北大医学部研究生院-浙江财经大学研究生院

习题1

1.1选择题
(1) 一运动质点在某瞬时位于矢径
(A)
(C)

(2) 一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度
一秒钟后质点的速度
(A)等于零 (B)等于-2ms
(C)等于2ms (D)不能确定。
[答案：D]
，瞬时加速度，则
(B)
(D)
[答案：D]


的端点处，其速度大小为

(3) 一质点沿半径为R的圆周作匀速率运动，每t秒 转一圈，在2t时间间隔中，其平
均速度大小和平均速率大小分别为
(A)
(C)
(B)
(D)
[答案：B]



1.2填空题
(1) 一质点，以的匀速率作半径为5m的圆周运动，则该质点在5s内，位移的大小
是 ；经过的路程是 。
[答案： 10m； 5πm]

(2) 一质点沿x方向运动，其加速度随时间的变化关系为a=3+2t (SI)，如果初始时刻质点的
速度 v
0
为5m·s
-1
，则当t为3s时，质点的速度v= 。
[答案： 23m·s
-1
]

(3) 轮船在水上以相对于水的速度
走。如人相对于岸静止，则
[答案：
、
]
航行，水流速度为
和
，一人相对于甲板以速度行
的关系是 。

1.3 一个物体能否被看作质点，你认为主要由以下三个因素中哪个因素决定：
(1) 物体的大小和形状；
(2) 物体的内部结构；
(3) 所研究问题的性质。
解：只有当物体的尺寸远小于其运动范围时才可忽略其大小的影响，因此主要由所
研究问题的性质决定。

1.4 下面几个质点运动学方程，哪个是匀变速直线运动？
（1）x=4t-3；（2）x=-4t
3
+3t
2
+6；（3）x=-2t
2
+8t+4；（4）x=2t
2
-4t。
给出这个匀变速直线运动在t=3s时的速度和加速度，并说明该时刻运 动是加速的还
是减速的。（x单位为m，t单位为s）
解：匀变速直线运动即加速度为不等于 零的常数时的运动。加速度又是位移对时间
的两阶导数。于是可得（3）为匀变速直线运动。
其速度和加速度表达式分别为

t=3s时的速度和加速度分别为v=20ms，a =4ms
2
。因加速度为正所以是加速的。

1.5 在以下几种运动中，质点的切向加速度、法向加速度以及加速度哪些为零哪些不为
零？
(1) 匀速直线运动；(2) 匀速曲线运动；(3) 变速直线运动；(4) 变速曲线运动。
解：(1) 质点作匀速直线运动时，其切向加速度、法向加速度及加速度均为零；
(2) 质点作匀速曲线运动时，其切向加速度为零，法向加速度和加速度均不为零；
(3) 质点作变速直线运动时，其法向加速度为零，切向加速度和加速度均不为零；
(4) 质点作变速曲线运动时，其切向加速度、法向加速度及加速度均不为零。

1.6 ｜｜与
试举例说明．
解：（1）

有无不同?和有无不同? 和有无不同?其不同在哪里?
，； 是位移的模，是位矢的模的增量，即
（2）是速度的模，即.
只是速度在径向上的分量.
∵有
式中
（式中叫做单位矢），则
就是速度在径向上的分量，

∴

(3)
∵有
不同如题1.6图所示.
题1.6图

表示加速度的模，即，是加速度在切向上的分量.
表轨道节线方向单位矢），所以

式中就是加速度的切向分量.
(

的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论)
=()，在计算质点的速 度和加速度时，有人先求
而求得结果；又有人先计算速度和加速度
1.7 设质点的运动方程为=()，
出
r
＝，然后根据 =
的分量，再合成求得结果，即
及＝
=，= 你认为两种方法哪一种
正确？为什么？两者差别何在？
解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有
，

故它们的模即为

而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作

其二，可能是将误作速度与加速度的模。在1.6题中已说明不是速度的模，
而只是速度在径向上的分 量，同样，也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中
的一部分。或者概括性地说，前一种方法只考 虑了位矢在径向
（即量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢及速度的方向随时间的变化率对速度、加速度的贡献。

1.8 一质点在平面上运动，运动方程为

=3+5, =
2
+3-4.
式中以 s计，,以m计．(1)以时间为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出
=1 s 时刻和＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算＝0 s时刻到
＝4s时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算＝4 s 时质点的速度；(5)
计算＝0s 到＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算＝4s
时质点的加速度(请把位置矢 量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都
表示成直角坐标系中的矢量式)．
解：（1）
(2)将,代入上式即有



(3)∵
∴
(4)
则
(5)∵

(6)
这说明该点只有

方向的加速度，且为恒量。
，的单位为，的单








1.9 质点沿轴运动，其加速度和位置的关系为 ＝2+6
位为 m. 质点在＝0处，速度为10
解： ∵
分离变量：
两边积分得

由题知，时，,∴

,试求质点在任何坐标处的速度值．


∴

1.10 已知一质点作直线运动，其加速度为 ＝4+3
=0，求该质点在＝10s 时的速度和位置．
，开始运动时，＝5 m，

解：∵
分离变量，得
积分，得

由题知，, ,∴




故
又因为
分离变量，
积分得
由题知 , ,∴



故
所以时



1.11 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为 =2+3，式中以弧度计，以秒
计，求：(1) ＝2 s时，质点的切向和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成45°角
时，其角位移是多少?

解：
(1)时，




(2)当加速度方向与半径成角时，有

即
亦即
则解得
于是角位移为

1.12 质点沿半径为
弧长,
于．
解：（1）
的圆周按＝

的规律运动，式中为质点离圆周上某点的
，都是常量，求：(1)时刻质点的加速度；(2) 为何值时，加速度在数值上等

则
加速度与半径的夹角为


(2)由题意应有

即
∴当

时，
，求＝2s时边

1.13 飞轮半径为0.4 m，自静止启动，其角加速度为β= 0.2 rad·
缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度．
解：当
则
时，






1.14 一船以速率＝30km·h沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率＝40km·h
沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为多少?在艇上看船的速度又为多少?
解：(1)大船看小艇，则有，依题意作速度矢量图如题1.14图(a)
-1-1

题1.14图
由图可知
方向北偏西
(2)小艇看大船，则有
方向南偏东.


，依题意作出速度矢量图如题1.14图(b)，同上法，得

习题1

1.1选择题
(1) 一运动质点在某瞬时位于矢径
(A)
(C)

(2) 一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度
一秒钟后质点的速度
(A)等于零 (B)等于-2ms
(C)等于2ms (D)不能确定。
[答案：D]
，瞬时加速度，则
(B)
(D)
[答案：D]


的端点处，其速度大小为

(3) 一质点沿半径为R的圆周作匀速率运动，每t秒 转一圈，在2t时间间隔中，其平
均速度大小和平均速率大小分别为
(A)
(C)
(B)
(D)
[答案：B]



1.2填空题
(1) 一质点，以的匀速率作半径为5m的圆周运动，则该质点在5s内，位移的大小
是 ；经过的路程是 。
[答案： 10m； 5πm]

(2) 一质点沿x方向运动，其加速度随时间的变化关系为a=3+2t (SI)，如果初始时刻质点的
速度 v
0
为5m·s
-1
，则当t为3s时，质点的速度v= 。
[答案： 23m·s
-1
]

(3) 轮船在水上以相对于水的速度
走。如人相对于岸静止，则
[答案：
、
]
航行，水流速度为
和
，一人相对于甲板以速度行
的关系是 。

1.3 一个物体能否被看作质点，你认为主要由以下三个因素中哪个因素决定：
(1) 物体的大小和形状；
(2) 物体的内部结构；
(3) 所研究问题的性质。
解：只有当物体的尺寸远小于其运动范围时才可忽略其大小的影响，因此主要由所
研究问题的性质决定。

1.4 下面几个质点运动学方程，哪个是匀变速直线运动？
（1）x=4t-3；（2）x=-4t
3
+3t
2
+6；（3）x=-2t
2
+8t+4；（4）x=2t
2
-4t。
给出这个匀变速直线运动在t=3s时的速度和加速度，并说明该时刻运 动是加速的还
是减速的。（x单位为m，t单位为s）
解：匀变速直线运动即加速度为不等于 零的常数时的运动。加速度又是位移对时间
的两阶导数。于是可得（3）为匀变速直线运动。
其速度和加速度表达式分别为

t=3s时的速度和加速度分别为v=20ms，a =4ms
2
。因加速度为正所以是加速的。

1.5 在以下几种运动中，质点的切向加速度、法向加速度以及加速度哪些为零哪些不为
零？
(1) 匀速直线运动；(2) 匀速曲线运动；(3) 变速直线运动；(4) 变速曲线运动。
解：(1) 质点作匀速直线运动时，其切向加速度、法向加速度及加速度均为零；
(2) 质点作匀速曲线运动时，其切向加速度为零，法向加速度和加速度均不为零；
(3) 质点作变速直线运动时，其法向加速度为零，切向加速度和加速度均不为零；
(4) 质点作变速曲线运动时，其切向加速度、法向加速度及加速度均不为零。

1.6 ｜｜与
试举例说明．
解：（1）

有无不同?和有无不同? 和有无不同?其不同在哪里?
，； 是位移的模，是位矢的模的增量，即
（2）是速度的模，即.
只是速度在径向上的分量.
∵有
式中
（式中叫做单位矢），则
就是速度在径向上的分量，

∴

(3)
∵有
不同如题1.6图所示.
题1.6图

表示加速度的模，即，是加速度在切向上的分量.
表轨道节线方向单位矢），所以

式中就是加速度的切向分量.
(

的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论)
=()，在计算质点的速 度和加速度时，有人先求
而求得结果；又有人先计算速度和加速度
1.7 设质点的运动方程为=()，
出
r
＝，然后根据 =
的分量，再合成求得结果，即
及＝
=，= 你认为两种方法哪一种
正确？为什么？两者差别何在？
解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有
，

故它们的模即为

而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作

其二，可能是将误作速度与加速度的模。在1.6题中已说明不是速度的模，
而只是速度在径向上的分 量，同样，也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中
的一部分。或者概括性地说，前一种方法只考 虑了位矢在径向
（即量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢及速度的方向随时间的变化率对速度、加速度的贡献。

1.8 一质点在平面上运动，运动方程为

=3+5, =
2
+3-4.
式中以 s计，,以m计．(1)以时间为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出
=1 s 时刻和＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算＝0 s时刻到
＝4s时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算＝4 s 时质点的速度；(5)
计算＝0s 到＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算＝4s
时质点的加速度(请把位置矢 量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都
表示成直角坐标系中的矢量式)．
解：（1）
(2)将,代入上式即有



(3)∵
∴
(4)
则
(5)∵

(6)
这说明该点只有

方向的加速度，且为恒量。
，的单位为，的单








1.9 质点沿轴运动，其加速度和位置的关系为 ＝2+6
位为 m. 质点在＝0处，速度为10
解： ∵
分离变量：
两边积分得

由题知，时，,∴

,试求质点在任何坐标处的速度值．


∴

1.10 已知一质点作直线运动，其加速度为 ＝4+3
=0，求该质点在＝10s 时的速度和位置．
，开始运动时，＝5 m，

解：∵
分离变量，得
积分，得

由题知，, ,∴




故
又因为
分离变量，
积分得
由题知 , ,∴



故
所以时



1.11 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为 =2+3，式中以弧度计，以秒
计，求：(1) ＝2 s时，质点的切向和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成45°角
时，其角位移是多少?

解：
(1)时，




(2)当加速度方向与半径成角时，有

即
亦即
则解得
于是角位移为

1.12 质点沿半径为
弧长,
于．
解：（1）
的圆周按＝

的规律运动，式中为质点离圆周上某点的
，都是常量，求：(1)时刻质点的加速度；(2) 为何值时，加速度在数值上等

则
加速度与半径的夹角为


(2)由题意应有

即
∴当

时，
，求＝2s时边

1.13 飞轮半径为0.4 m，自静止启动，其角加速度为β= 0.2 rad·
缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度．
解：当
则
时，






1.14 一船以速率＝30km·h沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率＝40km·h
沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为多少?在艇上看船的速度又为多少?
解：(1)大船看小艇，则有，依题意作速度矢量图如题1.14图(a)
-1-1

题1.14图
由图可知
方向北偏西
(2)小艇看大船，则有
方向南偏东.


，依题意作出速度矢量图如题1.14图(b)，同上法，得