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习题1

选择题
(1) 一运动质点在某瞬时位于矢径
r(x,y)
的端点处，其速度大小为


dr
dr
(A) (B)
dt
dt

dx
2
dy
2
d|r|
(C) (D)
()

()

dtdt
dt
[答案：D]

(2) 一质点作直线运动，某时刻 的瞬时速度
v2ms
，瞬时加速度
a2ms
，则
一秒钟后质点 的速度
(A)等于零 (B)等于-2ms
(C)等于2ms (D)不能确定。
[答案：D]

(3) 一质点沿半径为R的圆周作匀速率运动 ，每t秒转一圈，在2t时间间隔中，其平
均速度大小和平均速率大小分别为
2
2

R2

R2

R
(B)
0,

,
ttt
2

R
(C)
0,0
(D)
,0

t
(A)
[答案：B]

填空题
(1) 一质点，以< br>
ms
的匀速率作半径为5m的圆周运动，则该质点在5s内，位移的大小
 1
是 ；经过的路程是 。
[答案： 10m； 5πm]

(2) 一质点沿x方向运动，其加速度随时间的变化关系为a=3+2t (S I)，如果初始时刻质点
-1
的速度v
0
为5m·s，则当t为3s时，质点 的速度v= 。
-1
[答案： 23m·s ]



(3) 轮船在水上以相对于水的速度
V
1
航行，水 流速度为
V
2
，一人相对于甲板以速度
V
3
行走。


如人相对于岸静止，则
V
1
、
V
2
和
V
3
的关系是 。

[答案：
V
1
V
2
V
3

0
]

一个物体能否被看作质点，你认为主要由以下三个因素中哪个因素决定：
(1) 物体的大小和形状；
(2) 物体的内部结构；
(3) 所研究问题的性质。
解：只有当物体的尺寸远小于其运动范围时才可忽略其大小的影响，因此主要由所 研
究问题的性质决定。

下面几个质点运动学方程，哪个是匀变速直线运动？ < br>3222
（1）x=4t-3；（2）x=-4t+3t+6；（3）x=-2t+8t+4；（ 4）x=2t-4t。
给出这个匀变速直线运动在t=3s时的速度和加速度，并说明该时刻运动是加 速的还
是减速的。（x单位为m，t单位为s）
解：匀变速直线运动即加速度为不等于零的常 数时的运动。加速度又是位移对时间
的两阶导数。于是可得（3）为匀变速直线运动。
其速度和加速度表达式分别为
v

dx

4t

8
dt
2
dx
a

2

4
dt
2
t =3s时的速度和加速度分别为
v
=20ms，
a
=4ms。因加速度为正所 以是加速的。

在以下几种运动中，质点的切向加速度、法向加速度以及加速度哪些为零哪些不为零？
(1) 匀速直线运动；(2) 匀速曲线运动；(3) 变速直线运动；(4) 变速曲线运动。
解：(1) 质点作匀速直线运动时，其切向加速度、法向加速度及加速度均为零；
(2) 质点作匀速曲线运动时，其切向加速度为零，法向加速度和加速度均不为零；
(3) 质点作变速直线运动时，其法向加速度为零，切向加速度和加速度均不为零；
(4) 质点作变速曲线运动时，其切向加速度、法向加速度及加速度均不为零。

｜
r
｜与

r

有无不同?
举例说明．
解：（1）
r
是位移的模，

r
是位矢的模的增量，即
rr
2
r
1
，

r

r
2

r
1
；
（2）
drdrdvdv
和有无不同? 和有无不同?其不同在哪里?试
dtdtdtdt

drdr
ds
是速度的模，即.
v
dtdt
dt
dr
只是速度在径向上的分量.
dt
ˆ
（式中
r
ˆ
叫做单位矢）∵有
rrr
，则式中
ˆ
drdrdr
ˆ

r


r
dtdtdt
dr
就是速度在径向上的分量，
dt

∴
drdr
与
不同如题图所示.
dtdt
题图




dv
dv

dv
(3)表示加速度的模，即
a

，
是加速度
a
在切向上的分量.
dtdt
dt
∵有
vv

(

表轨道节线方向单位矢），所以


dvdv

d





v
dtdtdt
dv
就是加速度的切向分量.
dt
ˆ
d

ˆ
dr
与
(

的 运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论)
dtdt
式中

设质点的运动 方程为
x
=
x
(
t
)，
y
=
y< br>(
t
)，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出
r
d
2< br>r
dr
＝
xy
，然后根据
v
=及
a＝
2
而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分
dt
dt
22
量，再合成求得结果，即

d
2
x

d
2
y


dx

dy




你认为两种方法哪一种
v
=



，
a
=

2

2

dt

dt


dt

dt

正确？为什么？两者差别何在？
解：后一种方法正确.因为速度与加 速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有
r

xi

yj
，
22
22




drdx

dy


v

i

j
dtdtdt


d
2
rd
2
x

d< br>2
y

a

2

2
i
< br>2
j
dtdtdt
故它们的模即为

dx
dy

22
v

v
x

v
y





dt

dt

2
2
22

dx

dy

22
a

a
x

a
y



dt
2





dt
2



2
2

而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作

< br>dr
v
dt
d
2
r
a
2
dt
drd
2
r
dr
与
2
误作速度与加速度的 模。在题中已说明不是速度的模，而只其二，可能是将
dt
dt
dt
d
2
r
是速度在径向上的分量，同样，
2
也不是加速度的模，它只是加速度在 径向分量中的一
dt
2

d
2
rd

< br>

部分

a
径

2

r


。或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢
r
在径向（即 量
dt

dt





< br>值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢
r
及速度
v
的方向随时间的 变化率对速度、加速
度的贡献。

一质点在
xOy
平面上运动，运动方程为
x
=3
t
+5,
y
=
1
2
t
+3
t
-4.
2
式中
t
以 s计，
x
,
y
以m计．(1 )以时间
t
为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出
t
=1
s 时刻和
t
＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算
t
＝0 s时刻到
t
＝4s
时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算
t
＝4 s 时质点的速度；(5)计算
t
＝
0s 到
t
＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算
t
＝4s 时质点
的 加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成
直角坐标系中的 矢量式)．

1
2


解：（1）
r

(3t

5)i

(t

3 t

4)j
m

2
(2)将
t1
,
t2
代入上式即有


r
1

8i

0.5j

m

vv
v
r
2
11i4j
m

vvvvv
rr
2
r
1
3i4.5j
m

(3)∵
r
0
5i4j,r
4
17i16j

v< br>vv
v
vv




r
< br>r
12i

20j


r

40< br>
3
i
5
j
m

s

1
∴
v


t4
< br>04



dr

3
i
(t
3)
j
m

s

1
(4)
v

dt



1
则
v
4

3i

7j

m

s

(5)∵
v
0

3i

3j,v
4

3i

7j






v
v
vv
v
v

v
v
4

v0
4j

a

1jm

s

2


t44



dv
(6)
a

1
j
m

s

2

dt
这说明该点只有
y
方向的加速度，且为恒量。

质点沿
x
轴运动，其加速度和位置的关系为
a
＝2+6
x
，
a
的单位为
m

s
，
x
的单位为
2

2
m. 质点在
x
＝0处，速度为10
m
s
,试求质点在任何坐标处的速度值．
解： ∵
a


1
dvdvdxdv

v

dtdxdtdx
2
分离变量：
vdvadx(26x)dx

两边积分得
1
2
v2x2x
3
c

2
由题知，
x0
时，
v
0

10
,∴
c50
∴
v
2
x
3
x
25m

s

1


已知一质点作直线运动，其加速度为
a
＝4+3
t

m

s
，开始运动时，
x
＝5 m，
v
=0，
求该质点在
t
＝10s 时的速度和位置．
解：∵
a


2
dv

4

3t

dt
分离变量，得
dv(43t)dt

积分，得

v4t
由题知，
t0
,
v
0

0< br> ,∴
c
1
0

3
2
tc
1

2
3
2
t

2
dx3
4tt
2
又因为
v
dt2
3
2
分离变量，
dx

(4t

t)dt

2
1
32
积分得
x2ttc
2

2
故
v4t
由题知
t0
,
x
0

5
,∴
c
2
5

故
x
2
t
2
1
3
t
5

2
所以
t10s
时
v
10

4

10

3

10
2

190m

s

1
2

1
x
10
2

10
2

10
3

5

705m
2

一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为 < br>
=2+3
t
，式中

以弧度计，
t
以秒计 ，
求：(1)
t
＝2 s时，质点的切向和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成45°角时，其
角位移是多少?

解：


3
d

d


9t
2
,

18t

dtdt


2
(1)
t2s
时，
a


R
< br>
1

18

2

36m

s

a
n
R

2

1
(9

2
2
)
2

1296m
s

2

(2)当加速度方向与半径成
45
角时，有
ο
tan45
2
a

1

a
n
即
R

R


亦即
(9t)

18t

22
则解得
t
3
2

9
2
9
于是角位移为

23t
3
232.67rad


质点沿半径为
R
的圆周按
s
＝
v
0
t
1
2
bt
的规律运动，式中
s
为质点离圆周上某点的弧
2长,
v
0
，
b
都是常量，求：(1)
t
时刻质 点的加速度；(2)
t
为何值时，加速度在数值上等于
b
．
解：（1）
v
ds
v
0
bt

dt

dv

b
dt

2
2
(v

bt)
v
a
n
< br>0
RR
a


(v
0

bt)4
则
a

a


a

b


R
2
22
n
2
加速度与半径的夹角为


arctan
(2)由题意应有
a


Rb


a
n
(v
0

bt)
2
(v
0

bt)
4

a

b

b

2
R
2
(v
0

bt)
4
,

(
v
0
bt
)
4

0
即
b

b

2
R
22
∴当
t


v
0
时，
ab

b
飞轮半径为0.4 m，自静止启动，其角加速度为
β
= rad·
s
，求
t
＝2s时边缘上各点
的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度．
解： 当
t2s
时，



t0.220.4

rad

s

则
vR

0.40. 40.16
m

s


1

1

2
a
n
R

2

0.4
< br>(0.4)
2

0.064
m

s

2

a

R

0.40.20.08
m

s

2

2
a

a
n

a

2

(0.064)
2

(0.08)
2

0.102m

s

2


一船以速率
v
1
＝30km·h沿直线向东行驶，另一小艇在 其前方以速率
v
2
＝40km·h
-1-1
沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为多少?在艇上看船的速度又为多少? 解：(1)大船看小艇，则有
v
21

v
2

v
1
，依题意作速度矢量图如题图(a)

题图



由图可知
v
2 1

2
v
1
2
v
2

50km

h

1

方向北偏西

arctan
v
1
3
arctan36.87
< br>v
2
4
(2)小艇看大船，则有
v
12

v
1

v
2
，依题意作出速度矢量图如题图(b)，同上法，得 

v
12

50
km

h

1

方向南偏东
36.87
.
o

习题1

选择题
(1) 一运动质点在某瞬时位于矢径
r(x,y)
的端点处，其速度大小为


dr
dr
(A) (B)
dt
dt

dx
2
dy
2
d|r|
(C) (D)
()

()

dtdt
dt
[答案：D]

(2) 一质点作直线运动，某时刻 的瞬时速度
v2ms
，瞬时加速度
a2ms
，则
一秒钟后质点 的速度
(A)等于零 (B)等于-2ms
(C)等于2ms (D)不能确定。
[答案：D]

(3) 一质点沿半径为R的圆周作匀速率运动 ，每t秒转一圈，在2t时间间隔中，其平
均速度大小和平均速率大小分别为
2
2

R2

R2

R
(B)
0,

,
ttt
2

R
(C)
0,0
(D)
,0

t
(A)
[答案：B]

填空题
(1) 一质点，以< br>
ms
的匀速率作半径为5m的圆周运动，则该质点在5s内，位移的大小
 1
是 ；经过的路程是 。
[答案： 10m； 5πm]

(2) 一质点沿x方向运动，其加速度随时间的变化关系为a=3+2t (S I)，如果初始时刻质点
-1
的速度v
0
为5m·s，则当t为3s时，质点 的速度v= 。
-1
[答案： 23m·s ]



(3) 轮船在水上以相对于水的速度
V
1
航行，水 流速度为
V
2
，一人相对于甲板以速度
V
3
行走。


如人相对于岸静止，则
V
1
、
V
2
和
V
3
的关系是 。

[答案：
V
1
V
2
V
3

0
]

一个物体能否被看作质点，你认为主要由以下三个因素中哪个因素决定：
(1) 物体的大小和形状；
(2) 物体的内部结构；
(3) 所研究问题的性质。
解：只有当物体的尺寸远小于其运动范围时才可忽略其大小的影响，因此主要由所 研
究问题的性质决定。

下面几个质点运动学方程，哪个是匀变速直线运动？ < br>3222
（1）x=4t-3；（2）x=-4t+3t+6；（3）x=-2t+8t+4；（ 4）x=2t-4t。
给出这个匀变速直线运动在t=3s时的速度和加速度，并说明该时刻运动是加 速的还
是减速的。（x单位为m，t单位为s）
解：匀变速直线运动即加速度为不等于零的常 数时的运动。加速度又是位移对时间
的两阶导数。于是可得（3）为匀变速直线运动。
其速度和加速度表达式分别为
v

dx

4t

8
dt
2
dx
a

2

4
dt
2
t =3s时的速度和加速度分别为
v
=20ms，
a
=4ms。因加速度为正所 以是加速的。

在以下几种运动中，质点的切向加速度、法向加速度以及加速度哪些为零哪些不为零？
(1) 匀速直线运动；(2) 匀速曲线运动；(3) 变速直线运动；(4) 变速曲线运动。
解：(1) 质点作匀速直线运动时，其切向加速度、法向加速度及加速度均为零；
(2) 质点作匀速曲线运动时，其切向加速度为零，法向加速度和加速度均不为零；
(3) 质点作变速直线运动时，其法向加速度为零，切向加速度和加速度均不为零；
(4) 质点作变速曲线运动时，其切向加速度、法向加速度及加速度均不为零。

｜
r
｜与

r

有无不同?
举例说明．
解：（1）
r
是位移的模，

r
是位矢的模的增量，即
rr
2
r
1
，

r

r
2

r
1
；
（2）
drdrdvdv
和有无不同? 和有无不同?其不同在哪里?试
dtdtdtdt

drdr
ds
是速度的模，即.
v
dtdt
dt
dr
只是速度在径向上的分量.
dt
ˆ
（式中
r
ˆ
叫做单位矢）∵有
rrr
，则式中
ˆ
drdrdr
ˆ

r


r
dtdtdt
dr
就是速度在径向上的分量，
dt

∴
drdr
与
不同如题图所示.
dtdt
题图




dv
dv

dv
(3)表示加速度的模，即
a

，
是加速度
a
在切向上的分量.
dtdt
dt
∵有
vv

(

表轨道节线方向单位矢），所以


dvdv

d





v
dtdtdt
dv
就是加速度的切向分量.
dt
ˆ
d

ˆ
dr
与
(

的 运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论)
dtdt
式中

设质点的运动 方程为
x
=
x
(
t
)，
y
=
y< br>(
t
)，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出
r
d
2< br>r
dr
＝
xy
，然后根据
v
=及
a＝
2
而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分
dt
dt
22
量，再合成求得结果，即

d
2
x

d
2
y


dx

dy




你认为两种方法哪一种
v
=



，
a
=

2

2

dt

dt


dt

dt

正确？为什么？两者差别何在？
解：后一种方法正确.因为速度与加 速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有
r

xi

yj
，
22
22




drdx

dy


v

i

j
dtdtdt


d
2
rd
2
x

d< br>2
y

a

2

2
i
< br>2
j
dtdtdt
故它们的模即为

dx
dy

22
v

v
x

v
y





dt

dt

2
2
22

dx

dy

22
a

a
x

a
y



dt
2





dt
2



2
2

而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作

< br>dr
v
dt
d
2
r
a
2
dt
drd
2
r
dr
与
2
误作速度与加速度的 模。在题中已说明不是速度的模，而只其二，可能是将
dt
dt
dt
d
2
r
是速度在径向上的分量，同样，
2
也不是加速度的模，它只是加速度在 径向分量中的一
dt
2

d
2
rd

< br>

部分

a
径

2

r


。或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢
r
在径向（即 量
dt

dt





< br>值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢
r
及速度
v
的方向随时间的 变化率对速度、加速
度的贡献。

一质点在
xOy
平面上运动，运动方程为
x
=3
t
+5,
y
=
1
2
t
+3
t
-4.
2
式中
t
以 s计，
x
,
y
以m计．(1 )以时间
t
为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出
t
=1
s 时刻和
t
＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算
t
＝0 s时刻到
t
＝4s
时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算
t
＝4 s 时质点的速度；(5)计算
t
＝
0s 到
t
＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算
t
＝4s 时质点
的 加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成
直角坐标系中的 矢量式)．

1
2


解：（1）
r

(3t

5)i

(t

3 t

4)j
m

2
(2)将
t1
,
t2
代入上式即有


r
1

8i

0.5j

m

vv
v
r
2
11i4j
m

vvvvv
rr
2
r
1
3i4.5j
m

(3)∵
r
0
5i4j,r
4
17i16j

v< br>vv
v
vv




r
< br>r
12i

20j


r

40< br>
3
i
5
j
m

s

1
∴
v


t4
< br>04



dr

3
i
(t
3)
j
m

s

1
(4)
v

dt



1
则
v
4

3i

7j

m

s

(5)∵
v
0

3i

3j,v
4

3i

7j






v
v
vv
v
v

v
v
4

v0
4j

a

1jm

s

2


t44



dv
(6)
a

1
j
m

s

2

dt
这说明该点只有
y
方向的加速度，且为恒量。

质点沿
x
轴运动，其加速度和位置的关系为
a
＝2+6
x
，
a
的单位为
m

s
，
x
的单位为
2

2
m. 质点在
x
＝0处，速度为10
m
s
,试求质点在任何坐标处的速度值．
解： ∵
a


1
dvdvdxdv

v

dtdxdtdx
2
分离变量：
vdvadx(26x)dx

两边积分得
1
2
v2x2x
3
c

2
由题知，
x0
时，
v
0

10
,∴
c50
∴
v
2
x
3
x
25m

s

1


已知一质点作直线运动，其加速度为
a
＝4+3
t

m

s
，开始运动时，
x
＝5 m，
v
=0，
求该质点在
t
＝10s 时的速度和位置．
解：∵
a


2
dv

4

3t

dt
分离变量，得
dv(43t)dt

积分，得

v4t
由题知，
t0
,
v
0

0< br> ,∴
c
1
0

3
2
tc
1

2
3
2
t

2
dx3
4tt
2
又因为
v
dt2
3
2
分离变量，
dx

(4t

t)dt

2
1
32
积分得
x2ttc
2

2
故
v4t
由题知
t0
,
x
0

5
,∴
c
2
5

故
x
2
t
2
1
3
t
5

2
所以
t10s
时
v
10

4

10

3

10
2

190m

s

1
2

1
x
10
2

10
2

10
3

5

705m
2

一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为 < br>
=2+3
t
，式中

以弧度计，
t
以秒计 ，
求：(1)
t
＝2 s时，质点的切向和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成45°角时，其
角位移是多少?

解：


3
d

d


9t
2
,

18t

dtdt


2
(1)
t2s
时，
a


R
< br>
1

18

2

36m

s

a
n
R

2

1
(9

2
2
)
2

1296m
s

2

(2)当加速度方向与半径成
45
角时，有
ο
tan45
2
a

1

a
n
即
R

R


亦即
(9t)

18t

22
则解得
t
3
2

9
2
9
于是角位移为

23t
3
232.67rad


质点沿半径为
R
的圆周按
s
＝
v
0
t
1
2
bt
的规律运动，式中
s
为质点离圆周上某点的弧
2长,
v
0
，
b
都是常量，求：(1)
t
时刻质 点的加速度；(2)
t
为何值时，加速度在数值上等于
b
．
解：（1）
v
ds
v
0
bt

dt

dv

b
dt

2
2
(v

bt)
v
a
n
< br>0
RR
a


(v
0

bt)4
则
a

a


a

b


R
2
22
n
2
加速度与半径的夹角为


arctan
(2)由题意应有
a


Rb


a
n
(v
0

bt)
2
(v
0

bt)
4

a

b

b

2
R
2
(v
0

bt)
4
,

(
v
0
bt
)
4

0
即
b

b

2
R
22
∴当
t


v
0
时，
ab

b
飞轮半径为0.4 m，自静止启动，其角加速度为
β
= rad·
s
，求
t
＝2s时边缘上各点
的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度．
解： 当
t2s
时，



t0.220.4

rad

s

则
vR

0.40. 40.16
m

s


1

1

2
a
n
R

2

0.4
< br>(0.4)
2

0.064
m

s

2

a

R

0.40.20.08
m

s

2

2
a

a
n

a

2

(0.064)
2

(0.08)
2

0.102m

s

2


一船以速率
v
1
＝30km·h沿直线向东行驶，另一小艇在 其前方以速率
v
2
＝40km·h
-1-1
沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为多少?在艇上看船的速度又为多少? 解：(1)大船看小艇，则有
v
21

v
2

v
1
，依题意作速度矢量图如题图(a)

题图



由图可知
v
2 1

2
v
1
2
v
2

50km

h

1

方向北偏西

arctan
v
1
3
arctan36.87
< br>v
2
4
(2)小艇看大船，则有
v
12

v
1

v
2
，依题意作出速度矢量图如题图(b)，同上法，得 

v
12

50
km

h

1

方向南偏东
36.87
.
o