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©西南交大物理系_2016_02


《大学物理AI》作业 No.01
运动的描述

班级 ________ 学号 ________ 姓名 _________ 成绩 _______

一、判断题：（用“T”和“F”表示）
【 F 】1．做竖直上抛运动的小球，在最高点处，其速度和加速度都为0。
解：对于竖直上抛运动，在最高 点，速度为0，加速度在整个运动过程中始终不变，为重
力加速度。

【 F 】2．在直线运动中，质点的位移大小和路程是相等的。
解：如果在运动过程中质点反向运动，必然导致位移的大小和路程不相等。

【 F 】3．质点做匀加速运动，其轨迹一定是直线。
反例：抛体运动。

【 T 】4．质点在两个相对作匀速直线运动的参考系中的加速度是相同的。
解：两个相对作匀速直线运动的参考系的相对加速度为0，根据相对运动公式知上述说法
正确。

【 F 】5．在圆周运动中，加速度的方向一定指向圆心。
反例：变速率的圆周运动。

二、选择题:

1．一小球沿斜面 向上运动，其运动方程为
S512tt
2
（SI），则小球运动到最高点
的时刻应是
（A）
t4s
（B）
t2s

（C）
t12s
（D）
t6s

[ D ]
解：小球运动速度大小
v
ds
122t
。

dt
当小球运动到最高点时v=0，即
122t0
，t=6（s）。
故选 D
2. 一列火车沿着一条长直轨道运行，如图所示，曲线图显
示了火车 的位置时间关系。这个曲线图说明这列火车
[ B ] (A) 始终在加速
(B) 始终在减速
(C) 以恒定速度运行
(D) 部分时间在加速，部分时间在减速

解：位置时间曲线的上某点的切线的斜率就表示该时刻 质点运动速度。由图可知，该火
车一直在减速。

3．一运动质点在 某瞬时位于矢径
r

x,y

的端点处，其速度大小为


drdr
[ D ]
(A) (B)
dtdt

22
dr

dx

dy

(C) (D)




dt

dt

d t



dx

dy


< br>dr
解：由速度定义
v
及其直角坐标系表示
vv
xiv
y
jij
可得速度大
dt
dtdt


dx

dy

小为
v



dtdt


22
选D



4．一质点在平面上作一般曲线运动，其瞬时速度为
v
，瞬时速 率为
v
，某一段时间内
的平均速度为
v
，平均速率为
v，它们之间关系正确的有

vv,

（C）
vv,
（A）

vv


vv








vv,

（D）
vv,
（B）

vv


vv

[ A ]

ds

dr

解：根据定义，瞬时速度为
v
，瞬时速率为
v
，由于
drds
，所以
vv
。
dtdt

 s


r

平均速度
v
，平均速率
v 
，而一般情况下
rs
，所以
vv
。故选A
tt

1
5．在相对地面静止的坐标系内，A、B二船都以2
ms
的速率匀速行使，A船沿x轴正
向，B船沿y轴正向。今在A船上设置与静止坐标系方向 相同的坐标系（x、y方向单位

1
矢量用
i、j
表示），那么 在A船上的坐标系中，B船的速度（以
ms
为单位）为

（A）
2i2j
（B）
2i2j


（C）
2i2j
（D）
2i2j

[ B ]




解：由题意知：A船相对于地的速度
v
A地
2i
，B船相对于 地的速度
v
B地
2j
，根
据相对运动速度公式，B船相对于A船 的速度为


v
BA
v
B地
 v
地A
v
B地
v
A地
2i2j
。 故选 B

三、填空题:
1．一质点作直线运动，其坐标x与时间t的关系曲线如
x (m)
5
图所示。则该质点在第 3 秒瞬时速度为零；在
第 3 秒至第 6 秒间速度与加速度同方向。
解：由图知坐标x与时间t的关系曲线是抛物线，其方
t (s)
O
123456

dx5
有：
v (2t6)
，故第3秒瞬时速度为零。
dt9
d
2
x
10
0-3秒速度沿x正方向，3-6秒速度沿x负方向。由加速度定义
a
有：，
a
2
9
dt
程为
xt(t6)
,由速度定义< br>v
沿x正方向，故在第3秒至第6秒间速度与加速度同方向。

2．在x轴 上作变加速直线运动的质点，已知其初速度为
v
0
，初始位置为x
0
，加速度
aCt
（其中C为常量），则其速度与时间的关系为
v
vv< br>0

2
5
9
1
3
Ct
，运动学方程 为
3
x
xx
0
v
0
t
1
4
Ct
。
12
vt
dv
Ct
2
得< br>
dv

Ct
2
dt
有
v
0
0
dt
解: 本题属于运动学第二类类问题，由
a< br>速度与时间的关系
vv
0

再由
v
1
3
Ct

3
xt
dx11
v
0
Ct3
得

dx

(v
0
Ct
3)dt
有
x
0
0
dt33
1
4
运动 学方程
xx
0
v
0
tCt

12

3．一质点从静止(t = 0)出发，沿半径为R = 3 m的圆周运动，切向加速度大小保持不变 ，
为
a


3ms
-2
，在t时刻，其总加速 度
a
恰与半径成45°角，此时t = 1s 。
解：由切向加 速度定义
a


dv
，分离变量积分
dt
2
v
2
a

t
2

法向加速度
a
n


RR

由题意
a
与半径 成45°角知：
a
n
a


由此式解得
t
v
0
dv

a

dt
得质点运动 速率
va

t

0
t
R3
1(s)

a
t
3



4．轮船在水上以相对于水的速度
v
1
航行，水流速 度为
v
2
，一人相对于甲板以速度
v
3
行

走．如果人相对于岸静止，则
v
1
、
v
2
和
v
3
的关系是___________________。

解：
v
1
v
2
v
3
0

5. 试说明质点作何种运动时，将出现下述各种情况（v≠0）：
（A）< br>a

（B）
a

（C）
a

0, a
n
0
； 变速曲线运动 。
0, a
n
0
； 变速直线运动 。
0, a
n
0
； 匀速曲线运动 。
解：由切向加速度和法向加速度的定义知：
（A）为变速曲线运动，（B）为变速直线
运动，（ C）为匀速曲线运动
。


6.某发动机工作时，主轴边缘一点作圆周运动 的运动方程为

t
3
3t
2
4t3
（SI ）,当
t2s
时，该点的角速度为 ，角加速度为 。
解：由运动学方程

t
3
3t
2
4t3< br>，得边缘一点的角速度和角加速度分别为：
d

d

3t
2
6t4


6t6
，将
t2s
代入得到
dtdt
2

28rad.s
1


18rad.s





四、计算题:

1． 一质点沿x轴运动，坐标与时间的变化关系为x＝4t－2t
3
（SI制），试计算
⑴ 在最初2s内的平均速度及2s末的瞬时速度；
⑵ 1s末到3s末的位移和平均速度；
⑶ 1s末到3s末的平均加速度。此平均加速度是否可 以用a=(a
1
+a
2
)2计算；
⑷ 3s末的瞬时加速度。

解：x＝4t－2t
3
，
v
x

dv
dx
46t
2
，
ax

x
12t

dt
dt
（1）在最初2s内的平均速度为
xx(2)x(0)(4 222
3
)
v
x
4(ms)

t202
质点的瞬时速度为
v
x

dx
46t
2

dt
2s末的瞬时速度为
v
x
(2)462
2
20(ms)

（2）1s末到3s末的位移为
xx(3)x(1)(4323
3< br>)(4121
3
)44(m)

1s末到3s末的平均速度为

v
x

xx(3) x(1)44
22(ms)

t312
（3）1s末到3s末的平均加速度为
vv(3)v(1)(4 63
2
)(461
2
)
a
x
2 4(ms
2
)

t312
如果用
a
a
1
a
2
dv
x
12t
， 来算，由
ax

2dt
2
1s末的加速度即为
t1s
时的加速度 ：
a
2
12112ms

3s末的加速度即为
t 3s
时的加速度：
a
4
12336ms

2< br>a
a
2
a
4
24ms
2
，与按照定 义来算的相同，此处可以这样来计算。
2
a
1
a
2
计算 。因为此方法只适用于加速度是时间的线性
2
不过，最好不要用
a
函数情形 。

（4）质点的瞬时加速度为
a
x

dv
x
12t

dt
3s末的瞬时加速度为
a
x
(3)12336(ms
2
)


2．一物体悬挂在弹簧上作竖直振动，其加速度为
aky
，式中
k
为常数，
y
是以平
衡位置为原点所测得的坐标，假定振动的物体在坐标
y< br>0
处的速度为
v
0
，试求：速度v与
坐标
y
的函数关系式。
解：加速度
a
dvdvdydv
vky
，分离变量积分得
dtdydtdy


v
v0
vdv

kydy
y
0
y
所以速度v与 坐标
y
的函数关系式为




2
1
2
11
22
vv
0
ky
0< br>ky
2
222


v
2
v
0
ky
0
y
2
< br>
2


3．静止时，乘客发现雨滴下落方向偏向车头，偏角为3 0°; 当火车以
v35ms
的速
率沿水平直路行驶时，车上乘客发现雨滴下落方 向偏向车尾，偏角为45．假设雨滴相对
于地的速度保持不变，试计算雨滴相对地的速度大小．
-1
批改时请注意：第一个式子的矢量符号！


解：由相对 速度公式：
v
雨地
v
雨车
v
车地

矢量图如图所示，在x、y方向投影式为



v
车地
45

30

x
v
雨地
sin30

v
雨车
sin45

 v
车地
35
v
雨地
cos30

v
雨车
cos45

0

v
雨车
联立以上两 式，解得

v
雨地


v
车地
cos30tg45sin30


35
311
22
y

v
雨地

25.

6(ms)

1

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《大学物理AI》作业 No.01
运动的描述

班级 ________ 学号 ________ 姓名 _________ 成绩 _______

一、判断题：（用“T”和“F”表示）
【 F 】1．做竖直上抛运动的小球，在最高点处，其速度和加速度都为0。
解：对于竖直上抛运动，在最高 点，速度为0，加速度在整个运动过程中始终不变，为重
力加速度。

【 F 】2．在直线运动中，质点的位移大小和路程是相等的。
解：如果在运动过程中质点反向运动，必然导致位移的大小和路程不相等。

【 F 】3．质点做匀加速运动，其轨迹一定是直线。
反例：抛体运动。

【 T 】4．质点在两个相对作匀速直线运动的参考系中的加速度是相同的。
解：两个相对作匀速直线运动的参考系的相对加速度为0，根据相对运动公式知上述说法
正确。

【 F 】5．在圆周运动中，加速度的方向一定指向圆心。
反例：变速率的圆周运动。

二、选择题:

1．一小球沿斜面 向上运动，其运动方程为
S512tt
2
（SI），则小球运动到最高点
的时刻应是
（A）
t4s
（B）
t2s

（C）
t12s
（D）
t6s

[ D ]
解：小球运动速度大小
v
ds
122t
。

dt
当小球运动到最高点时v=0，即
122t0
，t=6（s）。
故选 D
2. 一列火车沿着一条长直轨道运行，如图所示，曲线图显
示了火车 的位置时间关系。这个曲线图说明这列火车
[ B ] (A) 始终在加速
(B) 始终在减速
(C) 以恒定速度运行
(D) 部分时间在加速，部分时间在减速

解：位置时间曲线的上某点的切线的斜率就表示该时刻 质点运动速度。由图可知，该火
车一直在减速。

3．一运动质点在 某瞬时位于矢径
r

x,y

的端点处，其速度大小为


drdr
[ D ]
(A) (B)
dtdt

22
dr

dx

dy

(C) (D)




dt

dt

d t



dx

dy


< br>dr
解：由速度定义
v
及其直角坐标系表示
vv
xiv
y
jij
可得速度大
dt
dtdt


dx

dy

小为
v



dtdt


22
选D



4．一质点在平面上作一般曲线运动，其瞬时速度为
v
，瞬时速 率为
v
，某一段时间内
的平均速度为
v
，平均速率为
v，它们之间关系正确的有

vv,

（C）
vv,
（A）

vv


vv








vv,

（D）
vv,
（B）

vv


vv

[ A ]

ds

dr

解：根据定义，瞬时速度为
v
，瞬时速率为
v
，由于
drds
，所以
vv
。
dtdt

 s


r

平均速度
v
，平均速率
v 
，而一般情况下
rs
，所以
vv
。故选A
tt

1
5．在相对地面静止的坐标系内，A、B二船都以2
ms
的速率匀速行使，A船沿x轴正
向，B船沿y轴正向。今在A船上设置与静止坐标系方向 相同的坐标系（x、y方向单位

1
矢量用
i、j
表示），那么 在A船上的坐标系中，B船的速度（以
ms
为单位）为

（A）
2i2j
（B）
2i2j


（C）
2i2j
（D）
2i2j

[ B ]




解：由题意知：A船相对于地的速度
v
A地
2i
，B船相对于 地的速度
v
B地
2j
，根
据相对运动速度公式，B船相对于A船 的速度为


v
BA
v
B地
 v
地A
v
B地
v
A地
2i2j
。 故选 B

三、填空题:
1．一质点作直线运动，其坐标x与时间t的关系曲线如
x (m)
5
图所示。则该质点在第 3 秒瞬时速度为零；在
第 3 秒至第 6 秒间速度与加速度同方向。
解：由图知坐标x与时间t的关系曲线是抛物线，其方
t (s)
O
123456

dx5
有：
v (2t6)
，故第3秒瞬时速度为零。
dt9
d
2
x
10
0-3秒速度沿x正方向，3-6秒速度沿x负方向。由加速度定义
a
有：，
a
2
9
dt
程为
xt(t6)
,由速度定义< br>v
沿x正方向，故在第3秒至第6秒间速度与加速度同方向。

2．在x轴 上作变加速直线运动的质点，已知其初速度为
v
0
，初始位置为x
0
，加速度
aCt
（其中C为常量），则其速度与时间的关系为
v
vv< br>0

2
5
9
1
3
Ct
，运动学方程 为
3
x
xx
0
v
0
t
1
4
Ct
。
12
vt
dv
Ct
2
得< br>
dv

Ct
2
dt
有
v
0
0
dt
解: 本题属于运动学第二类类问题，由
a< br>速度与时间的关系
vv
0

再由
v
1
3
Ct

3
xt
dx11
v
0
Ct3
得

dx

(v
0
Ct
3)dt
有
x
0
0
dt33
1
4
运动 学方程
xx
0
v
0
tCt

12

3．一质点从静止(t = 0)出发，沿半径为R = 3 m的圆周运动，切向加速度大小保持不变 ，
为
a


3ms
-2
，在t时刻，其总加速 度
a
恰与半径成45°角，此时t = 1s 。
解：由切向加 速度定义
a


dv
，分离变量积分
dt
2
v
2
a

t
2

法向加速度
a
n


RR

由题意
a
与半径 成45°角知：
a
n
a


由此式解得
t
v
0
dv

a

dt
得质点运动 速率
va

t

0
t
R3
1(s)

a
t
3



4．轮船在水上以相对于水的速度
v
1
航行，水流速 度为
v
2
，一人相对于甲板以速度
v
3
行

走．如果人相对于岸静止，则
v
1
、
v
2
和
v
3
的关系是___________________。

解：
v
1
v
2
v
3
0

5. 试说明质点作何种运动时，将出现下述各种情况（v≠0）：
（A）< br>a

（B）
a

（C）
a

0, a
n
0
； 变速曲线运动 。
0, a
n
0
； 变速直线运动 。
0, a
n
0
； 匀速曲线运动 。
解：由切向加速度和法向加速度的定义知：
（A）为变速曲线运动，（B）为变速直线
运动，（ C）为匀速曲线运动
。


6.某发动机工作时，主轴边缘一点作圆周运动 的运动方程为

t
3
3t
2
4t3
（SI ）,当
t2s
时，该点的角速度为 ，角加速度为 。
解：由运动学方程

t
3
3t
2
4t3< br>，得边缘一点的角速度和角加速度分别为：
d

d

3t
2
6t4


6t6
，将
t2s
代入得到
dtdt
2

28rad.s
1


18rad.s





四、计算题:

1． 一质点沿x轴运动，坐标与时间的变化关系为x＝4t－2t
3
（SI制），试计算
⑴ 在最初2s内的平均速度及2s末的瞬时速度；
⑵ 1s末到3s末的位移和平均速度；
⑶ 1s末到3s末的平均加速度。此平均加速度是否可 以用a=(a
1
+a
2
)2计算；
⑷ 3s末的瞬时加速度。

解：x＝4t－2t
3
，
v
x

dv
dx
46t
2
，
ax

x
12t

dt
dt
（1）在最初2s内的平均速度为
xx(2)x(0)(4 222
3
)
v
x
4(ms)

t202
质点的瞬时速度为
v
x

dx
46t
2

dt
2s末的瞬时速度为
v
x
(2)462
2
20(ms)

（2）1s末到3s末的位移为
xx(3)x(1)(4323
3< br>)(4121
3
)44(m)

1s末到3s末的平均速度为

v
x

xx(3) x(1)44
22(ms)

t312
（3）1s末到3s末的平均加速度为
vv(3)v(1)(4 63
2
)(461
2
)
a
x
2 4(ms
2
)

t312
如果用
a
a
1
a
2
dv
x
12t
， 来算，由
ax

2dt
2
1s末的加速度即为
t1s
时的加速度 ：
a
2
12112ms

3s末的加速度即为
t 3s
时的加速度：
a
4
12336ms

2< br>a
a
2
a
4
24ms
2
，与按照定 义来算的相同，此处可以这样来计算。
2
a
1
a
2
计算 。因为此方法只适用于加速度是时间的线性
2
不过，最好不要用
a
函数情形 。

（4）质点的瞬时加速度为
a
x

dv
x
12t

dt
3s末的瞬时加速度为
a
x
(3)12336(ms
2
)


2．一物体悬挂在弹簧上作竖直振动，其加速度为
aky
，式中
k
为常数，
y
是以平
衡位置为原点所测得的坐标，假定振动的物体在坐标
y< br>0
处的速度为
v
0
，试求：速度v与
坐标
y
的函数关系式。
解：加速度
a
dvdvdydv
vky
，分离变量积分得
dtdydtdy


v
v0
vdv

kydy
y
0
y
所以速度v与 坐标
y
的函数关系式为




2
1
2
11
22
vv
0
ky
0< br>ky
2
222


v
2
v
0
ky
0
y
2
< br>
2


3．静止时，乘客发现雨滴下落方向偏向车头，偏角为3 0°; 当火车以
v35ms
的速
率沿水平直路行驶时，车上乘客发现雨滴下落方 向偏向车尾，偏角为45．假设雨滴相对
于地的速度保持不变，试计算雨滴相对地的速度大小．
-1
批改时请注意：第一个式子的矢量符号！


解：由相对 速度公式：
v
雨地
v
雨车
v
车地

矢量图如图所示，在x、y方向投影式为



v
车地
45

30

x
v
雨地
sin30

v
雨车
sin45

 v
车地
35
v
雨地
cos30

v
雨车
cos45

0

v
雨车
联立以上两 式，解得

v
雨地


v
车地
cos30tg45sin30


35
311
22
y

v
雨地

25.

6(ms)

1