关于雾霾的段子-音乐类留学

[习题解答]


1-3 如题1-3图所示，汽车从< br>A
地出发，向北行驶
60km
到达
B
地，然后向东行驶
60km
到达
C
地，最后向东北行驶
50km
到达
D地。求汽车行驶的总路程和总位移。
解 汽车行驶的总路程为
；
汽车的总位移的大小为
r =

位移的方向沿东北方向，与 方向一致。

1-4 现有一矢量
R
是时间
t
的函数，问 与 在一般情况下是否相等为什么

解 与 在一般情况下是不相等的。因为前者是对矢量
R
的绝对值
(
大小或长度
)
求导，
表示矢量
R< br>的大小随时间的变化率；而后者是对矢量
R
的大小和方向两者同时求导，再取绝对值，表
示矢量
R
大小随时间的变化和矢量
R
方向随时间的变化两部分的绝对 值。如果矢量
R
方向不变只是大
小变化，那么这两个表示式是相等的。
1-5 一质点沿直线
L
运动，其位置与时间的关系为
r = 6t
2
2t
3
，
r
和
t
的单位分别是m和s。求：
(1)第二秒内的平均速度；
(2)第三秒末和第四秒末的速度；
(3)第三秒末和第四秒末的加速度。
解 取直线
L
的正方向为
x
轴，以下所求得的速度和加速度，若为正值，表示该速度或加速度沿

x
轴的正方向，若为负值表示，该速度或加速度沿
x
轴的反方向。
(1)第二秒内的平均速度
m
s
1
；
(2)第三秒末的速度
因为 ，将
t = 3 s
代入，就求得第三秒末的速度，为
v
3
= 18 ms
1
；
用同样的方法可以求得第四秒末的速度，为
v
4
= 48 ms
1
；
(3)第三秒末的加速度
因为 ，将
t = 3 s
代入，就求得第三秒末的加速度，为
a
3
= 24 ms
2
；
用同样的方法可以求得第四秒末的加速度，为
v
4
= 36 ms
2
.

1-6 一质点作直线运动，速度和加速度的大小分别为 和 ，试证明：
(1) vdv = ads
；
(2)当
a
为常量时，式
v
2
= v

0
2
+ 2a (s s
0
)
成立。
解

(1)
；
(2)对上式积分，等号左边为
,
等号右边为
,
于是得
,
即
.
1-7 质点沿直线运动，在经过时间
t
后它离该直线上某定点
O
的 距离
s
满足关系式：
s = (t
1)
2
(t
2)
，
s
和
t
的单位分别是m和s。求：
(1)当质点经过
O
点时的速度和加速度；
(2)当质点的速度为零时它离开
O
点的距离；
(3)当质点的加速度为零时它离开
O
点的距离；
(4)当质点的速度为12 m
s
1
时它的加速度。
解 ：取质点沿
x
轴运动，取坐标原点为定点
O
。
(1)质点经过
O
点时，即
s = 0
，由式

,
可以解得
t = s
，
t = s .

当
t = 1 s
时，

.
当
t = 2 s
时，
v = ms
-2

，
a =

ms
-2
.

(2)质点的速度为零，即

上式可化为
,
解得
t = s
和
t = s .

当
t = 1 s
时，质点正好处于
O
点，即离开
O
点的距离为
0 m
；当
t = 53 s
时，质点离开
O
点
的距离为

m
。
(3)质点的加速度为零，即
,

上式可化为
3t-4=0
,
解得
t = s .

这时离开
O
点的距离为

m
。
(4)质点的速度为12 m
s
1
，即
,
由此解得

将
t
值代入加速度的表示式
,
求得的加速度分别为
a = ms
-2
和
a = ms
-2
.

1-8 一质点沿某直线作减速运动，其加速度为
a = Cv
2
，
C
是常量。若
t = 0
时质点的速度为
v
0
，
并处于
s
0
的位置上，求任意时刻
t
质点的速度和位置。
解 以
t = 0< br>时刻质点的位置为坐标原点
O
，取水平线为
x
轴，质点就沿
x
轴运动。因为是直线
运动，矢量可以用带有正负号的标量来表示。
,

于是有
.
两边分别积分，得
.
因为
t
0
= 0
，所以上是变为
,
即
, (1)
上式就是任意时刻质点的速度表达式。
因为
，
dx= v dt ,

将式(1)代入上式，得
,
两边分别积分，得
.
于是，任意时刻质点的位置表达式为

.
1-9 质点作直线运动，初速度为零，初始加速度为
a
0
，质点出发后每经过时间，加速度 均匀增
加
b
。求经过
t
时间后质点的速度和加速度。
解 可以把质点运动所沿的直线定为直线
L
，并设初始时刻质点处于固定点
O
上。 根据题意，质
点运动的加速度应该表示为
.
由速度公式

可以求得经过
t
时间质点的速度
.
另外，根据位移公式可以求得经过t时间质点的位移
.
1-10 质点沿直线
y = 2x + 1 m
运动，某时刻位于
x
1
=
质点在此过程中的平均速度。
解 根据定义，平均速度应表示为
,
其中
.
m
处，经过了 s到达
x
2
= m
处。求

由已知条件找出
x
和
y
，就可以求得平均速度 。
.
根据直线方程
y = 2x + 1
，可求得
y
1
= 2x
1
+ 1 = m
，
y
2
= 2x
2
+ 1 = m .

所以
.
平均速度为
.
也可以用下面的方式表示
；
与
x
轴的夹角为
.
1-11 质点运动的位置与时间的关系为x = 5+t
2
，y = 3+5tt
2
，z = 1+2t
2
,
求第二秒末质点的速度和加
速度，长度和时间的单位分别是米和秒。
解 已知质点运动轨道的参量方程为
.
质点任意时刻的速度和加速度分别为

和.
质点在第二秒末的速度和加速度就是由以上两式求得的。将
t = 2 s
代入上式，就得到质点在第
二秒末的速度和加速度，分别为
和 .
1-12 设质点的位置与时间的关系为
x = x(t)
，
y = y(t)
，在计算质点的速度和加速度时，如果先求
出 ，然后根据 和 求得结果；还可以用另一种方法计算：先算出速
度和加速度分量，再合成，得到的结果为
v =
认为哪一组结果正确为什么
和 。你
解 第二组结果是正确的。而在一般情况下第一组结果不正确，这是因为在一般情况下
.
速度和 加速度中的
r
是质点的位置矢量，不仅有大小而且有方向，微分时，既要对大小微分也要
对方向微分。第一组结果的错误就在于，只对位置矢量的大小微分，而没有对位置矢量的方向微分。
1-13 火车以匀加速运动驶离站台。当火车刚开动时，站在第一节车厢前端相对应的站台位置上的静止观察者发现，第一节车厢从其身边驶过的时间是
s
。问第九节车厢驶过此观察者身边需要多少
时间
解 设火车的加速度为
a
，每节车厢的长度为
l
，第一节车厢从观察者身边通过所需时间为
t
1
，
t
1
满足
.(1)

前八节车厢通过 观察者身边所需时间为t
2
，前九节车厢通过观察者身边所需时间为
t
3，并 可列出
下面两个方程式
, (2)
(3)
由式(1)得
.
将上式代入式(2)和式(3)，分别得到
,
.
第九节车厢通过观察者身边所需时间为
t = t
3
t
2
= s s = s .

1-14 一架开始静止的升降机以加速度 m
s
2
上升，当上升速度达到
ms
1
时，有一螺帽自升降机
的天花板上落下，天花板与升降机的底面相距
m
。计算：
(1)螺帽从天花板落到升降机的底面所需要的时间；
(2)螺帽相对升降机外固定柱子的下降距离。
解 设螺帽落到升降机地面所需时间为
t
，在这段时间内螺帽下落的距离为h
1
，同时升降机上升的
距离为
h
2
。
(1)若以螺帽为研究对象， 可取
y
轴竖直向下，
t = 0
时，螺帽的速度为
v
0
= ms
1
，加速度为
g
，

则有
(1)
若以升降机为研究对象， 可取
y
轴竖直向上，
t = 0
时，升降机的速度为
v
0
= ms
1
，加速度为
a = ms
2
，这时应有
(2)
显然
h = h
1
+ h
2
就是升降机的天花板与底面之间的距离，等于
m
。于是
(3)
有式(3)解得
.
(2)螺帽相对升降机外固定柱子的下降距离 ，就是上面所说的
h
1
，将上面所求得的
t
代入式(1)，
可以得到
.
1-15 设火箭引信的燃烧时间为
s
，今在与水平面成< br>45
角的方向将火箭发射出去，欲使火箭在弹
道的最高点爆炸，问必须以多大的初速度发 射火箭
解 以火箭发射点为原点、水平向右为
x
轴、竖直向上为
y
轴，建立坐标系。设发射火箭的初速
度为
v
0
，则其竖直向上的分量为
,
竖直向上的速度为

.
火箭到达最高点时，
v
y
= 0
，由此可以求得初速度为
.
1-16 倾斜上抛一小球，抛出时初速度与水平面成
60
角，秒钟后小 球仍然斜向上升，但飞行方向
与水平面成
45
角。试求：
(1)小球到达最高点的时间；
(2)小球在最高点的速度。
解 以抛设点为原点、水平向右为
x
轴、竖直向上为
y
轴，建立坐标系。
(1)为求得小球到达最高点的时间，必须先求出它的初速度
v
0
。因为< br>v
0
与水平方向成
60
角，所
以可列出下面的方程式
.
当
t = 1 s
时，速度
v
与水平方向成
45
，必定有 ，所以
,
由此解得
.
如果小球到达最高点的时间为
t
，则有

,
由此解得
.
(2)小球到达最高点时的速度是沿水平方向的，其大小为
.
1-17 质点作曲线运动，其角速度 为常量，质点位置的极径与时间的关系可以表示为
，其中
0
和都是常量。求质点的径向速度和径向加速度，横向速度和横向加速度。
解 质点的径向速度为
,
横向速度为
.
质点的径向加速度为
,
横向加速度为
.

(
计算过程用到了 为常量的条件。
)

1-18 质点沿任意曲线运动
, t
时刻质点的极坐标为
度、加速度，并写出质点运动的轨道方程。
,，试求此时刻质点的速
解
t
时刻质点的速度为
,
此时刻质点的加速度为
.
题目给出了轨道的参量方程，由参量方程消去参变量t
，就可以得到质点运动的轨道方程。由轨
道的参量方程的第二式得
,
将上式代入轨道的参量方程的第一式，得
,
这就是质点运动的轨道方程。
1-19 质点沿半径为
R
的圆周运动，角速度为
= ct
，其中
c
是常量。试在直角坐标系和平面极坐
标系中分别写出质点的位置矢量、速度和加速度 的表达式。
解 建立如图1-12所示的坐标系，直角坐标系的原点与极坐标的极点相重合，并且就是 质点运动
所沿的圆周的圆心。显然直角坐标与极坐标有如下关系
, (1)

式中
= R
，就是圆周的半径。相反的关系可以表示为
. (2)
设
t = 0
时，质点处于圆周与
x
轴的交点上。由题已知
图1-12
,
所以
(3)
将式(3)代入式(1)，得
,.
于是质点的位置矢量可以表示为
；
质点的运动速度可以表示为
；
质点的运动加速度可以表示为


在极坐标中质点的位置矢量可以表示为

；
质点的速度为
；
质点的加速度为
.
1-20 质点按照
s = bt
的规律沿半径为
R
的圆周运动 ，其中
s
是质点运动的路程，
b
、
c
是常量，并且
b
2
> cR
。问当切向加速度与法向加速度大小相等时，质点运动了多少时间
解 质点运动的速率为
,
切向加速度为
,
切向加速度的大小可以写为
a
t
= c
。法向加速度可以表示为
.
切向加速度与法向加速度大小相等，即
,
由此解得

.
讨论：因为
v = b ct ,

所以，当
t = 0
时，
v = b
，当
t = bc
时，
v = 0
。这表示在
0
到
bc
时间内 ，质点作减速运动。
而在
t = bc
之后，质点沿反方向作圆周运动，切向加速度为
c
，速率不断增大。可见质点有两个机会
满足“切向加速度与法向加速度大小相等”。 一个机会是在
0
到
bc
之间，即
,
为什么
t = t
1
是处于
0
到
bc
之间呢根据已知条件
b< br>2
> cR
，也就是
b >
，所以必定有
bc >
t
1
> 0
。
另一个机会是在
t = bc
之后，即
.
1-21 质点从倾角为=30

的斜面上的O点被抛出，初速度的方向
与水平线的夹角为 = 30， 如图1-13a所示，初速度的大小为v
0
= ms
1
。
若忽略空气的阻力，试求：
图1-13a
(1)质点落在斜面上的
B
点离开
O
点的距离；
(2)在
t = s
时，质点的速度、切向加速度和法向加速度。
解 建 立如图所示的坐标系：以抛射点
O
为坐标原点，
x
轴沿水平向右，
y
轴竖直向上。这时质
点的抛体运动可以看作为
x
方向的匀速直线运动和
y
方向的匀变速直线运动的合成，并且有

, .
(1)设
B
点到
O
点的距离为
l
，则
B
点的坐标可以表示 为

如果质点到达
B
点的时间为，则可以列出下面的方程式
(1)
(2)
以上两式联立，可解得
(3)
将式(3)代入式(1)，得
.
(2)设在
t = s
时质点到达
C
点，此时
,
.
所以速度的大小为

.
速度与
y
轴负方向的夹角为
.
图1-13b
现在求
C
点的切向加速度
a
t
和法 向加速度
a
n
。由图1-13b可
见，质点的总加速度就是重力加速度g
，方向与
v
y
一致，而
a
t
和
a< br>n
则是它的两个分矢量。并且由于
a
t
与
v
的方向一 致，所以
a
t
与
g
之间的夹角就是
v
与
v
y
之间的夹角，即角。于是可以得到
,
.
1-23 用绳子 系一物体，使它在竖直平面内作圆周运动。问物
体在什么位置上绳子的张力最大在什么位置上张力最小
解 ：设物体在任意位置上细绳与竖直方向的夹角为，如图
1-14所示。 这时物体受到两个 力的作用，即绳子的张力
T
和重力
mg
，并且下面的关系成立
图1-14
.
所以可把绳子张力的大小表示为
.
由上式可以得到：当物体处于最低点时，
=
，张力为最大；当物体处于最高点时，= 0 ，张力
为最小。
1-24 质量为m 的小球用长度为l的细绳悬挂于天花板之下，如图1-15所示。当小球被推动后在水平

面内作匀速圆周运动，角速度为。求细绳与竖直方向的夹角。
解 小球受到绳子的张力
T和重力
mg
的作用，并且在竖直方向上
无加速度，所以有
(1)
在水平方向上，小球有向心加速度
图1-15
,
张力
T
的水平分量提供了小球的向心力，故有
(2)
由式(1)和式(2)可以解得
,
.
1-25 在光滑的水平桌面上并排放置两个物体
A
和
B
，它们互相接触，质量分
别为
m
A
= kg
，
m
B
= kg
。今用
F = N
的水平力按图1-16所示的方向作用于物体
A，并通过
物体
A
作用于物体
B
。求：
(1)两物体的加速度；
(2) A
对
B
的作用力；
图1-16
(3) B
对
A
的作用力。
解 取水平向右为
x
轴。

(1)以两物体
A
和
B
为研究对象，它们在水平方向上受到力
F
的作用， 所以在该方向上应有
,
.
(2)设
A
对
B
的作用力为
F
1
，沿< br>x
轴的正方向，物体
B
沿
x
方向的加速度为
a
，可列出下面的方
程式
.
(3)设
B
对
A
的 作用力为
F
2
，沿
x
轴的反方向，物体
A
沿
x
方向的加速度为
a
，可列出下面的方
程式
,
.
1-26 有A和B两个物体，质量分别为m
A
= 100 kg，m
B
= 60 kg，放
置于如图1-17a所示的装置上。如果斜面与物体之间无摩擦，滑轮和绳子的质量都可以忽略，问：
图1-17a
(1)物体如何运动
(2)物体运动的加速度多大
(3)绳子的张力为多大
解 物体
A
的受力情况如图1-17b所示：
张力
T
；
重力
m
A
g

支撑力
N
A
。
物体
B
的受力情况如图1-17c所示：
张力
T
；
图1-17c
重力
m
A
g
；
支撑力
N
A
。
(1)我们可以假定物体
B
向下滑 ，物体
A
向上滑，加速度为
a
。若
图1-17b
解得
a > 0
，物体确实按所假定的方向滑动；若解得
a < 0
，物体实际上
是沿与假定方向相反的方向滑动。
对物体
B
：
, (1)
对物体
A
：
(2)
将以上两式相加，得
,
解得

所以，系统中的物体
A
沿斜面向上滑动，物体
B
沿斜面向下滑动。
(2)物体运动的加速度为

.
(3)由式(2)可以解得
.
1-27 在光滑的水平桌面上放着两个用细绳连接的木
块
A
和
B
，它们的质量分别是
m
A
和
m
B
。今 以水平恒力
F
图1-18a
作用于木块
B
上，并使它们一起向右运 动，如题1-18a图所
示。求连接体的加速度和绳子的张力。
解 木块A受三个力的作用：
重力
m
A
g
，竖直向下；
支撑力
N
A
，竖直向上；
绳子拉力
T
，水平向右。
木块
B
共受四个力的作用：
图1-18b
重力
m
B
g
，竖直向下；
支撑力
N
B
，竖直向上；
恒力
F
，水平向右；
绳子拉力
T
，水平向左。
上述各力都表示在图1-18b中。
建立坐标系
O - xy
，取
x
轴水平向右，
y
竖 直向上。沿
x
轴向右的力为正，向左的力为负；沿
y
轴向上的力为正，向下的 力为负。设木块A和
B
沿水平方向的加速度分别为
a
和
a
， 于是可以列出下
面的运动方程：

A
：
,
；
B
：
,
.
另外
,
.
由以上方程可解得
,
.
绳子的拉力就是绳子的张力。
如果水 平恒力
F
作用于木块
A
并拉着
A
、
B
连接 体一起向左运动，这时解得的加速度大小不变，
但绳子的张力变为
.

可见，由于 ，则 。
1-28 质量为
m
的物体放于斜面 上，当斜面的倾角为时，
物体刚好匀速下滑。当斜面的倾角增至时，让物体从高度为
h
处
由静止下滑，求物体滑到底部所需要的时间。
解 物体受力情形如图1-19所示。当斜面 倾角为时，物体
刚好匀速下滑，这时物体在运动方向上所受合力为零，即
图1-19
,
,
.
由此解得
,
.
当斜面倾角变为时，让物体从斜面顶端自由下滑，这时
,
,
.
于是可解得
.

如果斜面长度
l
所对应的高度正好 是
h
，物体从斜面顶端自由下滑到底部的时间为
t
，可列出下
面的方 程
.
所以
.
讨论：从上面的结果看，下式必须成立
. (1)
因为
,(2)
将式(2)代入式(1)，得
,
即
,
所以必定有
.

1-29 用力
F
去 推一个放置在水平地面上质量为M的物体，
如果力与水平面的夹角为，如图1-20a所示，物体与地面 的摩擦系
数为，试问：
(1)要使物体匀速运动，
F
应为多大
图1-20a
(2)为什么当角过大时，无论
F
多大物体都不能运动
(3)当物体刚好不能运动时，角的临界值为多大
解 物体受力情形如图1-20b所示。
(1)物体作匀速运动时所受合力为零，于是有
,
,
.
由以上三式可解得
.
图1-20b
(2)在一般情况下，水平方向上的运动方程可以表示为
,
于是可以解得物体的加速度为
.
可见，推动物体前进的力是 ，随的增加而减小；阻碍物体前进的力是摩擦力

，随的增加而增大。所以，当 值过大时，推动力
的最大静摩擦力，物体就不能运动。
就不足以克服作用于物体
( 3)设物体刚好不能运动时的临界角为
0
，下面的关系成立
，
. 因为在等于这个临界角
0
时，无论
F
为多大，物体都刚好不能运动，这就 是说，当
F
沿着这个临
界角的方向时，物体运动与否都与
F
无关。用
F
除以上式，并令
F
，可得
,
解得
.
1-32 车厢在地面上作匀加速直线运动，加速度为
ms
2
。车厢的天花
板下用细线悬挂一小球，求小球悬线与竖直方向的夹角。
解 设悬挂小球的细线与竖直方向成角，如图1-21所示。若取地面为参
考系，可列出下面的方程
,
图1-21
.
解得
,
= 272 .

1-33 汽车以
ms
1
的速率经过公路弯道 时，发现汽车天花板下悬挂小球的细线与竖直方向的夹角
为1。求公路弯道处的半径。
解 设小球悬线与竖直方向的夹角为，可以列出下面的方程
,
.
可以解得
.
1-34 设地球是半径为
R
、质量为
M
的均匀球体 ，自转角速度为，求重力加速度g的数值与纬度
的关系。
(
提示：先求出质量为
m
的物体处于地面上纬度为的地方的重量，然后根据重量求出重力加速
度与纬度的关系。)

解 地面上物体的受力情况如图1-22所示。由图可见
.
利用余弦定理，得

,
因为很小，
4
项可以略去，所以上式可化为

于是可得
图1-22
也就是
.
上式就是所要求的重力加速度g的数值与纬度的关系。
,

[习题解答]


1-3 如题1- 3图所示，汽车从
A
地出发，向北行驶
60km
到达
B
地， 然后向东行驶
60km
到达
C
地，最后向东北行驶
50km
到达
D
地。求汽车行驶的总路程和总位移。
解 汽车行驶的总路程为
；
汽车的总位移的大小为
r =

位移的方向沿东北方向，与 方向一致。

1-4 现有一矢量
R
是时间
t
的函数，问 与 在一般情况下是否相等为什么

解 与 在一般情况下是不相等的。因为前者是对矢量
R
的绝对值
(
大小或长度
)
求导，
表示矢量
R< br>的大小随时间的变化率；而后者是对矢量
R
的大小和方向两者同时求导，再取绝对值，表
示矢量
R
大小随时间的变化和矢量
R
方向随时间的变化两部分的绝对 值。如果矢量
R
方向不变只是大
小变化，那么这两个表示式是相等的。
1-5 一质点沿直线
L
运动，其位置与时间的关系为
r = 6t
2
2t
3
，
r
和
t
的单位分别是m和s。求：
(1)第二秒内的平均速度；
(2)第三秒末和第四秒末的速度；
(3)第三秒末和第四秒末的加速度。
解 取直线
L
的正方向为
x
轴，以下所求得的速度和加速度，若为正值，表示该速度或加速度沿

x
轴的正方向，若为负值表示，该速度或加速度沿
x
轴的反方向。
(1)第二秒内的平均速度
m
s
1
；
(2)第三秒末的速度
因为 ，将
t = 3 s
代入，就求得第三秒末的速度，为
v
3
= 18 ms
1
；
用同样的方法可以求得第四秒末的速度，为
v
4
= 48 ms
1
；
(3)第三秒末的加速度
因为 ，将
t = 3 s
代入，就求得第三秒末的加速度，为
a
3
= 24 ms
2
；
用同样的方法可以求得第四秒末的加速度，为
v
4
= 36 ms
2
.

1-6 一质点作直线运动，速度和加速度的大小分别为 和 ，试证明：
(1) vdv = ads
；
(2)当
a
为常量时，式
v
2
= v

0
2
+ 2a (s s
0
)
成立。
解

(1)
；
(2)对上式积分，等号左边为
,
等号右边为
,
于是得
,
即
.
1-7 质点沿直线运动，在经过时间
t
后它离该直线上某定点
O
的 距离
s
满足关系式：
s = (t
1)
2
(t
2)
，
s
和
t
的单位分别是m和s。求：
(1)当质点经过
O
点时的速度和加速度；
(2)当质点的速度为零时它离开
O
点的距离；
(3)当质点的加速度为零时它离开
O
点的距离；
(4)当质点的速度为12 m
s
1
时它的加速度。
解 ：取质点沿
x
轴运动，取坐标原点为定点
O
。
(1)质点经过
O
点时，即
s = 0
，由式

,
可以解得
t = s
，
t = s .

当
t = 1 s
时，

.
当
t = 2 s
时，
v = ms
-2

，
a =

ms
-2
.

(2)质点的速度为零，即

上式可化为
,
解得
t = s
和
t = s .

当
t = 1 s
时，质点正好处于
O
点，即离开
O
点的距离为
0 m
；当
t = 53 s
时，质点离开
O
点
的距离为

m
。
(3)质点的加速度为零，即
,

上式可化为
3t-4=0
,
解得
t = s .

这时离开
O
点的距离为

m
。
(4)质点的速度为12 m
s
1
，即
,
由此解得

将
t
值代入加速度的表示式
,
求得的加速度分别为
a = ms
-2
和
a = ms
-2
.

1-8 一质点沿某直线作减速运动，其加速度为
a = Cv
2
，
C
是常量。若
t = 0
时质点的速度为
v
0
，
并处于
s
0
的位置上，求任意时刻
t
质点的速度和位置。
解 以
t = 0< br>时刻质点的位置为坐标原点
O
，取水平线为
x
轴，质点就沿
x
轴运动。因为是直线
运动，矢量可以用带有正负号的标量来表示。
,

于是有
.
两边分别积分，得
.
因为
t
0
= 0
，所以上是变为
,
即
, (1)
上式就是任意时刻质点的速度表达式。
因为
，
dx= v dt ,

将式(1)代入上式，得
,
两边分别积分，得
.
于是，任意时刻质点的位置表达式为

.
1-9 质点作直线运动，初速度为零，初始加速度为
a
0
，质点出发后每经过时间，加速度 均匀增
加
b
。求经过
t
时间后质点的速度和加速度。
解 可以把质点运动所沿的直线定为直线
L
，并设初始时刻质点处于固定点
O
上。 根据题意，质
点运动的加速度应该表示为
.
由速度公式

可以求得经过
t
时间质点的速度
.
另外，根据位移公式可以求得经过t时间质点的位移
.
1-10 质点沿直线
y = 2x + 1 m
运动，某时刻位于
x
1
=
质点在此过程中的平均速度。
解 根据定义，平均速度应表示为
,
其中
.
m
处，经过了 s到达
x
2
= m
处。求

由已知条件找出
x
和
y
，就可以求得平均速度 。
.
根据直线方程
y = 2x + 1
，可求得
y
1
= 2x
1
+ 1 = m
，
y
2
= 2x
2
+ 1 = m .

所以
.
平均速度为
.
也可以用下面的方式表示
；
与
x
轴的夹角为
.
1-11 质点运动的位置与时间的关系为x = 5+t
2
，y = 3+5tt
2
，z = 1+2t
2
,
求第二秒末质点的速度和加
速度，长度和时间的单位分别是米和秒。
解 已知质点运动轨道的参量方程为
.
质点任意时刻的速度和加速度分别为

和.
质点在第二秒末的速度和加速度就是由以上两式求得的。将
t = 2 s
代入上式，就得到质点在第
二秒末的速度和加速度，分别为
和 .
1-12 设质点的位置与时间的关系为
x = x(t)
，
y = y(t)
，在计算质点的速度和加速度时，如果先求
出 ，然后根据 和 求得结果；还可以用另一种方法计算：先算出速
度和加速度分量，再合成，得到的结果为
v =
认为哪一组结果正确为什么
和 。你
解 第二组结果是正确的。而在一般情况下第一组结果不正确，这是因为在一般情况下
.
速度和 加速度中的
r
是质点的位置矢量，不仅有大小而且有方向，微分时，既要对大小微分也要
对方向微分。第一组结果的错误就在于，只对位置矢量的大小微分，而没有对位置矢量的方向微分。
1-13 火车以匀加速运动驶离站台。当火车刚开动时，站在第一节车厢前端相对应的站台位置上的静止观察者发现，第一节车厢从其身边驶过的时间是
s
。问第九节车厢驶过此观察者身边需要多少
时间
解 设火车的加速度为
a
，每节车厢的长度为
l
，第一节车厢从观察者身边通过所需时间为
t
1
，
t
1
满足
.(1)

前八节车厢通过 观察者身边所需时间为t
2
，前九节车厢通过观察者身边所需时间为
t
3，并 可列出
下面两个方程式
, (2)
(3)
由式(1)得
.
将上式代入式(2)和式(3)，分别得到
,
.
第九节车厢通过观察者身边所需时间为
t = t
3
t
2
= s s = s .

1-14 一架开始静止的升降机以加速度 m
s
2
上升，当上升速度达到
ms
1
时，有一螺帽自升降机
的天花板上落下，天花板与升降机的底面相距
m
。计算：
(1)螺帽从天花板落到升降机的底面所需要的时间；
(2)螺帽相对升降机外固定柱子的下降距离。
解 设螺帽落到升降机地面所需时间为
t
，在这段时间内螺帽下落的距离为h
1
，同时升降机上升的
距离为
h
2
。
(1)若以螺帽为研究对象， 可取
y
轴竖直向下，
t = 0
时，螺帽的速度为
v
0
= ms
1
，加速度为
g
，

则有
(1)
若以升降机为研究对象， 可取
y
轴竖直向上，
t = 0
时，升降机的速度为
v
0
= ms
1
，加速度为
a = ms
2
，这时应有
(2)
显然
h = h
1
+ h
2
就是升降机的天花板与底面之间的距离，等于
m
。于是
(3)
有式(3)解得
.
(2)螺帽相对升降机外固定柱子的下降距离 ，就是上面所说的
h
1
，将上面所求得的
t
代入式(1)，
可以得到
.
1-15 设火箭引信的燃烧时间为
s
，今在与水平面成< br>45
角的方向将火箭发射出去，欲使火箭在弹
道的最高点爆炸，问必须以多大的初速度发 射火箭
解 以火箭发射点为原点、水平向右为
x
轴、竖直向上为
y
轴，建立坐标系。设发射火箭的初速
度为
v
0
，则其竖直向上的分量为
,
竖直向上的速度为

.
火箭到达最高点时，
v
y
= 0
，由此可以求得初速度为
.
1-16 倾斜上抛一小球，抛出时初速度与水平面成
60
角，秒钟后小 球仍然斜向上升，但飞行方向
与水平面成
45
角。试求：
(1)小球到达最高点的时间；
(2)小球在最高点的速度。
解 以抛设点为原点、水平向右为
x
轴、竖直向上为
y
轴，建立坐标系。
(1)为求得小球到达最高点的时间，必须先求出它的初速度
v
0
。因为< br>v
0
与水平方向成
60
角，所
以可列出下面的方程式
.
当
t = 1 s
时，速度
v
与水平方向成
45
，必定有 ，所以
,
由此解得
.
如果小球到达最高点的时间为
t
，则有

,
由此解得
.
(2)小球到达最高点时的速度是沿水平方向的，其大小为
.
1-17 质点作曲线运动，其角速度 为常量，质点位置的极径与时间的关系可以表示为
，其中
0
和都是常量。求质点的径向速度和径向加速度，横向速度和横向加速度。
解 质点的径向速度为
,
横向速度为
.
质点的径向加速度为
,
横向加速度为
.

(
计算过程用到了 为常量的条件。
)

1-18 质点沿任意曲线运动
, t
时刻质点的极坐标为
度、加速度，并写出质点运动的轨道方程。
,，试求此时刻质点的速
解
t
时刻质点的速度为
,
此时刻质点的加速度为
.
题目给出了轨道的参量方程，由参量方程消去参变量t
，就可以得到质点运动的轨道方程。由轨
道的参量方程的第二式得
,
将上式代入轨道的参量方程的第一式，得
,
这就是质点运动的轨道方程。
1-19 质点沿半径为
R
的圆周运动，角速度为
= ct
，其中
c
是常量。试在直角坐标系和平面极坐
标系中分别写出质点的位置矢量、速度和加速度 的表达式。
解 建立如图1-12所示的坐标系，直角坐标系的原点与极坐标的极点相重合，并且就是 质点运动
所沿的圆周的圆心。显然直角坐标与极坐标有如下关系
, (1)

式中
= R
，就是圆周的半径。相反的关系可以表示为
. (2)
设
t = 0
时，质点处于圆周与
x
轴的交点上。由题已知
图1-12
,
所以
(3)
将式(3)代入式(1)，得
,.
于是质点的位置矢量可以表示为
；
质点的运动速度可以表示为
；
质点的运动加速度可以表示为


在极坐标中质点的位置矢量可以表示为

；
质点的速度为
；
质点的加速度为
.
1-20 质点按照
s = bt
的规律沿半径为
R
的圆周运动 ，其中
s
是质点运动的路程，
b
、
c
是常量，并且
b
2
> cR
。问当切向加速度与法向加速度大小相等时，质点运动了多少时间
解 质点运动的速率为
,
切向加速度为
,
切向加速度的大小可以写为
a
t
= c
。法向加速度可以表示为
.
切向加速度与法向加速度大小相等，即
,
由此解得

.
讨论：因为
v = b ct ,

所以，当
t = 0
时，
v = b
，当
t = bc
时，
v = 0
。这表示在
0
到
bc
时间内 ，质点作减速运动。
而在
t = bc
之后，质点沿反方向作圆周运动，切向加速度为
c
，速率不断增大。可见质点有两个机会
满足“切向加速度与法向加速度大小相等”。 一个机会是在
0
到
bc
之间，即
,
为什么
t = t
1
是处于
0
到
bc
之间呢根据已知条件
b< br>2
> cR
，也就是
b >
，所以必定有
bc >
t
1
> 0
。
另一个机会是在
t = bc
之后，即
.
1-21 质点从倾角为=30

的斜面上的O点被抛出，初速度的方向
与水平线的夹角为 = 30， 如图1-13a所示，初速度的大小为v
0
= ms
1
。
若忽略空气的阻力，试求：
图1-13a
(1)质点落在斜面上的
B
点离开
O
点的距离；
(2)在
t = s
时，质点的速度、切向加速度和法向加速度。
解 建 立如图所示的坐标系：以抛射点
O
为坐标原点，
x
轴沿水平向右，
y
轴竖直向上。这时质
点的抛体运动可以看作为
x
方向的匀速直线运动和
y
方向的匀变速直线运动的合成，并且有

, .
(1)设
B
点到
O
点的距离为
l
，则
B
点的坐标可以表示 为

如果质点到达
B
点的时间为，则可以列出下面的方程式
(1)
(2)
以上两式联立，可解得
(3)
将式(3)代入式(1)，得
.
(2)设在
t = s
时质点到达
C
点，此时
,
.
所以速度的大小为

.
速度与
y
轴负方向的夹角为
.
图1-13b
现在求
C
点的切向加速度
a
t
和法 向加速度
a
n
。由图1-13b可
见，质点的总加速度就是重力加速度g
，方向与
v
y
一致，而
a
t
和
a< br>n
则是它的两个分矢量。并且由于
a
t
与
v
的方向一 致，所以
a
t
与
g
之间的夹角就是
v
与
v
y
之间的夹角，即角。于是可以得到
,
.
1-23 用绳子 系一物体，使它在竖直平面内作圆周运动。问物
体在什么位置上绳子的张力最大在什么位置上张力最小
解 ：设物体在任意位置上细绳与竖直方向的夹角为，如图
1-14所示。 这时物体受到两个 力的作用，即绳子的张力
T
和重力
mg
，并且下面的关系成立
图1-14
.
所以可把绳子张力的大小表示为
.
由上式可以得到：当物体处于最低点时，
=
，张力为最大；当物体处于最高点时，= 0 ，张力
为最小。
1-24 质量为m 的小球用长度为l的细绳悬挂于天花板之下，如图1-15所示。当小球被推动后在水平

面内作匀速圆周运动，角速度为。求细绳与竖直方向的夹角。
解 小球受到绳子的张力
T和重力
mg
的作用，并且在竖直方向上
无加速度，所以有
(1)
在水平方向上，小球有向心加速度
图1-15
,
张力
T
的水平分量提供了小球的向心力，故有
(2)
由式(1)和式(2)可以解得
,
.
1-25 在光滑的水平桌面上并排放置两个物体
A
和
B
，它们互相接触，质量分
别为
m
A
= kg
，
m
B
= kg
。今用
F = N
的水平力按图1-16所示的方向作用于物体
A，并通过
物体
A
作用于物体
B
。求：
(1)两物体的加速度；
(2) A
对
B
的作用力；
图1-16
(3) B
对
A
的作用力。
解 取水平向右为
x
轴。

(1)以两物体
A
和
B
为研究对象，它们在水平方向上受到力
F
的作用， 所以在该方向上应有
,
.
(2)设
A
对
B
的作用力为
F
1
，沿< br>x
轴的正方向，物体
B
沿
x
方向的加速度为
a
，可列出下面的方
程式
.
(3)设
B
对
A
的 作用力为
F
2
，沿
x
轴的反方向，物体
A
沿
x
方向的加速度为
a
，可列出下面的方
程式
,
.
1-26 有A和B两个物体，质量分别为m
A
= 100 kg，m
B
= 60 kg，放
置于如图1-17a所示的装置上。如果斜面与物体之间无摩擦，滑轮和绳子的质量都可以忽略，问：
图1-17a
(1)物体如何运动
(2)物体运动的加速度多大
(3)绳子的张力为多大
解 物体
A
的受力情况如图1-17b所示：
张力
T
；
重力
m
A
g

支撑力
N
A
。
物体
B
的受力情况如图1-17c所示：
张力
T
；
图1-17c
重力
m
A
g
；
支撑力
N
A
。
(1)我们可以假定物体
B
向下滑 ，物体
A
向上滑，加速度为
a
。若
图1-17b
解得
a > 0
，物体确实按所假定的方向滑动；若解得
a < 0
，物体实际上
是沿与假定方向相反的方向滑动。
对物体
B
：
, (1)
对物体
A
：
(2)
将以上两式相加，得
,
解得

所以，系统中的物体
A
沿斜面向上滑动，物体
B
沿斜面向下滑动。
(2)物体运动的加速度为

.
(3)由式(2)可以解得
.
1-27 在光滑的水平桌面上放着两个用细绳连接的木
块
A
和
B
，它们的质量分别是
m
A
和
m
B
。今 以水平恒力
F
图1-18a
作用于木块
B
上，并使它们一起向右运 动，如题1-18a图所
示。求连接体的加速度和绳子的张力。
解 木块A受三个力的作用：
重力
m
A
g
，竖直向下；
支撑力
N
A
，竖直向上；
绳子拉力
T
，水平向右。
木块
B
共受四个力的作用：
图1-18b
重力
m
B
g
，竖直向下；
支撑力
N
B
，竖直向上；
恒力
F
，水平向右；
绳子拉力
T
，水平向左。
上述各力都表示在图1-18b中。
建立坐标系
O - xy
，取
x
轴水平向右，
y
竖 直向上。沿
x
轴向右的力为正，向左的力为负；沿
y
轴向上的力为正，向下的 力为负。设木块A和
B
沿水平方向的加速度分别为
a
和
a
， 于是可以列出下
面的运动方程：

A
：
,
；
B
：
,
.
另外
,
.
由以上方程可解得
,
.
绳子的拉力就是绳子的张力。
如果水 平恒力
F
作用于木块
A
并拉着
A
、
B
连接 体一起向左运动，这时解得的加速度大小不变，
但绳子的张力变为
.

可见，由于 ，则 。
1-28 质量为
m
的物体放于斜面 上，当斜面的倾角为时，
物体刚好匀速下滑。当斜面的倾角增至时，让物体从高度为
h
处
由静止下滑，求物体滑到底部所需要的时间。
解 物体受力情形如图1-19所示。当斜面 倾角为时，物体
刚好匀速下滑，这时物体在运动方向上所受合力为零，即
图1-19
,
,
.
由此解得
,
.
当斜面倾角变为时，让物体从斜面顶端自由下滑，这时
,
,
.
于是可解得
.

如果斜面长度
l
所对应的高度正好 是
h
，物体从斜面顶端自由下滑到底部的时间为
t
，可列出下
面的方 程
.
所以
.
讨论：从上面的结果看，下式必须成立
. (1)
因为
,(2)
将式(2)代入式(1)，得
,
即
,
所以必定有
.

1-29 用力
F
去 推一个放置在水平地面上质量为M的物体，
如果力与水平面的夹角为，如图1-20a所示，物体与地面 的摩擦系
数为，试问：
(1)要使物体匀速运动，
F
应为多大
图1-20a
(2)为什么当角过大时，无论
F
多大物体都不能运动
(3)当物体刚好不能运动时，角的临界值为多大
解 物体受力情形如图1-20b所示。
(1)物体作匀速运动时所受合力为零，于是有
,
,
.
由以上三式可解得
.
图1-20b
(2)在一般情况下，水平方向上的运动方程可以表示为
,
于是可以解得物体的加速度为
.
可见，推动物体前进的力是 ，随的增加而减小；阻碍物体前进的力是摩擦力

，随的增加而增大。所以，当 值过大时，推动力
的最大静摩擦力，物体就不能运动。
就不足以克服作用于物体
( 3)设物体刚好不能运动时的临界角为
0
，下面的关系成立
，
. 因为在等于这个临界角
0
时，无论
F
为多大，物体都刚好不能运动，这就 是说，当
F
沿着这个临
界角的方向时，物体运动与否都与
F
无关。用
F
除以上式，并令
F
，可得
,
解得
.
1-32 车厢在地面上作匀加速直线运动，加速度为
ms
2
。车厢的天花
板下用细线悬挂一小球，求小球悬线与竖直方向的夹角。
解 设悬挂小球的细线与竖直方向成角，如图1-21所示。若取地面为参
考系，可列出下面的方程
,
图1-21
.
解得
,
= 272 .

1-33 汽车以
ms
1
的速率经过公路弯道 时，发现汽车天花板下悬挂小球的细线与竖直方向的夹角
为1。求公路弯道处的半径。
解 设小球悬线与竖直方向的夹角为，可以列出下面的方程
,
.
可以解得
.
1-34 设地球是半径为
R
、质量为
M
的均匀球体 ，自转角速度为，求重力加速度g的数值与纬度
的关系。
(
提示：先求出质量为
m
的物体处于地面上纬度为的地方的重量，然后根据重量求出重力加速
度与纬度的关系。)

解 地面上物体的受力情况如图1-22所示。由图可见
.
利用余弦定理，得

,
因为很小，
4
项可以略去，所以上式可化为

于是可得
图1-22
也就是
.
上式就是所要求的重力加速度g的数值与纬度的关系。
,