线代
余年寄山水
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2020年07月31日 04:55
最佳经验
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向量的公式-吝惜的意思
和后面章节有关系的无非是行列式的展开式和Cramer法则.展开式里应用比较多的是P22页推论 可以简略记为 对应行元素乘另外一行的代数余子式之和为0.其后的范德蒙德行列式记得其形式即可,后面应用不多.Cramer法则和第3章初有点关联.只要记得D不等于0时有唯一解即可.(齐次线性方程是唯一0解.)
至于前面的行列式计算的6个性质.只要学会前3个即可.后面3个可用前3个导出.
第一章OVER.
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第二章是矩阵 最直观的理解 就是行列式两边的线变成了中括号.
第一个重点就是矩阵的乘法.这里要花点工夫.要注意2个关键点.第一:矩阵A的竖线数要和矩阵B的横线数相等.如果不等.无法乘积.(或许可能可以算,只是我们不学).第二.分清楚是左乘还是右乘.然后是P58页的伴随矩阵.因为这个是后面的逆矩阵的基础.矩阵的行列式其实就是还原到第一章.只不过多了个det(A)的定义而已.
第二个重点就是矩阵的初等变换和初等矩阵.这个可以理解为后面几章的基础.不难.就是那3种形式:1 横线或竖线中某个数乘K.
2.某2跟横线或者竖线对换一下位置.
3.某根线上的数乘K然后加到另一根线上.
至于奇异矩阵,完全是唬人的.det=0就是奇异. 反之就是非奇异.记得这一点就OK了.
第三个重点是逆矩阵.重点中的重点是P77页的用矩阵的初等变换求逆矩阵,以及随之衍生出来的用求逆矩阵的方法求解方程.最后记得矩阵和它的逆矩阵的乘积为E.这是基础.
至于最后的一节分块矩阵.你只要把她理解为把一个大矩阵换成几个小矩阵分别求解就OK了.换汤不换药的东西.
补充一点.2个非0矩阵的乘积可以是0矩阵,但是如果其中一个是可逆矩阵,则另外一个一定是0矩阵.
第二章OVER.
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第三章是线性方程组.就是把第一章最后的那一节 比较规范的方程组换成不太规范的方程组.
区别就是如下图所示,左面是第一章 右面是第三章
**** # & **** # &
**** 乘#=& 0*0*乘#=&
**** # & 0**0 # &
*是系数矩阵,#是未知数矩阵,&是常数矩阵.可以看出.其本质还是一样的.然后教你一种新的方法求解.就是第二章的矩阵初等变换的方法.只不过换了个名字.叫矩阵消元法.具体解法不废话了.自己看书 P96-P97.
矩阵的秩 说白了
从矩阵中尽可能多的抽2N条线,横竖各N条.只要构成的DET不为0.如果转化为行阶梯矩阵,则秩就是其非0行的行数.
推荐个例题 P105例6和例6上面那句话 引出了线性方程组解的情况.
N元非齐次线性方程有解的充要条件是系数矩阵的=增广矩阵的秩=N--唯一解
N元齐次线性方程有非0解的充要条件是系数矩阵的秩
很容易理解的东西 看下书P111 例10就可以.关键要记得这几种情况.
然后...然后是很纠结的向量.不过仔细看了之后也没什么.就是把矩阵或横或竖的分割成1*n或者n*1的矩阵,然后就称这个东西为n维向量.
至于某向量β可以由α1～αn线性表示.其实可以代入到N元非齐次线性方程中理解.
β就是常数项矩阵,α1～αn就是系数矩阵.此时α1～αn和β构成的向量组A线性相关(定理6)
向量组A的线性相关可以代入到N元其次线性方程中理解.A的向量可以理解为系数矩阵.K是未知数 只有K有非0解 A才线性相关.否则.线性无关.由N元齐次线性方程解的情况知道.有非0解的情况是系数矩阵的秩要<未知数的个数N.这也就是书上的定理7的内涵.
之后的4个推论.有工夫就看看好了.理解了上面的东西.那4个推论完全可以自己推出来.
向量组的秩完全是对矩阵的秩的推广.定理8和9说的很清楚.其实就是对线性方程的秩的推广.
本章最重要的其实是线性方程组的结构,因为这个才是决定我们拿分的东西.这里写出了通解和特解的概念. 从而引出了基础解系的概念.对于齐次方程来说,基础解系不唯一.从而得出求解非齐次方程的一般步骤.
1.求行最简形F
2.取自由未知量 得到特解
3.用同形齐次方程得到非自由未知量.
4.套用非齐次线性方程的解和同形线性方程的解的联系.(定理12和13.P1414)得到通解
至此 第三章OVER 本章定理定义推论太多.实际上抓住线性方程这个模型.带入到方程里 就很容易.
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第四章
向量空间是什么?我也不是很清楚的知道.我这样理解的.就是把第三章被分割的一条一条的向量重新揉到一起去 还原到第二章的矩阵.不过这个矩阵可以无限大.然后换了个名字.叫向量空间.
对这个东西有兴趣的同学可以去看书P156-P158 不过我们老师说这个东西根本不会考定义这些乱七八糟的东西.我们只是以拿分为目的.所以没必要扣那么什么深刻.
这一章关键的东西是第二节 标准正交基和正交矩阵.
先说内积.就是1个1*n和n*1的矩阵相乘.得到的一个1*1的矩阵 也就是那个数.就是内积.
由此得到了单位向量的求法 大
家高中都有学过.不敷述了.
那正交是什么概念?就是两个向量夹角为90度.也就是说.这2个向量的乘积为0 把这个概念推广到我们大学学的数学里.就是内积为0.
如果N个向量两两正交.那么这N个向量线性无关.其实就是对上一章的线性相关的某些概念的另外一种说法.新的内容是定理3之后的东西:用SCHMIDT正交化方法求V的一组标准正交基 书上P162-163的内容配合P164的例10 很容易理解.以及最后165中间部分正交矩阵的3种性质.
还是那句话 你不需要理解为什么要这么求 你不是数学家 你的目的是拿分 所以我们只要按部就班的按照书上的方法一步一步套公式就OK了.如果真有兴趣 放假的时候拿出来仔细看证明过程吧.很经典的东西.其中向量组等价的部分参考P117定理5和P126推论3.懒人可以忽略.
第四章OVER
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第五章的东西我学的也不是很透彻.放假这几天我会再努力看看的.不过看了第一次之后觉得的重点有下面3个部分.
1 特征值
2 特征向量
3 实对角矩阵的对角化.觉得这里会出一道10分左右的大题.