组线性表示及秩之间的联系。
三、重点难点解析
1、 n维向量的概念与运算
1） 概念
2） 运算
若α＝(a1,a2,…,an)T，β＝(b1,b2,…,bn)T
①加法：α＋β＝(a1+b1 ,a2+b2 ,…,an+bn)T
②数乘：kα＝(ka1,ka2,…,kan)T
③内积：（α·β）＝a1b1+a2b2+,…,+anbn＝αTβ＝βTα
2、线性组合与线性表出
3、线性相关与线性无关
1）概念
2）线性相关与线性无关的充要条件
①线性相关
α1,α2,…,αs线性相关
<==>齐次方程组(α1,α2,…,αs)(x1,x2,…,xs)T＝0有非零解
<==>向量组的秩r(α1,α2,…,αs)＜s (向量的个数)
<==>存在某αi(i=1,2,…,s)可由其余s-1个向量线性表出
特别的：n个n维向量线性相关<==>│α1α2…αn│＝0
n+1个n维向量一定线性相关
②线性无关
α1,α2,…,αs线性无关
<==>齐次方程组(α1,α2,…,αs)(x1,x2,…,xs)T＝0只有零解
<==>向量组的秩r(α1,α2,…,αs)＝s (向量的个数)
<==>每一个向量αi(i=1,2,…,s)都不能用其余s-1个向量线性表出
③重要结论
A、阶梯形向量组一定线性无关
B、若α1,α2,…,αs线性无关，则它的任一个部分组αi1,αi2,…,αi t必线性无关，它的任一延伸组必线性无关。
C、两两正交，非零的向量组必线性无关。
4、向量组的秩与矩阵的秩
1）极大线性无关组的概念
2）向量组的秩
3）矩阵的秩
①r(A)＝r(AT)
②r(A+B)≤r(A)＋r(B)
③r(kA)＝r(A)，k≠0
④r(AB)≤min(r(A)，r(B))
⑤如A可逆，则r(AB)＝r(B)；如B可逆，则r(AB)＝r(A)
⑥A是m×n阵，B是n×p阵，如AB＝0，则r(A)＋r(B)≤n
4）向量组的秩与矩阵的秩的关系
①r(A)＝A的行秩（矩阵A的行向量组的秩）＝A的列秩（矩阵A的列向量组的秩）
②经初等变换矩阵、向量组的秩均不变
③若向量组（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表出，则r(Ⅰ)≤r(Ⅱ)。特别的，等价的向量组有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价。
5、基础解系的概念及求法
1）概念
2）求法
对A作初等行变换化为阶梯形矩阵，称每个非零行中第一个非零系数所代表
的未知数是主元（共有r(A)个主元），那么剩于的其他未知数就是自由变量（共有n- r(A)个），对自由变量按阶梯形赋值后，再带入求解就可得基础解系。
6、齐次方程组有非零解的判定
1）设A是m×n矩阵，Ax＝0有非零解的充要条件是r(A)＜n，亦即A的列向量线性相关。
2）若A为n阶矩阵，Ax＝0有非零解的充要条件是│A│＝0
3）Ax＝0有非零解的充分条件是m＜n，即方程个数＜未知数个数
7、非齐次线性方程组有解的判定
1）设A是m×n矩阵，Ax＝b有解的充要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵（A增）的秩，即r(A)＝r(A增)
2）设A是m×n矩阵，方程组Ax＝b
①有唯一解<==> r(A)＝r(A增)＝n
②有无穷多解<==> r(A)＝r(A增)
③无解<==> r(A)+1=r(A增)
8、非齐次线性方程组解的结构
如n元线性方程组Ax＝b有解，设,η2,…,ηt是相应齐次方程组Ax＝0的基础解系，ξ是Ax＝b的一个解，则k1η1+k2η2+…+ktηt+ξ是Ax＝b的通解。
1）若ξ1，ξ2是Ax＝b的解，则ξ1-ξ2是Ax＝0的解
2）若ξ是Ax＝b的解，η是Ax＝0的解，则ξ+kη仍是Ax＝b的解
3）若Ax＝b有唯一解，则Ax＝0只有零解；反之，当Ax＝0只有零解时，Ax＝b没有无穷多解（可能无解，也可能只有唯一解）
四、题型及解题思路
1、有关n维向量概念与性质的命题
2、向量的加法与数乘运算
3、线性相关与线性无关的证明
1）定义法
设k1α1+k2α2+…+ksαs＝0，然后对上式做恒等变形（要向已知条件靠拢！）
①由B＝C可得AB＝AC，因此，可按已知条件的信息对上式乘上某个A
②展开整理上式，直接用已知条件转化为齐次线性方程组，最后通过分析论证k1，k2，…，ks的取值，得出所需结论。
2）用秩（等于向量个数）
3）齐次方程组只有零解
4）反证法
4、求给定向量组的秩和极大线性无关组
多用初等变换法，将向量组化为矩阵，通过初等变换来求解。
5、求矩阵的秩
常用初等变换法。
6、求解齐次线性方程组与非齐次线性方程组
第四章 线性空间
一、重点
1、理解：线性空间、基、维数、内积、长度、夹角和距离的概念，正交向量组及标准正交基的概念，正交矩阵
2、掌握：Rn及其中向量的运算规则。
内积、长度、夹角、距离的计算。
3、运用：两个向量的正交。
二、难点
正交矩阵的性质及应用。
三、重点难点解析
1、线性空间与基的概念和性质
2、内积、距离与夹角
1）内积：α·β＝a1b1+a2b2+…+anbn
2）长度：‖α‖＝（α·α）的平方根＝（a12+a22+…+an2）的平方根
3）距离：d＝‖α－β‖＝[(a1-b1)2+(a2-b2)2+
…+(an-bn)2]的平方根
4）夹角：cosθ＝（α·β）/（‖α‖‖β‖）
θ＝arccos[（α·β）/（‖α‖‖β‖）]
5）正交：α与β的夹角为90°，记为α⊥β
α与β正交<==>α·β＝0
6）正交向量组：任意两个向量都互相垂直
①任一组非零正交向量组必线性无关
②Rn中任一非零正交向量组的向量个数不大于n
3、向量的正交化
1）标准正交基的概念
2）施密特正交化（先正交化，再单位化）
4、正交矩阵
1）概念
2）性质
若A为正交阵==>│A│＝1或-1
==>A－1仍为正交阵
==>若BBT＝I，则AB(AB)T＝I
==> A－1＝AT
3）n阶方阵A是正交阵<==>A的n个行向量构成Rn的一组标准正交基
<==>A的n个列向量构成Rn的一组标准正交基
四、题型及解题思路
1、判定给定集合是否为线性空间
一般由线性空间的定义与性质来判断
2、求线性空间的基与维数
3、验证n维向量组为Rn的一组标准正交基
步骤：1）证向量两两正交，即内积为零
2）证各向量都是单位向量，即长度为1
4、计算两向量的内积、向量间的夹角及距离
5、把给定向量组标准正交化
步骤：1）判断向量组的线性相关性，只有线性无关的向量组才能标准正交化
2）正交化（施密特正交化方法）
3）标准化vi＝βi /‖βi‖
6、证明有关正交矩阵的命题
7、正交矩阵的判定
1）定义法：若AAT＝In ==>A为正交阵
若AAT≠In ==>A不是正交阵
该方法多用于抽象矩阵的证明。
2）n阶方阵A是正交阵<==>A的n个行向量（或列向量）构成Rn的一组标准正交基
<==>A的行（列）向量都是单位向量且两两正交
该方法多用于给出具体数值的矩阵。
第五章 特征值与特征向量
一、重点
1、理解：特征值与特征向量的概念及其基本性质。
相似矩阵的概念与性质，矩阵相似于对角阵的条件。
约当型矩阵。
2、掌握：计算特征值与特征向量的方法。
求相似的对角阵。
二、难点
相似对角化及其应用。
三、重点难点解析
1、矩阵的特征值与特征向量的概念、性质
1）概念
注意：①若λ是A的特征值，则│λI-A│＝0，因此λI-A是不可逆矩阵
②若λ不是A的特征值，则│λI-A│≠0，因此λI-A是可逆矩阵
③特别地，0是A的特征值<==>│A│＝0<==>A不可逆
④Ax＝0的基础解系就是λ＝0的线性无关的特征向量
⑤对n阶阵A，若r(A)=1，则λ1＝∑aii, λ2=λ3=…=λn=0
2）性质
①若x1，x2都是特征值λi所对应的特征向量，则x1，x2的线性组合k1x1+k2x2（非零）仍是属于λi的特征向量。λi的特征向量不
是唯一的，反过来，一个特征向量只能属于一个特征值。
②不同特征值的特征向量是线性无关的，并且当λi是A的k重特征值时，A属于λi的线性无关的特征向量的个数不超过k个。
③特征值的和等于矩阵主对角线上元素之和，特征值的乘积等于矩阵A行列式的值。
2、相似矩阵的概念及性质
1）概念
2）性质
若A～B==>AT～BT
==> A－1～B－1（若A、B均可逆）
==> Ak～Bk（k为正整数）
==>│λI-A│＝│λI-B│，从而A、B有相同的特征值
==>│A│＝│B│，从而A、B同时可逆或不可逆
==>r(A)＝r(B)
3、矩阵可相似对角化的充要条件
1）相似对角化的概念
2）充要条件
A与对角阵相似<==>A有n个线性无关的特征向量
<==>A的每个特征值中，线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重根数
3）A与对角阵相似的充分条件是A有n个不同的特征值
4、对称矩阵的相似
1）实对称阵必可对角化
2）特征
①特征值全是实数，特征向量都是实向量
②不同特征值的特征向量互相正交
③k重特征值必有k个线性无关的特征向量，或者说必有r(λI-A)＝n-k
四、题型及解题思路
1、特征值与特征向量的求法
1）对抽象矩阵
由特征值与特征向量的定义及其性质推导出特征值的取值。
2）对数字矩阵
①从特征方程│λI-A│＝0求出特征值λi（应有n个，含重根）
②解齐次方程组(λI-A)x＝0，其基础解系就是λ所对应的线性无关的特征向量。
2、判断A是否可对角化
1）方法一：n阶方阵A可对角化<==> A有n个线性无关的特征向量
方法二：对n阶方阵A的任一特征值λi（设为ki重根），有n-r(λiI-A)= ki
2）化A为对角阵的步骤
①先求出A的特征值λ1,λ2,…,λn
②再求所对应的线性无关的特征向量x1,x2,…,xn
λ1
③构造可逆矩阵P＝（x1 x2 …xn），则P－1AP＝[ λ2… ]
λn
3、利用特征值与相似矩阵求行列式
1）│A│＝λ1λ2…λn 其中：λ1,λ2,…,λn为A的n个特征值
2）若A～B，则│A│＝│B│
4、利用相似对角化求An
若A～∧，即存在可逆阵P，使得P－1AP＝∧，则
A＝P∧P－1，从而An＝P∧nP－1
其中：∧是A的相似标准型
5、有关特征值与特征向量的证明
第六章 实二次型
一、重点
1、理解：二次型的概念，二次型同对称阵的关系，矩阵合同的概念，标准型与规范标准型的概念，正定二次型与正定矩阵的概念。
2、掌握：从二次型求对称阵及从对称阵求二次型。
合同与讹传西变量变换之间的关系。
正定二次型、正定阵的判断。
3、应用：正交变换法、配方法及初等变换法化二次型为标准型，从标准型求规范标准型。
二、难点
化二次型为标准型。
三、重点难点解析
1、二次型的概念及其标准型
1）二次型
二次型的矩阵是唯一的，由二次型应能立即写出其二次型矩阵，反之，给出实对称矩阵要能构造出二次型。
2）二次型的标准型
①概念
②正、负惯性指数，r(f)=r(A)=p+q
③正交变换化二次型为标准型时，标准型中平方项系数必是矩阵A的n个特征值，而配方法没有这个属性。
3）惯性定理
二次型的正、负惯性指数是唯一不变的，它反映了二次型的本质特征。
2、合同矩阵与正定矩阵
1）合同矩阵
①概念
②充要条件：
实对称阵A≌B<==>二次型xTAx与xTBx有相同的正、负惯性指数。
A≌B的必要条件是r(A)= r(B)
2）正定二次型与正定矩阵
①概念
②充要条件
n元二次型xTAx正定<==>xTAx的正惯性指数p=n
<==>A与I合同，即有可逆阵D使A＝DTD
<==>A的特征值全是正数
<==>A的顺序主子式全大于零
正定的必要条件：aii>0，（i=1,2,…,n）；│A│>0可帮助排除非正定的二次型。
3）注意：若A为正定矩阵，则kA（k>0），AT，A－1，A*也是正定矩阵。
若A为正定矩阵，则有│A│>0，从而A可逆。
若A为正定矩阵，则A的主对角线上的元素aii>0，（i=1,2,…,n）。
四、题型及解题思路
1、有关二次型基本概念的命题
2、化二次型为标准型
1）配方法
2）正交变换法
①必须先正确写出二次型矩阵，二次型矩阵是对角线aii为xi2的系数，aij=aji为xixj系数的一半；
②求出二次型矩阵的特征根及对应的特征向量；
③将重特征根的特征向量正交化，再将所得特征向量单位化，以此为列构成的矩阵即为正交矩阵Q；
④作变换X＝QY，即可将二次型化为标准型。
3）初等变换法
注意：①用正交变换化标准型时，平方项系数是特征值，且是唯一的。
②由配方法所得的标准型是不唯一的。
③不论用那种方法，正、负惯性指数是一致的。
3、判别二次型的正定
方法：1）用定义
2）正惯性指数p=n
3）顺序主子式全大于零
4）特征值全大于零
5）对任意x≠0，恒有xTAx>0。
4、有关正定性的证明
1）方法：①特征值法
②定义法
2）正定是对实对称阵而言，证明A是正定矩阵时，要验证AT＝A。