泗阳教育局-开卷有益辩论

习题1
1.1选择题
(1) 一运动质点在某瞬时位于矢径
r(x,y)
的端点处，其速度大小为 （ ）


drdr
(A) (B)
dt
dt

d|r|
dx
2
dy
2
(C) (D)
()()

dt
dtdt
答案：(D)。

2
(2) 一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度
v2ms
，瞬时加速度< br>a2ms
，则
一秒钟后质点的速度 （ ）
(A)等于零 (B)等于-2ms
(C)等于2ms (D)不能确定。
答案：(D)。

(3) 一质点沿半径为R的圆周作匀速率运 动，每t秒转一圈，在2t时间间隔中，其平均
速度大小和平均速率大小分别为 （ ）
2

R2

R2

R
,
(B)
0,

ttt
2

R
,0
(C)
0,0
(D)
t
(A)
答案：(B)。

(4) 质点作曲线运动，
r
表示位置矢量，
v
表示速度，
a
表示加速度，S表示路程，
a

表示切向加速度，下列表达式中， （ ）
①
dvd ta
， ②
drdtv
，
③
dSd tv
， ④
dvdta

．
(A) 只有①、④是对的．
(B) 只有②、④是对的．
(C) 只有②是对的．
(D) 只有③是对的．
答案：(D)。


(5)一质点在平面上作一般曲线运动，其瞬时速度为
v
，瞬时速率为，某一时间内的平
均速度为
v
，平均速率为
v
，它们之间的关系必定有： （ ）
（A）
vv,vv
（B）
vv,vv









（C ）
vv,vv
（D）
vv,vv

答案：(D)。


1.2填空题
(1) 一质点，以

ms
的匀速率作半径为5m的圆周运动，则该质点在5s内，位移的大小
是 ；经过的路程是 。
答案： 10m； 5πm。

(2) 一质点沿x方向运动，其加速度随时间的变化关系为a=3+2t (SI)，如果初始时刻质点的
速度 v
0
为5m·s
-1
，则当t为3s时，质点的速度v= 。
答案： 23m·s
-1
.

(3) 一质点从静止出发沿半径R=1 m的圆周运动，其角加速度随时间t的变化规律是
α=12t
2
-6t (SI)，则质点的角速度 =__________________；切向加速度
a


=_________________．
答案：
4t-3t (rads)， 12t-6t (ms)


(4) 一质点作直线运动，其坐标x与时间t的关系曲线如题1.2(4)图所示．则该质点在第___
秒瞬时速度为零；在第 秒至第 秒间速度与加速度同方向．
3222
1


5
x (m)
t (s)
O
1 2 3 4 5 6
题1.2(4)图

答案：
3, 3 6;


(5) 一质点其速率表示式为
为 。
答案：
2s(1s
2

v1 s
2
，则在任一位置处其切向加速度
a

)


1.3 下面几个质点运动学方程，哪个是匀变速直线运动？
（1）x=4t-3；（2）x =-4t
3
+3t
2
+6；（3）x=-2t
2
+8t+4 ；（4）x=2t
2
-4t。
给出这个匀变速直线运动在t=3s时的速度和加速度 ，并说明该时刻运动是加速的还
是减速的。（x单位为m，t单位为s）

解： 匀变速直线运动即加速度为不等于零的常数时的运动。加速度又是位移对时间
的两阶导数。于是可得（3 ）为匀变速直线运动。
其速度和加速度表达式分别为
v
dx
4t8
dt

d
2
x
a
2
4
dt
t=3s时的速度和加速度分别为v=20ms，a=4m s
2
。因加速度为正所以是加速的。

1.4 在以下几种运动中，质点的切向加速度、法向加速度以及加速度哪些为零？哪些不为
零？
(1) 匀速直线运动；(2) 匀速曲线运动；(3) 变速直线运动；(4) 变速曲线运动。
解：(1) 质点作匀速直线运动时，其切向加速度、法向加速度及加速度均为零；
(2) 质点作匀速曲线运动时，其切向加速度为零，法向加速度和加速度均不为零；
(3) 质点作变速直线运动时，其法向加速度为零，切向加速度和加速度均不为零；
(4) 质点作变速曲线运动时，其切向加速度、法向加速度及加速度均不为零。

1.5 一质点沿x轴作直线运动，t时刻的坐标为x = 4.5 t
2
– 2 t
3
(SI) ．试求：
(1) 第2秒内的平均速度；(2)第2秒末的瞬时速度； (3) 第2秒内的路程．
解：(1)
v

x

t0.5
ms
(2) v = d xd t = 9t - 6t
2

v(2) =-6 ms
(3) 由v =9t - 6t
2
可得：当t<1.5s时，v>0; 当t>1.5s时，v<0.
所以 S = |x(1.5)-x(1)| + |x(2)-x(1.5)| = 2.25 m

1.6 两辆车A和B，在笔直的公路上同向行使，它们在同一起始线上同时出发，并且由出
发 点开始计时，行使的距离x(m)与行使的时间t(s)的函数关系式：A为x
A
=4t+t< br>2
，B为
x
B
=2t
2
+2t
3
，则它们刚离开出发点时，行使在前面的一辆车是哪辆车？并分别求出出发后两
辆车行使距离相同的时刻 和出发后B车相对A车速度为零的时刻？
解：（1）因为v
A
＝dx
Adt＝4＋2t，v
B
＝dx
B
dt＝4t＋6t
2
， 即A车的初速不为零，所以A车在
前。
（2）令x
A
＝x
B
，
即4t+t
2
＝2t
2
+2t
3

整理，得 2t
2
+t-4＝0 解此方程，得t=1.19s
（3）B车相对A车速度为零的时刻，即v
A
=v
B
，
4＋2t＝ 4t＋6t
2

整理，得3t
2
+t-2＝0 解此方程，得t=0.67s

1.7 质点P在水平面内沿一半径为R=2 m的圆轨道转动．转动的角速度与时间t的函数关
2
系为

kt
(k为常量)．已知
t2s
时，质点P的速度值为32 ms．试求
t1
s时，质点
P的速度与加速度的大小．
解：根据已知条件确定常量k
kωt
2
vRt
2
4rads
2



4t
2
,
vR

4Rt
2

t=1s时， v = 4Rt
2
= 8 ms

a

dvdt8Rt16ms
2


a
n
v
2
R32ms
2

2


a

a
2
a
n
12

35.8
ms
2


1.8

一石头从空中由静止下落，由于空 气阻力，石头并非作自由落体运动。现已知加速度
a=A-Bv，式中A、B为常量。试求石头的速度随 时间的变化关系。

解：根据加速度
a
可得
dv
ABv

dt
dv
dt

ABv
由初始条件，两边定积分
可得
v


v
0
t
dv


dt

0
ABv
A
(1e
Bt
)

B
22
1.9 质点沿
x
轴运动，其加速度和位置的关系为 a
＝2+6
x
，
a
的单位为
ms
，
x
的单位
为 m. 质点在
x
＝0处，速度为10
ms
,试求质点在任何坐标处的速度值．
解： ∵
a
1
dvdvdxdv
v

dtdxdtdx
分离变量：
vdvadx(26x
2
)dx

两边积分得
1
2
v2x2x
3
c

2
由题知，
x0
时，
v
0
10
,∴
c50

∴
v2x
3
x25ms
1

1.10 已知一质点作直线运动，其加速度为
a
＝4+3
t

ms
，开始运动时，
x
＝5 m，
v
=0，
求该质点在
t
＝10s 时的速度和位置．
解：∵
a
2
dv
43t

dt
分离变量，得
dv(43t)dt

积分，得

v4t
由题知，
t0
,
v
0
0
,∴
c
1
0

3
2
tc
1

2
3
2
t

2
dx3
4tt
2
又因为
v
dt2
3
2
分离变量，
dx(4tt)dt

2
1
32
积分得
x2ttc
2

2
故
v4t
由题知
t0
,
x
0
5
,∴
c
2
5

故
x2t
所以
t10s
时
2
1
3
t5

2
v
10
4 10
3
10
2
190ms
1
2

1
x
10
210
2
10
3
5705 m
2

1.11 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为

=2+3
t
，式中

以弧度计，
t
以秒
计 ，求：(1)
t
＝2 s时，质点的切向和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成45°角时，
其角位移是多少?

解：


3
d

d

9t
2
,

18t

dtdt

2
(1)
t2s
时，
a

R

118236ms

an
R

2
1(92
2
)
2
 1296ms
2

(2)当加速度方向与半径成
45
角时，有
ο

tan45
2
a

1

a
n
即
R

R


亦即
(9t
2
)
2
18t

则解得
t
于是角位移为
3
2

9

23t
3
232.67rad


1.12 质点沿半径为
R
的圆周按
s
＝
v
0t
2
9
1
2
bt
的规律运动，式中
s
为质点离圆周上某点的
2
弧长,
v
0
，
b
都是常 量，求：(1)
t
时刻质点的加速度；(2)
t
为何值时，加速度在数值上等
于
b
．
解：（1）
v
ds
v
0
bt

dt
dv
b
dt

2
2
(vbt)
v
a
n

0
RR
a


(v
0
bt)
4
则
aa

ab

R
2
22
n
2
加速度与半径的夹角为

arctan
(2)由题意应有
a

Rb


a
n
(v
0
bt)
2
(v
0
bt)
4

abb
2
R
2
(v< br>0
bt)
4
,(v
0
bt)
4
0< br> 即
bb
2
R
22< br>∴当
t
v
0
时，
ab

b

1.13 一质点在半径为0.4 m的圆形轨道上自静止开始作匀角加速转动，其角加速度为

α= 0.2 rad·< br>s
，求
t
＝2s时质点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度． 1
解：当
t2s
时，



t0.2 20.4

rads

2
1
则
vR
0.40.40.16
ms

a
n
R
2
0.4(0.4)
2
0.064
ms
2

a

R

0.40.20.08
ms
2

2
aa
n
a

2
( 0.064)
2
(0.08)
2
0.102ms
2


*
1.14 一船以速率
v
1
＝30km·h沿直线向 东行驶，另一小艇在其前方以速率
v
2
＝40km·h
-1-1
沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为多少?在艇上看船的速度又为多少? < br>解：(1)大船看小艇，则有
v
21
v
2
v
1< br>，依题意作速度矢量图如题1.14图(a)



题1.14图
由图可知
v
21

2
v1
2
v
2
50kmh
1

方向北偏西

arctan
v
1
3
arctan36.87< br>
v
2
4
(2)小艇看大船，则有
v
12
 v
1
v
2
，依题意作出速度矢量图如题1.14图(b)，同上法，得


v
12
50
kmh
1

方向南偏东
36.87
.
o

习题1
1.1选择题
(1) 一运动质点在某瞬时位于矢径
r(x,y)
的端点处，其速度大小为 （ ）


drdr
(A) (B)
dt
dt

d|r|
dx
2
dy
2
(C) (D)
()()

dt
dtdt
答案：(D)。

2
(2) 一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度
v2ms
，瞬时加速度< br>a2ms
，则
一秒钟后质点的速度 （ ）
(A)等于零 (B)等于-2ms
(C)等于2ms (D)不能确定。
答案：(D)。

(3) 一质点沿半径为R的圆周作匀速率运 动，每t秒转一圈，在2t时间间隔中，其平均
速度大小和平均速率大小分别为 （ ）
2

R2

R2

R
,
(B)
0,

ttt
2

R
,0
(C)
0,0
(D)
t
(A)
答案：(B)。

(4) 质点作曲线运动，
r
表示位置矢量，
v
表示速度，
a
表示加速度，S表示路程，
a

表示切向加速度，下列表达式中， （ ）
①
dvd ta
， ②
drdtv
，
③
dSd tv
， ④
dvdta

．
(A) 只有①、④是对的．
(B) 只有②、④是对的．
(C) 只有②是对的．
(D) 只有③是对的．
答案：(D)。


(5)一质点在平面上作一般曲线运动，其瞬时速度为
v
，瞬时速率为，某一时间内的平
均速度为
v
，平均速率为
v
，它们之间的关系必定有： （ ）
（A）
vv,vv
（B）
vv,vv









（C ）
vv,vv
（D）
vv,vv

答案：(D)。


1.2填空题
(1) 一质点，以

ms
的匀速率作半径为5m的圆周运动，则该质点在5s内，位移的大小
是 ；经过的路程是 。
答案： 10m； 5πm。

(2) 一质点沿x方向运动，其加速度随时间的变化关系为a=3+2t (SI)，如果初始时刻质点的
速度 v
0
为5m·s
-1
，则当t为3s时，质点的速度v= 。
答案： 23m·s
-1
.

(3) 一质点从静止出发沿半径R=1 m的圆周运动，其角加速度随时间t的变化规律是
α=12t
2
-6t (SI)，则质点的角速度 =__________________；切向加速度
a


=_________________．
答案：
4t-3t (rads)， 12t-6t (ms)


(4) 一质点作直线运动，其坐标x与时间t的关系曲线如题1.2(4)图所示．则该质点在第___
秒瞬时速度为零；在第 秒至第 秒间速度与加速度同方向．
3222
1


5
x (m)
t (s)
O
1 2 3 4 5 6
题1.2(4)图

答案：
3, 3 6;


(5) 一质点其速率表示式为
为 。
答案：
2s(1s
2

v1 s
2
，则在任一位置处其切向加速度
a

)


1.3 下面几个质点运动学方程，哪个是匀变速直线运动？
（1）x=4t-3；（2）x =-4t
3
+3t
2
+6；（3）x=-2t
2
+8t+4 ；（4）x=2t
2
-4t。
给出这个匀变速直线运动在t=3s时的速度和加速度 ，并说明该时刻运动是加速的还
是减速的。（x单位为m，t单位为s）

解： 匀变速直线运动即加速度为不等于零的常数时的运动。加速度又是位移对时间
的两阶导数。于是可得（3 ）为匀变速直线运动。
其速度和加速度表达式分别为
v
dx
4t8
dt

d
2
x
a
2
4
dt
t=3s时的速度和加速度分别为v=20ms，a=4m s
2
。因加速度为正所以是加速的。

1.4 在以下几种运动中，质点的切向加速度、法向加速度以及加速度哪些为零？哪些不为
零？
(1) 匀速直线运动；(2) 匀速曲线运动；(3) 变速直线运动；(4) 变速曲线运动。
解：(1) 质点作匀速直线运动时，其切向加速度、法向加速度及加速度均为零；
(2) 质点作匀速曲线运动时，其切向加速度为零，法向加速度和加速度均不为零；
(3) 质点作变速直线运动时，其法向加速度为零，切向加速度和加速度均不为零；
(4) 质点作变速曲线运动时，其切向加速度、法向加速度及加速度均不为零。

1.5 一质点沿x轴作直线运动，t时刻的坐标为x = 4.5 t
2
– 2 t
3
(SI) ．试求：
(1) 第2秒内的平均速度；(2)第2秒末的瞬时速度； (3) 第2秒内的路程．
解：(1)
v

x

t0.5
ms
(2) v = d xd t = 9t - 6t
2

v(2) =-6 ms
(3) 由v =9t - 6t
2
可得：当t<1.5s时，v>0; 当t>1.5s时，v<0.
所以 S = |x(1.5)-x(1)| + |x(2)-x(1.5)| = 2.25 m

1.6 两辆车A和B，在笔直的公路上同向行使，它们在同一起始线上同时出发，并且由出
发 点开始计时，行使的距离x(m)与行使的时间t(s)的函数关系式：A为x
A
=4t+t< br>2
，B为
x
B
=2t
2
+2t
3
，则它们刚离开出发点时，行使在前面的一辆车是哪辆车？并分别求出出发后两
辆车行使距离相同的时刻 和出发后B车相对A车速度为零的时刻？
解：（1）因为v
A
＝dx
Adt＝4＋2t，v
B
＝dx
B
dt＝4t＋6t
2
， 即A车的初速不为零，所以A车在
前。
（2）令x
A
＝x
B
，
即4t+t
2
＝2t
2
+2t
3

整理，得 2t
2
+t-4＝0 解此方程，得t=1.19s
（3）B车相对A车速度为零的时刻，即v
A
=v
B
，
4＋2t＝ 4t＋6t
2

整理，得3t
2
+t-2＝0 解此方程，得t=0.67s

1.7 质点P在水平面内沿一半径为R=2 m的圆轨道转动．转动的角速度与时间t的函数关
2
系为

kt
(k为常量)．已知
t2s
时，质点P的速度值为32 ms．试求
t1
s时，质点
P的速度与加速度的大小．
解：根据已知条件确定常量k
kωt
2
vRt
2
4rads
2



4t
2
,
vR

4Rt
2

t=1s时， v = 4Rt
2
= 8 ms

a

dvdt8Rt16ms
2


a
n
v
2
R32ms
2

2


a

a
2
a
n
12

35.8
ms
2


1.8

一石头从空中由静止下落，由于空 气阻力，石头并非作自由落体运动。现已知加速度
a=A-Bv，式中A、B为常量。试求石头的速度随 时间的变化关系。

解：根据加速度
a
可得
dv
ABv

dt
dv
dt

ABv
由初始条件，两边定积分
可得
v


v
0
t
dv


dt

0
ABv
A
(1e
Bt
)

B
22
1.9 质点沿
x
轴运动，其加速度和位置的关系为 a
＝2+6
x
，
a
的单位为
ms
，
x
的单位
为 m. 质点在
x
＝0处，速度为10
ms
,试求质点在任何坐标处的速度值．
解： ∵
a
1
dvdvdxdv
v

dtdxdtdx
分离变量：
vdvadx(26x
2
)dx

两边积分得
1
2
v2x2x
3
c

2
由题知，
x0
时，
v
0
10
,∴
c50

∴
v2x
3
x25ms
1

1.10 已知一质点作直线运动，其加速度为
a
＝4+3
t

ms
，开始运动时，
x
＝5 m，
v
=0，
求该质点在
t
＝10s 时的速度和位置．
解：∵
a
2
dv
43t

dt
分离变量，得
dv(43t)dt

积分，得

v4t
由题知，
t0
,
v
0
0
,∴
c
1
0

3
2
tc
1

2
3
2
t

2
dx3
4tt
2
又因为
v
dt2
3
2
分离变量，
dx(4tt)dt

2
1
32
积分得
x2ttc
2

2
故
v4t
由题知
t0
,
x
0
5
,∴
c
2
5

故
x2t
所以
t10s
时
2
1
3
t5

2
v
10
4 10
3
10
2
190ms
1
2

1
x
10
210
2
10
3
5705 m
2

1.11 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为

=2+3
t
，式中

以弧度计，
t
以秒
计 ，求：(1)
t
＝2 s时，质点的切向和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成45°角时，
其角位移是多少?

解：


3
d

d

9t
2
,

18t

dtdt

2
(1)
t2s
时，
a

R

118236ms

an
R

2
1(92
2
)
2
 1296ms
2

(2)当加速度方向与半径成
45
角时，有
ο

tan45
2
a

1

a
n
即
R

R


亦即
(9t
2
)
2
18t

则解得
t
于是角位移为
3
2

9

23t
3
232.67rad


1.12 质点沿半径为
R
的圆周按
s
＝
v
0t
2
9
1
2
bt
的规律运动，式中
s
为质点离圆周上某点的
2
弧长,
v
0
，
b
都是常 量，求：(1)
t
时刻质点的加速度；(2)
t
为何值时，加速度在数值上等
于
b
．
解：（1）
v
ds
v
0
bt

dt
dv
b
dt

2
2
(vbt)
v
a
n

0
RR
a


(v
0
bt)
4
则
aa

ab

R
2
22
n
2
加速度与半径的夹角为

arctan
(2)由题意应有
a

Rb


a
n
(v
0
bt)
2
(v
0
bt)
4

abb
2
R
2
(v< br>0
bt)
4
,(v
0
bt)
4
0< br> 即
bb
2
R
22< br>∴当
t
v
0
时，
ab

b

1.13 一质点在半径为0.4 m的圆形轨道上自静止开始作匀角加速转动，其角加速度为

α= 0.2 rad·< br>s
，求
t
＝2s时质点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度． 1
解：当
t2s
时，



t0.2 20.4

rads

2
1
则
vR
0.40.40.16
ms

a
n
R
2
0.4(0.4)
2
0.064
ms
2

a

R

0.40.20.08
ms
2

2
aa
n
a

2
( 0.064)
2
(0.08)
2
0.102ms
2


*
1.14 一船以速率
v
1
＝30km·h沿直线向 东行驶，另一小艇在其前方以速率
v
2
＝40km·h
-1-1
沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为多少?在艇上看船的速度又为多少? < br>解：(1)大船看小艇，则有
v
21
v
2
v
1< br>，依题意作速度矢量图如题1.14图(a)



题1.14图
由图可知
v
21

2
v1
2
v
2
50kmh
1

方向北偏西

arctan
v
1
3
arctan36.87< br>
v
2
4
(2)小艇看大船，则有
v
12
 v
1
v
2
，依题意作出速度矢量图如题1.14图(b)，同上法，得


v
12
50
kmh
1

方向南偏东
36.87
.
o