山西人事人才网-幼儿园中班教学计划

[习题解答]


2
5-1 作定轴转动的刚体上各点的法向加速度，既可写为
a
n
= vR
，这表示法 向加速度的大小与
刚体上各点到转轴的距离
R
成反比；也可以写为
a
n
=

R
，这表示法向加速度的大小与刚体上各点到
转轴的距离
R
成正比。这两者是否有矛盾？为什么？
2
解 没有矛盾。根据公式 ， 说法向加速度的大小与刚体上各点到转轴的距离
R
成反
，说法向加速度的大小与刚体上 各比，是有条件的，这个条件就是保持
v
不变；根据公式
点到转轴的距离
R
成正比，也是有条件的，条件就是保持

不变。
5-2一个圆盘绕通过其中心并与盘面相垂直的轴作定轴转动，当圆盘分别在恒定角速度和恒定角
加速度两种情况下转动时，圆盘边缘上的点是否都具有法向加速度和切向加速度？数值是恒定的还是
变 化的？
解

(1)当角速度

一定时，切向速度 也是一定的，所以切向加速度

,
即不具有切向加速度。而此时法向加速度
,
可见是恒定的。
(2)当角加速度一定时，即 恒定，于是可以得到
,
这表示角速度是随时间变化的。由此可得

.
切向加速度为
,
这表示切向加速度是恒定的。法向加速度为
,
显然是时间的函数。
5-3 原来静止的电机皮带轮在接通电源后作匀变速转动，
30

s
后转速达到152 rad
s
1
。求：
(1)在这
30 s
内电机皮带轮转过的转数；
(2)接通电源后
20 s
时皮带轮的角速度；
(3)接通电源后
20 s
时皮带轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度， 已知皮带轮的半
径为
5.0 cm
。
解
(1)根据题意，皮带轮是在作匀角加速转动，角加速度为
.
在
30 s
内转过的角位移为
.
在
30 s
内转过的转数为
.

(2)在
t = 20 s
时其角速度为
.
(3)在
t = 20 s
时，在皮带轮边缘上
r = 5.0 cm
处的线速度为
,
切向加速度为
,
法向加速度为
.
5-4 一飞轮的转速为
250 rad

s
1
，开始制动后作匀变速转动，经过
90 s
停止。求开始制动后转
过
3.14
10
3
rad时的角速度。
解 飞轮作匀变速转动， ，经过
90 s
， ，所以角加速度为
.
从制动到转过 ，角速度由

0
变为

，

应满足
.
所以
.
5-5 分别求出质量为
m = 0.50 kg
、半径为
r = 36 cm
的金属细圆环和薄圆盘相对于通过其中心
并 垂直于环面和盘面的轴的转动惯量；如果它们的转速都是105 rad
s
1
，它们的转动动能各为多大？

解
(1)细圆环：相对于通过其中心并垂直于环面的轴的转动惯量为
,
转动动能为
.
(2)相对于通过其中心并垂直于盘面的轴的转动惯量为
,
转动动能为
.
5-6 转动惯量为
20 kg

m
、直径为
50 cm
的飞轮以105 rad
s
1
的角速度旋转。现用闸瓦将其制
动，闸瓦对飞轮的正压力为
400 N
，闸瓦与飞轮之间的摩擦系数为
0.50
。求：
2
(1)闸瓦作用于飞轮的摩擦力矩；
(2)从开始制动到停止，飞轮转过的转数和经历的时间；
(3)摩擦力矩所作的功。
解
(1)闸瓦作用于飞轮的摩擦力矩的大小为
.
(2)从开始制动到停止，飞轮的角加速度

可由转动定理求得

,
根据
,
所以飞轮转过的角度为
,
飞轮转过的转数为
.
因为
,
所以飞轮从开始制动到停止所经历的时间为
.
(3)摩擦力矩所作的功为
.
5-7 轻绳跨过一个质量为
M
的圆盘状定滑轮，其一端悬挂一质量为< br>m
的物体，另一端施加一竖
直向下的拉力
F
，使定滑轮按逆时针方向转 动，如图5-7所示。如果滑轮的半径为
r
，求物体与滑轮之
间的绳子张力和物体上升 的加速度。

解 取定滑轮的转轴为
z
轴，
z
轴的方 向垂直与纸面并指向读者。根据牛顿
第二定律和转动定理可以列出下面的方程组
,
,
,
图5-7
.
其中 ，于是可以解得
,
.
5-8 一根质量为
m
、长为
l
的均匀细棒，在竖直 平面内绕通过其一端并与棒垂直的水平轴转动，
如图5-8所示。现使棒从水平位置自由下摆，求：
(1)开始摆动时的角加速度；
(2)摆到竖直位置时的角速度。
解
(1)开始摆动时的角加速度：此时细棒处于水平位置，所受重力矩
图5-8
的大小为
,
相对于轴的转动惯量为

,
于是，由转动定理可以求得
.
(2)设摆动到竖直位置时的角速度为

，根据机械能守恒，有
,
由此得
.
5-9 如果由于温室效应，地球大气变暖，致使两极冰山熔化，对地球自转有何影响？为什么？
解 地球自转变慢。这是因为冰山融化，水向赤道聚集，地球的转动惯量增大，地球的自转角动
量守恒，即
J

=
恒量
.

所以角速度变小了。
5-10 一水平放置的圆盘绕竖直轴旋转，角速度为

1
，它相对于此轴的转动惯量为
J
1
。现在它的
正上方有一个以角速度为

2
转动的圆盘，这个圆盘相 对于其对称轴的转动惯量为
J
2
。两圆盘相平行，
圆心在同一条竖直线上。上 盘的底面有销钉，如果上盘落下，销钉将嵌入下盘，使两盘合成一体。
(1)求两盘合成一体后的角速度；
(2)求上盘落下后两盘总动能的改变量；
(3)解释动能改变的原因。

解
(1)将两个圆盘看为一个系统，这个系统不受外力矩的作用，总角动量守恒，即
,
所以合成一体后的角速度为
.
(2)上盘落下后两盘总动能的改变量为

.
(3)动能减少是由于两盘合成一体时剧烈摩擦，致使一部分动能转变为热能。
5-11 一均匀木棒质量为
m
1
= 1.0 kg
、长为
l = 40 cm
，可绕通过其中心并与棒垂直的轴转动。
一质量为
m
2
= 10 g
的子弹以
v = 200 m

s
1
的速率射向棒端 ，并嵌入棒内。设子弹的运动方向与棒和
转轴相垂直，求棒受子弹撞击后的角速度。
解 将木棒和子弹看为一个系统，该系统不受外力矩的作用，所以系统的角动量守恒，即
, (1) 其中
J
1
是木棒相对于通过其中心并与棒垂直的轴的转动惯量，
J
2
是子弹相对于同一轴的转动惯
量，它们分别为
, . (2)
将式(2)代入式(1)，得

.
5-12 有一质量为
M
且分布均匀的飞轮，半径为
R
，正在以角速度

旋转着，突然有一质 量为m
的小碎块从飞轮边缘飞出，方向正好竖直向上。试求：
(1)小碎块上升的高度；
(2)余下部分的角速度、角动量和转动动能
(
忽略重力矩的影响
)
。
解
(1)小碎块离开飞轮时的初速为
,
于是它上升的高度为
.
(2)小碎块离开飞轮前、后系统不受外力 矩的作用，所以总角动量守恒。小碎块离开飞轮前，飞轮
的角动量就是系统的总角动量，为
；
飞轮破裂后，小碎块相对于转轴的转动惯量为
,
角动量为
.
碎轮的角动量为

,
式中

2
是碎轮的角速度。总角动量守恒，L
= L
1
+ L
2
，即
,
整理后为
,
所以
.
这表明飞轮破碎后其角速度不变。
碎轮的角动量为
.
碎轮的转动动能为
.
5-15 有一个长方体形的水库，长
200 m
，宽150 m，
水深10 m，求水对水库底面和侧面的压力。
解
图5-9
水对水库底面的压力为

侧面的压力应如下求得 ：在侧面上建立如图5-9所示的坐标系，在
y
处取侧面窄条
dy
，此侧面窄
条所受的压力为
,
整个侧面所受的压力可以表示为
.
对于
h = 10 m
、
l = 200 m
的侧面：
.
对于
h = 10 m
、
l = 150 m
的侧面：
.
侧面的总压力为
.
5-16 在
5.0
10
3 s的时间内通过管子截面的二氧化碳气体
(
看作为理想流体
)
的质量为< br>0.51 kg
。已
知该气体的密度为
7.5 kg

m

，管子的直径为
2.0 cm
，求二氧化碳气体在管子里的平均流速。
3
解 单位时间内流过管子截面的二氧化碳气体的体积，即流量为
,
平均流速为
.

5-17 当水从水笼头缓慢流出而自由下落时，水流随位置的下降
而变细，何 故？如果水笼头管口的内直径为
d
，水流出的速率为
v
0
，
求在水笼头出口以下
h
处水流的直径。
解 当水从水笼头缓慢流 出时，可以认为是定常流动，遵从连续
性方程，即流速与流管的截面积成反比，所以水流随位置的下降而 变
细，如图5-10所示。
图5-10
可以认为水从笼头流出后各处都是大气压，伯努利方程可以写为
,
改写为
, (1)

.
这表示水流随位置的下降，流速逐渐增大。整个水流 可以认为是一个大流管，
h
1
处的流量应等于
h
2
处的流量 ，即
. (2)
由于
,
所以必定有
,
这表示水流随位置的下降而变细。

根据题意， ， ，
h
2
处的流速为
v
2
，代入式(1)，得
,
即
.(3)
将式(3)代入式(2)，得
,
式中
d
1
= d
，
d
2
就是在水笼头出 口以下
h
处水流的直径。上式可化为
.
从上式可解得
.
5-19 文丘里流量计是由一根粗细不均匀的管子做成的，
粗部和细部分别接有一根竖直的细 管，如图5-11所示。在测
量时，将它水平地接在管道上。当管中有液体流动时，两竖直
管中 的液体会出现高度差
h
。如果粗部和细部的横截面积分别
为S
A
和< br>S
B
，试计算流量和粗、细两处的流速。
图5-11
解 取沿管轴 的水平流线
AB(
如图5-11中虚线所示
)
，并
且
A、
B
两点分别对应两竖直管的水平位置，可以列出下面的伯努利方程
,
改写为

,
即
.(1)
另有连续性方程
. (2)
以上两式联立，可解得
,
,
流量为
.
5-20 利用压缩空气将水从一个密封容器内通过管子压出，如
图5-12所示。如果管口高 出容器内液面
0.65 m
，并要求管口的流
速为1.5 m
s
1
。求容器内空气的压强。
解 取如图5-12中虚线
AB
所示的流线，并运用伯努利方程
图5-12
,
可以认为
,

所以


.
5-21 用图5-5所示的虹吸管将容器中的水吸出。如果管内液体作定常流动，求：
(1)虹吸管内液体的流速；
(2)虹吸管最高点
B
的压强；
(3) B
点距离液面的最大高度。
解 此题的解答见上面
[
例题分析
]
中的例题5-4。
5-23 从油槽经过1.2 km长的钢管将油输送到储油罐中，已知钢管的内直径为12 cm， 油的黏度
系数为 0.32 Pas，密度为 0.91 gcm
3
，如果要维持 5.210
2
m
3
s
1
的流量，试问油泵的功率应为
多大？
解 首先根据泊肃叶公式求出油被输送到1.2 km处所需要的压强差
.
为保持一定的流量，油泵的功率为
.

[习题解答]


2
5-1 作定轴转动的刚体上各点的法向加速度，既可写为
a
n
= vR
，这表示法 向加速度的大小与
刚体上各点到转轴的距离
R
成反比；也可以写为
a
n
=

R
，这表示法向加速度的大小与刚体上各点到
转轴的距离
R
成正比。这两者是否有矛盾？为什么？
2
解 没有矛盾。根据公式 ， 说法向加速度的大小与刚体上各点到转轴的距离
R
成反
，说法向加速度的大小与刚体上 各比，是有条件的，这个条件就是保持
v
不变；根据公式
点到转轴的距离
R
成正比，也是有条件的，条件就是保持

不变。
5-2一个圆盘绕通过其中心并与盘面相垂直的轴作定轴转动，当圆盘分别在恒定角速度和恒定角
加速度两种情况下转动时，圆盘边缘上的点是否都具有法向加速度和切向加速度？数值是恒定的还是
变 化的？
解

(1)当角速度

一定时，切向速度 也是一定的，所以切向加速度

,
即不具有切向加速度。而此时法向加速度
,
可见是恒定的。
(2)当角加速度一定时，即 恒定，于是可以得到
,
这表示角速度是随时间变化的。由此可得

.
切向加速度为
,
这表示切向加速度是恒定的。法向加速度为
,
显然是时间的函数。
5-3 原来静止的电机皮带轮在接通电源后作匀变速转动，
30

s
后转速达到152 rad
s
1
。求：
(1)在这
30 s
内电机皮带轮转过的转数；
(2)接通电源后
20 s
时皮带轮的角速度；
(3)接通电源后
20 s
时皮带轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度， 已知皮带轮的半
径为
5.0 cm
。
解
(1)根据题意，皮带轮是在作匀角加速转动，角加速度为
.
在
30 s
内转过的角位移为
.
在
30 s
内转过的转数为
.

(2)在
t = 20 s
时其角速度为
.
(3)在
t = 20 s
时，在皮带轮边缘上
r = 5.0 cm
处的线速度为
,
切向加速度为
,
法向加速度为
.
5-4 一飞轮的转速为
250 rad

s
1
，开始制动后作匀变速转动，经过
90 s
停止。求开始制动后转
过
3.14
10
3
rad时的角速度。
解 飞轮作匀变速转动， ，经过
90 s
， ，所以角加速度为
.
从制动到转过 ，角速度由

0
变为

，

应满足
.
所以
.
5-5 分别求出质量为
m = 0.50 kg
、半径为
r = 36 cm
的金属细圆环和薄圆盘相对于通过其中心
并 垂直于环面和盘面的轴的转动惯量；如果它们的转速都是105 rad
s
1
，它们的转动动能各为多大？

解
(1)细圆环：相对于通过其中心并垂直于环面的轴的转动惯量为
,
转动动能为
.
(2)相对于通过其中心并垂直于盘面的轴的转动惯量为
,
转动动能为
.
5-6 转动惯量为
20 kg

m
、直径为
50 cm
的飞轮以105 rad
s
1
的角速度旋转。现用闸瓦将其制
动，闸瓦对飞轮的正压力为
400 N
，闸瓦与飞轮之间的摩擦系数为
0.50
。求：
2
(1)闸瓦作用于飞轮的摩擦力矩；
(2)从开始制动到停止，飞轮转过的转数和经历的时间；
(3)摩擦力矩所作的功。
解
(1)闸瓦作用于飞轮的摩擦力矩的大小为
.
(2)从开始制动到停止，飞轮的角加速度

可由转动定理求得

,
根据
,
所以飞轮转过的角度为
,
飞轮转过的转数为
.
因为
,
所以飞轮从开始制动到停止所经历的时间为
.
(3)摩擦力矩所作的功为
.
5-7 轻绳跨过一个质量为
M
的圆盘状定滑轮，其一端悬挂一质量为< br>m
的物体，另一端施加一竖
直向下的拉力
F
，使定滑轮按逆时针方向转 动，如图5-7所示。如果滑轮的半径为
r
，求物体与滑轮之
间的绳子张力和物体上升 的加速度。

解 取定滑轮的转轴为
z
轴，
z
轴的方 向垂直与纸面并指向读者。根据牛顿
第二定律和转动定理可以列出下面的方程组
,
,
,
图5-7
.
其中 ，于是可以解得
,
.
5-8 一根质量为
m
、长为
l
的均匀细棒，在竖直 平面内绕通过其一端并与棒垂直的水平轴转动，
如图5-8所示。现使棒从水平位置自由下摆，求：
(1)开始摆动时的角加速度；
(2)摆到竖直位置时的角速度。
解
(1)开始摆动时的角加速度：此时细棒处于水平位置，所受重力矩
图5-8
的大小为
,
相对于轴的转动惯量为

,
于是，由转动定理可以求得
.
(2)设摆动到竖直位置时的角速度为

，根据机械能守恒，有
,
由此得
.
5-9 如果由于温室效应，地球大气变暖，致使两极冰山熔化，对地球自转有何影响？为什么？
解 地球自转变慢。这是因为冰山融化，水向赤道聚集，地球的转动惯量增大，地球的自转角动
量守恒，即
J

=
恒量
.

所以角速度变小了。
5-10 一水平放置的圆盘绕竖直轴旋转，角速度为

1
，它相对于此轴的转动惯量为
J
1
。现在它的
正上方有一个以角速度为

2
转动的圆盘，这个圆盘相 对于其对称轴的转动惯量为
J
2
。两圆盘相平行，
圆心在同一条竖直线上。上 盘的底面有销钉，如果上盘落下，销钉将嵌入下盘，使两盘合成一体。
(1)求两盘合成一体后的角速度；
(2)求上盘落下后两盘总动能的改变量；
(3)解释动能改变的原因。

解
(1)将两个圆盘看为一个系统，这个系统不受外力矩的作用，总角动量守恒，即
,
所以合成一体后的角速度为
.
(2)上盘落下后两盘总动能的改变量为

.
(3)动能减少是由于两盘合成一体时剧烈摩擦，致使一部分动能转变为热能。
5-11 一均匀木棒质量为
m
1
= 1.0 kg
、长为
l = 40 cm
，可绕通过其中心并与棒垂直的轴转动。
一质量为
m
2
= 10 g
的子弹以
v = 200 m

s
1
的速率射向棒端 ，并嵌入棒内。设子弹的运动方向与棒和
转轴相垂直，求棒受子弹撞击后的角速度。
解 将木棒和子弹看为一个系统，该系统不受外力矩的作用，所以系统的角动量守恒，即
, (1) 其中
J
1
是木棒相对于通过其中心并与棒垂直的轴的转动惯量，
J
2
是子弹相对于同一轴的转动惯
量，它们分别为
, . (2)
将式(2)代入式(1)，得

.
5-12 有一质量为
M
且分布均匀的飞轮，半径为
R
，正在以角速度

旋转着，突然有一质 量为m
的小碎块从飞轮边缘飞出，方向正好竖直向上。试求：
(1)小碎块上升的高度；
(2)余下部分的角速度、角动量和转动动能
(
忽略重力矩的影响
)
。
解
(1)小碎块离开飞轮时的初速为
,
于是它上升的高度为
.
(2)小碎块离开飞轮前、后系统不受外力 矩的作用，所以总角动量守恒。小碎块离开飞轮前，飞轮
的角动量就是系统的总角动量，为
；
飞轮破裂后，小碎块相对于转轴的转动惯量为
,
角动量为
.
碎轮的角动量为

,
式中

2
是碎轮的角速度。总角动量守恒，L
= L
1
+ L
2
，即
,
整理后为
,
所以
.
这表明飞轮破碎后其角速度不变。
碎轮的角动量为
.
碎轮的转动动能为
.
5-15 有一个长方体形的水库，长
200 m
，宽150 m，
水深10 m，求水对水库底面和侧面的压力。
解
图5-9
水对水库底面的压力为

侧面的压力应如下求得 ：在侧面上建立如图5-9所示的坐标系，在
y
处取侧面窄条
dy
，此侧面窄
条所受的压力为
,
整个侧面所受的压力可以表示为
.
对于
h = 10 m
、
l = 200 m
的侧面：
.
对于
h = 10 m
、
l = 150 m
的侧面：
.
侧面的总压力为
.
5-16 在
5.0
10
3 s的时间内通过管子截面的二氧化碳气体
(
看作为理想流体
)
的质量为< br>0.51 kg
。已
知该气体的密度为
7.5 kg

m

，管子的直径为
2.0 cm
，求二氧化碳气体在管子里的平均流速。
3
解 单位时间内流过管子截面的二氧化碳气体的体积，即流量为
,
平均流速为
.

5-17 当水从水笼头缓慢流出而自由下落时，水流随位置的下降
而变细，何 故？如果水笼头管口的内直径为
d
，水流出的速率为
v
0
，
求在水笼头出口以下
h
处水流的直径。
解 当水从水笼头缓慢流 出时，可以认为是定常流动，遵从连续
性方程，即流速与流管的截面积成反比，所以水流随位置的下降而 变
细，如图5-10所示。
图5-10
可以认为水从笼头流出后各处都是大气压，伯努利方程可以写为
,
改写为
, (1)

.
这表示水流随位置的下降，流速逐渐增大。整个水流 可以认为是一个大流管，
h
1
处的流量应等于
h
2
处的流量 ，即
. (2)
由于
,
所以必定有
,
这表示水流随位置的下降而变细。

根据题意， ， ，
h
2
处的流速为
v
2
，代入式(1)，得
,
即
.(3)
将式(3)代入式(2)，得
,
式中
d
1
= d
，
d
2
就是在水笼头出 口以下
h
处水流的直径。上式可化为
.
从上式可解得
.
5-19 文丘里流量计是由一根粗细不均匀的管子做成的，
粗部和细部分别接有一根竖直的细 管，如图5-11所示。在测
量时，将它水平地接在管道上。当管中有液体流动时，两竖直
管中 的液体会出现高度差
h
。如果粗部和细部的横截面积分别
为S
A
和< br>S
B
，试计算流量和粗、细两处的流速。
图5-11
解 取沿管轴 的水平流线
AB(
如图5-11中虚线所示
)
，并
且
A、
B
两点分别对应两竖直管的水平位置，可以列出下面的伯努利方程
,
改写为

,
即
.(1)
另有连续性方程
. (2)
以上两式联立，可解得
,
,
流量为
.
5-20 利用压缩空气将水从一个密封容器内通过管子压出，如
图5-12所示。如果管口高 出容器内液面
0.65 m
，并要求管口的流
速为1.5 m
s
1
。求容器内空气的压强。
解 取如图5-12中虚线
AB
所示的流线，并运用伯努利方程
图5-12
,
可以认为
,

所以


.
5-21 用图5-5所示的虹吸管将容器中的水吸出。如果管内液体作定常流动，求：
(1)虹吸管内液体的流速；
(2)虹吸管最高点
B
的压强；
(3) B
点距离液面的最大高度。
解 此题的解答见上面
[
例题分析
]
中的例题5-4。
5-23 从油槽经过1.2 km长的钢管将油输送到储油罐中，已知钢管的内直径为12 cm， 油的黏度
系数为 0.32 Pas，密度为 0.91 gcm
3
，如果要维持 5.210
2
m
3
s
1
的流量，试问油泵的功率应为
多大？
解 首先根据泊肃叶公式求出油被输送到1.2 km处所需要的压强差
.
为保持一定的流量，油泵的功率为
.