各国国旗图片-健康教育教学计划

习题1
1.1选择题
r
(1) 一运动质点在某瞬时位于矢径
r
的端点处，其速度大小为

x

y


drdr
(A) (B)
dt
dt

d|r|
dxdy
(C) (D)
()
2
()
2

dt
dtdt
(2) 一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度
v2ms，瞬时加速度
a2ms
2
，则一
秒钟后质点的速度
(A)等于零 (B)等于-2ms
(C)等于2ms (D)不能确定。
(3) 一质点沿半径为R的圆周作匀速率运动，每t秒转一圈，在2t时间间隔中 ，其
平均速度大小和平均速率大小分别为
2

R2

R2

R
,
(B)
0,

ttt
2

R
,0
(C)
0,0
(D)
t
(A)
1.2填空题
(1) 一质点，以

ms1
的匀速率作半径为5m的圆周运动，则该质点在5s内，位移的大
小是 ；经过的路程是 。

(2) 一质点沿x方向运动，其加速度随时间的变化关系为a=3+2t (SI)，如果初始时刻质
点的速度 v
0
为5m·s
-1
，则当t为3s时，质点的速度v= 。



(3) 轮船在水上以相对于水的速度
V
1< br>航行，水流速度为
V
2
，一人相对于甲板以速度
V
3
行


走。如人相对于岸静止，则
V
1
、
V2
和
V
3
的关系是 。

1.3 一个物体能否被看作质点，你认为主要由以下三个因素中哪个因素决定：

(1) 物体的大小和形状；(2) 物体的内部结构；(3) 所研究问题的性质。



1.4 下面几个质点运动学方程，哪个是匀变速直线运动？
（1）x=4t-3；（2）x =-4t
3
+3t
2
+6；（3）x=-2t
2
+8t+4 ；（4）x=2t
2
-4t。
给出这个匀变速直线运动在t=3s时的速度和加速度 ，并说明该时刻运动是加速
的还是减速的。（x单位为m，t单位为s）




1.5 在以下几种运动中，质点的切向加速度、法向加速度以及加速度哪些为零哪些不
为零？
(1) 匀速直线运动；(2) 匀速曲线运动；(3) 变速直线运动；(4) 变速曲线运动。




1.6 ｜
r
｜与

r

有无不同?
举例说明．



drdrdvdv
和有无不同? 和有无不同?其不同在哪里?试
dtdtdtdt

1.7 设质点的 运动方程为
x
=
x
(
t
)，
y
=
y
(
t
)，在计算质点的速度和加速度时，有人先
dr
d
2
r
求出
r
＝
xy
，然后根据
v
=及< br>a
＝
2
而求得结果；又有人先计算速度和加速度
dt
dt22
的分量，再合成求得结果，即
dx

dy


v
=




，
a
=

dt

dt

22

d
2
x

d
2
y



dt
2




dt
2


你认为两种方法哪一种正确？

22
为什么？两者差别何在？





1.8 一质点在
xOy
平面上运动，运动方程为
x
=3
t
+5,
y
=
1
2
t
+3
t
-4.
2
式中
t
以 s计，
x
,
y
以m计．(1 )以时间
t
为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出
t
=1 s 时刻和
t
＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算
t
＝0 s时刻
到
t
＝4s时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算
t
＝4 s 时质点的速度；
(5)计算
t
＝0s 到
t
＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计
算
t
＝4s 时质点的 加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、
瞬时加速度都表示成直角坐标系中的 矢量式)．

1.9 质点沿
x
轴运动，其加速度和位置的关系为
a
＝2+6
x
2
，
a
的单位为
ms
2
，
x
的单
位为 m. 质点在
x
＝0处，速度为10
ms
,试求质点在任何坐标处的速度值．






1.10 已知一质点作直线运动，其加速度为
a
＝4+3
t

ms
2
，开始运动时，m，
x
＝5
v
=0，
求该质点在
t
＝10s 时的速度和位置．







1.11 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为

=2+3
t
3
，式中
以弧度计，
t
以
秒计，求：(1)
t
＝2 s时，质点的切向和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成45°
角时，其角位移是多少?

1.12 质点沿半 径为
R
的圆周按
s
＝
v
0
tbt
2的规律运动，式中
s
为质点离圆周上某点的
弧长,
v
0
，
b
都是常量，求：(1)
t
时刻质点的加速度；(2)
t
为何值时，加速度在数值上
等于
b
．







1.13 一质点在半径为0.4 m的圆形轨 道上自静止开始作匀角加速度转动，其角加速度为
rad
s
2
，求
t
＝2s时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度．

= 0.2







1.14 一船以速率
v
1
＝30 kmh沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率
v
2
＝40 kmh
1< br>2

沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为多少?在艇上看船的速度又为多少?








答案
（1） D (2)D (3)B
1.2填空题
(1)10m； 5πm]
(2)23m·s
-1


(3)
V1
V
2
V
3
0

1.3 解：只有当物体的尺寸远小于其运动范围时才可忽略其大小的影响，因此主要由所
研究问题的性质决定。

1.4 解：匀变速直线运动即加速度为不等于零的常数时的运动。加速度又是位移对时< br>间的两阶导数。于是可得（3）为匀变速直线运动。
其速度和加速度表达式分别为
v
dx
4t8
dt

2
dx
a< br>2
4
dt
t=3s时的速度和加速度分别为v=20ms，a=4ms
2
。因加速度为正所以是加速的。

1.5 解：(1) 质点作匀速直线运动时，其切向加速度、法向加速度及加速度均为零；
(2) 质点作匀速曲线运动时，其切向加速度为零，法向加速度和加速度均不为零；
(3) 质点作变速直线运动时，其法向加速度为零，切向加速度和加速度均不为零；
(4) 质点作变速曲线运动时，其切向加速度、法向加速度及加速度均不为零。

1.6解：（1）
r
是位移的模，

r
是位矢的模的增量，即
rr2
r
1
，

rr
2
r
1
；
（2）
ds
drdr
是速度的模，即.
v
dt
dtdt

dr
只是速度在径向上的分量.
dt
ˆ
（式中
r
ˆ
叫做单位矢）∵有
rrr，则
ˆ
drdrdr
ˆ
r

r
dtdtdt
式中
dr
就是速度在径向上的分量，
dt
∴
drdr
与
不同如题1.6图所示.
dtdt

题1.6图


dv
dv

dv
(3)表示加速度的模，即
a
，是加速度
a
在切向上的分量.
d t
dtdt
∵有
vv

(

表轨道节线方向单位 矢），所以

dvdv

d



v

dtdtdt
dv
就是加速度的切向分量.
dt

ˆ< br>d

ˆ
dr
(
与
的运算较复杂，超出教材规定，故 不予讨论)
dtdt

式中

1.7 解：后一种方法正确.因 为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有



rxi yj
，


drdx

dy

v ij
dtdtdt


222

dy

drdx
a
2

2
i
2
j
dtdt dt
故它们的模即为

dx

dy

22vv
x
v
y




dt

dt

2
2
x
2
y
22

d
2
x

d
2
y
aaa


dt
2



< br>
dt
2



2

而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作
dr
v
dt
d
2
r
a
2
< br>dt
dr
drd
2
r
其二，可能是将
与
2< br>误作速度与加速度的模。在1.6题中已说明不是速度的模，
dt
dt
dtd
2
r
而只是速度在径向上的分量，同样，
2
也不是加速度的模 ，它只是加速度在径向分量
dt
2

d
2
rd
< br>


中的一部分

a
径

2< br>r


。或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢
r
在 径向（即
dt

dt





量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢
r
及速度
v
的方向随时间的变 化率对速度、

加速度的贡献。


1
2


1.8 解：（1）
r(3t5)i(t3t4)j
m

2
(2)将
t1
,
t2
代入上式即有


r
1
8i0.5j

m



r
2
11i4j
m


rr
2
r
1
3i4.5j
m





(3)∵
r
0
5i4j,r
4
17i16j





rr
r12i20j
< br>
40
3i5jms
1
∴
v
t404



dr
(4)
v3i(t3)jms
1

dt


则
v
4
3i7j

ms
1

(5)∵
v
0
3i3j,v
4
3i7j






v
v
4
v
0
4 j
1j

a
t44
ms
2








dv
(6)
a1jms
2

dt
这说明该点只有
y
方向的加速度，且为恒量。

1.9
解： ∵
a
dvdvdxdv
v

dtdxdtdx
分离变量：
vdvadx(26x
2
)dx

两边积分得
1
2
v2x2x
3
c

2
由题知，
x0
时，
v
0
10
,∴
c50

∴
v2x
3
x25ms
1


1.10 解：∵
a
dv
43t

dt
分离变量，得
dv(43t)dt

积分，得

v4tt
2
c
1

由题知，
t0
,
v
0
0
,∴
c
1
0

3
2
dx3
又因为
v4tt
2

dt2
3
分离变量，
dx(4tt
2
)dt

2
3
2
故
v4tt
2

积分得
x2t
2
t
3
c
2

由题知
t0
,
x
0
5
,∴
c
2
5

故
x2t
2
t
3
5

所以
t10s
时
v
10
410
3
10
2
190ms
1
2

1
x
10
210
2
10
3
5705m
2
1
2
1
2

1.11 解：


d

d

9t
2
,

18t

dtdt
(1)
t2s
时，
a

R

118236ms
2
< br>a
n
R

2
1(92
2
)
2
1296ms
2


(2)当加速度方向与半径成
45
ο
角时，有
tan45
a

1

a
n
即
R

2
R


亦即
(9t
2
)
2
18t

则解得
t
3


于是角位移为

23t
3
232.67rad

2
9
2
9

1.12 解：（1）
v
a


ds
v
0
bt

dt
dv
b
dt

2
2
(vbt)
v
a
n

0
RR
(v
0
bt)
4
则
aa

ab

2
R
22
n
2

加速度与半径的夹角为

arctan
a

Rb


2a
n
(v
0
bt)
(2)由题意应有
(v
0
bt)
4

abb
2
R< br>2
(v
0
bt)
4
4
,(vbt)0
即
bb
0
2
R
22
∴当
t

v
0
时，
ab

b
1.13解：当
t 2s
时，


t
0.220.4

rads
1

则
vR

0.40.4 0.16
ms
1

a
n
R

20.4(0.4)
2
0.064
ms
2

a


R
0.40.20.08
ms
2

2
aa
n
a

2
(0.064)
2
(0.08)
2
0.102ms
2


1.14 解：(1)大船看小艇，则有
v
21
v
2
v
1
，依题意作速度矢量图如题1.14图(a)



题1.14图
2
50kmh
1
由图可知
v
21
v
1
2
v
2
方向北偏西

arctan


v
1
3
arc tan36.87

v
2
4
(2)小艇看大船，则有
v
12
v
1
v
2
，依题意作出速度矢量图如题1.14图 (b)，同上法，得
v
12
50
kmh
1

方向南偏东
36.87
o
.

习题1
1.1选择题
r
(1) 一运动质点在某瞬时位于矢径
r
的端点处，其速度大小为

x

y


drdr
(A) (B)
dt
dt

d|r|
dxdy
(C) (D)
()
2
()
2

dt
dtdt
(2) 一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度
v2ms，瞬时加速度
a2ms
2
，则一
秒钟后质点的速度
(A)等于零 (B)等于-2ms
(C)等于2ms (D)不能确定。
(3) 一质点沿半径为R的圆周作匀速率运动，每t秒转一圈，在2t时间间隔中 ，其
平均速度大小和平均速率大小分别为
2

R2

R2

R
,
(B)
0,

ttt
2

R
,0
(C)
0,0
(D)
t
(A)
1.2填空题
(1) 一质点，以

ms1
的匀速率作半径为5m的圆周运动，则该质点在5s内，位移的大
小是 ；经过的路程是 。

(2) 一质点沿x方向运动，其加速度随时间的变化关系为a=3+2t (SI)，如果初始时刻质
点的速度 v
0
为5m·s
-1
，则当t为3s时，质点的速度v= 。



(3) 轮船在水上以相对于水的速度
V
1< br>航行，水流速度为
V
2
，一人相对于甲板以速度
V
3
行


走。如人相对于岸静止，则
V
1
、
V2
和
V
3
的关系是 。

1.3 一个物体能否被看作质点，你认为主要由以下三个因素中哪个因素决定：

(1) 物体的大小和形状；(2) 物体的内部结构；(3) 所研究问题的性质。



1.4 下面几个质点运动学方程，哪个是匀变速直线运动？
（1）x=4t-3；（2）x =-4t
3
+3t
2
+6；（3）x=-2t
2
+8t+4 ；（4）x=2t
2
-4t。
给出这个匀变速直线运动在t=3s时的速度和加速度 ，并说明该时刻运动是加速
的还是减速的。（x单位为m，t单位为s）




1.5 在以下几种运动中，质点的切向加速度、法向加速度以及加速度哪些为零哪些不
为零？
(1) 匀速直线运动；(2) 匀速曲线运动；(3) 变速直线运动；(4) 变速曲线运动。




1.6 ｜
r
｜与

r

有无不同?
举例说明．



drdrdvdv
和有无不同? 和有无不同?其不同在哪里?试
dtdtdtdt

1.7 设质点的 运动方程为
x
=
x
(
t
)，
y
=
y
(
t
)，在计算质点的速度和加速度时，有人先
dr
d
2
r
求出
r
＝
xy
，然后根据
v
=及< br>a
＝
2
而求得结果；又有人先计算速度和加速度
dt
dt22
的分量，再合成求得结果，即
dx

dy


v
=




，
a
=

dt

dt

22

d
2
x

d
2
y



dt
2




dt
2


你认为两种方法哪一种正确？

22
为什么？两者差别何在？





1.8 一质点在
xOy
平面上运动，运动方程为
x
=3
t
+5,
y
=
1
2
t
+3
t
-4.
2
式中
t
以 s计，
x
,
y
以m计．(1 )以时间
t
为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出
t
=1 s 时刻和
t
＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算
t
＝0 s时刻
到
t
＝4s时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算
t
＝4 s 时质点的速度；
(5)计算
t
＝0s 到
t
＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计
算
t
＝4s 时质点的 加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、
瞬时加速度都表示成直角坐标系中的 矢量式)．

1.9 质点沿
x
轴运动，其加速度和位置的关系为
a
＝2+6
x
2
，
a
的单位为
ms
2
，
x
的单
位为 m. 质点在
x
＝0处，速度为10
ms
,试求质点在任何坐标处的速度值．






1.10 已知一质点作直线运动，其加速度为
a
＝4+3
t

ms
2
，开始运动时，m，
x
＝5
v
=0，
求该质点在
t
＝10s 时的速度和位置．







1.11 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为

=2+3
t
3
，式中
以弧度计，
t
以
秒计，求：(1)
t
＝2 s时，质点的切向和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成45°
角时，其角位移是多少?

1.12 质点沿半 径为
R
的圆周按
s
＝
v
0
tbt
2的规律运动，式中
s
为质点离圆周上某点的
弧长,
v
0
，
b
都是常量，求：(1)
t
时刻质点的加速度；(2)
t
为何值时，加速度在数值上
等于
b
．







1.13 一质点在半径为0.4 m的圆形轨 道上自静止开始作匀角加速度转动，其角加速度为
rad
s
2
，求
t
＝2s时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度．

= 0.2







1.14 一船以速率
v
1
＝30 kmh沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率
v
2
＝40 kmh
1< br>2

沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为多少?在艇上看船的速度又为多少?








答案
（1） D (2)D (3)B
1.2填空题
(1)10m； 5πm]
(2)23m·s
-1


(3)
V1
V
2
V
3
0

1.3 解：只有当物体的尺寸远小于其运动范围时才可忽略其大小的影响，因此主要由所
研究问题的性质决定。

1.4 解：匀变速直线运动即加速度为不等于零的常数时的运动。加速度又是位移对时< br>间的两阶导数。于是可得（3）为匀变速直线运动。
其速度和加速度表达式分别为
v
dx
4t8
dt

2
dx
a< br>2
4
dt
t=3s时的速度和加速度分别为v=20ms，a=4ms
2
。因加速度为正所以是加速的。

1.5 解：(1) 质点作匀速直线运动时，其切向加速度、法向加速度及加速度均为零；
(2) 质点作匀速曲线运动时，其切向加速度为零，法向加速度和加速度均不为零；
(3) 质点作变速直线运动时，其法向加速度为零，切向加速度和加速度均不为零；
(4) 质点作变速曲线运动时，其切向加速度、法向加速度及加速度均不为零。

1.6解：（1）
r
是位移的模，

r
是位矢的模的增量，即
rr2
r
1
，

rr
2
r
1
；
（2）
ds
drdr
是速度的模，即.
v
dt
dtdt

dr
只是速度在径向上的分量.
dt
ˆ
（式中
r
ˆ
叫做单位矢）∵有
rrr，则
ˆ
drdrdr
ˆ
r

r
dtdtdt
式中
dr
就是速度在径向上的分量，
dt
∴
drdr
与
不同如题1.6图所示.
dtdt

题1.6图


dv
dv

dv
(3)表示加速度的模，即
a
，是加速度
a
在切向上的分量.
d t
dtdt
∵有
vv

(

表轨道节线方向单位 矢），所以

dvdv

d



v

dtdtdt
dv
就是加速度的切向分量.
dt

ˆ< br>d

ˆ
dr
(
与
的运算较复杂，超出教材规定，故 不予讨论)
dtdt

式中

1.7 解：后一种方法正确.因 为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有



rxi yj
，


drdx

dy

v ij
dtdtdt


222

dy

drdx
a
2

2
i
2
j
dtdt dt
故它们的模即为

dx

dy

22vv
x
v
y




dt

dt

2
2
x
2
y
22

d
2
x

d
2
y
aaa


dt
2



< br>
dt
2



2

而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作
dr
v
dt
d
2
r
a
2
< br>dt
dr
drd
2
r
其二，可能是将
与
2< br>误作速度与加速度的模。在1.6题中已说明不是速度的模，
dt
dt
dtd
2
r
而只是速度在径向上的分量，同样，
2
也不是加速度的模 ，它只是加速度在径向分量
dt
2

d
2
rd
< br>


中的一部分

a
径

2< br>r


。或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢
r
在 径向（即
dt

dt





量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢
r
及速度
v
的方向随时间的变 化率对速度、

加速度的贡献。


1
2


1.8 解：（1）
r(3t5)i(t3t4)j
m

2
(2)将
t1
,
t2
代入上式即有


r
1
8i0.5j

m



r
2
11i4j
m


rr
2
r
1
3i4.5j
m





(3)∵
r
0
5i4j,r
4
17i16j





rr
r12i20j
< br>
40
3i5jms
1
∴
v
t404



dr
(4)
v3i(t3)jms
1

dt


则
v
4
3i7j

ms
1

(5)∵
v
0
3i3j,v
4
3i7j






v
v
4
v
0
4 j
1j

a
t44
ms
2








dv
(6)
a1jms
2

dt
这说明该点只有
y
方向的加速度，且为恒量。

1.9
解： ∵
a
dvdvdxdv
v

dtdxdtdx
分离变量：
vdvadx(26x
2
)dx

两边积分得
1
2
v2x2x
3
c

2
由题知，
x0
时，
v
0
10
,∴
c50

∴
v2x
3
x25ms
1


1.10 解：∵
a
dv
43t

dt
分离变量，得
dv(43t)dt

积分，得

v4tt
2
c
1

由题知，
t0
,
v
0
0
,∴
c
1
0

3
2
dx3
又因为
v4tt
2

dt2
3
分离变量，
dx(4tt
2
)dt

2
3
2
故
v4tt
2

积分得
x2t
2
t
3
c
2

由题知
t0
,
x
0
5
,∴
c
2
5

故
x2t
2
t
3
5

所以
t10s
时
v
10
410
3
10
2
190ms
1
2

1
x
10
210
2
10
3
5705m
2
1
2
1
2

1.11 解：


d

d

9t
2
,

18t

dtdt
(1)
t2s
时，
a

R

118236ms
2
< br>a
n
R

2
1(92
2
)
2
1296ms
2


(2)当加速度方向与半径成
45
ο
角时，有
tan45
a

1

a
n
即
R

2
R


亦即
(9t
2
)
2
18t

则解得
t
3


于是角位移为

23t
3
232.67rad

2
9
2
9

1.12 解：（1）
v
a


ds
v
0
bt

dt
dv
b
dt

2
2
(vbt)
v
a
n

0
RR
(v
0
bt)
4
则
aa

ab

2
R
22
n
2

加速度与半径的夹角为

arctan
a

Rb


2a
n
(v
0
bt)
(2)由题意应有
(v
0
bt)
4

abb
2
R< br>2
(v
0
bt)
4
4
,(vbt)0
即
bb
0
2
R
22
∴当
t

v
0
时，
ab

b
1.13解：当
t 2s
时，


t
0.220.4

rads
1

则
vR

0.40.4 0.16
ms
1

a
n
R

20.4(0.4)
2
0.064
ms
2

a


R
0.40.20.08
ms
2

2
aa
n
a

2
(0.064)
2
(0.08)
2
0.102ms
2


1.14 解：(1)大船看小艇，则有
v
21
v
2
v
1
，依题意作速度矢量图如题1.14图(a)



题1.14图
2
50kmh
1
由图可知
v
21
v
1
2
v
2
方向北偏西

arctan


v
1
3
arc tan36.87

v
2
4
(2)小艇看大船，则有
v
12
v
1
v
2
，依题意作出速度矢量图如题1.14图 (b)，同上法，得
v
12
50
kmh
1

方向南偏东
36.87
o
.